第03讲 等式与不等式（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等式与不等式 目录 01 常考题型过关练 题型01 不等式的性质 题型02 一元二次不等式 题型03 分式不等式 题型04 一元二次不等式恒（能）成立问题 02 核心突破提升练 01 不等式的性质 1．已知，，则的大小关系为 . 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】借助作差法后配方即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 2．已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】借助不等式的性质计算即可得. 【详解】由，，则. 故答案为：. 3．（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、绝对值三角不等式 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、对数的运算性质的应用、比较指数幂的大小 【分析】利用特值法排除A，C，D，利用不等式的性质判断B. 【详解】根据题意，，则， 当时，，A错误； 由，所以，B正确； 当时，，C错误； 当时，不存在，D错误. 故选：B 5．设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 6．若实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，，，所以，A选项错误； ，则，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项错误. ，其中， 所以，D选项正确. 故选：D 7．已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】通过取，即可判断出选项A，C和D的正误，对于B，通过作差，即可求解. 【详解】取，显然满足，此时，，， 所以选项A，C和D错误， 对于选项B，因为， 又，所以，得到，即，所以选项B正确， 故选：B. 02 一元二次不等式 8．已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用二次函数的判别式的符号，判断不等式恒成立. 【详解】因为，所以不等式的解集为. 故答案为：. 9．设全集为，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解一元二次不等式再根据补集定义计算即可. 【详解】由， 则． 故答案为：. 10．不等式的解集为，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根与系数的关系求出即可. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的两根， 则，解得，所以. 故答案为： 11．已知集合，集合，那么 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解． 【详解】因为集合,，集合或， 那么,． 故答案为：,． 03 分式不等式 12．（2025·上海·三模）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将不等式转化为，且求解. 【详解】不等式等价于，且， 解得，所以不等式的解集为， 故答案为： 13．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为： 14．命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分式不等式、根据全称命题的真假求参数 【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围. 【详解】由可得：，解得：或， “若，则”是真命题，则能推出或成立， 则.故实数的取值范围是. 故答案为： 15．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、分式不等式 【分析】分和两种情况讨论，时显然不成立，时，，根据可求得的取值范围. 【详解】当时，显然不成立. 当时，，又，所以， 当时，无解；当时，解得； 所以. 故答案为： 16．已知集合与集合，求集合 【答案】 【知识点】分式不等式、交集的概念及运算 【分析】由题意先解分式不等式将集合化简，然后结合交集的概念即可得解. 【详解】由题意，，所以. 故答案为：. 17．集合，，则 . 【答案】 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、交并补混合运算 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】或， 所以. ， 即，解得或，所以或， 所以. 故答案为： 04 一元二次不等式恒成立(能）问题 18．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意，转化为在上恒成立，利用判别式求解. 【详解】因为不等式的解集是， 在上恒成立， ，即． 故答案为: . 19．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】运用判别式求解. 【详解】由题意知 ，解得 或 ， ∴b的取值范围是 ； 故答案为：. 20．若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式，利用所得不等式求得结果. 【详解】不等式对一切实数x恒成立， ，解得： 故答案为：. 21．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 22．不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】先对不等式等价变形，通过换元法化双变量为单变量，再分离参数，结合基本不等式求最值计算即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 23．已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为函数,与均不大于1.5， 得到, 先考虑，整理得, 设，因为， 所以判别式，即,解得：， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到或， 结合，得到或； 再考虑，整理得， 设， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到， 综上可知：， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题干列出不等式，再根据不等式的求解设出函数，利用极端情况满足存在实数t使两个不等式成立，两个函数得需有交点. 24．若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【详解】（1）由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 25．已知向量，满足，，设与的夹角为， (1)当时，求与的夹角； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）分别求出，再利用夹角公式即可得解； （2）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解. 【详解】（1）向量，满足，，设与的夹角为， 所以， ，则， 则， 故与夹角为. （2）将不等式两边同时平方， 得， 即 因为，与的夹角为， 则恒成立， 所以， 化简得，解得． 一、填空题 1．不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得. 【详解】原不等式等价于，解得或, 故答案为：. 2．设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、垂直关系的向量表示、解不含参数的一元二次不等式、圆的参数方程 【分析】首先分析向量关系，建立平面直角坐标系，设点的坐标，根据已知条件得到，消去m得到，借助三角函数的值域得到的取值范围，最后最后求的最小值即可. 【详解】已知，则这两个向量垂直，所以. 则Q再以MN为直径的圆上. 以原点O建立平面直角坐标系，设，，，.   由，可得，对于， 从解出，代入中，经过化简可以得到. 将代入，得到，进一步变形为.   因为，所以. 当时，解方程， 令，则方程变为，可得. 因为，所以（舍去），则； 当时，，，或者， 又因为且存在其他条件限制，所以.   因为，当取最小值时，. 故答案为：. 3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】根据分式函数中分母不为0得恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分情况讨论，当时，满足题意；当时，只需要满足解不等式组即可. 【详解】不等式对一切实数x都成立， 当时，对一切实数都成立，满足题意； 当时，只需要满足 解得 综上结果为：. 故答案为： 5．已知函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由奇偶性求参数 【分析】由函数为偶函数求出，再解不等式即可. 【详解】由函数（）为偶函数， 则，即， 解得， 此时， 因为， 所以函数是偶函数，符合题意， 由即，即， 解得且， 所以不等式的解集为. 故答案为： 6．已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、利用不等式求值或取值范围、求二次函数的值域或最值 【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值. 【详解】当时满足：且， ，即，进而，解得． 所以或， ， 令， ， 由于 所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 所以 故答案为：． 7．已知若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】. 【知识点】根式不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】不等式可以转化为，先考虑时，当时，考虑和两种情况对根式不等式进行讨论，最后求出答案. 【详解】由题意，. 当时，，； 当时， （1）若，则，设，于是，所以. （2）若，首先，而函数在上单调递减，则，而函数在上单调递减，则，则，设，于是， 所以. 综上：. 8已知首项为的数列的前项和为，定义在上恒不为零的函数，对任意的，都有．若点在函数的图象上，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、解不含参数的一元二次不等式、数列不等式恒成立问题 【分析】令，可得，求出等比数列的前项和，结合恒成立问题可得的取值范围. 【详解】∵对任意，都有， ∴令，得，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴. ∵不等式对恒成立， ∴，解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 9．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的序号为 ． （1）的严格减区间是 （2）的极小值是 （3）当时，对任意的且，恒有 【答案】（1）（3） 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、作差法比较代数式的大小 【分析】利用导数研究的单调性和极值判断（1）（2），由，应用作差法比较与的大小即可. 【详解】由题设，令， 当，，即递增， 当，，即递减， 当，，即递增， 所以的极小值是， 由，则 ， 又，且，故， 所以恒成立. 综上，（1）（3）为真，（2）为假. 故答案为：（1）（3） 二、单选题 10．已知函数是偶函数，且在区间上是严格增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、指数不等式 【分析】由与图象的平移关系，可得的对称性与单调性，利用单调性解抽象不等式即可. 【详解】因为函数是偶函数，且在区间上是严格增函数， 而函数图象可由函数向右平移个单位得到， 故函数关于直线对称，且在区间上是严格增函数， 由，且， 得，即，解得. 不等式的解集为. 故选：B. 11．已知a，b，，则“”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】探求命题为真的充要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】对于ACD：举例分析判断；对于B：根据函数单调性结合充分必要条件的定义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，满足，不满足， 即不能推出，故A错误； 对于选项B：因为在上单调递增，则等价于， 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于选项C：例如，则， 即不能推出，故C错误； 对于选项D：例如，满足，不满足， 即不能推出，故D错误； 故选：B. 三、解答题 12．已知关于的不等式的解集为，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】一元二次方程根的分布问题、利用不等式求值或取值范围、根据集合的包含关系求参数 【分析】(1)(2)由集合的包含关系转化为一元二次方程根的分布问题进行讨论即可. 【详解】（1）由题意得，同时注意， 所以或，解得； （2）在上恒成立； 同时注意当时，对称轴， 所以或或， 解得． 13．已知，关于x的不等式． (1)若，且，求解该不等式； (2)若该不等式解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）因为，由得，由得则，化简不等式，解出即可； （2）根据题意知，的解集为，的解集为，结合韦达定理及，解出即可. 【详解】（1）因为，且，故， 又，故则， 所以不等式可化为， 即，解得或 故不等式的解集为 （2）若不等式的解集为， 则的解集为,即在上恒成立， 故， 且的解集为，即是方程的两根， 则， 由， 得， 解得，又， 故a的取值范围为 14．已知集合，常数，. (1)当时，求； (2)若是的必要非充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】并集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）求解不等式化简集合，再由并集运算可得； （2）分类讨论求解集合，再由是的必要非充分条件，得，由包含关系列出参数的不等式，求解可得. 【详解】（1）由，解得，则， 当时，， 所以，则. （2）由是的必要非充分条件，则， 由， 当时，，， 而，不满足； 当时，，， 要使，则，且等号不同时成立， 解得， 故实数a的取值范围为. 15．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若关于的不等式有且只有一个整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由一元二次不等式的解确定参数、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数有求参数值，注意验证所得函数是否为奇函数即可； （2）由所得函数解析式判断函数单调性，结合奇函数得，整理成一元二次不等式形式，讨论参数a求对应解集，根据题设要求确定参数范围. 【详解】（1）由题设，故， 所以的定义域为R，且， 故满足为奇函数，则. （2）由在R上为增函数，而， 所以， 若，则解集为或，不符合题设； 若，则解集为，不符合题设； 若，则解集为，此时有且只有一个整数解，则； 若，则解集为，不符合题设； 若，则解集为，不符合题设. 综上，，即. 16．记代数式. (1)当时，求使代数式有意义的实数的集合； (2)若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的概念判断与求值、一元二次不等式在某区间上有解问题、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）分、、三种情况解不等式，由此可得出结果； （2）解出使得有意义时的取值范围是，由题意可知，存在，使得成立，通过去绝对值再由且且可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， ①当时，，解得，此时； ②当时，，原不等式无解； ③当时，，解得，此时. 解得或， 故实数的集合为. （2）因为， 则，解得， 由题意可知，存在，使得成立， 即有解， 因为且，则， 所以 即在时有解，所以， 又因且，解得且， 所以实数的取值范围为. 17．为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)车辆的平均速度为35千米/小时，最大车流量为12000辆/小时； (2). 【知识点】分段函数模型的应用、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最大值即得. （2）利用给定条件，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以车辆的平均速度为35千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000辆/小时. （2）当时，，整理得，解得，则， 当时，，不等式化为： ，整理得，解得或，则， 所以汽车的平均速度应在范围内. 18．已知数列，其前n项和满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，，，记为的前n项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）由条件可得，，然后可得，，两式相减即可证明. （2）由（1）的结论结合已知求出，再利用等比数列前n项和公式求出，然后计算出即可. 【详解】（1）由，，得，， 两式相减得，即，于是， 上述两式相减得， 化简得，即， 所以数列为等差数列． （2）由，得，得，而，由（1）知，为等差数列，则， 而数列满足，则，即， 又，，因此数列为等比数列，，公比，， 则，从而， 所以． 19．已知函数 (1)解不等式; (2)若关于的方程在上有两解，求的取值范围: (3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由换元法求解， （2）参变分离后转化为求值域问题， （3）由函数的奇偶性先求出、的解析式，再由换元法与参变分离求解. 【详解】（1）设，则原不等式可化为，解得， 则， 故原不等式的解集为 （2），即， 设，则在上有两解， 由图知，    （3）由题意得 解得 故原不等式即对恒成立， 令，不等式可化为对恒成立， 即，而，由对勾函数性质得当时， 取最大值，则 【点睛】本题主要考查函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合(图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立； ④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式 目录 01 常考题型过关练 题型01 不等式的性质 题型02 一元二次不等式 题型03 分式不等式 题型04 一元二次不等式恒（能）成立问题 02 核心突破提升练 01 不等式的性质 1．已知，，则的大小关系为 . 2．已知，，则的取值范围是 . 3．（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 6．若实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 02 一元二次不等式 8．已知，则不等式的解集为 ． 9．设全集为，集合，则 ． 10．不等式的解集为，则 ． 11．已知集合，集合，那么 . 03 分式不等式 12．（2025·上海·三模）不等式的解集为 . 13．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 14．命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是 . 15．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 16．已知集合与集合，求集合 17．集合，，则 . 04 一元二次不等式恒成立(能）问题 18．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 19．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 20．若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是 . 21．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 22．不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 23．已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为 . 24．若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 25．已知向量，满足，，设与的夹角为， (1)当时，求与的夹角； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 一、填空题 1．不等式的解集为 . 2．设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为 . 3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 5．已知函数为偶函数，则不等式的解集为 . 6．已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是 ． 7．已知若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为 . 8已知首项为的数列的前项和为，定义在上恒不为零的函数，对任意的，都有．若点在函数的图象上，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ． 9．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的序号为 ． （1）的严格减区间是 （2）的极小值是 （3）当时，对任意的且，恒有 二、单选题 10．已知函数是偶函数，且在区间上是严格增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．已知a，b，，则“”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 12．已知关于的不等式的解集为，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 13．已知，关于x的不等式． (1)若，且，求解该不等式； (2)若该不等式解集为，求a的取值范围． 14．已知集合，常数，. (1)当时，求； (2)若是的必要非充分条件，求实数a的取值范围. 15．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若关于的不等式有且只有一个整数解，求实数的取值范围. 16．记代数式. (1)当时，求使代数式有意义的实数的集合； (2)若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围. 17．为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 18．已知数列，其前n项和满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，，，记为的前n项和，求证：． 19．已知函数 (1)解不等式; (2)若关于的方程在上有两解，求的取值范围: (3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$