第08讲 线面、面面的平行与垂直问题全归纳（思维导图+知识串讲+14大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 线面、面面的平行与垂直问题全归纳 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 利用中位线、平行四边形证明线面平行 1、证明平行之中位线 （1）可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； （4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 2、证明平行之平行四边形 （1）可以拿一把直尺放在位置，如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； （4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 知识点02 证明垂直的常见方法 （1）等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 （2）勾股定理的逆定理 如图：如果，则 （3）正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 （4）直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， （5）通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 （6）平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 知识点03 直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点04 两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 知识点05 直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 2、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ( _ _ a ) 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 ( _ ) 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 ( _ b _ a ) 3、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 ( _ b _ a ) 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 ( _ ) 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 知识点06 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ( _ ) 3、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ( _ _ a ) 【考点一：构造中位线证线面平行】 一、解答题 1．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 2．（24-25高一下·安徽合肥·月考）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若四棱柱的体积为24，且底面为平行四边形，求三棱锥的体积的值. 3．（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点.    (1)求证：平面； (2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【考点二：构造平行四边形证线面平行】 一、解答题 1．（24-25高一下·贵州黔南·期中）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点． (1)求证：直线平面； 2．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在直三棱柱中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若，且，求三棱锥的高. 3．（24-25高一上·北京·期中）如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； 【考点三：利用面面平行证线面平行】 一、解答题 1．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 2．（23-24高一下·海南海口·月考）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面. 3．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在，，上．如图，若Q满足，则点满足什么条件时，平面． 【考点四：利用线面平行的性质证明线线、线面平行】 一、解答题 1．（24-25高一上·湖北随州·月考）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【考点五：利用线段成比例证线面平行】 一、解答题 1．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，四棱锥，底面为菱形，，点E在底面的投影恰好为的重心F． (1)求证：平面； (2)求证：． 3．如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．    【考点六：四点共面问题】 一、解答题 1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）空间四边形中，点分别在上，且．求证：四点共面． 3．（24-25高一上·江西萍乡·期中）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点． (1)证明：，，，四点共面； 4．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 5．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，为三棱锥的高，，点M是AC的中点，且，点E，F分别在，上，且，． (1)线段上是否存在一点N，使得M，N，E，F四点共面？若存在，请确定点N的位置并证明；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的外接球的体积． 【考点七：面面平行的证明 】 一、解答题 1．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 2．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面； (2)若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． 3．（24-25高一下·天津西青·期中）在四棱锥 中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且. (1)求证:平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若、分为、的中点，点在线段上，且. 求证: 平面平行平面. 【考点八：面面平行的性质】 一、解答题 1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 2．（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 4．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线l，直线l与是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由．    【考点九：常见线面垂直的证明】 一、解答题 1．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证：      (1)平面； (2)平面 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    3．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． (1)若，求证：平面； (2)棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 5．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在三棱锥中，． (1)平面； 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在圆柱中，圆柱轴截面是一个边长为4的正方形，为弧中点，为中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面； 【考点十：利用全等三角形条件证明线面垂直】 一、解答题 1．（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，直角三角形ABC所在平面外有一点，且，为斜边的中点.求证:平面. 2．（24-25高一上·上海·期中）如图所示四棱锥，其中交于点.    (1)求证：平面； 3．（24-25高一上·湖北荆州·月考）如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. (1)求证：平面； 【考点十一：通过线面垂直证明线线垂直】 一、解答题 1．（23-24高一下·江苏镇江·期末）如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．证明：； 3．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 4．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形ABCD中平面是等腰直角三角形，， (1)求证：； (2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：平面BCE. 5．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 6．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 【考点十二：证明面面垂直】 一、解答题 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 3．（23-24高一下·安徽芜湖·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，G分别为线段，的中点，F为线段上的点. (1)若，平面∥平面，求线段的长度． (2)证明：平面平面； （备注：用空间向量解答不给分） 4．（24-25高一上·海南三亚·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 5．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 7．（23-24高一下·山东菏泽·月考）在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，，.    (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点为棱上一点，且平面，求的值； (3)求证：平面平面. 【考点十三：面面垂直性质定理的应用】 一、解答题 1．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 2．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：. 3．（23-24高一下·安徽·月考）几何体ABCDEF中，平面ADE、平面BCF和平面ACFE均与平面ABCD垂直，且，，，． (1)证明:; (2)求四棱锥与四棱锥公共部分的体积． 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 5．（23-24高一下·山东烟台·月考）如图，在四棱锥A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥BC，AB＝AC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点 (1)若N是线段AE的中点，求证：MN∥平面ACD； (2)若BE＝1，BC＝2，CD＝3，求证：DE⊥平面AME． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．与是否互相垂直？请证明你的结论． 【考点十四：平行、垂直问题中的探索性问题 】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 3．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 4．（23-24高一下·河北石家庄·月考）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 6．（23-24高一下·湖南·月考）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 一、解答题 1．如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 2．（23-24高一下·陕西渭南·月考）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. (1)若平面，试确定在上的位置，并说明理由； (2)若，证明：. 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 5．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 6．（24-25高一下·甘肃酒泉·月考）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 7．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 8．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 9．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 10．（23-24高一下·北京怀柔·期末）如图1，在中，分别为的中点.将沿折起到的位置（与不重合），连，如图2.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面交于过的直线，求证； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由. 11．（24-25高一下·北京·月考）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，， . (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 线面、面面的平行与垂直问题全归纳 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 利用中位线、平行四边形证明线面平行 1、证明平行之中位线 （1）可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； （4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 2、证明平行之平行四边形 （1）可以拿一把直尺放在位置，如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； （4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 知识点02 证明垂直的常见方法 （1）等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 （2）勾股定理的逆定理 如图：如果，则 （3）正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 （4）直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， （5）通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 （6）平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 知识点03 直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点04 两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 知识点05 直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 2、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ( _ _ a ) 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 ( _ ) 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 ( _ b _ a ) 3、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 ( _ b _ a ) 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 ( _ ) 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 知识点06 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ( _ ) 3、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ( _ _ a ) 【考点一：构造中位线证线面平行】 一、解答题 1．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定可得结论； （2）利用三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）如图所示，连接， 因为为平行四边形，是中点， 所以是平行四边形的对角线，所以是中点， 又因为是中点，所以是中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）. 2．（24-25高一下·安徽合肥·月考）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若四棱柱的体积为24，且底面为平行四边形，求三棱锥的体积的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，由中位线可知，然后结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由F是的中点得，再由平面，，所以，又，，联立即可得解. 【详解】（1）在四棱柱中，连接，如图，    因，分别是，的中点，则有，又平面，平面， 所以平面； （2）由F是的中点得， 又，平面，平面，则平面， 又点M是线段上的一个动点，则， 所以三棱锥的体积的值. 3．（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点.    (1)求证：平面； (2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）利用柱体和锥体的体积公式，分别求得和，根据题意，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，    在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； （2）解：在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为, 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为. 【考点二：构造平行四边形证线面平行】 一、解答题 1．（24-25高一下·贵州黔南·期中）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点． (1)求证：直线平面； 【答案】(1)证明过程见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，证明出线面平行； 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 2．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在直三棱柱中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若，且，求三棱锥的高. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出线线平行，再结合线面平行的判定证明即可； （2）利用等体积法可求答案. 【详解】（1）取的中点，连接, 因为分别为中点，所以且， 因为，所以， 因为为中点，所以且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为，且，所以，; 所以的面积为， 设三棱锥的高为，则, ，解得，即三棱锥的高为. 3．（24-25高一上·北京·期中）如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，可得，根据判定定理即可得证； （2）分别取的中点，构造过点且与平面平行的平面，可得，即可得证. 【详解】（1） 证明：取的中点，连接，在三棱柱中， 因为分别为的中点，则，且，为的中点， 则，且，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. （2） 证明：分别取的中点，连接， 设，则，且， 则则四点共面， 因为，又平面，平面 则平面，又平面，平面， 则平面，又， 则平面平面，又平面， 则平面，又平面平面， 平面平面，则， 又为的中点，则为的中点. 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. 【考点三：利用面面平行证线面平行】 一、解答题 1．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长. 【详解】（1）证明：在直四棱柱中，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. （2）解：因为，，，，， 所以，， 所以，，解得. 2．（23-24高一下·海南海口·月考）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接AC，，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； 【详解】（1）连接，设，因为是平行四边形， 所以是的中点，连接，又为侧棱的中点， 所以在中有：，又平面平面， 所以平面. （2）若为侧棱的中点，且由（1）知是的中点， 所以在中有：则，又平面平面， 所以平面， 由（1）知平面平面， 所以平面. 又平面， 所以平面平面，又平面，所以平面. 3．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在，，上．如图，若Q满足，则点满足什么条件时，平面． 【答案】为中点，证明见解析 【分析】当为中点时，取中点，根据三角形中位线性质、线面平行和面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行性质可得结论. 【详解】当为中点时，平面， 证明如下：连接交于点，连接，取的中点，取的中点，连接、、， 四边形为平行四边形，为中点，为中点，，为中点，， 平面，平面，平面； 分别为中点，， 平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 平面，平面. 【考点四：利用线面平行的性质证明线线、线面平行】 一、解答题 1．（24-25高一上·湖北随州·月考）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】连接AC交BD于点O，连接OM，先根据线面平行的判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理即可证明. 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， 因为四边形是平行四边形， 所以O是AC的中点，又M是PC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】作出辅助线，由中位线得到，得到线面平行，由线面平行的性质得到线线平行，从而平面． 【详解】如图所示，连接交于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． 又是的中点，∴． 而平面，平面， ∴平面． 又平面，平面平面， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，得到且，进而证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）连接与交于点，得到，证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得. 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为为的中点，可得且， 又因为为平行四边形，可得且， 所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）证明：连接与交于点，且为的中点， 由点为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   【考点五：利用线段成比例证线面平行】 一、解答题 1．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，连接，利用线面平行的判定，结合平行线分线段成比例定理推理得证； （2）在上取点，使，利用几何法，结合余弦定理求出夹角余弦. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接， 在梯形中，由，得， 由点是棱上靠近端的三等分点，得，则， 而平面，平面，所以平面. （2）在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，，在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，四棱锥，底面为菱形，，点E在底面的投影恰好为的重心F． (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）连接交于点,根据底面为菱形，因为为的重心，所以在上，可得，结合，根据线段成比例可得，所以平面. （2）因为，所以平面,可得平面,，结合底面为菱形得所以平面,推得. 【详解】（1）如图所示，连接交于点, 底面为菱形，所以为的中点， 因为为的重心，所以在上，且，可得 ，在中根据线段成比例可得， 又因为平面平面， 所以平面. （2）由（1）可知，，因为点E在底面的投影恰好为的重心F．所以平面,可得平面, 因为平面，所以 因为底面为菱形，所以 因为是平面内两条相交直线，所以平面, 因为平面,所以. 3．如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．    【答案】证明过程见解析 【分析】作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行，面面平行，从而证明出线面平行. 【详解】在上取，使得，则， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，所以，则， 又中，，故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面.    【考点六：四点共面问题】 一、解答题 1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 【答案】证明见解析； 【分析】证明即可证明结论. 【详解】证明：因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， 所以， 所以， 所以四点E，F，G，H共面. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）空间四边形中，点分别在上，且．求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】根据条件，利用基本事实2的推论3，即可证明结果. 【详解】∵， 所以，，得到， 所以四点共面. 3．（24-25高一上·江西萍乡·期中）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点． (1)证明：，，，四点共面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据条件证明出线线平行，即可得到四点共面； 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 4．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 5．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，为三棱锥的高，，点M是AC的中点，且，点E，F分别在，上，且，． (1)线段上是否存在一点N，使得M，N，E，F四点共面？若存在，请确定点N的位置并证明；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的外接球的体积． 【答案】(1)存在，当为的中点，证明见解析 (2) 【分析】(1)已知E，F分别为、上的三等分点，可证，据传递性，为的中点时，，满足题设； (2)据线面垂直的性质和直角三角形的性质，可发现M到各顶点距离相等，为外接球球心，问题可得解. 【详解】（1）存在，当为的中点时满足条件．证明如下： 如图，连接， 则是的中位线，所以， 又，所以， 所以，所以四点共面． （2）因为是的中点，为三棱锥的高， 所以， 所以， 又，所以点为三棱锥的外接球的球心， 则外接球的半径为， 三棱锥的外接球的体积为． 【考点七：面面平行的证明 】 一、解答题 1．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． 【详解】（1）在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 2．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面； (2)若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，交于，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）先证，利用线面平行的判定得平面，结合（1）及面面平行的判定证明面面平行. 【详解】（1）连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点， 又E为的中点，则，平面，平面， 所以平面； （2）平面平面，证明如下： 由F为的中点，连接； E为的中点，易知， 所以为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面， 由（1）平面，且，平面， 所以平面平面. 3．（24-25高一下·天津西青·期中）在四棱锥 中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且. (1)求证:平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若、分为、的中点，点在线段上，且. 求证: 平面平行平面. 【答案】(1)证明见解析. (2). (3)证明见解析. 【分析】（1）由三角形中位线及线面平行的判定即可证明； （2）通过转化得异面直线MO与EC所成角即为PC与EC夹角，由余弦定理求解即可； （3）连接，由线线平行证明线面平行，再根据面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）证明：连接，则为中点，点为中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面． （2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， ，，所以为等腰直角三角形， 设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． （3）连接，如图所示，因为、分别为、的中点， 所以， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，且， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，、平面， 所以平面平面． 【考点八：面面平行的性质】 一、解答题 1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【详解】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 2．（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合平行四边形性质，利用线面平行、面面平行的判定推理即得. （2）证明的延长线与的延长线交点重合，再利用面面平行的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）延长与的延长线分别交于点， 由，，得，由，G是棱的中点，得， 因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面， 由（1）知，平面平面，所以. 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点为棱BC的中点时，平面平面， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【详解】（1）因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 4．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线l，直线l与是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由．    【答案】平行，证明见解析 【分析】取的四等分点且，可证明平面平面，延长与相交于点，直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l即直线， 由面面平行的性质定理，有. 【详解】取的四等分点且，连接，， ．， ， ，，    ∵平面，平面，∴平面，同理可得平面， ，平面． 平面平面， 延长与相交于点，连接， 直线MN与PB确定一个平面，平面与平面PAD的交线l即直线， 平面，平面，则有. 【考点九：常见线面垂直的证明】 一、解答题 1．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证：      (1)平面； (2)平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形得到线线平行，结合线面平行的判定定理得证； （2）利用线面垂直的判定定理得证. 【详解】（1）如图，取的中点，连结，因为是的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面；    （2）连结，因为，是的中点，所以， 在中，，，， 所以，由条件，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面.    2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直性质以及菱形性质可得，，根据线面垂直判定定理即可得出平面. 【详解】因为平面，平面， 所以， 因为底面是菱形，所以， 因为，平面， 所以平面. 3．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． (1)若，求证：平面； (2)棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）结合题意，利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）取的中点为，的中点为，连接，结合题意利用面面平行的判定定理及性质定理即可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ， 底面为菱形，为的中点，， ， 又，平面， 平面. （2）棱上存在点，使得平面， 理由如下： 取的中点为，的中点为，连接， 底面为菱形，为的中点，分别为的中点， ， ，平面，平面， 平面， 同理，平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面， 平面， 棱上存在中点，使得平面. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由为矩形及线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判断和性质有，最后应用线面垂直的判定证平面. 【详解】为矩形， 平面平面 ， 又，平面， 平面，又平面， ， 又，平面， 平面. 5．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在三棱锥中，． (1)平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可证得平面； 【详解】（1）在中，， 由余弦定理， 即，解得， 所以，即，所以， 又，，平面， 所以平面； 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在圆柱中，圆柱轴截面是一个边长为4的正方形，为弧中点，为中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直得出线线关系及边长再应用即可得解； （2）应用平面性质，结合线面垂直判定定理即可证明； 【详解】（1）因为，又因为平面，平面， 所以所以， 所以三棱锥的表面积为 （2）因为平面，平面， 所以，又因为是圆的直径，所以， 平面，，所以平面； 【考点十：利用全等三角形条件证明线面垂直】 一、解答题 1．（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，直角三角形ABC所在平面外有一点，且，为斜边的中点.求证:平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】证明如下：因为，为斜边的中点， 所以， 在直角中，有，已知， 所以，所以，即. 又平面， 所以平面. 2．（24-25高一上·上海·期中）如图所示四棱锥，其中交于点.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面. 【详解】（1）因为， 所以均在的垂直平分线上，所以， 因为， 所以， 因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面， 3．（24-25高一上·湖北荆州·月考）如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过证明，，证得线面垂直； 【详解】（1）证明：正方体中， 因为，分别为棱，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 正方形中，∵为的中点，为的中点， ∴，∴， 设、交点为，则， ∴，即； 又、平面，， ∴平面. 【考点十一：通过线面垂直证明线线垂直】 一、解答题 1．（23-24高一下·江苏镇江·期末）如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证. 【详解】（1）在正方体中， 又平面，平面，所以平面； （2）连接、，在正方体中为正方形， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由向量共线得到，进而得到平面，再结合题中条件利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质即得到. 【详解】因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； 3．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 4．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形ABCD中平面是等腰直角三角形，， (1)求证：； (2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：平面BCE. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）若为的中点，连接，得，根据已知及线面垂直的性质得、，再利用线面垂直的判定有平面，进而得，即可证结论； （2）若为的中点，连接，易得，，利用线面平行的判定证平面，平面，最后由面面平行的判定和性质证明结论. 【详解】（1）若为的中点，连接，结合题设易知为正方形，即， 由是等腰直角三角形，，则， 由平面，平面，则， 又都在平面内，则平面， 由平面，则，结合，有； （2）若为的中点，连接，又分别为的中点， 所以，， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面BCE. 5．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）易证平面，得到，再由平面．得到，进而可求证； （2）由条件得到平面．再结合（1）得到，进而得到平面．即可求证. 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 因为为矩形，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）因为平面，平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又由（1）有平面，平面，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 6．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接、，证明出，则或其补角为异面直线与所成角，然后求出三边边长，结合余弦定理求解的余弦值即可； （2）证明出平面，可得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】（1）取中点，连接、， ，，四边形是平行四边形，则， 或其补角为异面直线与所成角， 翻折前，即，， 翻折后，则有，，且有， ，， 又，、平面，面， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）面，平面，， ，，，，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，， ，、平面，面， 因为平面，， 又，为的中点，， ，、平面，面， 平面，. 【考点十二：证明面面垂直】 一、解答题 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】证明和，根据面面垂直的判定定理即可证明结论. 【详解】连接交于点，连接．因为四边形是菱形， 所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为，平面，且，所以平面． 而平面，所以平面平面． 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中点关系可证明四边形MECB是平行四边形，即可根据线线平行求证, （2）根据勾股定理可证明，根据线面垂直的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 由于，为中点，则且． ∵且， ∴且， ∴四边形MECB是平行四边形， ∴.又平面PAB，平面， ∴平面．    （2）∵平面，平面， ∴， 又, 故， ∴． ∵，平面, ∴平面，又平面， ∴平面平面． 3．（23-24高一下·安徽芜湖·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，G分别为线段，的中点，F为线段上的点. (1)若，平面∥平面，求线段的长度． (2)证明：平面平面； （备注：用空间向量解答不给分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，由，可求得，由面面平行的性质可得，则F为线段上的中点，从而可求得线段的长度； （2）由平面，得，再结合底面为正方形和线面垂直的判定定理可得平面，则，则等腰三角形的性质得，则得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）解：连接，因为底面，底面，所以， 所以， 因为底面是正方形，，所以, 所以，因为，所以， 由平面∥平面，平面平面，平面平面， 所以∥，又E为线段的中点，得F为线段上的中点， 所以； （2）证明：因为平面，平面，所以， 又底面是正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，E为线段的中点，所以， 又，，平面，得平面， 因为平面，所以平面平面. 4．（24-25高一上·海南三亚·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 5．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，根据三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；方法二：取的中点为，连接，可证得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论； （2）由已知线面垂直可得，再结合可证得平面，则，再由等腰三角形的性质可得，则平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）方法一： 证明：连接，如图， 因为分别是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则. 又平面平面， 所以平面. 同理可证平面， 因为，平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下： 因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结交于，连结，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 7．（23-24高一下·山东菏泽·月考）在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，，.    (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点为棱上一点，且平面，求的值； (3)求证：平面平面. 【答案】(1). (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解， （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解， （3）根据线面垂直的判定求证平面，即可由面面垂直的判定求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即， 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以是等腰直角三角形， 所以，   即异面直线和所成角为. （2）因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为，， 所以， 所以. （3）取的中点，连接，，    因为是正三角形，，所以， 因为是中点，所以， 因为平面， 所以，，， 因为，所以，， 设，在等腰直角三角形中，， 在中，， 在直角梯形中，， 因为，点为的中点， 所以， 在中，， 在中，由，，，可知， 所以， 由，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 【考点十三：面面垂直性质定理的应用】 一、解答题 1．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，即可得，结合，即可由线面垂直的判定求证. 【详解】由题意知为正三角形，是AD的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 又四边形是菱形且， 是正三角形，.又，，平面， 平面. 2．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）由面面垂直得出线面垂直，再由线面垂直得出线线垂直. 【详解】（1）连接交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又平面，且平面， 所以平面. （2）连接，因为，所以四边形为菱形， 所以， 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以.    3．（23-24高一下·安徽·月考）几何体ABCDEF中，平面ADE、平面BCF和平面ACFE均与平面ABCD垂直，且，，，． (1)证明:; (2)求四棱锥与四棱锥公共部分的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直和线线垂直，通过证明平面ABCD，平面ABCD，证得； （2）连接EC，AF交于点，则四棱锥与的公共部分为四棱锥，结合线面位置关系和已知数据，求出棱锥底面积和高，可求体积. 【详解】（1）在平面ABCD内取点，作交AD于点，作交AC于点，作交BC于点， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面ADE，又平面ADE，所以， 同理平面，平面BCF， 所以，，， 又，平面ABCD，所以平面ABCD， 同理平面ABCD，故. （2）连接EC，AF交于点，则四棱锥与的公共部分为四棱锥， 平面ABCD，平面ABCD，， 过点作，垂足为，平面中，，则平面ABCD， 因为，所以，即， 又梯形ABCD的面积为， 故. 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 5．（23-24高一下·山东烟台·月考）如图，在四棱锥A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥BC，AB＝AC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点 (1)若N是线段AE的中点，求证：MN∥平面ACD； (2)若BE＝1，BC＝2，CD＝3，求证：DE⊥平面AME． 【答案】(1)证明详见分析. (2)证明详见分析. 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面平面，即可证明平面. （2）连接，证明，即可证明平面. 【详解】（1）取的中点,连接， 是的中点，， 又， ， 又平面，平面， 平面， 同理分别是的中点，， 又平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面， 平面. （2）连接，由，为的中点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， 由勾股定理，在中，，得， 在中，，得， 在直角梯形中，由平面几何知识计算得：， ， ， 又，平面，平面， 平面. 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．与是否互相垂直？请证明你的结论． 【答案】互相垂直，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，先根据面面垂直的性质定理得到底面，进一步根据线面垂直得到，再证明，根据线面垂直的判定定理得到平面，最后根据线面垂直的定义可得. 【详解】与互相垂直．证明如下：如图，取的中点，连接，． ，， 又侧面底面，平面平面，平面， 底面， 又平面，． 在和中，，,， 所以：. 所以，， ，， 又，且，平面，平面， 又平面，，即与互相垂直． 【考点十四：平行、垂直问题中的探索性问题 】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【答案】存在，为的中点，证明见解析 【分析】当为的中点时，取得中点，连接，，，先利用中位线及平行四边形的性质得出，再根据线面平行的判定定理即可证明. 【详解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下：    取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【分析】通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理确定的值，使平面. 【详解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    3．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 4．（23-24高一下·河北石家庄·月考）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，平面，证明见解析. 【分析】（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可； （2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面； （3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可. 【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面， 且，，， ∴由三棱柱体积公式得：； （2）证明：取的中点，连接，，    ∵，分别为和的中点， ∴，， ∵平面，平面， 平面，平面， ∴平面，平面， 又，∴平面平面， ∵平面，∴平面； （3）连接，设， 则由题意知，， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面，则平面， 因为平面，∴平面平面，平面平面， ∵，∴，又点是的中点，则平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，由线面垂直的判定定理只需即可， 又∵，∴， ∴，即， ∴，则时，平面. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】过作∥，交于，连接，，则可得，由已知可得，则得，所以，在中可求得，所以∥，然后利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 6．（23-24高一下·湖南·月考）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 一、解答题 1．如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）为的直径，点为上的异于，的任意一点，可得, 又圆柱中，底面可得，得证． （2）取中点，连结、，应用三角形中位线定理得，又圆柱中，，且，推出为平行四边形，得到即得证． 【详解】（1）∵为的直径，点为上的异于，的任意一点， ∴．又在圆柱中，底面，底面， ∴，又，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴在中，，且， 又在圆柱中，，且， ∴，，∴四边形为平行四边形， ∴．而平面，平面， ∴平面. 2．（23-24高一下·陕西渭南·月考）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. (1)若平面，试确定在上的位置，并说明理由； (2)若，证明：. 【答案】(1)是的中点；理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得，从而根据是线段的中点即可确定点的位置； （2）通过等腰三角形的性质证得，，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明． 【详解】（1）是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得，又是的中点，在上， 所以是的中点； （2）取的中点，连接，， 因为，为中点， 所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面， 所以． 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）由题设先证明得，再由正三棱柱的结构有平面平面且，应用面面、线面垂直的性质得，最后由线面垂直的判定证明结论. 【详解】（1）连接，交于，连接，由题意易知是的中点， 又分别为中点，则， 由平面，平面，则平面； （2）由分别为中点，则， 在正三棱柱中且，则， 所以，则， 由为正三角形，为中点，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 由且都在平面内，则平面. 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理求解即得. （3）由（2）求得，再在上取点，利用线面平行的判定推理得解. 【详解】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2）连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ，于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. （3）由（2）得，，在上取点，使， 则，，而平面平面，平面，因此平面， 所以线段上存在点N，使得平面，. 5．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 6．（24-25高一下·甘肃酒泉·月考）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，从而，异面直线所成的角即为，在中，由余弦定理求得余弦值； （2）由三角形相似得，再由底面，得，由线面垂直的判定定理得平面. 【详解】（1） 取中点，连接， 因为是的中点，是的中点，， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成的角，即为， 因为面，面，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2） 设， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为面，面，所以， 又因为平面，，所以平面. 7．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii） 【分析】（1）连接交于，由三角形中位线可证，进而由线面平行的判定定理可证； （2）（i）由面面平行的性质定理可证；（ii）猜测点H为靠近点P的三等点，在此基础上证明平面平面即可. 【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形， 所以为的中点，而为的中点，所以， 又平面平面； 所以平面； （2）（i）因为平面平面，平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得； （ii）当为的三等点且时，有平面平面，下面证明： 因为为上的点，且，所以在中，，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以平面， 由（i）可知，因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，所以. 8．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行； （2）利用面面垂直可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （3）当N为中点时，由中位线可得线线平行，据此可得线面垂直，即可得解. 【详解】（1）在正方形中，E、M分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面⊥平面，且交线为，，平面， 所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面. （3）存在，当N为中点时，平面⊥平面， 证明如下：连接，交于点O，连接. 因为∥，并且 ，所以四边形为平行四边形， 所以. 又因为为中点，所以. 因为平面⊥平面，平面平面， 又平面，由已知可得， 所以平面，  所以⊥平面. 又因为平面，所以平面⊥平面. 所以存在点N，使得平面⊥平面，且 9．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 10．（23-24高一下·北京怀柔·期末）如图1，在中，分别为的中点.将沿折起到的位置（与不重合），连，如图2.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面交于过的直线，求证； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. (3)在线段上存在点，即为的中点,使得平面. 【分析】（1）先证明，根据线面垂直的判断定理得平面，再由面面垂直的判断定理即可证明； （2）先证明平面，再由平面，且平面平面，根据线面平行的性质得. （3）线段上存在点，即为的中点，取中点，连接，证明平面，再由四点在同一个平面得到平面. 【详解】（1）因为在中，分别为中点， 所以， 将翻折到的位置后，即， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）因为在中，分别为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且平面平面， 所以. （3）在线段上存在点，即为的中点，使得平面. 证明如下： 取中点，连接， 由（1）可知，平面， 因为平面， 所以， 因为为中点， 所以，即为等腰三角形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为为的中点，即， 所以四点在同一个平面. 所以平面.    11．（24-25高一下·北京·月考）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，， . (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）连结交于O，连结，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）应用线面垂直的性质及判断证明，再由已知得，最后由线面垂直的判定证明结论； （3）当点N为中点时，即，设中点为D，连结DM，，先证，再结合（2）平面及面面垂直的判定证明结论，即可得. 【详解】（1）连结交于O，连结 在中，因为M，O分别为AC，中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）因为侧棱底面ABC，平面ABC，所以 又M为棱AC中点，，所以 因为，，平面 所以平面，平面，所以 因为M为棱AC中点，，所以，又， 所以在和中， 所以，即，所以 因为，BM，平面，所以平面 （3）当点N为中点时，即，平面平面 设中点为D，连结DM， 因为D，M分别为，AC中点，所以，且 又因为N为中点，所以，且， 所以四边形DMBN是平行四边形，所以， 结合（2）平面，则平面， 又平面，所以平面平面 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$