8.1.1条件概率（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册)

8.1.1条件概率 题型一 计算条件概率 1.袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是  （    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 2.一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（    ） A． B． C． D． 3.某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二 条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式 1.已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 2.(多选）已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（    ） A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则 C．若，则 D．若，则 3.现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）． 题型三 计算条件概率、利用全概率公式求概率 1.设某公路上经过的汽车不是货车就是客车，且货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 2.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ） A． B． C． D． 3.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（    ） A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215 题型四 利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 1.已知A,B是两个随机事件,,,则下列命题中错误的是（    ） A．若A包含于B,则 B．若A,B是对立事件,则 C．若A,B是互斥事件,则 D．若A,B相互独立,则 2.若，，则（    ） A． B． C． D． 3.甲、乙两名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，已知两人的命中率分别为和0.6，若已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为0.8，则（    ） A． B． C． D． 1.某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在男主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（   ） A． B． C． D． 2.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 3.掷一个均匀的骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为（    ） A． B． C． D． 4.设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5.小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 6.已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 7.知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 8.2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（    ） A． B． C． D． 9.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2）2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 10.赣南脐橙是江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三的城市.已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占比分别为，，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为，，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为（    ） A． B． C． D． 11.小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东凤凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（    ） A． B． C． D． 12.先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“为奇数”，事件B=“，满足”，则概率（    ） A． B． C． D． 13.袋子中有大小和材质完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球，甲、乙两人先后从中不放回各随机摸出1个球，则乙摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1.1条件概率 题型一 计算条件概率 1.袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是  （    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概型的知识求得正确答案. 【详解】依题意，在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是. 故选：B 2.一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”， 则，， 则． 故选：A． 3.某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率 【分析】求出有一名主任医生被选派以及两名主任医师都被选派的概率，根据条件概率的计算公式即可求得答案. 【详解】记“选派3名男医生和2名女医生，有主任医生被选派”为事件A， 则， 记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B, 则， 故选：D 题型二 条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式 1.已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【答案】A 【知识点】条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的定义可得. 【详解】相互独立，， ． 故选：A. 2.(多选）已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（    ） A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式 【分析】利用条件概率公式及独立事件的定义逐项分析即得. 【详解】因为随机事件A，B发生的概率分别为， 对于A，因为，所以A，B相互独立，故A正确； 对于B，若A，B相互独立，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：ABC 3.现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）． 【答案】0.55 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式、利用贝叶斯公式求概率 【分析】由贝叶斯公式计算即可. 【详解】由题意可得，，， 所以， . 即评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率约为0.55. 题型三 计算条件概率、利用全概率公式求概率 1.设某公路上经过的汽车不是货车就是客车，且货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】先用全概率公式计算中途有车修理的概率，再用贝叶斯公式求这个条件概率即可. 【详解】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，则 设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，表示汽车中途停车修理， 则 由全概率公式得 ∴今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为: 故选：C. 2.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解. 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 则， ， 故， 故. 故选：D 3.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（    ） A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215 【答案】A 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解． 【详解】解：记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知，，，， 因此． 故选：A． 题型四 利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 1.已知A,B是两个随机事件,,,则下列命题中错误的是（    ） A．若A包含于B,则 B．若A,B是对立事件,则 C．若A,B是互斥事件,则 D．若A,B相互独立,则 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念,判断之间的关系，进而判断选项的正误. 【详解】解:关于选项A,因为A包含于B,所以, 则, 故选项A正确, 关于选项B,因为A,B是对立事件,所以 所以, 故选项B错误, 关于选项C,因为A,B是互斥事件,所以 所以, 故选项C正确, 关于选项D,因为A,B相互独立,所以 所以, 故选项D正确. 故选:B 2.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据对立事件概率公式和条件概率公式求得结果； 【详解】， 又，则； 故选：C. 3.甲、乙两名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，已知两人的命中率分别为和0.6，若已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为0.8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】运用对立事件的概率公式求出，再结合条件概率计算即可. 【详解】记“甲击中”为事件，“乙击中”为事件，“目标被击中”为事件， 则， 已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为 ，解得． 故选：C. 1.某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在男主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率 【分析】 根据组合数的计算以及条件概率的计算求得正确答案. 【详解】在男主任医师被选派的条件下， 两名主任医师都被选派的概率为. 故选：C 2.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“四月份吹东风”，事件为“四月份下雨”，则 ， 所以， 故选：A 3.掷一个均匀的骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据已知列出事件和事件的结果，求出，，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】掷一个均匀的骰子，有，，，，，共种结果， 事件包含点数为，共种结果，所以； 事件包含点数为共种结果，所以， 所以． 故选：D 4.设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、计算条件概率 【分析】根据给定条件，可得，利用概率的基本性质、条件概率公式逐项判断作答. 【详解】因为事件B发生时A必定发生，于是，则，，AD错误； ，，B错误，C正确. 故选：C 5.小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】由条件概率公式求解即可 【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件， 则由题意可得， 则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下， 第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为． 故选：． 6.已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率性质，逐个判断. 【详解】由，故选项A错误，选项B正确； 若A、独立，则，，故选项C正确； 若A、互斥，则，，故选项D正确. 故选：A. 7.知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、计算条件概率 【分析】解法一：设出事件，求出事件包含的基本事件数，根据条件概率公式进行求解； 解法二：根据题意得到在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从而求出相应的概率. 【详解】解法一：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B， 则，， 所以. 解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球， 从中任取一球，取到黑球的概率为． 故选：D 8.2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、计算条件概率 【分析】设出事件，求出既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃的概率，从而利用条件概率公式求出答案. 【详解】设喜欢吃肠旺面设为事件，喜欢吃丝娃娃设为事件， 喜欢肠旺面或丝娃娃为事件，既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃为， 由题意知，， 从而， 因此由条件概率的公式得. 故选：B. 9.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2）2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球， 设第一次摸到红球为事件，则， 设两次都摸到红球为事件，则， 则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为. 故选：A. 10.赣南脐橙是江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三的城市.已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占比分别为，，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为，，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式即可求解 【详解】设“甲果园提供赣南脐橙”为事件A，“乙果园提供赣南脐橙”为事件B，“赣南脐橙为优品”为事件C， 则由题意得，，，， 由全概率公式得， 故选：B. 11.小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东凤凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】先计算事件的概率，再利用条件概率计算即可. 【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即， 所以， 而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则， 所以. 故选：D 12.先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“为奇数”，事件B=“，满足”，则概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】先利用古典概率公式，求出，，再利用条件概率公式即可求出结果. 【详解】用表示第1次掷骰子得到的点数为，第2次掷骰子得到的点数为，掷两次骰子，基本事件的个数为：， 因为事件A=“为奇数”， 事件B=“，满足”， 记事件“为奇数，且”，所以事件包含的基本事件个数为：，事件包含的基本事件个数为：， 根据古典概率公式知， ，， 由条件概率公式知，， 故选：B. 13.袋子中有大小和材质完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球，甲、乙两人先后从中不放回各随机摸出1个球，则乙摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】乙摸到红球的情况有两种：甲摸到红球，乙摸到红球；甲摸到白球，乙摸到红球，再由互斥事件的概率公式求得结果. 【详解】袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球､3个白球， 甲乙先后从中不放回地各随机摸出1个球，乙摸到红球的情况有两种： 甲摸到红球，乙摸到红球，概率为：， 甲摸到白球，乙摸到红球，概率为：， 所以乙摸到红球的概率为． 故选：A 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$