9.2独立性检验课件（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册)

9.2独立性检验课件 主讲： 苏教版2019选择性必修第二册 第9章 统计 苏教版2019选择性必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.独立性检验的基本思想和方法。 2.列联表的构造和卡方统计量的计算。 3.运用独立性检验的方法，对两个分类变量之间是否有关系进行判断。 难点 3 1.透彻理解独立性检验的基本思想，通过卡方统计量来判断两个分类变量之间是否有关系。 2.正确计算卡方统计量，避免计算错误和逻辑错误。 1.使学生理解独立性检验的基本思想和方法，掌握其步骤和应用。 2.学生能够熟练运用独立性检验的方法，对两个分类变量之间是否有关系进行判断。 3.学生能够根据实际问题，正确地构造列联表，并计算卡方统计量。 新课导入 新课导入 情景1. 下表是对吸烟和不吸烟的人中患肺癌的调查数据, 你能从中分析吸烟对患肺癌的影响程度吗? 患肺癌 不患肺癌 总计 吸烟 37 183 220 不吸烟 21 274 295 总计 58 457 515 (答) 由如上的列联表分析:在不吸烟的样本中, 有≈7.12 % 的人患肺癌; 在吸烟的样本中, 有≈16.82 % 的人患肺癌. 由此推断, 吸烟群体比不吸烟群体患肺癌的可能性大. 新课导入 新课导入 新课讲授 新课讲授 问题2：上述结论给我们的印象是患病与吸烟有关，事实果真如此吗？究竟能有多大的把握认为“患病与吸烟有关”呢？ 若将事件“某成年人吸烟”记为A，事件“某成年 人患病”记为B，则事件“某成年人不吸烟”记为 ，事件“某成年人不患病”记为 ，这样，回答 “患病与吸烟是否有关？”其实就是需要回答“ 事件A与事件B是否独立？” 为了回答这个问题，我们先做出判断“患病与吸烟没有关系”，即提出如下假设 H0：患病与吸烟没有关系。 由两个事件相互独立的充要条件，又可将上述假设记为 H0：P(AB)＝P(A)P(B) 新课讲授 H0：P(AB)＝P(A)P(B) 这里的P(A)，P(B)和P(AB)的值都不知道，我们可以用频率来代替概率，估计出P(A)，P(B)和P(AB)的值。 为了便于研究一般情况，我们将原表中的数据用字母代替，得到字母表示的2×2列联表， 患病 未患病 合计 吸烟 a b a＋b 不吸烟 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 若设n＝a＋b＋c＋d，则有 故 新课讲授 新课讲授 因此在H0成立的条件下，吸烟且患病的人数为 同理可得：吸烟但未患病的人数为 不吸烟但患病的人数为 不吸烟且未患病的人数为 患病 未患病 合计 吸烟 a b a＋b 不吸烟 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 新课讲授 新课讲授 计算实际观测值与在事件A，B独立的假设下的估计值的差(如下表)： 患病 未患病 吸 烟 不吸烟 为了避免正负相消及消除样本容量对差异大小的影响，可以将它们分别平方并处以对应的估计频数(即估计值)，最后相加，得到 新课讲授 新课讲授 化简得 (其中n＝a＋b＋c＋d) 统计学中通常采用统计量χ2(读作“卡方”)来刻画这个差异。 新课讲授 新课讲授 问题3：如何根据χ2统计量进行推断呢？ 新课讲授 新课讲授 新课讲授 新课讲授   合计 a b a+b c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d=n 独立性检验 新课讲授 新课讲授 卡方临界值表： 新课讲授 新课讲授 统计学对随机变量χ2的概率有明确的结论：在H0成立的情况下，随机事件“χ2≥ 6.635”发生的概率约为0.01，即 P(χ2≥ 6.635)≈0.01 也就是说，在H0成立的情况下，对统计量χ2进行多次观测，观测值超过6.635的概率约为0.01。 情境1中能有多大的把握认为“患病与吸烟有关” 呢？ 通过计算，本例中χ2 ＝11.8634＞10.828”，由P(χ2≥ 10.828)≈0.001可知，在H0成立的情况下，出现这样的观测值χ2的概率不超过0.001，因此，我们有99.9%的把握认为H0不成立，即有99.9%的把握认为“患呼吸道疾病与吸烟有关系”。 新课讲授 新课讲授 新课讲授 典例分析 例1　在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如下表所示．问：该种血清对预防感冒是否有作用？   未感冒 感冒 合计 使用血清 258 242 500 未使用血清 216 284 500 合计 474 526 1 000 新课讲授 典例分析 (1)该种血清对预防感冒是否有作用？ (2)是否有99.9%的把握认为该种血清对预防感冒有作用？ (3)能否在错误率不超过0.001的前提下，认为该种血清对预防感冒有作用？ 新课讲授 典例分析 新课讲授 典例分析 例2　为研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效果(有效与无效)是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如下表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否有做出药的效果与给药方式有关的结论？   有效 无效 合计 口服 58 40 98 注射 64 31 95 合计 122 71 193 新课讲授 典例分析 (1)能否做出药的效果与给药方式有关的结论？ (2)有多大的把握认为药的效果与给药方式有关？ (3)有90%的把握认为药的效果与给药方式有关吗？ (4)在错误率不超过0.01的前提下，分析该种血清对预防感冒是否有作用？ 新课讲授 典例分析 新课讲授 学以致用 答案 新课讲授 学以致用 解析 新课讲授 学以致用 则 (　　) A．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关” B．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关” C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关” D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关” 【解析】 α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 xα 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 C　 新课讲授 学以致用 3．假设有两个变量x与y的2×2列联表如下表：   对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为 (　　) A．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50 B．a＝50，b＝30，c＝30，d＝40 C．a＝30，b＝60，c＝20，d＝50 D．a＝50，b＝30，c＝40，d＝30 B　 对于A，|ad－bc|＝200； 对于B，|ad－bc|＝1 100；对于C，|ad－bc|＝300； 对于D，|ad－bc|＝300； 显然B中|ad－bc|最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大． 【解析】   y1 y2 x1 a b x2 c d 新课讲授 学以致用 A．120 B．160 C．240 D．260 新课讲授 学以致用 设男、女生人数均为n，可得如下2×2列联表： 【解析】 因为n为6的倍数，则2n为12的倍数，故C选项符合题意． 【答案】C 新课讲授 学以致用 答案 新课讲授 学以致用 解析 新课讲授 学以致用 解析 新课讲授 学以致用 7， 多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的) ,某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出零假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列表述中不正确的是 (　　) A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒 C．这种血清预防感冒的有效率为95% D．这种血清预防感冒的有效率为5% 新课讲授 学以致用 根据查对临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故A正确； 95%仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故B，C，D不正确． 【解析】 【答案】BCD 新课讲授 学以致用 答案 新课讲授 学以致用 新课讲授 学以致用 9．长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植．在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下2×2列联表(单位：份)，其中40≤a≤50且a∈N*. 注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一．根据现行国家标准规定，马克隆值可分为A，B，C三个级别，A级品质最好，B级为标准级，C级品质最差． 新课讲授 学以致用 当a＝a0时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则a0的最小值为________． 46　 【解析】   A级或B级 C级 合计 甲地 a 50－a 50 乙地 80－a a－30 50 合计 80 20 100 新课讲授 学以致用 10．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．已知第x天的报名人数为y，则y关于x的经验回归方程为____________，该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下2×2列联表： 新课讲授 学以致用 请根据上面的列联表，在概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别________关系”(填“有”或“无”).   有兴趣 无兴趣 合计 男生 45 5 50 女生 30 20 50 合计 75 25 100 新课讲授 学以致用 【解析】 【答案】 有　 新课讲授 学以致用 四、 解答题(让规范成为一种习惯) 11．某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，随机抽取100名男生和100名女生的竞赛成绩(满分100分)，统计如下表： 分数段 [20，40) [40，60) [60，80) [80，100] 男生人数 26 24 30 20 女生人数 20 20 36 24 新课讲授 学以致用 【解答】 新课讲授 学以致用 11．某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，随机抽取100名男生和100名女生的竞赛成绩(满分100分)，统计如下表： 分数段 [20，40) [40，60) [60，80) [80，100] 男生人数 26 24 30 20 女生人数 20 20 36 24 新课讲授 学以致用 (2) 学校规定竞赛成绩不低于60分为优秀，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为男生和女生对冬奥会知识的了解程度有差异．   非优秀 优秀 合计 男生       女生       合计     200 新课讲授 学以致用 2×2列联表如下： 【解答】   非优秀 优秀 合计 男生 50 50 100 女生 40 60 100 合计 90 110 200 课堂小结 新课讲授 课堂小结 3、卡方临界值表： 2、卡方公式： 课堂小结 主讲： 苏教版2019选择性必修第二册 感谢聆听 问题1：吸烟会影响到烟民的寿命吗？“吸烟有害健康”，这是我们很熟悉的常识，因此我们很自然地认为，吸烟会减损人的寿命，然而也有很多例外．一个吸烟而且长寿的人的例子能说明吸烟对人的健康没有影响吗？为什么？ 问题2：某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调査，共调査了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调査结果是：吸烟的220人中，有37人患呼吸道疾病（以下简称患病），183人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）；不吸烟的295人中，有21人患病，274人未患病． 根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？ （１）若观测值 ，则有 的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； （２）若观测值 ，则有 的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； （３）若观测值 ，则有 的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； （４））若观测值 ，则认为没有充分证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”， 但也不能作出结论“ 成立”，即不能认为Ⅰ与Ⅱ没有关系． 1．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 y1 y2 合计 x1 10 18 28 x2 m 26 m＋26 合计 m＋10 44 m＋54 则当整数m取________时，X与Y的关系最弱．(　　) A．8 B．9 C．14 D．19 解析　在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱． 2．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人进行独立性检验，经计算得χ2＝≈5.879，临界值表如下： 由题意可知，χ2＝≈5.879>5.024，所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”． 4．某校为了解学生对餐厅食品质量的态度(满意或不满意)，对在餐厅就餐的学生随机做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，有的男生态度是“不满意”，有的女生态度是“不满意”，若有99%的把握认为男生和女生对餐厅食品质量的态度有差异，则调查的总人数可能为 (　　) 对餐厅食品质量满意 对餐厅食品质量不满意 合计 男生 n 女生 n 合计 2n 由题意可得χ2＝＝，因为P(χ2≥6.635)＝0.01，所以≥6.635，所以n≥89.572 5，则2n≥179.145. 5.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为(　　) 附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 A．90%　　　　　B．95%　　　　　C．99%　　　　D．99.9% 解析　根据列联表中数据，计算χ2＝eq \f(30×（4×2－8×16）2,12×18×20×10)＝10＞6.635，可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为99%.故选C. 6．假设有两个变量x与y的2×2列联表如下： y1 y2 x1 a b x2 c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为(　　) A．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50 B．a＝50，b＝30，c＝30，d＝40 C．a＝30，b＝60，c＝20，d＝50 D．a＝50，b＝30，c＝40，d＝30 解析　对于A，|ad－bc|＝200；对于B，|ad－bc|＝1100；对于C，|ad－bc|＝300；对于D，|ad－bc|＝300，显然B中|ad－bc|最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大． 8．针对短视频热，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m(m∈N*)，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的eq \f(4,5)，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的eq \f(3,5).零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为(　　) 附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）). α 0.05 0.01 xα 3.841 6.635 A．7　　　　　　B．8　　　　　　C．9　　　　　　D．10 解析　根据题意，不妨设a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，于是χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq \f(10m·（5m2）2,5m·5m·7m·3m)＝eq \f(10m,21)，由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知eq \f(10m,21)≥3.841，解得m≥8.0661，于是m的最小值为9. 依题意，χ2≥6.635，即≥6.635，(100a－4 000)2≥265 400，(10a－400)2≥2 654，由于40≤a≤50且a∈N*，10a－400≥，a≥≈46，所以a0的最小值为46. 由题意，得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(3＋6＋10＋13＋18)＝10，所以＝＝＝＝3.7，＝－＝10－3.7×3＝－1.1，所以y关于x的经验回归方程为＝3.7x－1.1. 由列联表数据可得χ2＝＝12>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”． ＝3.7x－1.1 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.1＝2.706. (1) 分别估计男生和女生竞赛成绩的平均分1和2(同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表)； 男生的竞赛成绩的平均分估计为1＝30×0.26＋50×0.24＋70×0.30＋90×0.20＝58.8， 女生的竞赛成绩的平均分估计为2＝30×0.20＋50×0.20＋70×0.36＋90×0.24＝62.8. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.1＝2.706. 零假设为H0: 男生和女生对冬奥会知识的了解程度无差异，根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝≈2.020<2.706＝x0.1 ，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们没有充分的证据认为H0不成立，故没有足够的把握认为男生和女生对冬奥会知识的了解程度有差异． 独立性检验的基本思想 原假设：两个分类变量之间没有关系 备择假设：两个分类变量之间有关系 卡方统计量： 意义：通过卡方统计量的值判断两个分类变量之间是否有关系 列联表的构造 行表示一个分类变量的类别 列表示另一个分类变量的类别 单元格中的数据表示频数 3.卡方统计量的计算 计算公式： 计算步骤： 构造列联表 计算期望频数 计算卡方统计量 根据卡方统计量的值判断两个分类变量之间是否有关系 $$