专题03 沪教版2020高一下学期期末训练（考题猜想，压轴专项34题）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

专题03 沪教版（2020）必修第二册（期末压轴专项训练34题） 第六章 三角 1．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）    4．（24-25高一下·上海宝山·期中）若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为 . 5．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，与存在对顶角，且．则下列说法：①O是中点；②；③．正确的序号是 6．（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则 . 7．（24-25高三上·上海松江·期中）在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 第七章 三角函数 1．（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，．已知，．有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图象关于对称；③方程有且仅有2个实根．则真命题的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为 ． 6．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为 ． 7．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为 . 8．（24-25高一下·上海·期中）主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为函数，，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上严格减； ③存在自然数，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为 （请写出所有正确命题的序号）. 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）对于定义在上的函数，若存在，使满足的整数存在且，则称函数是“函数”． (1)两个函数，是否是“函数”？为什么？ (2)求证：函数是“函数”； (3)已知常数，若函数是“函数”，求的取值范围． 10．（24-25高一下·上海浦东新·期中）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 11．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数m的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 12．（24-25高一下·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 13．（24-25高一下·上海杨浦·期中）如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设.      (1)将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； (2)现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 14．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 第八章 平面向量 1．（23-24高一下·北京·期中）在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为 ． 3．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知平面向量、、满足，且对任意实数都成立，则的最小值为 . 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，（i，，2，3）均为实数，且满足，，，，且的最大值是 . 5．（24-25高一下·上海·期中）已知、都是单位向量，，，函数，. (1)当时，求值； (2)若，求实数的值； (3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”． (1)判断是否是函数的伴随向量，并说明理由； (2)判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由： (3)若，都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点． 7．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 第九章 复数 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 2．（24-25高一下·上海·期中）设且，满足，则的取值范围为 ． 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 4．（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. (1)若是实数，求的最小值； (2)设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 沪教版（2020）必修第二册（期末压轴专项训练34题） 第六章 三角 1．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】表达出各边长，得到，写出对偶式，计算出，，，设改造后停车位数量最大值为，作出辅助线，表达出顶点到线段距离为，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，，， 故，故， ，， ，， 则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，，不合要求； 当时，， 解得，满足要求，此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 故选：B 3．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）    【答案】 【知识点】弧长的有关计算、利用定义求某角的三角函数值、由单位圆求三角函数值 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海宝山·期中）若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为 . 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】通过讨论的解的个数确定的可能值. 【详解】， 由得，设， 记，由于，因此必有两个不等的实根，， 所以中至少有一根属于区间且两根一正一负， （1）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由得， 所以； （2）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由无整数解； （3）若，则由得，不妨记， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然得，此时， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然无整数解； （4）若，则，在或上， 有个根，无实数根，的零点个数为， 由得，此时或； （5）若，则，无实数解，在上， 有个根，的零点个数为，由得，， 在上，有个根，的零点个数为， 由得，. 综上，的取值可能为， 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，与存在对顶角，且．则下列说法：①O是中点；②；③．正确的序号是 【答案】①② 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】设，，结合余弦定理，表示出与，利用化简判断①；借助全等三角形确定角的数量关系判断②；由求出，再利用正弦定理求出判断③. 【详解】设，，则，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 由，得， 化简得：，因此为中点，①正确； 如图： 过点做，交与，则，而， ，则，，，②正确； 由，得，即， 整理得，而，解得，， ， 在中，由正弦定理，得，，③错误. 故答案为：①② 6．（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则 . 【答案】 【知识点】几何图形中的计算、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件并作关于的对称点，且在线段上，应用正弦定理求得，再应用余弦定理求得，最后利用等面积法列方程求. 【详解】由且为三角形内角，又且为锐角， 所以，如下图作关于的对称点，且在线段上， 连接，则，即，故， 所以， 在中，，即， 在中，，即， 所以， 综上，， ， ， 两式相减，得，即， 由，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是作等腰三角形，利用正余弦定理求相关线段的长度，并结合等面积法求高即可. 7．（24-25高三上·上海松江·期中）在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 【答案】(1) (2)（i）的最大值为；（ii）或 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小； （2）（i）由三角形的面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式求其最大值即可； （ii）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小. 【详解】（1）在中，，所以． 因为，所以， 即 化简得． 因为，所以，． 因为，所以． （2） （i）由三角形面积公式可得，即， 在中由余弦定理可得，即， 所以，所以的最大值为， 此时，当且仅当时取等号； （ii）设，，则． 由（1）知，又，所以在中，． 在中，由正弦定理得，即①． 在中，由正弦定理得，即②． ①÷②，得，即，所以． 因为，，所以或，故或． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键是能用三角形面积公式把用表示，再结合基本不等式求解. 第七章 三角函数 1．（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据函数零点情况及方程可得，进而确定函数解析式及函数性质，即可得解. 【详解】由， 得， 令， 即， 整理得， 即， 所以或， 即，或，， 即，或，， 又当时，， 函数有且仅有一个零点，得，即， 当，时，，，， 此时或，使得，不符合要求； 当，时，，或，， 当时，，函数在上无零点， 当时，，当且仅当时，，符合要求， 因此，， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 故选：A. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的定义与判断、函数图象的应用 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、cosx（型）函数对称性的其他应用、集合元素互异性的应用 【分析】集合中的元素由生成，当为有理数时，余弦函数的取值会呈现周期性，导致集合元素个数有限.关键点在于确定的分母与元素个数的关系，进而判断选项中哪些会导致元素个数不符合2025. 【详解】若（互质），则余弦函数的周期为， 集合元素个数为（当为偶数时）或（当为奇数时）. 需验证选项中对应的是否满足或. 选项A:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项B:，对应（奇数）. 元素个数为，可能. 选项C:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项D:，对应（奇数）. 元素个数为，不可能. 故选：D. 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，．已知，．有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图象关于对称；③方程有且仅有2个实根．则真命题的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、函数新定义 【分析】对于①，根据函数性质画出图象观察即可判断；对于②观察图象并且验算得即可判断；对于③，只需判断方程是否有且仅有1个非零实根即可，通过分类讨论即可解决. 【详解】对于①，显然的定义域关于原点对称，且，即是偶函数， 当时，， 当时，， 从而画出函数的图象如下图所示， 观察可知函数不是周期函数，故①错误； 对于②，观察上图发现，，故②错误； 对于③，，显然是方程的一个根， 若方程有且仅有2个实根， 则方程有且仅有1个非零实根， 注意到，从而，当然也有， 所以当时，方程无解， 设， 那么当时，，此时无解， 当时，， 因为，此时，而， 所以此时即无解， 当时，，此时，， 所以此时即无解， 当时，，此时， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，， 所以此时无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，， 所以此时无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 注意到，当时，方程无解， 综上所述，方程无非零实数解，故③错误， 即真命题的个数为0个. 故选：A. 5．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为 ． 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、对勾函数求最值、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】利用函数为奇函数，结合奇函数的定义可求出的值，然后分析函数的单调性，将所求不等式变形，可得出有解，结合参变量分离法可求出实数的取值范围． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以，则， 任取， 则， 因为， 所以，则， 所以在上为增函数， 所以有解， 所以有解，即， 设，又得，， 则，当且仅当时等号成立， 由双勾函数的单调性知，在上单调递减，在单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故答案为：． 7．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据的性质可得时，有，进而讨论时，根据放缩法可得在无零点，进而根据函数图象可确定函数、在上交点个数，构造函数求解在有且只有一个零点.，即可求解. 【详解】当时，， 当时，，故， 当时，，故， ……，依次类推，可知时，有， 当时，，故在无零点， 同理在也无零点. ∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍， 则在平面直角坐标系中，、在上如图所示： 又， 故、在上的图象共有4047个不同交点， 下证：当，有且只有一个零点. 由于当时，，故， 即当时，， 当时，，也满足， 因此对任意的，都有， 结合为奇函数，因此对任意的，都有， 当时，， 因此，有且只有一个零点. 综上，、在上的图象共有4048个不同交点， 即在有4048个不同的零点， 故答案为：4048 8．（24-25高一下·上海·期中）主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为函数，，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上严格减； ③存在自然数，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为 （请写出所有正确命题的序号）. 【答案】①②④ 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、函数奇偶性的定义与判断、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】求出函数解析式可得，经验证可得函数是奇函数，即①正确，利用整体代换法并根据正弦函数单调性可判断②正确，根据三角函数周期性计算可得，且，因此③错误；结合诱导公式以及三角恒等变换计算可得当时，符合题意，可得④正确. 【详解】由经过点可得， 即，可得， 又，因此可得； 所以； 对于①，易知为奇函数，即①正确； 对于②，当时，， 结合正弦函数图象性质可得函数在区间上严格减；即②正确. 对于③，易知函数的最小正周期为， 且，易知， 所以的最大值为2，即， 所以不存在自然数，使得；即③错误； 对于④，根据题意可得 ， 因此存在常数，对于任意实数，使得，即④正确. 故答案为：①②④ 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）对于定义在上的函数，若存在，使满足的整数存在且，则称函数是“函数”． (1)两个函数，是否是“函数”？为什么？ (2)求证：函数是“函数”； (3)已知常数，若函数是“函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是“函数”, 不是“函数”，理由见解析 (2)证明过程见解析 (3)或. 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数新定义、正弦函数图象的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）不妨设，满足，且，故是“函数”,当时，，故不是“函数”； （2）令，，满足，，证明出结论； （3）由题意得在上不单调，则，且，根据与交集不能为空集，求出，因为为整数，所以或，分和两种情况，得到不等式，求解即可. 【详解】（1）是“函数”, 不是“函数”，理由如下： 为常数函数，定义域为R， 不妨设，显然，满足，且， 故是“函数”, 的定义域为R，且严格单调递增， 当时，，故不是“函数”； （2）的定义域为R， 令，，满足， 且，故， 故函数是“函数” （3）函数定义域为R，对称轴为， 满足的整数存在且， 故在上不单调，则，且， 因为与交集不能为空集，所以且，即， 因为为整数，所以或， 若，则，由得， 所以，解得， 若，则，由得， 所以，解得， 综上，或. 10．（24-25高一下·上海浦东新·期中）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)或 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数新定义、特殊角的三角函数值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）根据题意得到； （2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值； （3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）因为集合，， 所以； （2）由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得： ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称， 又，所以与的终边只能关于轴对称， 所以， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 11．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数m的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、三角函数图象的综合应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. （2）解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. （3）解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 12．（24-25高一下·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 13．（24-25高一下·上海杨浦·期中）如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设.      (1)将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； (2)现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 【答案】(1)， (2)， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出； （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值. 14．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 【答案】(1)不是，是 (2) (3)证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式、函数新定义、函数周期性的应用、求正切（型）函数的定义域 【分析】（1）利用函数的定义证明即可. （2）利用函数的定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）由题意得到是以为周期的周期函数，不妨设，按分类讨论，并结合“”函数的定义和函数周期性的性质证明结论即可. 【详解】（1）对于， 由正切函数性质得的定义域不为，则不为“”函数， 对于，， 由和差化积公式得， 两侧同时取绝对值得， 由余弦函数性质得， 则， 如图，我们设，则，圆为单位圆， 则扇形的弧长为，扇形面积为，， 由图象得三角形面积一定小于扇形面积，故，即. 当时，，故对于恒成立； 当时，显然成立； 当时，由上可得，，所以； 当时，，故对于恒成立， 综上可得对于恒成立， 故， 即，则是“”函数. （2）若函数是“”函数，则， 即，故， 因为，所以，得到， 解得，即的取值范围为. （3）由题意得是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数， 则， 当时，不妨设，且， 由题意得是以为周期的周期函数，得， 又因为函数为上的“”函数， 所以 ， 则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 故对任意的，均有. 第八章 平面向量 1．（23-24高一下·北京·期中）在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】取的中点，将向量用表示，得到，进而判断的形状. 【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则    ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即△为钝角三角形， 故选：B. 2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】向量减法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用 【分析】设，则由题干条件可得，，利用三角换元及同角三角函数的关系及基本不等式即可求解. 【详解】设，则，， 不妨设，设， 则，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：． 3．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知平面向量、、满足，且对任意实数都成立，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、绝对值三角不等式 【分析】对于不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再结合向量的运算性质得到，最后利用绝对值三角不等式求解最值即可. 【详解】由，两边平方得， 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，故， 即，解得，即，且， 而，故， 则由绝对值三角不等式得. 故答案为： 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，（i，，2，3）均为实数，且满足，，，，且的最大值是 . 【答案】25 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】本题可通过设向量，将已知条件转化为向量的形式，再利用向量的运算和几何意义求解的最大值. 【详解】设向量，，. 由，，， 可得，， 已知， 所以， 移项得到， 即，也就是， 这表明点在以为直径的圆上. 根据两点间距离公式，可知， 要求的最大值，即求的最大值，也就是求的最大值. 因为，，当，，三点共线且，在的两侧时，取得最大值， 此时. 另外，此时在以为直径的圆与圆的交点位置，如图所示， 因为，， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 遇到此类多个变量的代数关系求最值问题，优先考虑将其转化为向量形式，利用向量的性质和运算来解决.通过分析向量之间的夹角关系和模长的最值之间的关系，来求得所求的最大值. 5．（24-25高一下·上海·期中）已知、都是单位向量，，，函数，. (1)当时，求值； (2)若，求实数的值； (3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用、求函数值、数量积的运算律 【分析】（1）由题设，代入自变量求函数值即可； （2）由题设有，，令，则，对称轴，结合二次函数的性质，讨论区间与对称轴位置关系，根据最小值列方程求参数值； （3）问题化为或在上有四个不同的实根，结合余弦函数图象列不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）由，则， 则， 令，则，则，其对称轴， 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）； 当，即时，当时函数取得最小值，得，符合题意； 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）. 综上，实数的值为. （3）令，得或， 方程或在上有四个不同的实根， 则即得，，即得， 即实数的取值范围是. 6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”． (1)判断是否是函数的伴随向量，并说明理由； (2)判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由： (3)若，都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)存在，和， (3)，零点为 【知识点】由周期性求函数的解析式、向量新定义、诱导公式五、六、辅助角公式 【分析】（1）利用题设定义，给合诱导公式，得，即可求解； （2）先假设的伴随向量为，根据题设定义得，再利用基本不等式和三角函数的性，即可求解； （3）根据条件得且，从而得，再结合题设条件，求出在上的解析式，再利用周期性，即可求解，利用解析式即可得零点. 【详解】（1）因为，， 所以， 因此向量是函数的伴随向量． （2）若存在伴随向量，则， 所以，得到， 即（其中为辅助角）， 由题知，上式对任意的都成立，则， 即，由于，当且仅当时，等号成立， 所以，又因为，故 当时，，，： 当时，，，． 故函数的“伴随向量”为和， （3）因为，都是函数的“伴随向量”， 所以且，由，得， 所以，则， 故函数是以4为周期的函数．又当时，；当时，， 当，则，此时； 由，，得， 所以当，则，此时； 当，则，此时， 由，得，又，所以，又， 所以，又，是以4为周期的函数， 故 当时，函数的零点为． 7．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、用定义求向量的数量积 【分析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解. （2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值. （3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值. 【详解】（1）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 令，则，，，所以，， ，， ，， ， 所以. （2）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为是线段上任意一点， 所以设，， ，， ， 因为， 所以当且仅当时，的最小值为. （3）设，则，如图所示： 因为， 所以，得， 因为， 所以，得， 所以 ， 当且仅当， 即时，取得最小值36， . 第九章 复数 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，求出复数z在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数z在复平面内对应点Z的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 是点Z到定点的距离， 而，所以圆C外， ， 所以的取值范围为， 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·期中）设且，满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，利用条件推得，将表示后转化为圆上的点到原点的距离即可. 【详解】设， 由可得，故得. 由，可得， 即复数对应的点在以点为圆心，半径为2的圆上. 所以， 代表点到原点距离的倍， 由图知点到原点距离的取值范围为， 即的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)，； (2)①不正确，②正确，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，，，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【详解】（1）由，， 得，； （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，，， ， 因为，， 所以， ，故②正确； （3）设满足条件的，，， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，即， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则， ， 当，时，取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键理解新定义，结合新定义以及所学习的知识解决问题. 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 【答案】(1) (2)以为圆心､半径为1的圆，不含点，理由见解析 (3) 【知识点】反三角函数、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）求得复数，可求辐角主值； （2）法一：设，，可得为纯虚数，可求得，且； 法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数，，与对应的向量垂直，可得对应点在以点的连线为直径的圆上； （3）设，则，设的一个辐角为的一个辐角为，可得，令，设，利用车辅助角公式可求得范围，分类可求得的范围. 【详解】（1）的辐角主值为． （2）设，则 为纯虚数 为纯虚数 ，为纯虚数或0 即，且． 是以为圆心､半径为1的圆，不含点 解法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数 为纯虚数或0 与对应的向量垂直， 对应点在以点的连线为直径的圆上，且 综上，是以为圆心､半径为1的圆，不含点 （3）设，则． 设的一个辐角为的一个辐角为． ． 令． 设，即，解得范围为， 若，则的范围是若，则的范围是． 的范围是． 【点睛】方法点睛：与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解. 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. (1)若是实数，求的最小值； (2)设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）先由复数的几何意义求出点，然后在由是实数求出，最后由两点间距离公式结合二次函数求出结果即可； （2）设，利用向量相等和垂直的坐标表示，求出的值，进而求出，然后利用向量的夹角公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得， 因为是实数， 又， 所以，则， 所以， 所以的最小值为. （2）依题意，设，因为， 则， 所以，则， 又，所以，可得，则， 所以， 故， 所以与的夹角为. 【点睛】结论点睛：与垂直的坐标表示为. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$