第09讲 立体几何中线线角、线面角、二面角问题全归纳（思维导图+知识串讲+8大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第09讲 立体几何中线线角、线面角、二面角问题全归纳 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 线线角的定义与求解 一、线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 知识点02 线面角的定义与求解 1、直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点03 二面角 1、二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 2、二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3、二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4、二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 知识点04 求二面角的一般方法 1、定义法 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. 2、三垂线法 1.方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 2.具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 3、射影面积法 （1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 ( A B D C ) 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 4、补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． 【考点一：利用平行四边形平移求线线角】 一、单选题 1．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·天津和平·期中）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江·期中）在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江·月考）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【考点二：利用中位线平移求线线角】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知棱长都为4的四棱锥，底面是矩形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东德州·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【考点三：补形法求线线角】 一、填空题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为 . 2．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）在三棱锥中，平面，则与所成的角的余弦值为 ． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥中，，，，平面，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 .    【考点四：求线面角（定义法和等积法）】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·月考）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 5．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)已知： ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【考点五：已知线面角求其他量】 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州·月考）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东烟台·月考）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 4．（23-24高一下·辽宁·期末）正方体的棱长为，是线段上的动点. (1)求证：平面平面； (2)与平面所成的角的余弦值为，求的长． 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【考点六：求二面角】 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在正方体中，二面角的平面角等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（23-24高一下·福建福州·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，，侧面底面，是的中点. (1)求证:平面； (2)求点到平面的距离； (3)求侧面与底面所成二面面角的余弦值. 5．（24-25高一下·天津·期中）已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 6．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 7．（2025·江苏淮安·模拟预测）斜三棱柱中，所有棱长都为2，，平面平面.    (1)若为中点，E点在线段上，且，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【考点七：已知二面角求其他量】 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·月考）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 2．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏无锡·月考）如图，已知正四棱锥的底面边长，侧面与底面所成的二面角的正切值为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． (1)证明：平面ACD； (2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 5．（23-24高一下·贵州黔西·月考）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求的长度. (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 6．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 7．（2024高一下·全国·专题练习）在直角梯形中，，（如图所示），将沿折起，将D翻折到D′，记平面为α，平面ABC为β，平面为γ. (1)若二面角为直二面角，求二面角的大小； (2)若二面角为60°，求三棱锥的体积． 8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【考点八：线面角、二面角中的探索性问题】 一、解答题 1．（23-24高一上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 2．（23-24高一下·广东茂名·月考）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高一上·北京·期中）已知中，， ，，分别取边的点，使得，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足. (1)求证：平面； (2)试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由. 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 5．（23-24高一下·重庆·期末）正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 6．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·天津滨海新·期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一下·江苏常州·期中）在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 . 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为 ． 8．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ，异面直线与所成夹角的余弦值为 ． 9．（24-25高一下·上海·月考）如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    三、解答题 10．（24-25高一下·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 11．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点． (1)求证：； (2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角大小． 12．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 13．（23-24高一下·山西大同·期末）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 14．（23-24高一下·重庆·期末）如图，四棱锥中，四边形是平行四边形， 是正三角形， 平面 平面 (1)求证: 平面 ； (2)当 时， 若是面的重心，求直线与平面所成角的正弦值； 棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为 如果有，求此时的长度；如果无，请说明理由. 15．（23-24高一下·天津·期末）如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 16．（24-25高一上·上海·月考）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 立体几何中线线角、线面角、二面角问题全归纳 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 线线角的定义与求解 一、线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 知识点02 线面角的定义与求解 1、直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点03 二面角 1、二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 2、二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3、二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4、二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 知识点04 求二面角的一般方法 1、定义法 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. 2、三垂线法 1.方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 2.具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 3、射影面积法 （1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 ( A B D C ) 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 4、补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． 【考点一：利用平行四边形平移求线线角】 一、单选题 1．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：C. 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角）， 由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 因为，所以为直角三角形， 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 3．（24-25高一下·天津和平·期中）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直三棱柱补成直四棱柱，因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角，在中，运用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，过点作且，同理过点作且， 将直三棱柱补成直四棱柱，连接和， 因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角. 因为，，，所以，， 在中，，，， ， 所以，在中，， 故选：C. 4．（24-25高一下·浙江·期中）在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，连接，，，利用正方体的性质得，则或其补角即为所求的异面直线与所成角，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】如图：    取中点，连接，，，， 由正方体可知，，所以四边形为平行四边形，所以， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 即或其补角即为所求，设，则，， 由正方体可知，平面，平面， 即，则， 在中，由余弦定理， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5．（24-25高一下·黑龙江·月考）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体ABCD中置于正方体中，分析易得，可得为直线AN与CM所成角（或补角），进而结合余弦定理求解即可. 【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图， 易得，， 所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角， 即为直线AN与CM所成角（或补角）， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，由余弦定理可得，， 因此直线AN与CM所成角的余弦值为. 故选：C. 【考点二：利用中位线平移求线线角】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到或其补角是直线与所成的角，求出各边长，利用余弦定理求出答案.. 【详解】取棱的中点，连接，， 因为是的中点，所以，⊥， 则或其补角是直线与所成的角，. 由题中数据可知，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理可得， 则， 故. 故选：A 2．（24-25高一上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果. 【详解】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为. 故选：B 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知棱长都为4的四棱锥，底面是矩形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系构造异面直线所成角，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，分别取，的中点，，连接，，． 因为为的中点，四边形是矩形，所以， 所以为平行四边形，所以，， 所以是异面直线与所成的角或其补角． 因为四棱锥的棱长都为，所以，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 4．（23-24高一下·山东德州·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接，作出异面直线所成角或补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接， 由题意可得，则异面直线与所成角为或其补角， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 5．（23-24高一下·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF， 则为异面直线EC与BD所成角或其补角， 不妨设，易得， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为． 故选：A．    6．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图：    在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 【考点三：补形法求线线角】 一、填空题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可. 【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体. 如图所示.取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． ， ， ， ， 在中，由余弦定理可得，， 则直线 与 所成角的余弦值为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）在三棱锥中，平面，则与所成的角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义，将与所成的角转化为平面交，根据余弦定理，即可求解. 【详解】过点作，且，连接，四边形是平行四边形， 所以与所成的角为或其补角， 因为平面，平面，所以，， 又，且，所以，， 又，所以， 则，又，， ，所以, 中， 故答案为： 3．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥中，，，，平面，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 .    【答案】 【分析】利用线面垂直的性质定理，给合题设条件推得两两垂直，从而将三棱锥置于一个长方体中，再利用异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面 所以，，又， 所以两两垂直，将三棱锥置于一个长方体中，如图所示，    易知，所以直线与所成角即为与所成角为（或其补角）， 由题意可知，， 在中，由余弦定理，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【考点四：求线面角（定义法和等积法）】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取棱的中点，证平面，得出是直线与平面所成的角，结合解三角形的知识即可得解. 【详解】 取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角. 设，则，，. 在中，由余弦定理可得， 则，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【详解】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 3．（23-24高一下·重庆·月考）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D 作于点N，证明平面，得CD与平面ACM 所成的角为，在中，求的余弦值. 【详解】如图，过点D 作于点N， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD， 所以平面AMD，因为平面AMD，所以， 在中，，M为PD 的中点，所以且， 又，平面CDM，所以平面CDM， 因为平面ACM，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以平面，所以CD与平面ACM 所成的角为. 因为平面，平面，所以， 在中，. 故选：B. 二、解答题 4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，则为与平面所成的角，求出各边长，利用得到答案. 【详解】（1）点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； （2）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 5．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，即可证，利用线面平行的判断定理即可证明； （2）先证平面，再由计算即可； （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，利用等体积法求出，最后计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是矩形，所以为的中点，又是的中点， 又，又平面，平面， 所以平面. （2）由于，又是的中点，所以， 在正三棱柱中，平面，平面，所以， 又平面平面， 所以平面，所以是三棱锥的高，又，所以， （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 由（2）有平面，又平面，所以， 因为，，所以， 又，即，解得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)已知： ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行. （2）利用体积法求点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦. 【详解】（1）如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，所以是直角三角形， 又为中点，且，所以. 设点到平面的距离为，则. 又因为, 所以. 因为平面，平面，所以， 又底面为正方形，所以，平面，， 所以平面. 又平面，所以.所以为直角三角形. 中，，，. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以.即点到平面的距离为. 又， 设直线与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为：. 【考点五：已知线面角求其他量】 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州·月考）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合长方体性质，利用线面角的定义，从而得到角与边之间的关系，然后利用棱锥的体积公式即可求得结果． 【详解】    在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 2．（23-24高一下·山东烟台·月考）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件根据线面角的定义求得，连接，根据异面直线夹角的定义，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 设，则， 所以，所以， 连接连接，由长方体的性质知，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角即为直线与直线所成角， 在中，， 所以由余弦定理得， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A    二、解答题 3．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知得出，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）取的中点，由面面垂直的性质定理得出即为与平面所成的角，求出，再求三棱锥的体积. 【详解】（1）是边长为1的等边三角形， 为的中点，， ，， ， 又平面平面； （2）由（1）知平面，且平面， 平面平面， 取的中点，连接， ，平面平面， 面， 即为与平面所成的角，， 为的中位线，， 在中，， 故三棱锥的体积为 . 4．（23-24高一下·辽宁·期末）正方体的棱长为，是线段上的动点. (1)求证：平面平面； (2)与平面所成的角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，进而可证平面，即可得结果； （2）设在平面上的射影点为，连接，利用等体积法可得，结合线面夹角可得，再利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为平面，且平面，可得， 四边形为正方形，则， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）设在平面上的射影点为，连接， 可知是以边长为的等边三角形，则， 因为，即，解得， 设与平面所成的角的大小为，因为，则， 则，可得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面平面即可证明平面. （2）设，先利用已知条件结合等体积法求出点F到平面的距离，则可由与平面所成角的正弦值求出，进而得解. 【详解】（1）如图，连接、、、、， 由直棱柱性质且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； 又由直棱柱性质有且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （2）因为， 所以，，， 设，则，所以， 由（1）可知点F到平面的距离是一个定值，将其设为， 由直棱柱性质平面，平面，故， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 又，所以. 所以与平面所成角的正弦值为即， 所以即，故. 【考点六：求二面角】 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在正方体中，二面角的平面角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正方体的结构特征，作出二面角的平面角，即，直接求解即可． 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以二面角的大小是45°． 故选：B． 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出二面角的平面角，再计算各边长度，最后由余弦定理计算夹角. 【详解】    如图，取AB中点M，连接CM，DM 因为为等边三角形，为等腰直角三角形 所以， 故即为二面角的平面角. 因为， 所以， 所以 所以 即二面角的大小为. 故选：D. 3．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B 二、解答题 4．（23-24高一下·福建福州·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，，侧面底面，是的中点. (1)求证:平面； (2)求点到平面的距离； (3)求侧面与底面所成二面面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）找到图形中的线面垂直与线线垂直的转化关系，进而可证平面； （2）利用等体积法转化，三棱锥与三棱锥体积相等，利用图形的几何关系求出的面积，进而可得到平面的距离； （3）做辅助线，找到侧面与底面所成二面角的平面角，利用几何关系求解即可. 【详解】（1）在正方形中，, 又侧面底面，侧面底面,平面， 所以平面，又平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，则， 又平面， 所以平面; （2）取的中点分别为，连接， 在正中，，因为平面平面， 平面平面，所以平面， 所以， ， 所以为等腰直角三角形，， 设到平面的距离为， ， 所以，即到平面的距离为. （3）取的中点分别为，连接， 则，所以，在正中，, 因为平面, 则平面, 在正方形中,，故平面， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角， 由平面， 则平面，又平面.所以， 正方形的边长，则 ， 所以，则， 故侧面与底面所成二面角的余弦值为. 5．（24-25高一下·天津·期中）已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，最后可证明线面垂直； （2）利用等体积法可求点到面的距离； （3）作出二面角的平面角，再利用几何法求出正弦值. 【详解】（1）由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 连接，由平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以 又因为是中点，所以， 则，， 由等体积法可得点A到平面的距离满足： ； （3） 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 即，又由于， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以,即， 所以， 平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 6．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. （3）取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 7．（2025·江苏淮安·模拟预测）斜三棱柱中，所有棱长都为2，，平面平面.    (1)若为中点，E点在线段上，且，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）构造线线平行，判断线面平行. （2）利用射影三角形的面积求二面角的三角函数. 【详解】（1）如图：    连接，交于点，再连接. 因为，所以，所以，又， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接、. 因为四边形是边长为2的菱形，且，所以为等边三角形. 所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中：，所以. 在中：，，所以. 又. 设二面角为. 则. 所以. 即二面角的正弦为. 【考点七：已知二面角求其他量】 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·月考）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】利用二面角定义以及所给长度由线面垂直性质利用勾股定理计算可得结果. 【详解】如下图所示，以，为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ∵，则，， 又，平面，故平面， 因为平面，则，故． 故选：C． 2．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得，再根据直三棱柱的体积求出，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】取的中点，连接， ，，则二面角的平面角为， 二面角的大小为，则， 所以，， 又直三棱柱的体积为8，， 则，， 又平面平面，平面平面， 且平面，平面， 设点到平面的距离为，又， ，解得， 故选：A. 3．（23-24高一下·江苏无锡·月考）如图，已知正四棱锥的底面边长，侧面与底面所成的二面角的正切值为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据侧面与底面所成二面角的正切值得正四棱锥的侧棱长为2，连接，取的中点，连接,，则异面直线与所成角为（或其补角），在中，由余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，取的中点，连接, 取的中点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，且为中点， 所以， 所以为侧面与底面所成二面角， 即， 又因为底面边长为， 所以，即， 所以， 所以正四棱锥的侧棱长为2， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 二、解答题 4．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． (1)证明：平面ACD； (2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角的平面角为，可得，结合（1）分析可知锐二面角平面角为，运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，且，平面， 所以平面ACD. （2）过作，垂足为，连接，即， 因为平面ACD，平面ACD，则， 且，平面，则平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，且，可得， 由（1）可知：，则锐二面角平面角为， 且∥，可知， 可得， 所以锐二面角平面角的正弦值为. 5．（23-24高一下·贵州黔西·月考）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求的长度. (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得，再由正方形的边长可得答案； （2）取的中点，可得为二面角的平面角，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）连接，则， ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面，又平面， ∴，又正方形的边长为， ∴，； （2）取的中点，连接， ∵， ∴，， 为二面角的平面角， ∴， 由题可知与全等， 在中，，， ， ∴， ∴， ∴. 6．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【分析】（1）只需结合已知证明平面即可，再利用线面垂直的性质即可得证； （2）利用转换法，可知只需求出即可，再结合解三角形知识即可求解； （3）找出二面角的平面角，再结合解三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， （2） 平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， . （3） 由题意知平面，过点N作平行线交于点H， 面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，， 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， . 7．（2024高一下·全国·专题练习）在直角梯形中，，（如图所示），将沿折起，将D翻折到D′，记平面为α，平面ABC为β，平面为γ. (1)若二面角为直二面角，求二面角的大小； (2)若二面角为60°，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二面角为直二面角，取AC的中点E，连接，则，就垂直于β，找到β的垂线，再利用三垂线法找到二面角的平面角，把其放入直角三角形中，解三角形即可． （2）由二面角定义找到二面角的平面角，从而求出三棱锥的高，可解体积. 【详解】（1）在直角梯形中，由已知得为等腰直角三角形， ， 如图所示，过C作，垂足为H， 则，又， ， ， 取AC的中点E，连接，则， ∵二面角为直二面角， ∴，又平面β，， ， ，而， 为二面角的平面角． 由于，即二面角的大小为. （2）如图所示，过D′作，垂足为O，连接OE， ， 又由（1）可知，与相交于点D′，，平面， ∴平面，面，则， ，面，则面， 又面，则， ∴为二面角的平面角， ∴. 在中，，则， . 8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，结合，可得平面； （2）由题意可得与平面所成角即为与平面所成角，过作于，连接，可得，可求得，利用等体积法可求得到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）连接，因为，分别是，的中点，所以，， 又是的中点，底面是矩形，所以，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与平面所成角即为与平面所成角， 因为又平面，平面，所以， 过作于，连接， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以， 由，可得，所以， 设到平面的距离为， 由，所以， 又，所以， 所以，解得， 又，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值为. 【考点八：线面角、二面角中的探索性问题】 一、解答题 1．（23-24高一上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 2．（23-24高一下·广东茂名·月考）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中，， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则，， 可得，， 由得，， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 3．（24-25高一上·北京·期中）已知中，， ，，分别取边的点，使得，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足. (1)求证：平面； (2)试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）首先根据题意，，从而得到四边形为平行四边形，即，再利用线面平行的判定即可证明平面. （2）首先根据题意是二面角的平面角，在面内作于O，利用三棱锥等体积转化得到，从而得到到的距离，即可得到二面角的大小. 【详解】（1）取中点，连接，， 如图所示：         ∵为棱的中点，∴且， 而中，，， 则，且，∴，即. 且，∴四边形为平行四边形，∴. ∵平面，平面∴平面. （2）在的折起过程中，存在一个位置，满足二面角的大小为或，使得三棱锥的体积为. 在中，，，； 所以在立体图中，，，，平面， ∴是二面角的平面角， 且平面，∵平面，∴平面平面 在面内作于，如图所示： 则平面，∴为三棱锥的高. ，，∴， 所以到的距离为， 当为锐角时，，∴ ， 所以符合要求的的位置存在且二面角的大小为或. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键为利用等体积转化法得到，从而求高再计算正弦即可解题. 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出大小. （3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可. 【详解】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，    又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 5．（23-24高一下·重庆·期末）正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，使得能取得最大值，理由见解析 【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证. （2）根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解， （3）理由等体积法求解点到平面的距离为，即可由线面角的定义求解，由换元法，结合基本不等式取等条件得矛盾，即可求解. 【详解】（1）由于平面， 故平面， 又平面， 所以 （2）过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. （3）设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时，这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 6．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）构造平行四边形，利用平行四边形对边平行得线线平行，再用线面平行的判定定理即可. （2）一个平面内的直线，不平行则相交，将相关线段延长至相交即可. （3）做出二面角的平面角，由题意易得，再由等面积法计算出，由余弦值可得正切值，即可求解. 【详解】（1）时，为的四等分点（靠近）， 取中点为，取的四等分点（靠近）为，连接. 分别为的中点， ，且， 分别为的四等分点（靠近）， ，且， ，且，则四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面 （2）如图，平面中，与不平行，故与一定相交，设与交于点，连接，则点既在平面上，又在平面上，则为平面与平面的交线. （3）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，设与交于点, 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，，又，， 平面，又平面，， 又，，平面，又平面，. 所以为平面与平面所成的二面角. 假设存在满足条件的，即， 由已知可求得，所以， 所以，又， ，所以， 所以，， ， ， ，故， 由得， 又，所以，解得， 即存在使得平面与平面所成二面角的余弦值为. 【点睛】求无棱二面角（图中无法直接看出两平面的交线）的关键是补棱，即作出两个平面的交线，如本题的关键是要做出二面角的平面角，再由等面积法计算出，这一步的思路简单，难于计算过于复杂，接着如果要利用余弦值列式，还需求出，难度加大，因为已知，不如改用正切值来列式，后可以求解. 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图分析，则，，设，找到异面直线与所成的角，由余弦定理求解即可. 【详解】由题意，可作图， 则，，设， 在中，易知， 在中，，，， 在长方体中，易知， 则为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，则，同理可得， 由余弦定理，得． 故选：B 2．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为的中点，连接，，即可得到与所成的角即为与所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】设为的中点，连接，，又、分别是、的中点， 所以、分别为、的中线， 所以且，且， 所以与所成的角即为与所成的角， 又，所以，所以为直角三角形，且， 所以，所以， 即与所成的角为. 故选：C 【点睛】方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，连接，证明出平面，则是直线与平面所成的角，由边长关系，确定，得到答案. 【详解】正方体中，，连接，如图， 则有，而平面平面，故， 又平面，因此平面， 则是直线与平面所成的角， 又平面，故， 在中，，则有， 所以直线与平面所成的角为． 故选：A 4．（23-24高一下·天津滨海新·期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四面体中三角形的性质作出二面角的平面角，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为为等边三角形，，所以，且； 又为等腰直角三角形，，所以，且； 由二面角定义可得即为二面角的平面角， 在中，，，， 由余弦定理可得； 又，所以， 即二面角的大小为. 故选：A 二、填空题 5．（24-25高一下·江苏常州·期中）在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 . 【答案】/ 【分析】过点作于，连接，证明平面，则，从而可得即为平面与平面所成角得平面角，再解即可. 【详解】如图，过点作于，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为平面与平面所成角得平面角， ， 由， 得， 所以， 即平面与平面的夹角的正切值为.    故答案为：. 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【分析】取的中点为D，证明平面，即可得，求出相关线段长，根据三棱柱的体积公式计算即可得解. 【详解】取的中点为D，连接，由为正三角形，故， 又平面，平面，则， 又，平面，故平面， 连接，则即为与平面所成的角，即， 由平面，故； 由于，故，故， 在中，， 故. 故答案为：. 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为 ． 【答案】 【分析】取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形，根据题中信息求出圆台上、下底面半径，结合台体体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】如下图所示，在圆台中，设该圆台上、下底面的半径分别为、，高为， 取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形， 过点、在平面内作，，垂足分别为、， 由题意可知，，则、都为等腰直角三角形， 故，，则，， 在平面内，因为，，， 则四边形为矩形，故， 由题意可知，梯形的周长为， 即，解得， 故， 因此，该圆台的体积为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ，异面直线与所成夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】空1：把三棱锥的外接球转化成长方体的外接球求解；空2：构造两条异面直线的所成角，利用余弦定理求夹角的余弦. 【详解】由题意可知都是直角三角形，可补形为长方体如下图所示： 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球心为体对角线的中点，且， 即外接球半径，故该外接球的表面积； 补形如图， 作，故与所成夹角即为或的补角， 在中，易求， 则． 故答案为：； 9．（24-25高一下·上海·月考）如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】作,根据二面角的定义可得，即可利用余弦定理求解，进而由勾股定理求解. 【详解】过点作直线的垂线段，垂足为点，以为邻边作平行四边形，连接，如图，    由， 又，则就是二面角的平面角, 平面, 所以平面， 所以，在中，解：， 在中利用余弦定理得：， 解得：， 由于平面，平面，故， ，故， 在中，即：， 整理得：． 故答案为： 三、解答题 10．（24-25高一下·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明平面，再结合线面平行的性质求证即可； （2）过点P作于点M，连接EM，先证明平面BCFE，可得为直线PE与平面BCFE所成的角，进而求解即可. 【详解】（1）由，可知， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以． （2）由题知， 因为，所以， 过点P作于点M，连接EM， 由，则， 因为，，，平面，， 所以平面PFC，因为平面，所以， 因为，平面BCFE， 所以平面BCFE，则为直线PE与平面BCFE所成的角， 在中，， 所以直线PE与平面BCFE所成角的正弦值为． 11．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点． (1)求证：； (2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接、，推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）设，推导出平面，利用锥体的体积公式可求出的值，利用线面角的定义可知，直线与平面所成角为，计算出的正切值，结合的取值范围可得出的值，即为所求. 【详解】（1）取的中点为，连接、， 在直三棱柱中，，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，则，故， 因为，，，、平面，故平面， 因为平面，所以. （2）因为，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为，，则， 所以， 因为平面，平面，则， 因为，，所以四边形为矩形， 设，则， 所以，解得， 因为平面，所以直线与平面所成角为， 在中，，，所以， 因为，故，因此直线与平面所成角为. 12．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，取的中点M，连接，则由已知可得，结合可证得是等边三角形，则，从而可得，则，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）延长与交于点E，连接，取中点F，连接，，则可证得是平面与平面所成的二面角的平面角，在中求解即可； （3）设，点A到平面的距离为h，利用表示出，记与平面所成角为，表示出化简后利用基本不等式可求出其最大值，从而可求出四棱锥的体积. 【详解】（1）证明：，O点为的中点，． 取的中点M，连接，则，， 底面是平行四边形，， ，． ，∴， ，， 是等边三角形，． 在与中，，． ，． 又，平面，平面， 平面． （2）延长与交于点E，连接． 平面，平面，平面平面． 由，，得，， ，， 取中点F，连接，则． ，为等腰直角三角形． 连接，则， 是平面与平面所成的二面角的平面角． ，，，平面， 平面，， 在中，，， ． 平面与平面所成的二面角的正切值为． （3）设，点A到平面的距离为h． ，，， 等腰底边上的高为，， ． ，点C到的距离为，． ． ，即，． 记与平面所成角为． ， 当且仅当，即时，最大，最大， ． 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，考查线面角的求解，第（2）问解题的关键是利用二面角的定义结合已知条件作辅助角找出二面角的平面角，从而进行求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 13．（23-24高一下·山西大同·期末）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）由勾股定理逆定理求得，再借助三角形的中位线性质证得，，从而得到平面，进而得证； （2）先求出，再算出，根据等体积法，，从而得到点到平面的距离； （3）与平面所成的角为，设，在中，用余弦定理表示出，再在中，表示，，列方程求解即可. 【详解】（1）在中，，，所以， 所以，又点，分别为边，的中点， 所以，，，所以，， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） 因为，，所以二面角的平面角为， 所以，又，所以是等边三角形， 取的中点，连接，如图所示，所以，，， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面，因为，平面，平面， 所以平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 在中，，，， 所以， 设点到平面的距离为，又，所以， 解得，即点到平面的距离为． （3）由（2）知平面，所以与平面所成的角为． 在中，，，，设， 由余弦定理得． 因为平面，又平面，所以， 所以， 即，所以， 整理得，解得或， 故在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 的长为或． 【点睛】方法点睛：翻折问题的解题策略是确定翻折前后“变”与“不变”的关系，一般地，位于“折痕”同侧的线面之间的位置关系和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的线面之间的位置关系和数量关系可能会发生变化.对于不变的关系，可以在平面图形中处理，对于变化的关系，则要在立体图形中处理. 14．（23-24高一下·重庆·期末）如图，四棱锥中，四边形是平行四边形， 是正三角形， 平面 平面 (1)求证: 平面 ； (2)当 时， 若是面的重心，求直线与平面所成角的正弦值； 棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为 如果有，求此时的长度；如果无，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解. (2)()；()棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，即两点重合，. 【分析】（1）根据已知条件可得，再由平面与平面垂直的性质即可证明； （2）（i）如图①所示，过点作平面交平面于，连接，则为直线与平面的夹角，计算的正弦值即可； （ii）棱存在一点， 即点与点重合.如图②所示，过点作交于，连接,证明， 为平面与平面的夹角，计算的余弦值即可. 【详解】（1）因为, 且四边形是平行四边形， 所以, 所以. 因为平面平面， 且平面平面， 平面， 由平面与平面垂直的性质得 平面. （2）（i）如图①所示，反向延长至点，过点作， 因为平面平面， 且平面平面， 平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 设平行四边形对角线交点为，连接, 连接,反向延长交于， 因为点为的重心，即为的中点， 过点作平面交平面于， 又因为平面， 所以. 且三点在同一条直线， 所以，且点在上， 连接，则为直线与平面的夹角. 因为点为的重心，点为的中点， 所以,且相似于, 所以. 又因为为等边三角形，， 所以，, 所以，即. 在中，由余弦定理得 则. 因为四边形是平行四边形，, 所以, 即. 在中，由余弦定理得 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，且, 所以， 解得，即， 所以, 故直线与平面的夹角的正弦值为. （ii）棱存在一点，使得二面角的余弦值为， 即点与点重合，. 由（i）可知，, 即, 所以. 如图②所示，过点作交于，连接, 在中，，即. 因为，， 所以相似于， 即， 在中，由余弦定理得, 在中，由余弦定理得, 所以， 解得. 因为, 所以. 所以为平面与平面的夹角， 在中，由余弦定理得， 所以二面角夹角余弦值为. 故当点与点重合时，二面角的余弦值为. 所以棱存在一点，使得二面角的余弦值为， 即点与点重合，. 【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直、线面角及二面角，第（i）问解题关键是过点作平面交平面于，连接，则为直线与平面的夹角，计算的正弦值即可；第（ii）问，棱存在一点， 即点与点重合.解题关键是过点作交于，连接,证明， 为平面与平面的夹角，计算的余弦值即可. 15．（23-24高一下·天津·期末）如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先证明为直线与平面所成的角，再由线面角的定义进行求解即可； （3）取中点，利用线面垂直的性质结合即可确定为二面角的平面角，最后结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，又平面， 所以平面. （2）连接， 由（1）中平面， 可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点， 所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面， 所以，在中，， 所以，所以，又点为中点， 所以，同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 即：， 化简得到：， 所以或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为， 此时. 【点睛】关键点点睛：本题第3小题的解决关键是，利用三线合一分析得为二面角的平面角，从而得解. 16．（24-25高一上·上海·月考）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点，证明见解析； (3). 【分析】（1）构造辅助线，通过线线平行证明线面平行. （2）由线面平行得到线线平行，通过构造辅助线得到面面平行，从而证明线面平行. （3）通过构造辅助线找到二面角的平面角，利用角度得到各边之间的关系，结合二倍角公式即可得到结果. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）存在，点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$