第02讲 常用逻辑用语（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 常用逻辑用语 目录 01 常考题型过关练 题型01 命题 题型02 充分条件和必要条件 题型03 反证法 02 核心突破提升练 01 命题 1．已知陈述句或，则的否定形式为 【答案】 【知识点】写出简单命题的非命题 【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可. 【详解】由或，则的否定形式为. 故答案为： 2．命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 3．命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【知识点】判断命题的真假 【分析】对于命题，令，根据函数的性质判断其真假； 对于命题，当时，，通过分析函数关系判断其真假. 【详解】令，其定义域为R， 对任意的实数，满足， 则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是真命题； 假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 当时，， 由，则，则，出现矛盾， 所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是假命题. 故选：C. 4．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、函数新定义 【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【详解】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 5．对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、并集的概念及运算、交集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B 02 充分条件和必要条件 6．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】易知，根据定义即可判断得出结论. 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 7．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 8．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即，所以充分性成立；当时，即可得到，所以必要性成立. 故选：C 9．若是实数，则“”是“”的（   ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】“”即“或”， 故“”不能推出“”， “”可以推出“”， 故“”是“”的必要非充分条件. 故选：C 10．设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 03 反证法 11．用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 12．设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 【知识点】反证法证明 【分析】假设不是奇数，然后推出为偶数，这与题设矛盾，即可证. 【详解】证明：假设不是奇数，则是偶数，设， 则，因为，所以，则是偶数，即为偶数， 这与题设为奇数矛盾，所以假设不成立，即是奇数. 13．设，证明：“”不是“”的必要条件. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、必要条件的判定及性质、反证法证明 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可. 【详解】假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 14．若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【知识点】反证法证明 【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 15．已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】反证法证明、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由指数函数的单调性即可求解不等式； （2）先假设都小于，然后求得解集为，从而可得假设不成立，即可证明. 【详解】（1）由可得，即. （2）证明：假设都小于，即， 所以，即，解集为， 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 中至少有一个大于或等于． 一、填空题 1．设命题：函数的定义域是R；命题：不等式对一切正实数均成立.如果命题和有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】函数的定义域为R，则真数大于0对一切的R恒成立，求出的范围，命题也用恒成立问题，求出的范围，最后根据命题的真假性，求实数的范围. 【详解】若命题为真， 因为函数的定义域为R， 所以对一切的R恒成立， 所以，即，所以，故， 若命题为真， 令，则， 因为，所以， 由题知对一切正实数均成立， 所以 因为和有且只有一个是真命题，即与一真一假， 若真 假，，无解，若假真，，所以， 综上所述：实数的取值范围是 故答案为：. 【点睛】恒成立问题与有解问题要注意进行区别，若在恒成立，则；若在有解，则. 2．已知存在，对任意，不等式成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意求出不等式左边的最大值恒大于右边的最大值即可. 【详解】设， 因为 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 故； 因为存在，对任意，不等式成立， 等价于恒成立，等价于 故， 故答案为： 3．若“”是“”的充分条件，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】充分条件的判定及性质、解不含参数的一元二次不等式 【分析】首先解一元二次不等式，根据充分条件，所以，即可求出参数的取值范围，从而得解； 【详解】，解得， 因为“”是“”的充分条件， 所以， 所以， 所以的最小值为2， 故答案为：2. 4．设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 . 【答案】（或,答案不唯一） 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解． 【详解】，，成等差数列， 则，即，解得或， 故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或． 故答案为：（或,答案不唯一） 5．已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据函数的单调性解不等式、根据集合的包含关系求参数、具体函数的定义域 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 6．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、充分条件的判定及性质 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 二、单选题 7．（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、充分条件的判定及性质 【分析】根据充分条件的定义，结合特殊值，即可判断选项. 【详解】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件； B.当满足，不满足，所以B不是充分条件； C.若，又因为，所以，所以C是充分条件； D.，，满足，不满足，故D不是充分条件. 故选：C 8．已知直线m、n，平面，满足且，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面是否垂直、空间垂直的转化 【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定. 【详解】因为，所以， 若，则， 即“”是“”的必要条件； 如图，在长方体中，设面为面、面为面， 则，且与面不垂直， 即“”不是“”的充分条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．已知，，则“”是“等号成立”的（   ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即成立， 当时，恒成立，时，满足，即推不出， 故“”是“等号成立”的充分不必要条件. 故选：A. 10．已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、等比数列的单调性 【分析】根据题意，分别从两个方向判断“对任意正整数，都有”与“数列是严格减数列”之间的推导关系，根据推导关系判断结论. 【详解】若是严格递减数列，显然能推出， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件； 若对任意的正整数都成立， 则中不可能同时含正项和负项，故， 所以，，即，， 或，，即，. 当，时，有，即，是严格递减数列； 当，时，有，即，是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件. 故选：C. 11．设、是任意两个向量，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积公式及向量垂直结合充分条件必要条件定义判断即可. 【详解】当，，满足，但是不垂直， 当时，设夹角为 则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：B. 12．设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的除法运算、复数加减法的代数运算 【分析】由“”不能推出“”， “”能推出“”，据此可判断选项. 【详解】令，则，但，故“”不能推出“”. 设，由得， ， 故“”能推出“”. 综上得，是的必要非充分条件. 故选：B. 13．“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据是奇函数求出，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若是奇函数，则， 因为为的真子集， 所以“”是“是奇函数”的充分非必要条件. 故选：B. 14．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、比较对数式的大小、比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 15．设定义域为的两个函数，其值域依次是和，给出下列四个命题： ①“”是“对任意恒成立”的充要条件； ②“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件； ③“”是“对任意恒成立”的充要条件； ④“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件； 下列选项中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【知识点】充分条件的判定及性质、函数不等式恒成立问题、必要条件的判定及性质 【分析】由定义域为是的两个函数，其值域依次是和，可得为的最小值，为的最大值，结合反例即可判定各命题的正误，从而得解. 【详解】因为定义域为是的两个函数，其值域依次是和， 所以为的最小值，为的最大值， 所以当时，对任意都有， 反之当对任意恒成立时，也可以得到， 故“”为“对任意恒成立”的充要条件，所以①对，②错； 因为定义域为是的两个函数，其值域依次是和， 所以为的最小值，为的最大值， 所以当时，可得“对任意恒成立” 但是当“对任意恒成立”时，得不到， 如反例，，则， 任意，，即恒成立， 但是， 所以“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件； 所以④对，③错 故选：C. 16．下列叙述正确的个数为（    ） ①对于任何一个集合A，总有； ②，集合，，则“”是“”的充要条件； ③设a、，关于x的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； ⑤若函数是幂函数，且满足，则的值为8. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合或参数、充要条件的证明、根据函数是幂函数求参数值、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用子集的意义判断①；利用充要条件的定义判断②；由方程的解集判断③；求出面积取最大值的条件判断④；利用幂函数求出函数值判断⑤. 【详解】对于①，空集是任何集合的子集，则，①正确； 对于②，，，则， 反之，若，则，， 因此“”是“”的充要条件，②正确； 对于③，当时，方程的解集是，③错误； 对于④，设矩形的周长为，其长宽分别为，则， 矩形面积， 当且仅当时取等号，此时该矩形为正方形，④正确； 对于⑤，设，由，得，即，解得， 则，因此，⑤错误， 所以正确的个数为3. 故选：B 17．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、判断命题的真假、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假. 【详解】若该家庭中有两个小孩， 样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， (男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)， 则M与N不互斥，故命题①错误； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)， (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， 则，于是， 所以M与N相互独立，故命题②正确． 故选：C． 18．（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（   ） ①； ②． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【知识点】求等比数列前n项和、独立事件的乘法公式、判断命题的真假、导数定义中极限的简单计算 【分析】分别计算在第一局中：摸1次、摸3次、…，摸次甲获胜概率，利用等比数列前项和公式求和，再求极限即可求；根据第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球即可求得. 【详解】第一局：摸一次甲获胜概率为，摸3次甲获胜概率为， 摸5次甲获胜概率为，…, 摸甲获胜概率为， 所以， 所以，①正确； 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，②正确； 故选：A. 19．已知函数的定义域为，有下面两个命题， 命题：若存在且，对任意，均有恒成立，则函数在上为严格减函数； 命题：若函数在上为严格减函数，且恒成立，则存在且，对任意，均有恒成立.则下列说法正确的是（   ）. A．命题是真命题，命题是真命题； B．命题是假命题，命题是真命题； C．命题是真命题，命题是假命题； D．命题是假命题，命题是假命题. 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数图象的应用、判断命题的真假 【分析】利用单调性的定义可判定q命题，结合反例可判定p命题. 【详解】对于命题p，不妨设， 则， 所以， 如图所示可知：满足，但在上不为严格减函数， 即p为假命题； 对于命题q，若函数在上为严格减函数，且恒成立， 不妨取，则对任意， 有恒成立，即q为真命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：根据单调性的定义，结合反例数形结合即可判定命题. 20．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、判断命题的真假、数列新定义 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 21．设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、函数新定义、求对数函数在区间上的值域、正切函数图象的应用 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 满足和是有限集， 从而和是-互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 22．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、求曲线切线的斜率（倾斜角）、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②. 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 三、解答题 23．设函数的定义域为．对于闭区间，若存在，使得对任意，均有成立，则记；若存在，使得对任意，均有成立，则记． (1)设，分别写出及； (2)设，．若对任意闭区间，均有不等式成立，求的最大值； (3)已知对任意闭区间，与均存在，求证：“是上的严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立”． 【答案】(1)，. (2) (3)证明见解析 【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求二次函数的值域或最值、充要条件的证明 【分析】（1）通过二次函数的性质求函数在区间最值即可； （2）通过导数确定函数的单调性及最值，结合题意即可得出答案； （3）根据充要条件证明步骤，必要性、充分性分开证明即可. 【详解】（1）， 由二次函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，. （2）因为，所以， 令，可得或，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当趋近负无穷，趋近，当趋近正无穷，趋近正无穷， 又，，的图象如下图， 当时，在时，， 则，不成立， 当时，在时，， 则，成立， 由图象，结合题意要使在有与， 且对任意闭区间，均有不等式成立， 所以的最大值为. （3）下面证明充分性： 当与其中一式成立时， 不可能为常值函数，先任取， 总有或， 假设存在，使得， 记， 则， 因为存在，则或， 不妨设，则， 否则当， 此时，矛盾， 进而可得， 则， 因此①. 最后证明为上的严格减函数， 任取，需考虑如下情况： 情况一：若，则， 否则， 记， 则， ， 同理若， 所以， 根据①可得：. 情况二：若，则， 否则， ，由此矛盾， 因为，同情况一可得矛盾， 因此. 情况三：若，同上述可得， ， 所以. 情况四：若，同上述可得，，，所以. 情况五：若，同上述情况二可证明恒成立. 情况六：若，同上述情况一可证明恒成立. 即为上的严格增函数. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题： （1）通过二次函数的性质求函数单调性即可求最值； （2）通过导数确定函数的单调性和最值，结合的图象即可得出答案； （3）根据充要条件证明步骤，必要性、充分性分开证明，注意条件结论不要混淆. 24．对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)答案见解析 【知识点】充要条件的证明、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、函数新定义 【分析】（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案； （2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论； （3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论a的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数. 【详解】（1）设，则恒成立， 故函数在R上单调递增， 又，故函数在R上有唯一零点， 即有唯一不动点1． （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件． （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得， 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故， 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点； （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点． 【点睛】方法点睛：解答时要注意理解函数新定义的含义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力. 25．设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 【答案】(1)是函数,不是函数，理由见解析. (2)； (3)证明见解析. 【知识点】必要条件的判定及性质、函数奇偶性的定义与判断、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据“函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可. （2）令，利用导数分类讨论其单调性即可求解. （3）令函数结合必要条件的定义，推理判断即得. 【详解】（1）函数的定义域为，， 则函数和均为定义在上的奇函数， 当时，函数严格减，因此函数是函数； 当和时，，即函数在上不单调，因此函数不是函数. （2）函数的定义域为， ， 则函数是定义在上的奇函数， 当时，不是函数，则且， 当时，令， 求导得， 令函数， 求导得. 令，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立， 则当时，， 若，则，，函数在上单调递增，， ，则函数在上严格单调递增，不是D函数； 若，则，函数在上单调递减，， ，则函数在上严格单调递减，是D函数， 所以正数的取值范围是. （3）令函数，其是定义域为，，上的奇函数， 函数在上严格单调递减，因此函数为函数， ，而，则函数在上不单调， 所以“在上严格减”不是“为函数”的必要条件. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于证明的导函数恒成立. 26．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数新定义、充要条件的证明、等差中项的应用 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 27．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 (3) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义、充要条件的证明、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）取，，满足要求； （2）先得到任意，成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论； （3）求导得到的单调性和最值，分，和三种情况，得到实数的最大值. 【详解】（1）取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； （2）为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 函数为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 显然对任意，成立，①成立， 充分性，若， 不妨设，此时，②成立， 故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’， 则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 常用逻辑用语 目录 01 常考题型过关练 题型01 命题 题型02 充分条件和必要条件 题型03 反证法 02 核心突破提升练 01 命题 1．已知陈述句或，则的否定形式为 2．命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 3．命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 4．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 5．对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 02 充分条件和必要条件 6．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 8．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 9．若是实数，则“”是“”的（   ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 10．设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 03 反证法 11．用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 12．设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 13．设，证明：“”不是“”的必要条件. 14．若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 15．已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 一、填空题 1．设命题：函数的定义域是R；命题：不等式对一切正实数均成立.如果命题和有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 . 2．已知存在，对任意，不等式成立，则实数a的取值范围是 ． 3．若“”是“”的充分条件，则的最小值为 . 4．设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 . 5．已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 6．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 二、单选题 7．（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（   ） A． B． C． D． 8．已知直线m、n，平面，满足且，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．已知，，则“”是“等号成立”的（   ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 10．已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 11．设、是任意两个向量，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 12．设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 13．“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 14．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 15．设定义域为的两个函数，其值域依次是和，给出下列四个命题： ①“”是“对任意恒成立”的充要条件； ②“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件； ③“”是“对任意恒成立”的充要条件； ④“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件； 下列选项中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 16．下列叙述正确的个数为（    ） ①对于任何一个集合A，总有； ②，集合，，则“”是“”的充要条件； ③设a、，关于x的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； ⑤若函数是幂函数，且满足，则的值为8. A．2 B．3 C．4 D．5 17．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 18．（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（   ） ①； ②． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 19．已知函数的定义域为，有下面两个命题， 命题：若存在且，对任意，均有恒成立，则函数在上为严格减函数； 命题：若函数在上为严格减函数，且恒成立，则存在且，对任意，均有恒成立.则下列说法正确的是（   ）. A．命题是真命题，命题是真命题； B．命题是假命题，命题是真命题； C．命题是真命题，命题是假命题； D．命题是假命题，命题是假命题. 20．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 21．设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 22．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 三、解答题 23．设函数的定义域为．对于闭区间，若存在，使得对任意，均有成立，则记；若存在，使得对任意，均有成立，则记． (1)设，分别写出及； (2)设，．若对任意闭区间，均有不等式成立，求的最大值； (3)已知对任意闭区间，与均存在，求证：“是上的严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立”． 24．对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 25．设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 26．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 27．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$