通关必备知识&典例精讲-【一战成名新中考·5行卷】2025辽宁中考数学·抢分必刷小卷

参考答案及重难题解析·辽宁数学 抢 分 必 刷 小 卷 二、通关双压轴 压轴专题一　 二次函数综合题 例　 解:(1)y2 = xy1 = x· 1 2 x= 1 2 x2 ; (2)如解图①,∵ y2 = xy1 = x· 3 x = 3, 设 A(m, 3 m ),B(m,3), ∵ 点 B 在点 A 的上方, 当 AB= 2 时,即 3- 3 m = 2,解得 m= 3. ∴ A(3,1); (3)①∵ y2 = xy1 = x( -x+4)= -x2 +4x, ∴ A(m,-m+4),B(m,-m2 +4m) . 如果点 B 与点 A 重合,那么-m+4 = -m2 +4m. 整理得 m2 -5m+4 = 0, 解得 m= 1 或 m= 4; ②由①可知,直线 y = -x+4 与抛物线 y = -x2 +4x 有两个交点 (1,3)和(4,0), 函数 y2 = -x2 +4x 的图象是开口向下的抛物线,对称轴是直线 x= 2. ∵ BC∥x 轴,∴ B,C 两点关于直线 x= 2 对称. 如解图②,当点 B 在点 C 右侧时, 2<m<4,BC= 2(m-2)= 2m-4, 如解图③,当点 B 在点 C 左侧时, 1<m<2,BC= 2(2-m)= 4-2m, 由点 B 在点 A 的上方, 得 BA= ( -m2 +4m) -( -m+4)= -m2 +5m-4, ∴ 当 2<m<4 时, y= 2[(2m-4) +( -m2 +5m-4)] = -2m2 +14m-16, 当 1<m<2 时, y= 2[(4-2m) +( -m2 +5m-4)] = -2m2 +6m. 综上,y= -2m2 +6m(1<m<2), -2m2 +14m-16(2<m<4);{ 图① 图② 图③ 例题解图 ③t2 -t1 = 4 或 3-2 2 . 【解法提示】情形一:如解图④,如果 EF 和 MN 平行且相等,那这两条平行线间的距离等于两个顶点 之间的竖直高度,或者等于 P、Q 两点间的竖直高度. 当 m= 2 时,y= -2m2 +6m= 4,∴ P(2,4) . 当 m = 4 时,y = - 2m2 + 14m- 16 = 8,∴ Q(4,8) . ∴ t2 -t1 = 8-4 = 4. 情形二,如解图⑤(局部,变形处理), 点 M 是抛物线 y= -2m2 +6m 的顶点. 由 M( 3 2 , 9 2 ),得 N( 7-2 2 2 , 9 2 ), ∴ MN=EF= 7-2 2 2 - 3 2 = 2- 2 , ∴ 点 F 的横坐标 xF = 3 2 +2 - 2 2 = 5 - 2 2 , 于是可得 yF = 3+4 2 2 , ∴ t2 -t1 = yN-yF = 9 2 -3 +4 2 2 = 3-2 2 . 综上,t2 -t1 的值为 4 或 3-2 2 . 图④ 图⑤ 例题解图 1.解:(1)已知函数 l3 是一次函数 l1 :y = 1 2 x+1 与一次函数 l2 : y= -x+n 的累积函数, 依题意得函数 l3 解析式为 y= ( 1 2 x+1)( -x+n), ∵ 函数 l3 的图象恰好经过点( -1,0), ∴ 0 = ( - 1 2 +1)(1+n),解得 n= -1, ∴ y= -( 1 2 x+1)(x+1)= - 1 2 x2 - 3 2 x-1; (2)∵ y= ( 1 2 x+1)( -x+n)= - 1 2 x2 + n 2 x-x+n, ∴ 对称轴为直线 x= - b 2a = - n 2 -1 2×( - 1 2 ) = n 2 -1, 顶点纵坐标为 y = 4ac-b2 4a = 4×( - 1 2 )n-( 1 2 n-1) 2 4×( - 1 2 ) = n 2 8 + n 2 + 1 2 = 1 8 (n+2) 2 , ∴ 当 n= -2 时,y 取得最小值,最小值为 0,则横坐标为- 2 2 -1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 抢分必刷小卷·辽宁数学 二、通关双压轴　 二 次 函 数 综 合 题 压轴专题一　 二次函数综合题 通关必备知识 1.函数解析式的确定 函数类型 求函数解析式的方法 解析式 一次函数 将图象上的 A(x1,y1),B(x2,y2)两点横、纵坐标分别替换函数中 的 x 和 y 值,求解得出 k,b 的值,代入即可求出解析式 y= kx+b(k≠0) 反比例函数 将图象上任一点坐标(a,b)代入得 k=ab,即可得到解析式 y= k x (k≠0) 二次函数 将图象上任意三点坐标代入解析式即可求出解析式 将图象上与 x 轴的两个交点坐标和任意一点坐标代入即可求解 将图象上顶点坐标和任意一点坐标代入即可求解 已知图象上任意一点,对称轴,最值即可求解 一般式: y=ax2 +bx+c(a≠0) 交点式: y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 顶点式: y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 2.交点问题 (1)水平直线 y= t 与一段定抛物线的交点问题 ①解析式法:联立直线与抛物线的解析式,结合交点个数、对称轴及函数图象确定取值范围,即可求 出 t 的值或取值范围; ②图象法. (2)斜直线 y= kx+b 与一段定抛物线的交点问题 ①解析式法:确定直线与抛物线相切时 b 的值和在临界点处时 b 的值,结合图象即可求出 b 的值; ②图象法. 3.函数的增减性与最值 函数类型 函数解析式(示例) 增减性 最值 正比例函数 y= 2x y 随 x 的增大而增大 ——— 一次函数 y= -2x-1 y 随 x 的增大而减小 ——— 反比例函数 y= 3 x 在每一象限内,y 随 x 的增大而减小 ——— y= - 3 x 在每一象限内,y 随 x 的增大而增大 ——— 二次函数 y= 2x2 +4x 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而减小 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而增大 在顶点处取 得最小值 y= -4x2 +4x 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而增大 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小 在顶点处取 得最大值 34 抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 4.平面坐标系中两点坐标的距离公式 (1)坐标系内任意一点到坐标轴及原点的距离: ①点 P(a,b)到 x 轴的距离为 | b | ; ②点 P(a,b)到 y 轴的距离为 | a | ; ③点 P(a,b)到原点的距离为 a2 +b2 ; (2)平行于 x 轴的直线(或 x 轴上)A(x1,m)、B(x2,m)两点的距离为 | x1 -x2 | ; (3)平行于 y 轴的直线(或 y 轴上)A(n,y1)、B(n,y2)两点的距离为 | y1 -y2 | ; (4)坐标系内任意两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离为 (y2 -y1) 2 +(x2 -x1) 2 . 典例精讲 例　 [2024 辽宁 23 题 13 分]已知 y1 是自变量 x 的函数,当 y2 = xy1 时,称 函数 y2 为函数 y1 的“升幂函数” . 在平面直角坐标系中,对于函数 y1 图 象上任意一点 A(m,n),称点 B(m,mn)为点 A“关于 y1 的升幂点”,点 B 在函数 y1 的“升幂函数”y2 的图象上. 例如:函数 y1 = 2x,当 y2 = xy1 = x·2x= 2x2 时,则函数 y2 = 2x2 是函数 y1 = 2x 的“升幂函数” . 在平面直角坐标系中,函数 y1 = 2x 的图象上任意一点 A(m,2m),点 B(m,2m2)为点 A“关于 y1 的升幂点”,点 B 在函数 y1 = 2x 的“升幂函 数”y2 = 2x2 的图象上. 例题图 　 　 　 　 备用图 (1)求函数 y1 = 1 2 x 的“升幂函数”y2 的函数表达式. 解:y2 =xy1 =x· 1 2 x= 1 2 x2; (2)如图,点 A 在函数 y1 = 3 x (x>0)的图象上,点 A“关于 y1 的升幂点” B 在点 A 上方,当 AB= 2 时,求点 A 的坐标. 【知识储备】 新定义函数 升幂函数:y2 = xy1,则 y2 为 y1 的 升幂函数; 升幂 点:已 知 A (m, n), B ( m, mn),则点 B 为点 A 的升幂点 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 思路推导 求“升幂函数” y2 的表达式 → ∵ 点 B 在点 A 上方,故 A,B 两点的横坐标相 等,可求出升幂点 B → ∵ AB = 2,∴ 点 B 的纵坐标减去点 A 的纵坐标为 2 → 求 出 点 A 的坐标 解:如解图①,∵ y2 =xy1 =x· 3 x =3,设 A(m, 3 m ),B(m,3) . ∵点 B 在点 A 的上方, 当 AB=2 时,即 3- 3 m =2,解得 m=3,∴A(3,1); 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 (3)点 A 在函数 y1 = -x+4 的图象上,点 A“关于 y1 的升幂点”为点 B,设点 A 的横坐标为 m. ①若点 B 与点 A 重合,求 m 的值; 思路推导 求“升幂函数” y2 的表达式 → ∵ A, B 两 点 重 合,则横坐标和 纵坐标相等 → 用含 m 的式子 表示 出 点 A 和 点 B 的纵坐标 → 结合纵坐标相等 求解出 m 的值 解:∵ y2 =xy1 =x(-x+4)= -x2+4x,∴A(m,-m+4),B(m,-m2+4m) . 如果点 B 与点 A 重合,那么-m+4=-m2+4m. 整理得 m2-5m+4=0,解得 m=1 或 m=4; 在平面直角坐标系中,若两个点 重合,则代表这两个点的横、纵 坐标分别相等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ②若点 B 在点 A 的上方,过点 B 作 x 轴的平行线,与函数 y1 的“升幂 函数”y2 的图象相交于点 C,以 AB,BC 为邻边构造矩形 ABCD,设矩形 ABCD 的周长为 y,求 y 关于 m 的函数表达式; 思路推导 解:由①知,直线 y=-x+4 与抛物线 y=-x2+4x 有两个交点(1,3)和(4,0), 函数 y2 =-x2+4x 的图象是开口向下的抛物线,对称轴是直线 x=2. ∵BC∥x 轴,∴B、C 两点关于直线 x=2 对称. 如解图②,当点 B 在点 C 右侧时,2<m<4,BC=2(m-2)= 2m-4, 如解图③,当点 B 在点 C 左侧时,1<m<2,BC=2(2-m)= 4-2m, 由点 B 在点 A 的上方,得 BA=(-m2+4m)-(-m+4)= -m2+5m-4, ∴当 2<m<4 时,y=2[(2m-4)+(-m2+5m-4)] =-2m2+14m-16, 当 1<m<2 时,y=2[(4-2m)+(-m2+5m-4)] =-2m2+6m. 综上,y= -2m2+6m(1<m<2), -2m2+14m-16(2<m<4);{ 1. 平行于 x 轴的直线与抛物线相 交,则这两个交点关于抛物线的 对称轴对称,能利用对称轴和其 中一个交点坐标求出另一交点 的坐标. 2. 平面坐标系中两点坐标的距 离公式: (1)坐标系内任意一点到坐标轴 及原点的距离: ①点 P ( a, b) 到 x 轴的距离为 | b | ; ②点 P ( a, b) 到 y 轴的距离为 | a | ; ③点 P ( a, b ) 到 原 点 的 距 离 为 a2 +b2 ; (2)平行于 x 轴的直线(或 x 轴 上)A(x1,m)、B( x2,m)两点的距 离为 | x1 -x2 | ; (3)平行于 y 轴的直线(或 y 轴 上) A(n,y1)、B( n,y2)两点的距 离为 | y1 -y2 | ; (4) 坐标系内任意两点 A ( x1, y1 )、 B ( x2, y2 ) 间 的 距 离 为 (y2 -y1) 2 +(x2 -x1) 2 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 ③在②的条件下,当直线 y= t1 与函数 y 的图象的交点有 3 个时,从左 到右依次记为 E,F,G,当直线 y= t2 与函数 y 的图象的交点有 2 个时, 从左到右依次记为 M,N,若 EF=MN,请直接写出 t2 -t1 的值. 思路推导 解:③t2-t1 =4 或 3-2 2 . 【解法提示】情形一:如解图④,如果 EF 和 MN 平 行且相等,那这两条平行线间的距离等于两个顶点之间的竖直高度,或者等 于 P、Q 两点间的竖直高度. 当 m=2 时,y=-2m2+6m=4,∴P(2,4) . 当 m=4 时,y=-2m2+14m-16=8,∴Q(4,8) . ∴ t2-t1 =8-4=4. 情形二,如解图⑤(局部,变形处理), 点 M 是抛物线 y=-2m2+6m 的顶点. 由 M( 3 2 , 9 2 ),得 N(7 -2 2 2 , 9 2 ),∴MN=EF=7 -2 2 2 - 3 2 =2- 2 , ∴点 F 的横坐标 xF = 3 2 +2- 2 2 = 5- 2 2 , 于是可得 yF = 3+4 2 2 ,∴ t2-t1 =yN-yF = 9 2 -3+4 2 2 =3-2 2 . 综上,t2-t1 的值为 4 或 3-2 2 . 水平直线与一段定抛物线的交 点问题: ①数形结合法:联立直线与抛物 线的解析式,结合交点个数、对 称轴及函数图象确定取值范围, 得出点坐标,进行求解; ②图象法: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64