精品解析：2025届甘肃省白银市实验中高三学模拟预测数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数 学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，利用并集运算求解即可. 【详解】由题得，所以． 故选: B． 2. 若复数z为方程的根，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据实系数一元二次方程的性质，结合复数模的公式进行求解即可； 法二：设，代入方程，列出方程组求解，再根据复数模的公式即可求解． 【详解】法一：由，得，故． 法二：设，代入，得， 所以，即， 所以，解得或， 所以． 故选：A． 3. 已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可根据基本不等式求解. 【详解】设等比数列的公比为，已知前项的积为，即. 因为，所以，解得. 所以，. 所以 . 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的定义即可求解. 【详解】由题可得，， 所以在上的投影向量为． 故选：A． 5. 某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概率模型进行计算，即可得到答案. 【详解】6人分成3个小组，每个小组2人，共有种方法， 3个年级中选1个，该年级的2名学生组成一个小组，有 种选择， 剩余两个年级（设为年级）各有2名学生，年级学生记为 ，年级学生记为 ， 分组方式有和，和，共2种情况. 所以，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为. 故选：C 6. 已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的解，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，由此即可得解. 【详解】由题得， 当时，，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由在区间上的图象可知，若关于x的方程有两个不同的解，， 则，解得． 故选：C． 7. 已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求出抛物线的方程，再分情况讨论，求出三角形的面积. 【详解】由题得圆心，所以圆E关于x轴对称，因为抛物线C关于x轴对称，且直线AB过抛物线C的焦点， 所以直线AB垂直于x轴，不妨设点A在第一象限，则， 所以，即，解得或（舍）， 所以抛物线C：，， 因为点K与点F关于原点对称，所以，所以在中，， 当时，，； 当时，，此时 ； 当时，不存在． 综上，面积的最大值为2． 故选：B． 8. 任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称函数定义，确定的表达式；再通过给定条件分析的取值范围. 【详解】因为，是关于的“对称函数”， 所以，定义域为， . 令，， 在时取得最大值，在或时取得最小值. 则，，， 又，所以，那么. 由在上单调递增，可得的值域为， 因为，，成立， 所以. 则，解得. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2024年10月27日，国家统计局发布了全国规模以上工业企业各月累计营业收入与累计利润总额同比增速的统计数据，如图所示，则（ ） A. 累计营业收入增速的方差比累计利润总额同比增速的方差小 B. 累计利润总额同比增速的极差为10.2% C. 累计营业收入增速的上四分位数为2.9% D. 累计利润总额同比增速的平均数超过0.3% 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的折线图，结合方差的意义判断A；依次计算出极差、上四分位数、平均数判断BCD. 【详解】对于A，累计营业收入增速的数据比累计利润总额同比增速的数据更平稳，其方差相对来说更小，A正确； 对于B，累计利润总额同比增速的极差为，B错误； 对于C，累计营业收入增速的数据从小到大排列为 ，共12个数据，由，得上四分位数为，C正确； 对于D，累计利润总额同比增速的平均数为 ，D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点的充要条件为 B. 当时，若，且m，n为的两个极值点，则 C. 当，时，图象的对称中心为点 D. 若的图象上有3个不同的点，，，这3个点处的切线的斜率分别记为，，，则为常数 【答案】ACD 【解析】 【分析】项，根据方程有两个不同的解，结合判别式符号判断；项，求出，可得是的解，则，，即可判断；项，根据，即可判断；项，设，求导，代入求解切线斜率，再化简即可判断. 【详解】项，因为函数，所以， 因为有两个极值点，所以方程有两个不同的解， 则，即，故正确； 项，当时，，令，则， 因为，所以是的两个根， 故，，故，，故， 所以，因为m，n为的两个极值点， 所以是的解，故，， 故，故错误； 项，当，时，， 由于，故图象的对称中心为，故正确； 项，因为的图象上有3个不同的点，，， 故可设， 故，故， 故， ，故正确； 故选：ACD 11. 在棱长为a的正方体中，点P在线段上，过点P与棱BC的平面截该正方体得到一截面，则（ ） A. 四面体的体积随点P的改变而改变 B. 直线BD与PC的公垂线段（同时与BD，PC垂直且相交）的长度的最小值为 C. 当时，截面图形的面积为 D. 当时，以点A为球心，AB长为半径的球面与截面图形的交线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意易得四面体的体积为定值，根据题意可作出公垂线，利用等面积可得公垂线最小值，过点P作平行线，可得到截面为矩形，进而可求截面面积，利用截面与球面相交的轨迹为半圆弧可求交线长度. 【详解】根据题意作图如下： 对于A，在正方体中，平面，所以点P到平面的距离为定值，故为定值，故错误； 对于B，过点作，在正方体中，, 所以平面，平面，，又， 所以为异面直线BD与PC的公垂线，， 故当取得最大值时，取得最小值，故B正确； 对于C，过点作，又，所以，即截面为四边形，，，即， 则，故截面面积为,故正确； 对于D，过点作，又平面，所以， 故平面，所以为点A到平面的距离， ，，， 故球面与截面图形的交线是以为圆心，为半径的半圆弧上，长度为，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式______． 【答案】（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】 【分析】由题可得满足题意的函数可为偶函数，结合最值，零点情况可得答案. 【详解】函数的对称轴为y轴，有一个最小值－1，两个零点，，符合题意． 故答案为：（答案不唯一，写出一个即可） 13. 在直角梯形ABCD中，，，，以AB边所在直线为轴，旋转一周后得到的几何体可以看作是由圆锥与圆柱构成的几何体，若圆锥与圆柱的体积比为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体，分别求出圆锥与圆柱的体积得几何体的体积，即可得出结果. 【详解】由题可得：，， 所以，解得． 故答案为： 14. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，，离心率为e，点P在E的右支上，且，，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，由余弦定理列方程即可求解. 【详解】 由题意， 设，所以， 整理得，即，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，，数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式及前n项和； （3）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）， 所以数列为等差数列，首项为，公差为1. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明； （2）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 ，， ， 两式相减可得 ； 所以. 16. 近几年，人工智能的应用越来越受到人们的重视与应用，比如“Notion AI”是一个基于人工智能的写作助手，它可以帮助用户自动生成各种文本内容，如博客文章、头脑风暴、待办事项等等，因此它的应用迅速融入了我们的生活，特别是教师团队．某市为了解该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”，随机抽取了该市名教师，统计了他们一周内使用“Notion AI”帮助写作的次数，并将一周内使用“Notion AI”帮助写作的次数超过次的认定为喜欢运用“Notion AI”，不超过次甚至从不使用“Notion AI”的认定为不喜欢运用“Notion AI”，统计数据如表所示． 年龄 是否喜欢运用“Notion AI” 合计 喜欢 不喜欢 不超过岁 超过岁 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”与年龄有关？ （2）该市的张老师在写周一、周二的博客文章时习惯使用“Notion AI”与“文心一言”来帮助写作，且周一等可能的从“Notion AI”与“文心一言”中随机选择一个，若周一选择使用“Notion AI”，则周二选择使用“Notion AI”的概率为；若周一选择使用“文心一言”，则周二选择使用“文心一言”的概率为，求张老师周二选择使用“文心一言”的概率； （3）用样本频率估计概率，现从该市随机抽取名教师，记其中喜欢运用“Notion AI”的教师人数为随机变量，“Notion AI”的应用度为随机变量，且，求、的期望和方差． 附：，其中． 【答案】（1）该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”与年龄有关. （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）零假设该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”与年龄无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）记事件、分别表示张老师周一、周二选择使用“Notion AI”，事件、分别表示张老师周一、周二选择使用“文心一言”，利用全概率公式可求出的值； （3）分析可知，利用二项分布的期望和方差公式可得出、的值，再利用期望和方差的性质可得出、的值. 【小问1详解】 零假设该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”与年龄无关， 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”与年龄有关. 【小问2详解】 记事件、分别表示张老师周一、周二选择使用“Notion AI”， 事件、分别表示张老师周一、周二选择使用“文心一言”， 则，，，所以， 所以，张老师周二选择使用“文心一言”的概率为 . 【小问3详解】 由题意可知，任意抽取一名教师，该教师喜欢运用“Notion AI”的概率为，则， 所以，， 因为，所以， . 17. 如图，DE是正的一条中位线，O为线段DE的中点，，将沿DE折起，得到四棱锥，且平面平面ABED． （1）证明：平面ABED； （2）R为棱PB上一点（不包括端点），若平面AOR与平面AOB夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）连接CO． 因为DE为正的中位线，O为DE的中点， 所以，所以， 因为平面平面ABED，平面平面，平面PDE， 所以平面ABED． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中线及翻转问题得到，再利用面面垂直即可得到平面ABED； （2）根据题意以O为原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求得平面AOR与平面AOB夹角的余弦值即可求，得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长CO交AB于点F，则F为AB的中点， 所以，，所以，， 由（1）可知平面ABED，所以OD，OF，OP两两垂直， 以O为原点，OD，OF，OP所在直线分别为x，y，z:轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，则， 所以，所以． 设平面AOR的法向量为， 则， 取，得，，所以． 由（1）可知平面AOB，所以为平面AOB的一个法向量． 设平面AOR与平面AOB的夹角为， 则． 化简得，解得或（舍），所以. 18. 已知函数，． （1）若在其定义域上单调，求的取值范围； （2）若． （ⅰ）证明：； （ii）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）由题意得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，， 则， 当时，，则，，则， 所以，函数在区间上单调递增，所以， 所以得证； （ii） 【解析】 【分析】（1）求得，对函数在区间上单调递增、单调递减两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围； （2）（i）构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出，由此可证得结论成立； （ii）由所求不等式变形得出在区间上恒成立，令，，利用导数分析该函数的单调性，可得出，求出的取值范围，然后验证在区间上能否恒成立，由此可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为函数在上单调， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，则； 若在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， （i）略 （ii）由得在区间上恒成立， 令，， 则，且， 因为在区间上恒成立，所以，解得， 因为，所以，， 所以当时，， 此时函数在区间上单调递减，所以恒成立，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 19. 定义：由椭圆的一个焦点、一个长轴顶点（焦点与长轴顶点在对称轴同一侧）和一个短轴顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似三角形关联椭圆”，并将这两个“特征三角形”的相似比称为“相似三角形关联椭圆”的相似比．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，离心率为，点在C上，焦点在x轴上的椭圆与C是“相似三角形关联椭圆”，且相似比为，的左、右顶点分别为，． （1）求的标准方程； （2）求的离心率，并通过比较与C的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）； （3）若直线l：与交于M，N两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）；“相似三角形关联椭圆”的离心率相等. （3）定值，. 【解析】 【分析】 （1）先根据条件求出椭圆的方程，再根据相似比即可求出的标准方程； （2）结合（1）即可求出离心率； （3）设直线的斜率为，计算得出，再计算，最后利用即可求得. 【小问1详解】 设椭圆的焦半距为，椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半距分别为， 则由题意得，，，，解得， 设椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 因，且相似比为，则， 即，得， 则的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知的离心率为，则与C的离心率相等， 结论：“相似三角形关联椭圆”的离心率相等. 【小问3详解】 设，直线的斜率为， 因，则， 联立，得， 则， 则 ， 则 ， 则，故是定值，定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数 学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z为方程的根，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 3. 已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的解，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2024年10月27日，国家统计局发布了全国规模以上工业企业各月累计营业收入与累计利润总额同比增速的统计数据，如图所示，则（ ） A. 累计营业收入增速的方差比累计利润总额同比增速的方差小 B. 累计利润总额同比增速的极差为10.2% C. 累计营业收入增速的上四分位数为2.9% D. 累计利润总额同比增速的平均数超过0.3% 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点的充要条件为 B. 当时，若，且m，n为的两个极值点，则 C. 当，时，图象的对称中心为点 D. 若的图象上有3个不同的点，，，这3个点处的切线的斜率分别记为，，，则为常数 11. 在棱长为a的正方体中，点P在线段上，过点P与棱BC的平面截该正方体得到一截面，则（ ） A. 四面体的体积随点P的改变而改变 B. 直线BD与PC的公垂线段（同时与BD，PC垂直且相交）的长度的最小值为 C. 当时，截面图形的面积为 D. 当时，以点A为球心，AB长为半径的球面与截面图形的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式______． 13. 在直角梯形ABCD中，，，，以AB边所在直线为轴，旋转一周后得到的几何体可以看作是由圆锥与圆柱构成的几何体，若圆锥与圆柱的体积比为，则的值为______． 14. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，，离心率为e，点P在E的右支上，且，，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，，数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式及前n项和； （3）记，求数列的前n项和． 16. 近几年，人工智能的应用越来越受到人们的重视与应用，比如“Notion AI”是一个基于人工智能的写作助手，它可以帮助用户自动生成各种文本内容，如博客文章、头脑风暴、待办事项等等，因此它的应用迅速融入了我们的生活，特别是教师团队．某市为了解该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”，随机抽取了该市名教师，统计了他们一周内使用“Notion AI”帮助写作的次数，并将一周内使用“Notion AI”帮助写作的次数超过次的认定为喜欢运用“Notion AI”，不超过次甚至从不使用“Notion AI”的认定为不喜欢运用“Notion AI”，统计数据如表所示． 年龄 是否喜欢运用“Notion AI” 合计 喜欢 不喜欢 不超过岁 超过岁 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”与年龄有关？ （2）该市的张老师在写周一、周二的博客文章时习惯使用“Notion AI”与“文心一言”来帮助写作，且周一等可能的从“Notion AI”与“文心一言”中随机选择一个，若周一选择使用“Notion AI”，则周二选择使用“Notion AI”的概率为；若周一选择使用“文心一言”，则周二选择使用“文心一言”的概率为，求张老师周二选择使用“文心一言”的概率； （3）用样本频率估计概率，现从该市随机抽取名教师，记其中喜欢运用“Notion AI”的教师人数为随机变量，“Notion AI”的应用度为随机变量，且，求、的期望和方差． 附：，其中． 17. 如图，DE是正的一条中位线，O为线段DE的中点，，将沿DE折起，得到四棱锥，且平面平面ABED． （1）证明：平面ABED； （2）R为棱PB上一点（不包括端点），若平面AOR与平面AOB夹角的余弦值为，求的值． 18. 已知函数，． （1）若在其定义域上单调，求的取值范围； （2）若． （ⅰ）证明：； （ii）若，求的取值范围． 19. 定义：由椭圆的一个焦点、一个长轴顶点（焦点与长轴顶点在对称轴同一侧）和一个短轴顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似三角形关联椭圆”，并将这两个“特征三角形”的相似比称为“相似三角形关联椭圆”的相似比．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，离心率为，点在C上，焦点在x轴上的椭圆与C是“相似三角形关联椭圆”，且相似比为，的左、右顶点分别为，． （1）求的标准方程； （2）求的离心率，并通过比较与C的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）； （3）若直线l：与交于M，N两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $