针对训练 类型2 二次函数情境探完题&类型3 二次函数与几何综合题-【一战成名新中考·5行卷】2025辽宁中考数学·抢分必刷小卷

抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 类型 2 　 二次函数情境探究题(2024 省样卷 22 题) 3. 某小组准备合作制作一个简易水流装置,下面是制作装置的活动过程. 活动目的 制作简易水流装置 方案设计 第 3 题图 如图,CD 是进水通道,AB 是出水通道,OE 是圆柱形容器的底面直 径,从 CD 将圆柱形容器注满水,内部安装调节器,水流从 B 处流出 且呈抛物线型. 以点 O 为坐标原点,EO 所在直线为 x 轴,OA 所在直 线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy,水流最终落到 x 轴上的点 M 处. 已知 AB∥x 轴,AB= 5 cm,OM= 15 cm,点 B 为水流所在抛物线的顶点,点 A,B,O,E,M 在同一 平面内,水流所在抛物线的函数解析式为 y=ax2 +bx+15(a≠0) . 任务一 求水流所在抛物线的函数解析式; 任务二 现有一个底面半径为 3 cm,高为 11 cm 的圆柱形水杯,将该水杯底面圆的圆心恰好放在 M 处,水流是否能流到圆柱形水杯内? 请通过计算说明理由;(圆柱形水杯的厚度忽略不 计) 任务三 还是任务二的水杯,水杯的底面圆的圆心 P 在 x 轴上运动,为了使水流能流到圆柱形水 杯内,直接 ∙∙ 写出 OP 的取值范围. 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三. 解:任务一:∵AB∥x 轴,AB=5 cm,点 B 为水流所在抛物线的顶点, ∴抛物线的对称轴为直线 x=5,∴- b 2a =5,∴ b=-10a. 把点 M(15,0)代入抛物线 y=ax2+bx+15 中, 整理得 15a+b+1=0, 把 b=-10a 代入 15a+b+1=0 得 15a-10a+1=0, 解得 a=- 1 5 ,∴ b=2, ∴水流所在抛物线的函数解析式为 y=- 1 5 x2+2x+15; 任务二:水流不能流到圆柱形水杯内.理由如下: 圆柱形水杯最左端到点 O 的距离是 15-3=12(cm), 当 x=12 时,y=- 1 5 ×122+2×12+15=10. 2, ∵11>10. 2,∴水流不能流到圆柱形水杯内; 任务三:2+3 5 <OP<8+3 5 . 94 抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 4. 在学习了二次函数和圆之后,有的同学认为抛物线与圆弧线没有差别,有的同学认为二者肯定不同但 又说不出道理来. 小明同学善于钻研,开始对此问题进行探究. 画图识图 如图①,P 为 OA ( 所在圆的圆心,PB⊥x 轴于点 D,OA = 8,BD = 2;如图②,B 为抛物线顶点,DB⊥x 轴于 点 D,OA= 8,BD= 2. 两图中点 C 的横坐标是 2,CE⊥x 轴于点 E. 计算说明 (1)应用图①,分两步进行:①根据垂径定理得 AD = 4,连接 PA,设 PA = x,列方程(x-2) 2 +42 = x2,解得 x= 　 5　 ;②连接 PC,过点 C 作 CF⊥PB 于点 F,则 CF= 2,由勾股定理得 PF= 　 21 　 ,由 CE=DF= PF-PD 求 CE,得点 C 的坐标:　 (2, 21-3)　 ;(请把上面数据补充完整) (2)应用图②,求抛物线的解析式和点 C 的坐标,通过点 C 坐标说明抛物线与圆弧线是否相同; 分析应用 (3)学校拟在花园内的池塘上搭建一座小桥,跨度和高度与上述数据相同(单位:米),希望桥洞排水量 尽可能大一点. 根据以上计算,你认为设计形状应选择圆弧线还是抛物线? 图① 　 　 图② 第 4 题图 解:(1)5, 21 ,(2, 21 -3); (2)设抛物线的解析式为 y=a(x-4) 2+2(a≠0), 将点 O(0,0)代入得 16a+2=0,解得 a=- 1 8 , ∴抛物线的解析式是 y=- 1 8 (x-4) 2+2, 当 x=2 时,y=- 1 8 ×(2-4) 2+2=- 1 2 +2= 3 2 ,∴点 C 的坐标为(2, 3 2 ) . ∵ 　 21 -3≠ 3 2 ,∴抛物线与圆弧线不同; (3)∵ 　 21 = 84 4 > 　 81 4 = 9 2 ,∴ 　 21 -3> 9 2 -3,即 　 21 -3> 3 2 , ∴设计形状应选择圆弧线. 05 抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 5. 【项目式学习】 项目主题:高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景:随着中国经济的快速发展,高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区. 假设某城市计划建设 一条新的高铁线路,以缩短与邻近城市的旅行时间. 数学小组的同学在查阅相关资料的情况下,开展了 相关探究. 素材一:为了保证安全,高铁列车从静止到加速为最高速度以及从最高速度减速到停止,都需要一定的 时间,假设加速度和减速度都是常数且加、减速过程中,列车速度随时间变化的关系为:v= v0 +at,其中 v 是最终速度,v0 是初始速度,a 是加速度(或减速度),t 是时间. 素材二:列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离,已知列车从静止到加速为最高速度以及从最高速 度减速到停止所需的路程相同,均为 d 千米,时间也相同,均为 t 秒. 素材三:匀加速(即加速度不变)或匀减速过程中,在单向行驶时,路程与运动时间的关系为:s = v0 t+ 1 2 at2,其中:s 是路程,v0 是初始速度,a 是加速度(或减速度),t 是时间. 任务—:理解与计算 (1)如果高铁列车的最高速度 v= 360 千米 /时,加速度 a= 0. 5 米 /秒2,则从静止加速到最高速度所需的 时间 t= 　 200　 秒; (2)在(1)的条件下,列车从静止到加速为最高速度所需的最小路程 d= 　 10　 千米; 任务二:应用与推理 (3)在(1)的条件下,假设高铁线路全程 x 千米,不算两端的加、减速路程 d,列车以最高速度行驶的距 离为 x-2d,请求出列车全程行驶的时间 T(单位:小时)的表达式; 任务三:设计与分析 (4)假设距某站台 2 千米有一辆高铁正以 180 千米 /时的速度驶来,由于某人从站台跳入轨道捡手机, 列车需紧急停车,若减速度 a= -0. 5 米 /秒2,分析并计算列车能否安全停车? 第 5 题图 解:(1)200;【解法提示】由题可得 v=v0+at,即 t= v-v0 a ,∵ v0 =0, v=360 千米 /时=100 米 /秒,a=0. 5 米 /秒2,∴ t=100 -0 0. 5 =200(秒) . (2)10;【解法提示】由(1)知 v0 =0,t=200(秒),a=0. 5(米 /秒2), ∴ s=v0 t+ 1 2 at2 = 1 2 ×0. 5×2002 =10 000(米)= 10(千米) . (3)∵加速和减速时间都是 t 秒且加、减速路程都是 d 千米,∴加速和减速的总时间为 2t=400 秒= 1 9 时, ∴匀速行驶的时间为(T- 1 9 )小时,匀速行驶的路程为(x-20)千米,速度为 360 千米 /时, ∴T- 1 9 =x-20 360 ,∴T= 1 360 x+ 1 18 ,∴列车全程行驶的时间 T 的表达式为 T= 1 360 x+ 1 18 ; (4)∵ v=0,v0 =180 千米 /时=50 米 /秒,a=-0. 5 米 /秒2,∴ t= 0-50 -0. 5 =100(秒), ∴ s=v0 t+ 1 2 at2 =50×100- 1 2 ×0. 5×1002 =2 500(米)= 2. 5(千米),∵2. 5 千米>2 千米,∴列车不能安全停车. 15 抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 类型 3 　 二次函数与几何综合题(2024 省模考 15 题) 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴交于 A( -1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,作 直线 BC. (1)求抛物线的解析式; (2)如图①,点 P 是线段 BC 上方的抛物线上一动点,过点 P 作 PQ⊥BC,垂足为 Q,请问线段 PQ 是否 存在最大值? 若存在,请求出最大值及此时点 P 的坐标;若不存在请说明理由; (3)如图②,点 M 是直线 BC 上一动点,过点 M 作线段 MN∥OC(点 N 在直线 BC 下方),已知 MN= 2,若 线段 MN 与抛物线有交点,请直接写出点 M 的横坐标 xM 的取值范围. 图① 　 　 　 　 图② 第 6 题图 解:(1)∵抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点, ∴ c-b=1, c+3b=9,{ 解得 b=2, c=3,{ ∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3; (2)存在. 如解图,过点 P 作 PN⊥AB 交 x 轴于点 N,交 BC 于点 M. ∵B(3,0),由(1)得 C(0,3), ∴直线 BC 的解析式为 y=-x+3, ∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠CBO=45°, ∵∠MNB=90°,∴∠PMQ=∠NMB=45°, ∵PQ⊥BC,∴△PQM 是等腰直角三角形, ∴PM= 2PQ,∴PM 的值最大时,PQ 的值最大, 设 P(m,-m2+2m+3),则 M(m,-m+3), ∴PM=-m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m, ∵-1<0,∴当 m= 3 2 时,PM 的值最大,PM 的最大值=- 9 4 + 9 2 = 9 4 , ∴PQ 的最大值= 2 2 PM=9 2 8 ,此时 P( 3 2 ,15 4 ); (3)点 M 的横坐标 xM 的取值范围为 3- 17 2 ≤xM≤0 或 3≤xM≤ 3+ 17 2 . 【解法提示】设 M(a,-a+3),则 N(a,-a+1),当点 N 在抛物线上时,-a+1 =-a2+2a+3,∴ a2-3a-2 = 0,解得 a1 = 3- 17 2 ,a2 = 3+ 17 2 . ∵线段 MN 与抛物线有交点,∴满足条件的点 M 的横坐标 xM 的取值范围为 3- 17 2 ≤xM≤0 或 3≤xM≤ 3+ 17 2 . 25 参考答案及重难题解析·辽宁数学 抢 分 必 刷 小 卷 3.解:任务一:∵ AB∥x 轴,AB= 5 cm,点 B 为水流所在抛物线的 顶点, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 5,∴ - b 2a = 5,∴ b= -10a. 把点 M(15,0)代入抛物线 y=ax2 +bx+15 中, 整理得 15a+b+1 = 0, 把 b= -10a 代入 15a+b+1 = 0 得 15a-10a+1 = 0, 解得 a= - 1 5 ,∴ b= 2, ∴ 水流所在抛物线的函数解析式为 y= - 1 5 x2 +2x+15; 任务二:水流不能流到圆柱形水杯内. 理由如下: 圆柱形水杯最左端到点 O 的距离是 15-3 = 12(cm), 当 x= 12 时,y= - 1 5 ×122 +2×12+15 = 10. 2, ∵ 11>10. 2,∴ 水流不能流到圆柱形水杯内; 任务三:2+3 5 <OP<8+3 5 . 4.解:(1)5, 21 ,(2, 21 -3); (2)设抛物线的解析式为 y=a(x-4) 2 +2(a≠0), 将点 O(0,0)代入得 16a+2 = 0,解得 a= - 1 8 , ∴ 抛物线的解析式是 y= - 1 8 (x-4) 2 +2, 当 x= 2 时,y= - 1 8 ×(2-4) 2 +2 = - 1 2 +2 = 3 2 ,∴ 点 C 的坐标 为(2, 3 2 ) . ∵ 　 21 -3≠ 3 2 ,∴ 抛物线与圆弧线不同; (3)∵ 　 21 = 84 4 > 　 81 4 = 9 2 , ∴ 　 21 -3> 9 2 -3,即 　 21 -3> 3 2 , ∴ 设计形状应选择圆弧线. 5.解:(1)200;【解法提示】由题可得 v= v0 +at,即 t = v-v0 a ,∵ v0 = 0,v= 360 千米 /时 = 100 米 /秒,a = 0. 5 米 /秒2 ,∴ t = 100-0 0. 5 = 200(秒) . (2)10;【解法提示】由(1)知 v0 = 0,t = 200(秒),a = 0. 5(米 / 秒2 ),∴ s= v0 t+ 1 2 at2 = 1 2 × 0. 5× 2002 = 10 000(米) = 10(千 米) . (3)∵ 加速和减速时间都是 t 秒且加、减速路程都是 d 千米, ∴ 加速和减速的总时间为 2t= 400 秒= 1 9 时, ∴ 匀速行驶的时间为(T- 1 9 )小时,匀速行驶的路程为( x- 20)千米,速度为 360 千米 /时, ∴ T- 1 9 = x -20 360 ,∴ T= 1 360 x+ 1 18 , ∴ 列车全程行驶的时间 T 的表达式为 T= 1 360 x+ 1 18 ; (4)∵ v= 0,v0 = 180 千米 /时= 50 米 /秒,a= -0. 5 米 /秒2 , ∴ t= 0-50 -0. 5 = 100(秒), ∴ s=v0t+ 1 2 at2 =50×100- 1 2 ×0. 5×1002 =2 500(米)= 2. 5(千米), ∵ 2. 5 千米>2 千米,∴ 列车不能安全停车. 6.解:(1)∵ 抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴交于 A( -1,0),B(3,0) 两点, ∴ c-b= 1, c+3b= 9,{ 解得 b= 2, c= 3,{ ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3; (2)存在. 如解图,过点 P 作 PN⊥AB 于点 N,交 BC 于点 M. ∵ B(3,0),由(1)得 C(0,3), ∴ 直线 BC 的解析式为 y= -x+3, ∵ OB=OC,∠BOC= 90°,∴ ∠CBO= 45°, ∵ ∠MNB= 90°,∴ ∠PMQ= ∠NMB= 45°, ∵ PQ⊥BC,∴ △PQM 是等腰直角三角形, ∴ PM= 2PQ,∴ PM 的值最大时,PQ 的值最大, 设 P(m,-m2 +2m+3),则 M(m,-m+3), ∴ PM= -m2 +2m+3-( -m+3)= -m2 +3m, ∵ -1<0,∴ 当 m= 3 2 时,PM 的值最大,PM 的最大值 = - 9 4 + 9 2 = 9 4 , ∴ PQ 的最大值= 2 2 PM= 9 2 8 ,此时 P( 3 2 , 15 4 ); (3)点 M 的横坐标 xM 的取值范围为 3- 17 2 ≤xM ≤0 或 3≤ xM≤ 3+ 17 2 . 【解法提示】设 M(a,-a+3),则 N(a,-a+1), 当点 N 在抛物线上时,-a+1 = -a2 +2a+3, ∴ a2 -3a-2 = 0,解得 a1 = 3- 17 2 ,a2 = 3+ 17 2 . ∵ 线段 MN 与抛物线有交点, ∴ 满足条件的点 M 的横坐标 xM 的取值范围为 3- 17 2 ≤xM ≤0 或 3≤xM≤ 3+ 17 2 . 第 6 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24