精品解析：2025年广东省惠州市惠城区第二次初中学业水平数学模拟考

2025年惠城区第二次初中学业水平模拟考试 数学试卷 说明：1．本试卷共6页，23小题，全卷满分120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列结论一定正确是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点在上，在上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 电影《哪吒之魔童闹海》累计票房破百亿，排名全国影史票房榜第一位．第二名是《长津湖》，第三名是《战狼2》，第四名是《美人鱼》，若小惠想从这4部电影中随机选取2部，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（ ）时，气体体积压缩了 A 加到 B. 加到 C. 加到 D. 加到 10. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分． 11. 写出一个比大且比小的整数_______． 12. 如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 13. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点，则点的坐标是________． 14. 不等式组的解集为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图，在中，是钝角． （1）实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小． 18. 惠州市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成统计图． 数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如表分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）从方差的角度看，________组的成绩比较稳定．（填甲或乙） （3）小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题10分，共30分． 19. 某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元． （1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？ （2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？ 20. 如图，在中，过点作直线，过点作于点，过点作于点，且平分，． （1）若，求的度数． （2）求证：． 21. 综合与实践： 主题：A4纸研究 在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．A系列中最大的规格为，面积约为1平方米，对半裁开得到；再对裁得到，…，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示． （1）【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 请计算、纸的长宽比，并填在上面表中；通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数．请你猜想这个无理数为________． 设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想． （2）【深入研究】 已知矩形是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分． 22 实践与研究： （1）根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像． … 1 2 3 … … 4 2 … … 0 2 3 4 … … 4 2 … （2）观察两个函数图像，的图像可以由的图像怎么变换得到？ （3）当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围． 23. 综合探究： （1）如图1，等圆与相交于点与点，连接，证明四边形为菱形． （2）如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度． （3）如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年惠城区第二次初中学业水平模拟考试 数学试卷 说明：1．本试卷共6页，23小题，全卷满分120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：D． 2. 把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的展开；由图知，几何体由三个长方形和两个三角形围成，从而知是三棱柱，由此得解． 【详解】解：由图知，这个几何体是一个三棱柱； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：A，和不是同类项，不能合并，原计算错误，故本项不符合题意； B，，原计算错误，故本项不符合题意； C，，原计算错误，故本项不符合题意； D，，计算正确，故本项符合题意； 故选：D． 4. 如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是， ∴与的面积之比是， 故选：B． 5. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，首先由得到，然后根据不等式的性质逐项求解分析即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确； ∴，故B，C错误； ∴ ∴，故D错误． 故选：A． 6. 如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点在上，在上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；过点F作，则有，从而有，由垂直的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：C． 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 8. 电影《哪吒之魔童闹海》累计票房破百亿，排名全国影史票房榜第一位．第二名是《长津湖》，第三名是《战狼2》，第四名是《美人鱼》，若小惠想从这4部电影中随机选取2部，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设《哪吒之魔童闹海》为A，《长津湖》为B，《战狼2》为C，《美人鱼》为D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的有2种， ∴其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是． 故选：C． 9. 在温度不变条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（ ）时，气体体积压缩了 A. 加到 B. 加到 C. 加到 D. 加到 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用；由函数图象可求出反比例函数的解析式，再分别计算出给定不同压强时的体积，即可确定气体体积的变化． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由图象知，反比例函数图象过点，则， ∴； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当压强由加到时，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到时，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到时，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到时，体积由减少到， 则体积压缩了； 故选：B． 10. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，作于，于，则四边形是矩形，由角平分线的性质定理得出，，从而得出四边形是正方形，证明，得出，同理可得：，推出，设，则，，求出，得到，，再由相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，作于，于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分，平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分． 11. 写出一个比大且比小的整数_______． 【答案】2或3##3或2 【解析】 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴比大且比小的整数是2或3， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 12. 如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题通过题干可得，，，然后根据，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了坐标的平移，点，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律可得出，，解出x，y即可得出答案． 【详解】解：设点， ∵点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点 ∴，， 解得：，， 则点， 故答案为： 14. 不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，抛物线与y轴的交点，则由抛物线的对称性质可求得点C的坐标，从而求得A点坐标，即可求得点D的坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 在中，令，得， 即； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴关于直线对称， ∴， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， ∴点D的横坐标为， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，特殊三角函数值，绝对值以及负指数幂的运算，先分别对各项进行化简，再进行加减运算． 【详解】解∶ 17. 如图，在中，是钝角． （1）实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的做法以及性质是解题的关键． （1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D． （2）由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【小问1详解】 解：垂直平分线即为所求： 【小问2详解】 解：∵为的垂直平分线 ∴, ∴， ∵， ∴， ∴ 18. 惠州市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成统计图． 数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如表分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）从方差的角度看，________组的成绩比较稳定．（填甲或乙） （3）小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由． 【答案】（1） （2）乙 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是方差，平均数，中位数和众数等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据甲乙两组的统计图及中位数、众数与百分比的意义与计算方法求解即可； （2）比较两组的方差，在平均数相同时，根据方差越小，数据的波动程度越小即可求解； （3）平均数相等，从两组的中位数、优秀率方面说明即可． 【小问1详解】 解：甲组的分数按从低到高排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，中间两个数为7与8，则其中位数为：； 乙组中分数7出现的次数最多，则；乙组的优秀率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：两组的平均数均为7.625，但乙组的方差0.73小于甲组的方差4.48，则乙组的成绩比较稳定； 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：平均数相等，但甲组的中位数大于乙组的中位数，优秀率高于乙组的优秀率，故甲组成绩比乙组成绩好． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题10分，共30分． 19. 某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元． （1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？ （2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？ 【答案】（1）化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为54元 （2）该校此次计划最多能购买33套物理实验器材． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键． （1）设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，列出关于x的分式方程求解即可得出答案． （2）该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据购买总费用不超过5000元列出关于m的一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元， 根据题意：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元 【小问2详解】 解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套， 根据题意有：， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大取33， 即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材． 20. 如图，在中，过点作直线，过点作于点，过点作于点，且平分，． （1）若，求的度数． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后由角平分线求出，然后利用直角三角形的性质求解即可； （2）首先证明出点A，C，B，N四点共圆，得到，，然后定理代换得到，即可证明出． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴点A，C，B，N四点共圆 ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的概念，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 综合与实践： 主题：A4纸的研究 在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．A系列中最大的规格为，面积约为1平方米，对半裁开得到；再对裁得到，…，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示． （1）【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 请计算、纸的长宽比，并填在上面表中；通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数．请你猜想这个无理数为________． 设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想． （2）【深入研究】 已知矩形是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明． 【答案】（1）表格见解析；；证明见解析 （2）直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）用对应的长除以对应的宽即可求出表格中缺失的数据，再根据比值猜想结果，根据相似的性质得到，即可得到，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，得到，导角证明，则，即可得到为直角三角形． 【小问1详解】 解：， 填表如下： 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41 猜想这个无理数为，证明如下： 据题意，与为相似的矩形，故有 ，化简得：，即或（舍去） 故长与宽的比值为； 【小问2详解】 解：为直角三角形，证明如下： ∵矩形是一张纸， ∴，， ∵点、点分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分． 22. 实践与研究： （1）根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像． … 1 2 3 … … 4 2 … … 0 2 3 4 … … 4 2 … （2）观察两个函数图像，的图像可以由的图像怎么变换得到？ （3）当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）将 的图象向右平移1个单位，得到的图象． （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，函数图象上点的特点；掌握函数图象的画法，数形结合是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据函数图象变换得出平移方法； （3）分别将代入直线，求出，求出 的图象与y轴的交点为，把代入直线，求出，根据与在轴右侧的图像无交点即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：描点，连线，如图即两函数图像 【小问2详解】 解：将 的图象向右平移1个单位，得到的图象． 【小问3详解】 解：因为的图象由 的图象向右平移1个单位得到， 此时动直线与函数图象的交点也向右平移1个单位得到， 将代入直线，得， 当时，， ∴ 的图象与y轴的交点为， 将代入直线得， 故要使得与在轴右侧的图像无交点，则． 23. 综合探究： （1）如图1，等圆与相交于点与点，连接，证明四边形为菱形． （2）如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度． （3）如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质得，，结合等圆得，即可证明菱形； （2）连接、，过点O作，则，结合重叠得，即可求得，，利用弧长公式即可求得； （3）设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，由（1）知与互相垂直平分得和，进一步求得，由（1）知以点为圆心的圆半径也是5，利用勾股定理求得和，利用即可． 【小问1详解】 证明：∵与相交与点与点， ∴，， ∵等圆与， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：连接、，过点O作，如图， ∵的直径为10， ∴， ∵直径相切于点，若折叠后与点重合， ∴， 则， ∴，， 则的长度； 【小问3详解】 解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示： 由（1）知与互相垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知以点为圆心的圆半径也是5， ∴， ∵，改变与直径相切的切点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕长为． 【点睛】本题考查了翻折的性质、圆的性质、相交圆的性质、菱形的判定、解直角三角形、弧长公式、勾股定理的运用和垂直平分线性质的运用，根据相交圆的性质求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $