专题03 几何图形压轴题8大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题03 几何图形压轴题 题型概览 题型01利用角平分线构造全等 题型02倍长中线构造全等 题型03一线三垂直构造全等 题型04几何图形中求角的问题 题型05全等三角形的新定义题型 题型06含半角模型构造全等 题型07手拉手模型构造全等 题型08平行线的综合压轴题 利用角平分线构造全等题型01 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动：探究利用角平分线的对称性构造全等三角形解决问题． (1)如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形.方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点C，连接，，则的依据是______； (2)如图2，在中，，，和是的角平分线，，相交于点F ①的度数为______； ②求证：； (3)如图3，在中，，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，请判断和的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）【方法回顾】 在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 （1）如图1，正方形是由长为，宽为的4个全等小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系； 【方法迁移】 （2）如图2，长方形是由8个长为，宽为的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是三条角平分线的交点，求点到边的距离． 倍长中线构造全等题型02 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由． 下面起两位同学的做法： 如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接； 如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长． 5．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 7．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 一线三垂直构造全等题型03 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】阅读下面的证明过程： 如图1．，和都是直角三角形．直角顶点都在直线l上．，其中，则有∶． 理由∶ ∵． ∴，． ∴． 又∵，． ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何常见图形组合，我们可以把它作为解题经验，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更高阶的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： 【类比分析】 如图2．在中．，．点D是线段上一点， 连接．过点B作交于点E， 过点C作交延长线于点F． (1)请说明∶； (2)如图3，取中点点M，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，连接，如图4，当E是中点时，三角形的面积是，求的长． 9．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 10．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 11．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）问题情境： 已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧． （）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______． 探究证明： （）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）探索发现：如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，直接写出与的数量关系 （2）阅读分析：小鹏遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系． 小鹏利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决． 图2中的、、三条线段之间的数量关系为___________，并说明理由． （3）类比探究：如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且． ①全等的两个三角形为___________； ②若，的面积为2，直接写出的面积．    13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，则与的数量关系是__________．如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过A作于D，过B作于，，，则的长___________； (2)【变式运用】如图3，在中，，，．求． (3)【拓展迁移】如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 几何图形中求角的问题题型04 16．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）阅读理解：在数学兴趣小组活动中，小芳同学遇到了如下问题： （1）如图1，已知平面内的3条射线，反向延长，得到图2，若，判断和的数量关系． 经过小组同学们的观察，思考，交流，对上面的问题形成了如下想法：由于和互补，可以通过探究与的关系，从而得到和的数量关系……根据以上分析过程，请写出和的数量关系：_________． （2）将图1中的反向延长，得到图3，若，请写出图中一对相等的角____________； （3）如图4，在中，，点D，点E分别在边上，过点B作的平行线交的延长线于点F．若，请说明； 拓展应用： （4）如图5，在中，，点D为边上一点，连接，．若，，求的长．（用含a的代数式表示） 17．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 18．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．    【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．    【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）综合与探究  小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，点A，B分别在，上运动（不与点O重合）．探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D．    (1)①若，则________°；②猜想：的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，若，，求的度数． (3)在图1的基础上，如果，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图3），________（用含的代数式表示） 全等三角形的新定义题型题型05 20．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长线于点，猜想与的数量关系并说明理由． 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，点D、E分别在边上，连接交于点F，，且．试说明．    【问题探究】小明经探究发现： 如图2，在上取一点G（不与E点重合），使，连接，从而可证，使问题得到解决． （1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程 【问题拓展】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题： （2）如图3，在等腰中，，点E在直线上，延长到D，延长到F，使得，连接．点M是上一点，连接交于点H，过点E作交于点G，延长到点N，连接，使得．试说明与全等． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，当最长时，求的长． 含半角模型构造全等题型06 23．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 手拉手模型构造全等题型07 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． （1）如果，： ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为_____________，数量关系为_____________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如图3，如果，，点D在线段上运动、探究：当等于多少度时，？请说明理由． 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，学生在探索三角形全等条件时，小明提出：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等． 【验证】同学们通过讨论，利用作图的方法对这种说法进行了判断： 如图①，已知：线段，，，且.若，则在图中可以作出两个符合条件的点，记作，，由此说明小明的说法是错误的． （1）请利用直尺和圆规在图①中画出点，，并连接，（不写作法）； 【发现】（2）小红发现，是______三角形（按照三角形的分类直接填空）； 【应用】为了让学生更好的理解小红的发现，老师设置了这样一个问题： 已知：如图②，在中，，，过点作直线，点为射线上任意一点（不与点重合），连接，过点作交直线于点；求证：（提示：可作辅助线在中构造出与全等的三角形）． （3）写出证明过程： 【拓展】如图③，在中，，，，，过点作交的平分线于点． （4）请直接写出线段的长． 平行线的综合压轴题题型08 26．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，张老师提出如下问题，如图1，三角形和，，，求证：． ①小创同学从“内错角相等，两直线平行”出发，延长交于点，将问题转化为证明． ②小新同学从“同旁内角互补，两直线平行”出发，连接，将问题转化为证． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；也可以利用图1用不同于上面两位同学的方法进行解答． 【变式探究】 （2）张老师发现之前两名同学都是在两条平行线间搭建“截线”，将问题转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师接着提出如下问题，请你解答． 如图4，，点，分别在直线和上，，点在上，，平分，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图5，，平分，，．若平面内有一点，且，，请用含有的式子直接写出的度数． 27．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系． ①小红的做法是：如图2，过点作． ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图，直线，点在，之间，点在下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 图4 28．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】（1）如图1，，，，若，，求的值． 【变式探究】（2）①如图2，，，，若，，求的值； ②若在图2中，，与为任意锐角，，，的值是否会改变？如果改变，求出新的结果；如果不改变，请给予证明． 【拓展延伸】（3）如图3，，与为锐角，，（n为整数，），直接写出的值． 30．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 31．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，已知，，求的度数． （2）如图2，，点P在的上方，问之间有何数量关系？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，，的平分线和的平分线交点G，求的度数． 32．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，点分别是上的两点，点在之间，连接．              图1                  图2                      图3 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，点是下方一点，平分，平分．若，求的度数； (3)如图3，点是上方一点，连接，且的延长线平分，平分．若，则的度数为______． 33．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，直线AD、BC相交于点O，∠DCP∠BCP＝α，∠B＝3α． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝2∠DCP，求∠AOC的度数（用含α的式子表示）； （3）如图2，若点M在线段AB上，连接OM，作∠OMB的平分线MN交CP于点N，若∠BCD＝n∠MNC，求的值（用含n的式子表示）． 34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，点D是的边AB上一点，过点D作直线，是的平分线，以点D为端点作线段，连接．    (1)在图1中，若是的平分线，试探究：与的数量关系； (2)如图2，若是的平分线，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由； (3)如图3，若是的平分线，，请求出的度数． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程）    【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 几何图形压轴题 题型概览 题型01利用角平分线构造全等 题型02三角形的三边关系 题型03中垂线与三角形 题型04垂直的定义与垂线段 题型05平行线的性质与判定 题型06过拐点作平行 题型07角平分线的性质 题型08三角形的面积 题型09图形的折叠 题型10三角板的应用 题型11三角形的全等 题型12压轴小题 利用角平分线构造全等题型01 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动：探究利用角平分线的对称性构造全等三角形解决问题． (1)如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形.方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点C，连接，，则的依据是______； (2)如图2，在中，，，和是的角平分线，，相交于点F ①的度数为______； ②求证：； (3)如图3，在中，，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，请判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)① 60；② 证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可得答案； （2）① 利用角平分线的定义及三角形外角的性质求解；② 在上取点G，使得，先证，推出，，再证，推出，即可证明； （3）在的延长线上取点E，使得，先证，推出，，等量代换可得，进而可得，设，则，进而可得． 【详解】（1）解：由题意知，在和中， ， 故答案为：； （2）解：① ，，和是的角平分线， ，， ， 故答案为：60； 如图，在上取点G，使得， 在和中， ， ，， ， 又， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，在的延长线上取点E，使得， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等，能够利用角平分线的对称性构造全等三角形是解题的关键． 2．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）①；②，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． （1）根据是的平分线，得出，根据“”即可证明； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N，根据是的平分线得出，再结合，根据“”即可证明； （3）①如图，根据，．得出，再根据、分别是和的平分线，得出，．根据三角形内角和定理即可求出，即可求解； ②如图，在上截取，连接．证明，得出，，即可得．，再证明，即可得出，． 【详解】解：（1）∵是的平分线， ， 在和中 ， ∴； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N， 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； （3）解：①如图， ∵，． ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，． ∴， ∴． ②．理由如下：（答案不唯一） 如图，在上截取，连接． ∵是的平分线， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）【方法回顾】 在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 （1）如图1，正方形是由长为，宽为的4个全等小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系； 【方法迁移】 （2）如图2，长方形是由8个长为，宽为的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是三条角平分线的交点，求点到边的距离． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）2 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，三角形面积的计算，角平分线的性质，解题的关键是数形结合熟练掌握整式混合运算法则． （1）根据正方形的面积公式和大正方形可以看作四个长方形和中间一个小正方形面积之和，得出等量关系即可； （2）①用两种方法表示长方形的面积，得出等式，即可得出a，b之间的数量关系； ②根据长方形的宽得出，结合，求出a、b的值，然后得出小长方形的面积即可； （3）设点到边的距离为h，根据点P是三条角平分线的交点，得出点P到边的距离为h，到边的距离为h，求出，根据得出，求出h即可． 【详解】解：（1）大正方形的边长为：，面积为；小正方形的边长为，面积为，4个长方形的面积之和为， ∴； （2）①∵长方形的面积为：，小长方形面积为， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴小长方形的面积为； （3）设点到边的距离为h， ∵点P是三条角平分线的交点， ∴点P到边的距离，到边的距离都等于点到边的距离， 即点P到边的距离为h，到边的距离为h， ∵在中，， ∴， ∵ ， ∴， 解得：， 即点到边的距离为2． 倍长中线构造全等题型02 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由． 下面起两位同学的做法： 如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接； 如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长． 【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）小美同学的解题思路，延长至G，使连接，根据全等三角形的性质得到求得得到根据平行线的性质得到根据角平分线的定义得到平分；小丽同学的解题思路，延长至G，使，连接，根据全等三角形的性质，得到，求得，根据平行线的性质得到， 根据角平分线的定义得到平分； （2）延长到F，使，连接，根据全等三角形的性质得，求得，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）延长至G，使，连接，如图5所示：根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定与性质以及角平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）①小美同学的解题思路， 延长至G，使连接，如图： 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②小丽同学的解题思路， 延长至G，使，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2），理由如下： 延长到F，使，连接，如图： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）延长至G，使，连接，如图： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ． 5．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形． （1）①根据题意补全图形即可； ②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此； （2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意画出图形： ； ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 7．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法的理解与应用，熟练掌握倍长中线法证明三角形全等是解题的关键： [方法初探]延长至点E，使，连接，利用证明即可； [问题解决]延长至点G，使，连接，同理可证，得到，，再证明，得到即可推出． 【详解】解：[方法初探]延长至点E，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， 故答案为； [问题解决]，理由如下： 证明：延长至点G，使，连接， 同理可证， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴． 一线三垂直构造全等题型03 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】阅读下面的证明过程： 如图1．，和都是直角三角形．直角顶点都在直线l上．，其中，则有∶． 理由∶ ∵． ∴，． ∴． 又∵，． ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何常见图形组合，我们可以把它作为解题经验，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更高阶的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： 【类比分析】 如图2．在中．，．点D是线段上一点， 连接．过点B作交于点E， 过点C作交延长线于点F． (1)请说明∶； (2)如图3，取中点点M，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，连接，如图4，当E是中点时，三角形的面积是，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)3 【分析】（1）由，得，又，，即可得出结论； （2）连，过M作，，证明，再证明，故，即可得出答案； （3）由得，，延长交延长线于N，证明和是等腰直角三角形，得，在证，得，,,根据三角形面积得，得，即可得出答案． 【详解】（1）证明∶ ， ， ， ， ， ． ． ， ， 又 ． （2）连，过M作，， M是中点， ， ， 在和中 ， ， ， （3） 由得，， E为中点， ， ， 延长交延长线于N， ，， ， ,, 和是等腰直角三角形， , 在和中 ， ，,, 面积为18， ， , ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键． 9．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，再证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据条件证明即可得解； （3）根据等边三角形的判定证明即可； 【详解】解：（1）， 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为； （2）结论成立； 理由如下：∵，， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴； （3）为等边三角形， 理由：由（2）得，， ∴，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，结合三角形全等证明、等边三角形的判定是解题的关键． 11．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）问题情境： 已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧． （）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______． 探究证明： （）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）；． 【分析】（）由余角性质可得，进而由即可证明，得到，进而得到，，据此可得； （）过点作于点，如图，同理（）可得，得到，由等腰三角形三线合一得到，即得； （）如图，作于点，作，作于点，作于点，可得四边形和四边形是长方形，得到，，同理（）可得，，得到，，即得，进而得到；如图，作于点，同理（）得到，，即得，，进而可得； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：，； （）， 理由如下： 过点作于点，如图， 同理（）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴； （）如图，作于点，作，作于点，作于点， 则四边形和四边形是长方形， ∴，， 同理（）可得，， ∴，， ∴， ∴， 即； 如图，作于点， 同理（）可得，， ∴，， ∴， 即． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）探索发现：如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，直接写出与的数量关系 （2）阅读分析：小鹏遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系． 小鹏利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决． 图2中的、、三条线段之间的数量关系为___________，并说明理由． （3）类比探究：如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且． ①全等的两个三角形为___________； ②若，的面积为2，直接写出的面积．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①；②4 【分析】（1）设A到的距离为h，利用三角形的面积公式求解即可； （2）证明得到，即可求解； （3）①证明即可；②根据三角形的面积得到，再根据全等三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：（1）如图1，设A到的距离为h，则，， ∴； （2）．理由为： 如图2，∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （3）①．理由： 如图3，∵， ∴，， ∴，又， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴，, ∴， ∵，的面积为2， ∴，则， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余(补）角相等、三角形的外角性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②见解析 【分析】(1)首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得 ； (2)首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得； (3) ①由，得到，由（2）得，得，从而证明，推出； ②首先证明，然后证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， ∵于点D，于点E． ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：∵，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （3）证明：①∵， ∴， 由（2）得， ∴ ∵， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质 证明线段和角相等的重要工具． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 【答案】(1)9 (2)；理由见解析 (3)10 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）由，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点C作于P，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点C作于F，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ； 故答案为：9． （2）解： 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）解：延长，过点C作于P，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点C作于F，如图所示： ，， ， ，， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ， 故答案为：10． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，则与的数量关系是__________．如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过A作于D，过B作于，，，则的长___________； (2)【变式运用】如图3，在中，，，．求． (3)【拓展迁移】如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)2 (3)9，或 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，第2空同理证明即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，过作于E，证明即可得到答案； （3）本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，分三类讨论直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于 F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， 当作斜边时，作三角形高，过D作，过A作， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ∵，， ， ∴，， ∴，， ∴ ∴，， ∴， 综上所述：的面积是9，或． 几何图形中求角的问题题型04 16．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）阅读理解：在数学兴趣小组活动中，小芳同学遇到了如下问题： （1）如图1，已知平面内的3条射线，反向延长，得到图2，若，判断和的数量关系． 经过小组同学们的观察，思考，交流，对上面的问题形成了如下想法：由于和互补，可以通过探究与的关系，从而得到和的数量关系……根据以上分析过程，请写出和的数量关系：_________． （2）将图1中的反向延长，得到图3，若，请写出图中一对相等的角____________； （3）如图4，在中，，点D，点E分别在边上，过点B作的平行线交的延长线于点F．若，请说明； 拓展应用： （4）如图5，在中，，点D为边上一点，连接，．若，，求的长．（用含a的代数式表示） 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、几何图形中角度计算问题， （1）由已知得，再根据平角定义求出结论； （2）由图可知：，再求出即可得出结论； （3）先证进而得出，即可证明结论； （4）延长到点E，使，连接，证明，进而证明即可得到，求出结论即可． 【详解】解：（1），理由如下： 由图可知：，即， ， ， ， ； （2），理由如下： 由图可知：， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）延长到点E，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 点到的距离相等， ， ， 点到的距离相等， ， ， ， ． 17．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得； （2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得； （3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】（1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 平分.， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：在中，， 平分， ， 在中 ， ， . 18．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．    【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．    【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 【答案】（1）或（2）；（3）①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据图形可得两种情况，分别利用三角形内角和和四边形内角和推导即可； （2）由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为； （3）①由“边垂角”可证，再根据题干已知条件即可得证； ②由①全等推出，，然后证，得到，最后通过线段的和差即可得证． 【详解】（1）解：若是的“边垂角”，分两种情况： ①如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； ②如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； 综上，或． 故答案为：或； （2）解：由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为， 故答案为：； （3）证明：①是的“边垂角”， ，， ， ， ， ， ； ②证明：， ，， ， ， ， ， ， ． 点关于直线对称点为点， ， ， ． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）综合与探究  小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，点A，B分别在，上运动（不与点O重合）．探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D．    (1)①若，则________°；②猜想：的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，若，，求的度数． (3)在图1的基础上，如果，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图3），________（用含的代数式表示） 【答案】(1)①②的度数不发生变化，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）①先分别求出，，即可求出答案；②由，需求，由平分，平分，得，进而解决此题； （2）根据，可得即可求出答案； （3）由，需求，由平分，平分，得，进而解决此题． 【详解】（1）解：①，平分， ， ， ， 平分， ， ， ； 故答案为：； ②不变化， 理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ， ， ， 的度数不发生变化； （2）解：由（1）②知：， ∵， ∴， ， ； （3）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 全等三角形的新定义题型题型05 20．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长线于点，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识， （1）小王同学的思路：如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则，根据题意证明出，得到； 小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （2）方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，证明出，得到； 方法2：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，证明出，得到． 【详解】解∶（1）小王同学的思路： 如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以，即是的中点 小张同学的思路： 如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则． 所以， 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以，即是的中点； （2）猜想 方法1： 如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接， 则． 所以． 因为， 所以，． 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 方法2： 如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接， 则． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，点D、E分别在边上，连接交于点F，，且．试说明．    【问题探究】小明经探究发现： 如图2，在上取一点G（不与E点重合），使，连接，从而可证，使问题得到解决． （1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程 【问题拓展】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题： （2）如图3，在等腰中，，点E在直线上，延长到D，延长到F，使得，连接．点M是上一点，连接交于点H，过点E作交于点G，延长到点N，连接，使得．试说明与全等． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）在上取一点G（不与E点重合），使，连接，证明．利用等角的补角相等推出，得到．证明，即可证明结论成立； （2）先证明，利用平行线的性质推出，再推出．利用即可证明． 【详解】解：（1）在上取一点G（不与E点重合），使，连接， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为． 所以， 所以， 即， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以，即． 又因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以， 又因为，所以． 在和中， 因为， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，当最长时，求的长． 【答案】(1)①；②；理由见解析 (2)4 【分析】（1）①由题意得是等边三角形，继而得，再得； ②在线段上截取，证明，再利用角平分线定义得，继而得到，即可得到本题答案； （2）过作，且使，所以点是定点，的长度是定长，证明，继而得到当最长时，，，三点在同一条直线上，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：①，， 是等边三角形， ，， ， ， 由题意，得， ， ， ， ②；理由如下： 在线段上截取，如图2，   ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：如图3，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长．   ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， 当最长时，，，三点在同一条直线上，如图4，   ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质及判定，最短路径问题，角平分线定义等．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 含半角模型构造全等题型06 23．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 手拉手模型构造全等题型07 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． （1）如果，： ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为_____________，数量关系为_____________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如图3，如果，，点D在线段上运动、探究：当等于多少度时，？请说明理由． 【答案】（1）①垂直，相等；②成立，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立； （2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论． 【详解】（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD． 理由：如图1，∵∠BAD＝90°-∠DAC，∠CAE＝90°-∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 又∵ BA＝CA，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠ACE＝∠B＝45°且 CE＝BD． ∵∠ACB＝∠B＝45°， ∴∠ECB＝45°＋45°＝90°，即 CE⊥BD． 故答案为：垂直，相等； ②都成立，理由如下： ∵， ∴， 即：， 又∵，， ∴， ∴，， ∵在，， ∴，即 ∴； （2）当时，，理由如下： 过点A作交的延长线与点，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴∠BCE=， ∴． 【点睛】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解． 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，学生在探索三角形全等条件时，小明提出：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等． 【验证】同学们通过讨论，利用作图的方法对这种说法进行了判断： 如图①，已知：线段，，，且.若，则在图中可以作出两个符合条件的点，记作，，由此说明小明的说法是错误的． （1）请利用直尺和圆规在图①中画出点，，并连接，（不写作法）； 【发现】（2）小红发现，是______三角形（按照三角形的分类直接填空）； 【应用】为了让学生更好的理解小红的发现，老师设置了这样一个问题： 已知：如图②，在中，，，过点作直线，点为射线上任意一点（不与点重合），连接，过点作交直线于点；求证：（提示：可作辅助线在中构造出与全等的三角形）． （3）写出证明过程： 【拓展】如图③，在中，，，，，过点作交的平分线于点． （4）请直接写出线段的长． 【答案】（1）见详解（2）等腰（3）见详解（4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意进行作图即可； （2）结合等腰三角形的判定进行作答即可． （3）先过点D作，交于一点即为点，结合平行线的性质得，证明，即可作答． （4）在上截取，记交于点F，运用三角形内角和性质得，再证明是等边三角形，然后证明，进行边的运算，即可作答． 【详解】解：（1）如图：以点A为圆心，以的长度为半径画弧交过点B的直线于两个点，即为 ，连接， （2）依题意，∵ ∴小红发现，是等腰三角形 （3）如图：过点D作，交于一点即为点 ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 过点作直线 ∴ ∴在中， ∴， ∵， ∴ ∴ （4）如图所示：在上截取，记交于点F ∵，过点作交的平分线于点． ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 平行线的综合压轴题题型08 26．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，张老师提出如下问题，如图1，三角形和，，，求证：． ①小创同学从“内错角相等，两直线平行”出发，延长交于点，将问题转化为证明． ②小新同学从“同旁内角互补，两直线平行”出发，连接，将问题转化为证． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；也可以利用图1用不同于上面两位同学的方法进行解答． 【变式探究】 （2）张老师发现之前两名同学都是在两条平行线间搭建“截线”，将问题转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师接着提出如下问题，请你解答． 如图4，，点，分别在直线和上，，点在上，，平分，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图5，，平分，，．若平面内有一点，且，，请用含有的式子直接写出的度数． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3）或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线转化角是解题的关键． （1）利用平行线的性质解题即可； （2）延长交于点Q，利用平行线的判定和性质得到，然后根据角平分线的定义证明即可； （3）过点E作，则可根据平行线的判定和性质得到，即可得到，然后分两种情况作图计算即可． 【详解】（1）证明：①如图2，延长交于点， ， ， ， ， ； ②如图3，连接， ， ，即 ， ，即， ； （2）延长交于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在下方时， ∵， ∴， ∴； 如图，当点在上方时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 27．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系． ①小红的做法是：如图2，过点作． ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图，直线，点在，之间，点在下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 图4 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）①过点作，根据平行线的性质得出； ②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解． 【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作． ∵ ∴ ∴ ∵； ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． ∴， ∵ ∴ ∴ （2）如图所示，过点作 ∵和的角平分线相交于点． ∴ ∵ ∴ ∴ 由（1）可得 ∴ 28．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． （3）解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】（1）如图1，，，，若，，求的值． 【变式探究】（2）①如图2，，，，若，，求的值； ②若在图2中，，与为任意锐角，，，的值是否会改变？如果改变，求出新的结果；如果不改变，请给予证明． 【拓展延伸】（3）如图3，，与为锐角，，（n为整数，），直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想和整体思想的运用． （1）作，，得到，，再求得，，，，求得和的度数，代入计算即可求解； （2）①同（1）法求解即可；②设，，同（1）法求解即可； （3）同法求解即可． 【详解】解：（1）作，，如图， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴； （2）①作，如图 ∵， ∴，， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴； ②设，， 同理①得，， ，， ∴，， ∴； （3）设，， 同理①得，， ，， ∴，， ∴． 30．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 作，同理可得，； （3）解：如图，过点作， 设， ， 平分， ， ， ，， ， ， 平分， ， 作，同理可得，． 31．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，已知，，求的度数． （2）如图2，，点P在的上方，问之间有何数量关系？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，，的平分线和的平分线交点G，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）延长交于点G，利用平行线的性质可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答； （2）设与交于点M，先利用三角形的外角可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）利用（2）的结论可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用（2）的结论可得，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为； （2）， 理由：如图：设与交于点M， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， 由（2）得：， ∴ ， ∴的度数为． 32．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，点分别是上的两点，点在之间，连接．              图1                  图2                      图3 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，点是下方一点，平分，平分．若，求的度数； (3)如图3，点是上方一点，连接，且的延长线平分，平分．若，则的度数为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得，再由垂直的定义得答案； （2）过作，过作，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得，便可求得结果； （3）过作，过作，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差，由，将代入便可求得结果． 【详解】（1）解：过点作，如图所示：    ， ， ，， ， ； （2）解：过点作，过点作，如图所示：    设， 平分，平分，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ； （3）解：． 理由如下： 过作，过作，如图所示：    ， ， ，，，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 33．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，直线AD、BC相交于点O，∠DCP∠BCP＝α，∠B＝3α． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝2∠DCP，求∠AOC的度数（用含α的式子表示）； （3）如图2，若点M在线段AB上，连接OM，作∠OMB的平分线MN交CP于点N，若∠BCD＝n∠MNC，求的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）先求出，再根据三角形的外角性质即可得； （3）如图（见解析），过点作，过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据可得，从而可得，然后根据角平分线的定义、角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】证明：（1）， ， ， ， ； （2）， ， 由（1）已得：， ； （3）如图，过点作，过点作， ，， 由（1）已证：， ， ，， ，， ， ， ， 解得， 平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，点D是的边AB上一点，过点D作直线，是的平分线，以点D为端点作线段，连接．    (1)在图1中，若是的平分线，试探究：与的数量关系； (2)如图2，若是的平分线，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由； (3)如图3，若是的平分线，，请求出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （2）根据内错角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （2）先证明，结合是的平分线，求出，然后利用三角形外角的性质可求出的度数． 【详解】（1）∵ ∴ ∵是的平分线，是的平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ （2），理由： ∵ ∴ ∵是的平分线，是的平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ （3）延长交于点G ∵是的平分线 ∴ ∵ ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴    【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，数形结合是解答本题的关键． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程）    【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 【答案】解决问题：[探究一]；[探究二]，145；[拓广提升] 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【详解】解：[探究一]：，理由如下： 如图①，      ∵， ∴， ∴， ∴． [探究二]如图②，   ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L，    ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． [拓广提升]∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$