解答16-21题题组训练(五)-【一战成名新中考·5行卷】2025辽宁中考数学·抢分必刷小卷

抢分必刷小卷·辽宁数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 解 答16 ~ 21 题 题 组 训 练 解答 16 ~ 21 题题组训练(五) 限时:60 分钟 用时:　 　 分钟 满分:50 分 得分:　 　 分 16. (10 分) (1)(5 分) 18 -(π-1) 0 -2cos45°+( 1 2 ) -1; (2)(5 分) 3x-2y= 5, 2x-3y= 6.{ 解:(1)原式=3 2 -1- 2 +2, =2 2 +1; (2) 3x-2y=5①, 2x-3y=6②,{ 由①得 y=3x -5 2 ③, 将③代入②得 2x-3×3x -5 2 =6, 解得 x= 3 5 , 将 x= 3 5 代入③得 y= 3× 3 5 -5 2 =- 8 5 , ∴原方程组的解为 x= 3 5 , y=- 8 5 . ì î í ï ï ï ï 17. (8 分) “文房四宝”即笔、墨、纸、砚,是中国独有的 书法绘画工具,“文房四宝”之名,起源于南北朝 时期. 某中学为了落实“双减”政策,丰富学生的 课后服务活动,开设了书法社团,计划为学生购 买甲、乙两种型号“文房四宝”,经过调查得知: 每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的 价格贵 40 元,买 5 套甲型号和 10 套乙型号共用 1 100 元. (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是 多少; (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共 120 套,总费用不超过 8 500 元,并且根据学 生需求,要求购进乙型号“文房四宝”的数量 必须低于甲型号“文房四宝”数量的 3 倍,问 有几种购买方案? 最低费用是多少? 解:(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是 x 元, 则每套乙型号“文房四宝”的价格是(x-40)元, 由题意可得 5x+10(x-40)= 1 100, 解得 x=100,∴ x-40=60. 答:每套甲型号“文房四宝”的价格是 100 元,每套 乙型号“文房四宝”的价格是 60 元; (2)设需购进乙型号“文房四宝”m 套,则需购进 甲型号“文房四宝”(120-m)套, 由题意可得 100(120-m)+60m≤8 500, m<3(120-m),{ 解得 87. 5≤m<90, 又∵m 为正整数,∴m 可以取值 88,89; ∴共有 2 种购买方案, 方案 1:购进 32 套甲型号“文房四宝”,88 套乙型 号“文房四宝”; 方案 2:购进 31 套甲型号“文房四宝”,89 套乙型 号“文房四宝”; ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的 价格贵 40 元, ∴甲型号“文房四宝”的套数越少,总费用就越低, ∴最低费用是 31×100+89×60=8 440(元) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13 抢分必刷小卷·辽宁数学 解 答16 ~ 21 题 题 组 训 练 18. (8 分) 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况,增 强学生的环保意识,贵阳市某中学对全校七、八 年级 1 500 名学生开展了“垃圾分类,人人有责” 知识测试活动,测试完后,从七、八年级各随机 抽取 20 名学生的测试成绩(满分 100 分)整理 分析如下. 七年级 20 名学生测试成绩统计如下: 78,85,100,86,94,88,94,100,93,88,85,92,91, 96,99,100,100,75,81,75. 八年级 20 名学生测试成绩统计如下: 79,99,88,92,77,97,84,94,94,98,94,89,88, 95,75,100,81,80,96,100. 【整理数据】 按如下分数段整理、描述这两组样本数据: 　 　 组别 年级　 　 75≤x <80 80≤x <85 85≤x <90 90≤x <95 95≤x ≤100 七年级 3 1 a 5 6 八年级 3 3 3 4 b 【分析数据】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差如 下表所示: 年级 众数 中位数 平均数 方差 七年级 100 91. 5 90 65. 6 八年级 94 c 90 62. 4 (1)填空:a= 　 5　 ,b= 　 7　 ,c= 　 93　 ; (2)若规定得分在 90 分及以上为优秀,请估计 全校七、八年级的学生中知识测试成绩为优 秀的学生有多少人; (3)你认为哪个年级的学生知识测试的水平较 好? 请说明理由. 解: (3)从众数来看:七年级成绩为 100 分的人数最 多,八年级成绩为 94 分的人数最多,七年级好于 八年级;从中位数来看:七年级成绩的中位数为 91. 5 分,八年级成绩的中位数为 93 分,八年级好 于七年级;从方差来看:七年级成绩的方差大于八 年级成绩的方差,则八年级成绩更为集中. 言之有 理即可. 19. (8 分) 有甲、乙两个圆柱体的蓄水池,将甲池中的 水以一定的速度注入乙池. 甲、乙两个蓄水池中 水的深度 y(米)与注水时间 x(时)之间的函数 图象如图所示, 其中, 甲蓄水池中水的深度 y(米)与注水时间 x(时)之间的函数关系式为 y= - 2 3 x+2. 结合图象回答下列问题: (1)求出乙蓄水池中水的深度 y(米)与注水时 间 x(时)之间的函数关系式; (2)当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的 体积的 3 倍时,求甲池中水的深度. 第 19 题图 解:(1)设乙蓄水池中 y 与 x 的关系式为 y = kx+b (k≠0),则函数图象经过点(0,1),(3,4), ∴ b=1, 3k+b=4,{ 解得 k=1, b=1,{ ∴乙蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数关 系式为 y=x+1; (2)∵甲蓄水池的水降低 2 米时乙蓄水池的水上 升 3 米, ∴甲、乙两个蓄水池的底面积之比为 3 ∶2, ∴当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积 3 倍时甲、乙两个水池中水的高度的比为 2 ∶9, ∴ x+1= 9 2 (- 2 3 x+2),解得 x=2, 把 x=2 代入 y=- 2 3 x+2 得,y= 2 3 . 答:此时甲池中水深 2 3 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 抢分必刷小卷·辽宁数学 解 答16 ~ 21 题 题 组 训 练 20. (8 分) 单摆是一种能够产生往复摆动的装置,某 兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实 验探究,并撰写实验报告如下. 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球,摆线,支架,摄像机等 实验说明 如图①,在支架的横杆点 O 处用 摆线悬挂一个摆球,将摆球拉高 后松手,摆球开始往复运动. (摆 线的长度变化忽略不计) 如图②,摆球静止时的位置为点 A,拉紧摆线将摆球拉至点 B 处, BD ⊥ OA, ∠BOA = 64°, BD = 20. 5 cm;当摆球运动至点 C 时, ∠COA = 37°,CE⊥OA. (点 O,A, B,C,D,E 在同一平面内) 实验图示 图① 　 　 图② 第 20 题图 解决问题:根据以上信息,求 ED 的长. (结果精 确到 0. 1 cm) 参考数据:sin37°≈0. 60,cos37°≈0. 80,tan37°≈ 0. 75, sin64° ≈ 0. 90, cos64° ≈ 0. 44, tan64° ≈ 2. 05. 解:∵BD⊥OA,∠BOA=64°,BD=20. 5cm, ∴OD= BD tan64° ≈20. 5 2. 05 =10(cm), OB= OD cos64° ≈ 10 0. 44 ≈22. 73(cm), ∴OB=OC=22. 73cm, ∵∠COA=37°,CE⊥OA, ∴OE=OC·cos37°≈22. 73×0. 80≈18. 2(cm), ∴DE=OE-OD=18. 2-10=8. 2(cm), ∴ED 的长约为 8. 2cm. 21. (8 分) 如图,在△ACD 中,点 B 在 AD 边上,且 AB = AC= 15,sin∠CAB= 3 5 . (1)尺规作图:作△ABC 的外接圆☉O;(不要求 写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图形中,若☉O 的直径为 5,CD 所在直线是☉O 的切线,求 DB 的长. 第 21 题图 解:(1)如解图①,☉O 即为所求; (2)如解图②,连接 OC 和 OB,过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 于点 E, 则∠OBC=∠OCB, ∵CD 所在直线是☉O 的切线, ∴∠DCB+∠BCO=90°,即∠DCB=90°-∠BCO, 在△BCO 中,∠COB=180°-2∠OCB, ∴∠CAB= 1 2 ∠COB=90°-∠OCB=∠DCB, ∵∠CDB=∠ADC,∴△CDB∽△ADC, ∴CB AC =DB DC , ∵AB=AC=15,sin∠CAB= 3 5 , ∴CE=9,AE=12,BE=3, 在 Rt△BCE中,CB= BE2+CE2 = 32+92 =3 10, ∴CB AC =DB DC =3 10 15 ,即 DB= 10 5 DC, 在 Rt△DCE 中,CD2 =ED2+CE2, 即 CD2 =( 10 5 DC+3) 2+92, 解得 DC=5 10 (负值舍去), 则 DB= 10 5 DC= 10 5 ×5 10 =10. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 参考答案及重难题解析·辽宁数学 抢 分 必 刷 小 卷 C 组人数:40-4-12-8 = 16 人,补全条形统计图如解图①; 第 18 题解图① (2)B 所对应扇形圆心角的度数为 12 40 ×360° = 108°; (3)画树状图如解图②: 第 18 题解图② 如解图得,所有等可能的情况共有 12 种,其中恰好选中乙 和丁的情况有 2 种, ∴ 恰好选中乙和丁的概率为 2 12 = 1 6 . 19.解:(1)设 y= kx+b(k≠0),代入点(90,5),(120,4), 则 90k+b= 5, 120k+b= 4,{ 解得 k= - 1 30 , b= 8, { ∴ y 关于 x 的函数关系式为 y= - 1 30 x+8; (2)(x-30)( - 1 30 x+8) -200 = 100, 解得 x1 = 90,x2 = 180, ∵ x≤100,∴ x= 90, 答:当年的销售单价为 90 元. 20.解:(1)∵ O′C⊥AC,∴ ∠ACO′= 90°, 在 Rt△ACO′中,∵ ∠CAO′= 37°,O′A=OA= 40 cm, ∴ AC=O′A·cos37°≈40×0. 80 = 32(cm), 答:AC 的长约为 32 cm; (2)过点 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延长线于点 D,如解图, ∵ ∠AOB= 120°,∴ ∠BOD= 60°,∴ ∠OBD= 30°, ∴ OD= 1 2 OB= 20 cm, ∴ BD= OB2 -OD2 = 20 3 ≈34. 6(cm), 在 Rt△ACO′中, O′C=O′A·sin37°≈40×0. 60 = 24(cm), ∴ B′C=O′B′+O′C= 40+24 = 64(cm), ∴ 64-34. 6 = 29. 4(cm), 答:显示屏顶部 B′比原来升高了约 29. 4 cm. 第 20 题解图 21. (1)证明:∵ BC 为☉O 的直径, ∴ ∠BAC= 90°,∴ ∠BAD+∠CAD= 90°. ∵ AD⊥BC,∴ ∠CAD+∠C= 90°,∴ ∠BAD= ∠C. ∵ 点 A 在☉O 上且平分 BE ( , ∴ AB ( =AE ( ,∴ ∠C= ∠ABE, ∴ ∠ABE= ∠BAD,∴ FA=FB; (2)解:如解图,连接 OA,OE, ∵ AD⊥BC,D 为 BO 的中点, ∴ AD 为 OB 的垂直平分线,∴ AB=OA, ∵ OA=OB,∴ OA=OB=AB, 即△OAB 为等边三角形, ∴ ∠AOB= ∠ABO= ∠BAO= 60°. ∴ ∠BAD= 1 2 ∠BAO= 30°,∴ ∠ABE= ∠BAD= 30°, ∴ ∠EBO= ∠ABC-∠ABE= 30°. ∴ ∠EOC= 2∠EBO= 60°. 过点 E 作 EH⊥BC 于点 H,则 OH= 1 2 OE= 2, ∴ EH= OE2 -OH2 = 2 3 . ∴ S阴影 =S△OBE+S扇形EOC = 1 2 OB·EH+ 60π×42 360 = 1 2 × 4× 2 3 + 8 3 π = 4 3 + 8 3 π. 第 21 题解图 解答 16~ 21 题题组训练(五) 16.解:(1)原式= 2 2 +1; (2)原方程组的解为 x= 3 5 , y= - 8 5 . ì î í ï ï ï ï 17.解:(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是 x 元, 则每套乙型号“文房四宝”的价格是(x-40)元, 由题意可得 5x+10(x-40)= 1 100, 解得 x= 100,∴ x-40 = 60. 答:每套甲型号“文房四宝” 的价格是 100 元,每套乙型号 “文房四宝”的价格是 60 元; (2)设需购进乙型号“文房四宝”m 套,则需购进甲型号“文 房四宝”(120-m)套, 由题意可得 100(120-m) +60m≤8 500, m<3(120-m),{ 解得 87. 5≤m<90, 又∵ m 为正整数,∴ m 可以取值 88,89; ∴ 共有 2 种购买方案, 方案 1:购进 32 套甲型号“文房四宝”,88 套乙型号“文房四 宝”; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 参考答案及重难题解析·辽宁数学 抢 分 必 刷 小 卷 方案 2:购进 31 套甲型号“文房四宝”,89 套乙型号“文房四 宝”; ∵ 每套甲型号“文房四宝” 的价格比每套乙型号的价格贵 40 元, ∴ 甲型号“文房四宝”的套数越少,总费用就越低, ∴ 最低费用是 31×100+89×60 = 8 440(元) . 18.解:(1)5,7,93; (2)1 500× 5+6+4+7 40 = 825(人), ∴ 估计全校七、八年级的学生中知识测试成绩优秀的学生 有 825 人; (3)从众数来看:七年级成绩为 100 分的人数最多,八年级 成绩为 94 分的人数最多,七年级好于八年级;从中位数来 看:七年级成绩的中位数为 91. 5 分,八年级成绩的中位数 为 93 分,八年级好于七年级;从方差来看:七年级成绩的方 差大于八年级成绩的方差,则八年级成绩更为集中. 言之有 理即可. 19.解:(1)设乙蓄水池中 y 与 x 的关系式为 y= kx+b(k≠0), ∵ 函数图象经过点(0,1),(3,4), ∴ b= 1, 3k+b= 4,{ 解得 k= 1, b= 1,{ ∴ 乙蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数关系式为 y= x+1; (2)∵ 甲蓄水池的水降低 2 米时乙蓄水池的水上升 3 米, ∴ 甲、乙两个蓄水池的底面积之比为 3 ∶2, ∴ 当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积 3 倍时 甲、乙两个水池中水的高度的比为 2 ∶9, ∴ x+1 = 9 2 ( - 2 3 x+2),解得 x= 2, 把 x= 2 代入 y= - 2 3 x+2 得,y= 2 3 . 答:此时甲池中水深 2 3 米. 20.解:∵ BD⊥OA,∠BOA= 64°,BD= 20. 5cm, ∴ OD= BD tan64° ≈ 20. 5 2. 05 = 10(cm), OB= OD cos64° ≈ 10 0. 44 ≈22. 73(cm),∴ OB=OC= 22. 73cm, ∵ ∠COA= 37°,CE⊥OA, ∴ OE=OC·cos37°≈22. 73×0. 80≈18. 2(cm), ∴ DE=OE-OD= 18. 2-10 = 8. 2(cm), ∴ ED 的长约为 8. 2 cm. 21.解:(1)如解图①,☉O 即为所求; 第 21 题解图① (2)如解图②,连接 OC 和 OB,过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 于 点 E, 第 21 题解图② 则∠OBC= ∠OCB, ∵ CD 所在直线是☉O 的切线,∴ ∠DCB+∠BCO= 90°, 即∠DCB= 90°-∠BCO, 在△BCO 中,∠COB= 180°-2∠OCB, ∴ ∠CAB= 1 2 ∠COB= 90°-∠OCB= ∠DCB, ∵ ∠CDB= ∠ADC,∴ △CDB∽△ADC,∴ CB AC =DB DC , ∵ AB=AC= 15,sin∠CAB= 3 5 ,∴ CE= 9,AE= 12,BE= 3, 在 Rt△BCE 中,CB= BE2 +CE2 = 32 +92 = 3 10 , ∴ CB AC =DB DC = 3 10 15 ,即 DB= 10 5 DC, 在 Rt△DCE 中,CD2 = ED2 +CE2 ,即 CD2 = ( 10 5 DC+ 3) 2 + 92 ,解得 DC= 5 10 (负值舍去), 则 DB= 10 5 DC= 10 5 ×5 10 = 10. 解答 16~ 21 题题组训练(六) 16.解:(1)原式= -6; (2)原方程的解为 x= 15. 17.解:(1)设每份西塔大冷面的利润为 x 元,每份白肉血肠的 利润为 y 元, 由题意得 x+2y= 16, 3x+2y= 24,{ 解得 x= 4, y= 6.{ 答:每份西塔大冷面的利润为 4 元,每份白肉血肠的利润为 6 元; (2)设售出白肉血肠 m 份,则售出西塔大冷面(300-m)份, 由题意可得,4(300-m) +6m≥1 500,解得 m≥150. 答:至少要售出白肉血肠 150 份. 18.解:(1)7;【解法提示】七、八年级参加人数一样,七年级有 7 +4+5+4 = 20(人)参加,则八年级也有 20 人参加,m = 20+20 -17-5-11 = 7. (2)7. 5 分,7 分;【解法提示】八年级得分情况,如下表所示: 成绩 7 分 8 分 9 分 10 分 人数 10 1 2 7 ∴ 八年级成绩的中位数是 7. 5 分,众数是 7 分. (3)七年级成绩的平均数为(7×7+4×8+5×9+4×10) ÷20 = 8. 3(分), 由(2)中表格知,八年级成绩的平均数为(7×10+8×1+9×2+ 10×7) ÷20 = 8. 3(分), 七年级成绩的中位数为 8 分,八年级成绩的中位数为 7. 5 分, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73