针对训练 类型1 新定义函数综合题-【一战成名新中考·5行卷】2025辽宁中考数学·抢分必刷小卷

抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 针对训练 类型 1 　 新定义函数综合题(2024 真卷 23 题、2024 省模考 23 题) 1. 定义:已知一次函数 l1:y = ax+b(a≠0)和一次函数 l2:y =mx+n(m≠0),若函数 l3:y = (ax+b) ·(mx+ n),则称函数 l3 是一次函数 l1,l2 的累积函数. 已知函数 l3 是一次函数 l1:y= 1 2 x+1 与一次函数 l2:y= -x+n 的累积函数. (1)若函数 l3 的图象恰好经过点( -1,0),求函数 l3 的解析式; (2)若函数 l3 的图象顶点为 P,当点 P 的纵坐标最小时,求此时顶点 P 的坐标; (3)当一次函数 l1,l2 的图象与函数 l3 的图象的公共点有且只有三个时,求此时 n 的值. 解:(1)已知函数 l3 是一次函数 l1:y= 1 2 x+1 与一次函数 l2:y=-x+n 的累积函数, 依题意得函数 l3 解析式为 y=( 1 2 x+1)(-x+n), ∵函数 l3 的图象恰好经过点(-1,0),∴0=(- 1 2 +1)(1+n),解得 n=-1, ∴ y=-( 1 2 x+1)(x+1)= - 1 2 x2- 3 2 x-1; (2)∵ y=( 1 2 x+1)(-x+n)= - 1 2 x2+ n 2 x-x+n, ∴对称轴为直线 x=- b 2a =- n 2 -1 2×(- 1 2 ) = n 2 -1, 顶点纵坐标为 y=4ac -b2 4a = 4×(- 1 2 )n-( 1 2 n-1) 2 4×(- 1 2 ) = n 2 8 + n 2 + 1 2 = 1 8 (n+2) 2, ∴当 n=-2 时,y 取得最小值,最小值为 0,则横坐标为- 2 2 -1=-2, ∴当点 P 的纵坐标最小时,此时顶点 P 的坐标为(-2,0); (3)依题意知直线 l1 恒过点(-2,0),l2 恒过点(n,0),l3 恒过点(-2,0)和(n,0),又因为一次函数 l1 和 l2 的 图象与函数 l3 的图象的公共点有且只有 3 个,所以直线 l1,l2 的交点在函数 l3 的图象上, 联立 y= 1 2 x+1, y=-x+n, ì î í ïï ïï 解得 x=2n -2 3 , y=n +2 3 , ì î í ï ï ï ï 代入 y=( 1 2 x+1)(-x+n)得n +2 3 =( 1 2 ×2n-2 3 +1)(-2n -2 3 +n),解得 n=-2 或 n=1. 74 抢分必刷小卷·辽宁数学 二 次 函 数 综 合 题 2. 定义:在平面直角坐标系中,如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的 2 倍,我们称这个点为“友好 点”,例如 A(a,2a)就是“友好点”;若二次函数图象的顶点为“友好点”,则我们称这个二次函数为“友 好二次函数”,例如二次函数 y= (x-1) 2 +2 就是“友好二次函数” . (1)直线 y= 1 2 x+1 上的“友好点”坐标为　 　 　 　 　 　 ; (2)如图,点 A 是反比例函数 y= 8 x (x>0)图象上的“友好点”,点 B 在线段 OA 的延长线上,BC⊥x 轴于 点 C,BC 交反比例函数 y= 8 x (x>0)图象于点 D,若 BC= 6,求点 D 的坐标; (3)若“友好二次函数”y = -x2 +bx+c 的图象与 y 轴的交点是“友好点”,求这个“友好二次函数”的表 达式; (4)若“友好二次函数”y= 1 4 x2 +bx+c 的图象过点( -2,8),且顶点在第一象限,当 m-1≤x≤m 时,这个 “友好二次函数”的最大值与最小值的差为 d,请直接写出 d 关于 m 的函数表达式和自变量 m 的取 值范围. 第 2 题图 解:(1)( 2 3 , 4 3 );【解法提示】依题意知,“友好点”在直线 y=2x 上, 联立得 y=2x, y= 1 2 x+1, ì î í ïï ïï 解得 x= 2 3 , y= 4 3 , ì î í ï ï ï ï ∴直线 y= 1 2 x+1 上的“友好点”坐标为( 2 3 , 4 3 ) . (2)联立得 y=2x, y= 8 x , ì î í ïï ïï 解得 x=2, y=4{ 或 x=-2, y=-4,{ ∵点 A 是反比例函数 y = 8 x (x>0)图象上的“友好点”且在第一象 限,∴点 A 的坐标为(2,4) . 设直线 OA 的解析式为 y=kx,将 A(2,4)代入得 4=2k,解得 k=2,∴直线 OA 的解析式为 y=2x, ∵点 B 在线段 OA 的延长线上,∴点 B 在直线 y=2x 上, 设 B(b,2b),∵BC⊥x 轴于点 C,BC= 6,∴2b = 6,解得 b = 3,∴点 B 的坐标为(3,6),∵BC 交反比例函数 y= 8 x (x>0)图象于点 D,∴点 D 的横坐标为 3,将 x=3 代入 y= 8 x 得 y= 8 3 ,∴D(3, 8 3 ); (3)∵函数 y=-x2+bx+c 是“友好二次函数”,设它的图象顶点为(h,2h),∴ y = -(x-h) 2+2h,∵ “友好二次 函数”y=-(x-h) 2+2h 的图象与 y 轴的交点是“友好点”,∴与 y 轴交点为(0,0),将(0,0)代入 y=-(x-h) 2 +2h 中,得 0=-h2+2h,解得 h1 =0,h2 =2,当 h=0 时,y=-x2;当 h=2 时,y=-(x-2) 2+4=-x2+4x,∴这个“友 好二次函数”的表达式为 y=-x2 或 y=-x2+4x; (4)d= - 1 2 m+ 5 4 (m≤2), 1 4 (m-3) 2(2<m≤ 5 2 ), 1 4 (m-2) 2( 5 2 <m≤3), 1 2 m- 5 4 (m>3) . ì î í ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï 【详解详析见本册 P68】 84 参考答案及重难题解析·辽宁数学 抢 分 必 刷 小 卷 二、通关双压轴 压轴专题一　 二次函数综合题 例　 解:(1)y2 = xy1 = x· 1 2 x= 1 2 x2 ; (2)如解图①,∵ y2 = xy1 = x· 3 x = 3, 设 A(m, 3 m ),B(m,3), ∵ 点 B 在点 A 的上方, 当 AB= 2 时,即 3- 3 m = 2,解得 m= 3. ∴ A(3,1); (3)①∵ y2 = xy1 = x( -x+4)= -x2 +4x, ∴ A(m,-m+4),B(m,-m2 +4m) . 如果点 B 与点 A 重合,那么-m+4 = -m2 +4m. 整理得 m2 -5m+4 = 0, 解得 m= 1 或 m= 4; ②由①可知,直线 y = -x+4 与抛物线 y = -x2 +4x 有两个交点 (1,3)和(4,0), 函数 y2 = -x2 +4x 的图象是开口向下的抛物线,对称轴是直线 x= 2. ∵ BC∥x 轴,∴ B,C 两点关于直线 x= 2 对称. 如解图②,当点 B 在点 C 右侧时, 2<m<4,BC= 2(m-2)= 2m-4, 如解图③,当点 B 在点 C 左侧时, 1<m<2,BC= 2(2-m)= 4-2m, 由点 B 在点 A 的上方, 得 BA= ( -m2 +4m) -( -m+4)= -m2 +5m-4, ∴ 当 2<m<4 时, y= 2[(2m-4) +( -m2 +5m-4)] = -2m2 +14m-16, 当 1<m<2 时, y= 2[(4-2m) +( -m2 +5m-4)] = -2m2 +6m. 综上,y= -2m2 +6m(1<m<2), -2m2 +14m-16(2<m<4);{ 图① 图② 图③ 例题解图 ③t2 -t1 = 4 或 3-2 2 . 【解法提示】情形一:如解图④,如果 EF 和 MN 平行且相等,那这两条平行线间的距离等于两个顶点 之间的竖直高度,或者等于 P、Q 两点间的竖直高度. 当 m= 2 时,y= -2m2 +6m= 4,∴ P(2,4) . 当 m = 4 时,y = - 2m2 + 14m- 16 = 8,∴ Q(4,8) . ∴ t2 -t1 = 8-4 = 4. 情形二,如解图⑤(局部,变形处理), 点 M 是抛物线 y= -2m2 +6m 的顶点. 由 M( 3 2 , 9 2 ),得 N( 7-2 2 2 , 9 2 ), ∴ MN=EF= 7-2 2 2 - 3 2 = 2- 2 , ∴ 点 F 的横坐标 xF = 3 2 +2 - 2 2 = 5 - 2 2 , 于是可得 yF = 3+4 2 2 , ∴ t2 -t1 = yN-yF = 9 2 -3 +4 2 2 = 3-2 2 . 综上,t2 -t1 的值为 4 或 3-2 2 . 图④ 图⑤ 例题解图 1.解:(1)已知函数 l3 是一次函数 l1 :y = 1 2 x+1 与一次函数 l2 : y= -x+n 的累积函数, 依题意得函数 l3 解析式为 y= ( 1 2 x+1)( -x+n), ∵ 函数 l3 的图象恰好经过点( -1,0), ∴ 0 = ( - 1 2 +1)(1+n),解得 n= -1, ∴ y= -( 1 2 x+1)(x+1)= - 1 2 x2 - 3 2 x-1; (2)∵ y= ( 1 2 x+1)( -x+n)= - 1 2 x2 + n 2 x-x+n, ∴ 对称轴为直线 x= - b 2a = - n 2 -1 2×( - 1 2 ) = n 2 -1, 顶点纵坐标为 y = 4ac-b2 4a = 4×( - 1 2 )n-( 1 2 n-1) 2 4×( - 1 2 ) = n 2 8 + n 2 + 1 2 = 1 8 (n+2) 2 , ∴ 当 n= -2 时,y 取得最小值,最小值为 0,则横坐标为- 2 2 -1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 参考答案及重难题解析·辽宁数学 抢 分 必 刷 小 卷 = -2, ∴ 当点 P 的纵坐标最小时,此时顶点 P 的坐标为( -2,0); (3)依题意知直线 l1 恒过点( -2,0),l2 恒过点(n,0),l3 恒过 点( -2,0)和(n,0),又因为一次函数 l1 和 l2 的图象与函数 l3 的图象的公共点有且只有 3 个,所以直线 l1 ,l2 的交点在函数 l3 的图象上, 联立 y= 1 2 x+1, y= -x+n, { 解得 x= 2n-2 3 , y= n+2 3 , ì î í ï ï ï ï 代入 y= ( 1 2 x+1) ( -x+n) 得 n+2 3 = ( 1 2 × 2n -2 3 + 1) ( - 2n-2 3 + n), 解得 n= -2 或 n= 1. 2.解:(1)( 2 3 , 4 3 );【解法提示】依题意知,“友好点”在直线y= 2x 上,联立得 y= 2x, y= 1 2 x+1,{ 解得 x= 2 3 , y= 4 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 y= 1 2 x+1 上的 “友好点”坐标为( 2 3 , 4 3 ) . (2)联立得 y= 2x, y= 8 x ,{ 解得 x= 2,y= 4{ 或 x= -2,y= -4,{ ∵ 点 A 是反比例函数 y= 8 x (x>0)图象上的“友好点”且在第 一象限, ∴ 点 A 的坐标为(2,4) . 设直线 OA 的解析式为 y= kx,将 A(2,4)代入得 4 = 2k, 解得 k= 2, ∴ 直线 OA 的解析式为 y= 2x, ∵ 点 B 在线段 OA 的延长线上, ∴ 点 B 在直线 y= 2x 上, 设 B(b,2b), ∵ BC⊥x 轴于点 C,BC= 6, ∴ 2b= 6,解得 b= 3, ∴ 点 B 的坐标为(3,6), ∵ BC 交反比例函数 y= 8 x (x>0)图象于点 D, ∴ 点 D 的横坐标为 3, 将 x= 3 代入 y= 8 x 得 y= 8 3 ,∴ D(3, 8 3 ); (3)∵ 函数 y= -x2 +bx+c 是“友好二次函数”,设它图象的顶 点为(h,2h), ∴ y= -(x-h) 2 +2h, ∵ “友好二次函数”y= -( x-h) 2 + 2h 的图象与 y 轴的交点是 “友好点”, ∴ 与 y 轴交点为(0,0), 将(0,0)代入 y= -(x-h) 2 +2h 中,得 0 = -h2 +2h, 解得 h1 = 0,h2 = 2, 当 h= 0 时,y= -x2 ; 当 h= 2 时,y= -(x-2) 2 +4 = -x2 +4x, ∴ 这个“友好二次函数”的表达式为 y= -x2 或 y= -x2 +4x; (4)d= - 1 2 m+ 5 4 (m≤2), 1 4 (m-3) 2(2<m≤ 5 2 ), 1 4 (m-2) 2( 5 2 <m≤3), 1 2 m- 5 4 (m>3) . ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 【解法提示】设“友好二次函 数”的解析式为 y= 1 4 (x-h) 2 +2h,且图象过点( -2,8),∴ 8 = 1 4 ( -2-h) 2 +2h,解得 h1 = 2,h2 = -14, ∵ 这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限, ∴ h>0,∴ h= 2,∴ y= 1 4 (x-2) 2 +4, ∵ “友好二次函数”y= 1 4 (x-2) 2 +4, 1 4 >0,图象开口向上,对 称轴为直线 x= 2,顶点坐标为(2,4),当 m≤2 时,m-1≤x≤m 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而减小,∴ 当 x =m 时,函数有最 小值 1 4 (m-2) 2 +4,当 x=m-1 时,函数的最大值为 1 4 (m-1- 2) 2 +4 = 1 4 (m-3) 2 +4,∴ d = 1 4 (m-3) 2 +4- 1 4 (m-2) 2 -4 = 1 4 (5-2m)= - 1 2 m+ 5 4 ; 当 m-1>2,即 m>3 时,在对称轴右侧,y 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x=m-1 时,函数有最小值 1 4 (m-3) 2 +4,当 x =m 时,函 数的最大值为 1 4 (m-2) 2 +4,∴ d= 1 4 (m-2) 2 +4- 1 4 (m-3) 2 -4 = 1 4 (2m-5)= 1 2 m- 5 4 ;当 m- 1≤2≤m 时,当 m-1+m 2 > 2 时,即 m> 5 2 ,此时当 x =m 时,函数的最大值为 1 4 (m- 2) 2 + 4,函数的最小值为 4,∴ d= 1 4 (m-2) 2 ;当 m-1+m 2 <2 时,即 m < 5 2 ,当 x=m-1 时,函数的最大值为 1 4 (m-3) 2 +4,函数的最 小值为 4,∴ d= 1 4 (m-3) 2 , 综上所述,d= - 1 2 m+ 5 4 (m≤2), 1 4 (m-3) 2(2<m≤ 5 2 ), 1 4 (m-2) 2( 5 2 <m≤3), 1 2 m- 5 4 (m>3) . ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14