5.3.2.正方形的性质课件 2024-2025学年 浙教版数学八年级下册

5.3.2正方形的性质 浙教版数学 八年级下 有一个角是90° （或对角线相等） 有一组邻边相等 （或对角线互相垂直） 有一组邻边相等 （或对角线互相垂直） 有一个角是90° （或对角线相等） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直且相等） 四边形 两组对边平行 （或对角线互相平分） 三个角是直角 四条边相等 【复习】正方形的定义和判定 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，也是特殊的平行四边形. 类型 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 中心对称图形 矩形 四个角都是直角 对角线相等 轴对称图形 中心对称图形 菱形 四条边都相等 （1）对角线互相垂直 （2）每条对角线平分一组对角 轴对称图形 中心对称图形 正方形 四条边都相等 四个角都是直角 对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 轴对称图形 中心对称图形 正方形的性质= 菱形的性质+矩形的性质. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 【正方形的性质】 【几何语言】 ∵ 四边形ABCD是正方形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,AC=BD,AC⊥BD,∠ABD=∠CBD... 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. A B C D 【思考】正方形中存在几个等腰直角三角形？ 例1 如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA.求∠CAE的度数. 解：在正方形ABCD中， ∠ACB= ∠BCD=45° ∵AC=CE ∴∠CAE=∠E= ∠ACB=22.5° 如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点，若BE=10，求CE的长. 解：在正方形ABCD中， ∠A=∠D=90° AB=AD=CD=8 ∴AE= =6 ∴DE=8-6=2 ∴CE= =2 也可以由正方形的轴对称性直接得到 【例2】已知：如图，在正方形ABCD 中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足,连结AG，EF.求证：AG=EF. 证明：连结CG. 在△AGD和△CGD中， ∠ADG=∠CDG，AD=CD，DG=DG， ∴△AGD≌△CGD， ∴AG=CG. 又∵ GE⊥CD，GF⊥BC, ∴∠GFC=∠GEC=90°=∠BCD, ∴四边形FCEG是矩形, ∴EF=GC, ∴ AG=EF. 方法二： 在正方形ABCD中， 由正方形的轴对称性 可得AG=CG, …… 方法三： 延长FG交AD于点H， 然后DE=GE=GH=DH=FC, 再由AD－DH=DC－DE，得到AH=CE， 接着证明△AGH≌△EFC即可. 你还有其他方法吗？ 【练习】如图，正方形ABCD的边长是4，BE=CE，DF=3CF. 求∠AEF 的度数. 【练习】已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE＝BF．  求证：(1)EA＝AF；  (2)EA⊥AF． C A D B E F 【拓展】如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. A B D F E C 【拓展】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF. 求证：AE=BF A B C D E F 1 2 3 证明：在正方形ABCD中. AB=BC，∠ABC=∠C=90° ∵AE⊥BF， ∴∠1+∠2=90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∴ AE=BF. ∴△ABE≌△BCF， 【变式】在正方形ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、DA上的点， GE⊥BF。求证：GE=BF 1 2 3 A B C D H . E F G 证明：过G作GH⊥BC，垂足为H 在正方形ABCD中. GH=AB=BC，∠GHC=∠ABC=∠C=90° ∵AE⊥BF， ∴∠1+∠2=90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∴ GE=BF. ∴△GHE≌△BCF， 你还有其他方法吗？ 【变式】在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、CD、DA、AB上的点， GE⊥HF。 求证：GE=BF A B C D 1 2 3 M E F G H N 正方形中的“十字架”模型 位置关系：垂直 数量关系：相等 正方形中的“十字架”模型 位置关系：垂直 数量关系：相等 【变式】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，AE=BF。求证：AE⊥BF. A B C D E F 1 2 3 证明：在正方形ABCD中. AB=BC，∠ABC=∠C=90° ∵AE=BF， ∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∴ AE⊥BF. ∴△ABE≌△BCF，（HL） $$