1.4充分条件与必要条件讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【专题1.4充分条件与必要条件】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：充分条件与必要条件】 知识讲解 充分条件的判断 【知识点的认识】 充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P⇒Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 必要条件的判断 【知识点的认识】 必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q⇒P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 充分不必要条件的判断 【知识点的认识】 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件． 必要不充分条件的判断 【知识点的认识】 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【例题2】（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3】（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【相似题2】（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【相似题3】（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【基础知识点2：充要条件】 知识讲解 充要条件的判断 【知识点的认识】 充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性． 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（24-25高二下·北京·期中）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【相似题2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【相似题3】（20-21高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【基础知识点3：从集合的角度看充分条件与必要条件】 知识讲解 从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 例题精选 【例题1】（21-22高一上·江苏南通·开学考试）已知 . (1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; (2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 【例题2】（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【例题3】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【相似题3】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【能力提升1：充分条件；必要条件；充要条件的判断方法】 知识讲解 充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； 例题精选 【例题1】（24-25高三上·上海·阶段练习）对于实数，，“”是“且”的 条件． 【例题2】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“且”是“”的 条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【例题3】（24-25高一上·浙江丽水·阶段练习）已知，，则“，”是“”的 条件，“”是“或”的 条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”填空 （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）当时，“”是“”的 . 【相似题2】（23-24高一上·北京·期中）若，则“”是“”的 .（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【能力提升2：充要条件的证明问题】 知识讲解 【知识点的认识】 充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【例题2】（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【例题3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【相似题2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【相似题3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【能力提升3：充分；必要；充要条件的探究】 知识讲解 充分不必要条件的应用 【知识点的认识】 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 必要不充分条件的应用 【知识点的认识】 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； 例题精选 【例题1】 （23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一下·山西吕梁·开学考试）下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【相似题2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（   ） A．2 B． C． D．0 【能力提升4：由充分；必要条件求参数范围】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【例题3】多选题在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【相似题3】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知集合，集合且，是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 4．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知，为实数，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·云南红河·期末）甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件条件 D．“”是“”的充分不必要条件 12．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 三、填空题 13．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有 (填序号) 14．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，，则“”是“”的 条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）. 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 16．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知“或”是“或”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 四、解答题 17．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 20．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【专题1.4充分条件与必要条件】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：充分条件与必要条件】 知识讲解 充分条件的判断 【知识点的认识】 充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P⇒Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 必要条件的判断 【知识点的认识】 必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q⇒P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 充分不必要条件的判断 【知识点的认识】 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件． 必要不充分条件的判断 【知识点的认识】 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据点和圆的位置关系可得选项A错误；举例可说明选项B错误；根据等腰三角形和等边三角形的关系可得选项C错误；举例可说明选项D正确. 【详解】A. “点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的充要条件，选项A错误. B. 若两个直角三角形直角边长分别为和，则两个三角形的面积相等，但不能得到这两个三角形全等， 由“两个三角形全等”可得“这两个三角形的面积相等”，故“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，选项B错误. C.由“等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，选项C错误. D.若，则，为无理数，但是有理数， 若为无理数，则，的值可能分别为，不满足，为无理数， 故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，选项D正确. 故选：D. 【例题2】（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可. 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 【例题3】（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断. 【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到； 当时，若，就不能得到. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 【相似题2】（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【相似题3】（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】，得，得或，所以“”不是“”的充分条件， 反过来，能推出，“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【基础知识点2：充要条件】 知识讲解 充要条件的判断 【知识点的认识】 充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性． 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 【例题2】（24-25高二下·北京·期中）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【例题3】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【相似题2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 【相似题3】（20-21高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 【基础知识点3：从集合的角度看充分条件与必要条件】 知识讲解 从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 例题精选 【例题1】（21-22高一上·江苏南通·开学考试）已知 . (1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; (2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不存在 (2) 【分析】（1）根据两集合相等，形成方程组，无解，可判断不存在满足题意的实数. （2）要使是的必要条件，则，根据集合关系可求得实数的范围. 【详解】（1）要使是的充要条件，则 即，此方程组无解. 所以不存在实数，使是的充要条件. （2）要使是的必要条件，则， 当时，，解得 当时，，解得 要使，则有，解得，所以 综上可得，当时，是的必要条件. 【例题2】（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在满足条件的，理由见解析 (2)若选①，问题中的存在，且的取值集合，若选②，问题中的存在，且的取值集合. 【分析】（1）转化为，根据两个集合相等列式可求出结果； （2）若选①，根据是的真子集列式可求出结果；若选②，根据是的真子集列式可求出结果. 【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解. ∴不存在满足条件的. （2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得， ∴问题中的存在，且的取值集合. 选②，则是的真子集， 当时，，即，满足是的真子集； 当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得； 综上所述：. 所以问题中的存在，且的取值集合. 【例题3】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据交集为空集列不等式求解即可. （2）由题意，利用集合间的关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为集合，集合，且， 所以或，即. （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 集合，集合， 所以，解得，即. 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）先求得集合A、B，然后利用交集、并集及补集运算的概念求解即可； （2）根据题意得是的真子集，按照和分类讨论，列不等式组求解即可，注意求并集. 【详解】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 【相似题3】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可； （2）由题可知此时，再分和讨论即可. 【详解】（1），故，， 或. （2）若“”是“”的充分条件，则， 当时，， 当时，，解得， 综上，. 【能力提升1：充分条件；必要条件；充要条件的判断方法】 知识讲解 充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； 例题精选 【例题1】（24-25高三上·上海·阶段练习）对于实数，，“”是“且”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】由，可得且，可判断充分性成立，赋值法可判断必要性不成立. 【详解】由，可得且，所以且， 所以“”是“且”的充分条件， 又“满足且，但， 所以“”是“且”的不必要条件， 所以“”是“且”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 【例题2】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“且”是“”的 条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】根据题意分析即可证明充分性成立，举出反例证明必要性不成立. 【详解】先证充分性：若，则有，若，则， 此时必有，所以充分性成立； 再证必要性：令，，则，，此时， 但有且，所以没有必要性. 故答案为：充分不必要 【例题3】（24-25高一上·浙江丽水·阶段练习）已知，，则“，”是“”的 条件，“”是“或”的 条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 【答案】 充分不必要 充要 【分析】根据充分，必要条件的定义，即可判断. 【详解】当，时，，满足充分性； 因为时，，或，，不满足必要性； 所以“”是“”的充分不必要条件； 当，所以或，满足充分性； 当或时，，满足必要性， 所以“”是“或”的充要条件． 故答案为：充分不必要；充要． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”填空 （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）当时，“”是“”的 . 【答案】 必要不充分条件; 充要条件; 充分不必要条件. 【分析】结合不等式、集合、充要条件的相关知识判断即可. 【详解】（1）易得出“”是“”的必要不充分条件； （2）“”和“”都表示，故“”是“”的充要条件； （3）当时，“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：必要不充分条件；充要条件；充分不必要条件. 【相似题2】（23-24高一上·北京·期中）若，则“”是“”的 .（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分条件 【分析】解方程可求得的解，根据充分必要条件定义可得结论. 【详解】由得或，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立. 所以，“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 【能力提升2：充要条件的证明问题】 知识讲解 【知识点的认识】 充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【例题2】（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【例题3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性即可． 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【相似题2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 【相似题3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 【能力提升3：充分；必要；充要条件的探究】 知识讲解 充分不必要条件的应用 【知识点的认识】 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 必要不充分条件的应用 【知识点的认识】 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； 例题精选 【例题1】 （23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 【例题2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 【例题3】（24-25高一下·山西吕梁·开学考试）下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】因为是的真子集，即由能推出， 而推不出，所以“”的充分不必要条件的是“”． 故选：C． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 【相似题2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式化简p，再根据充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：B. 【相似题3】多选题（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】依题意，是的真子集，则可以是，或，解之即得. 【详解】由可解得：或， 依题意，是的真子集，则可以是，或. 当时，易得； 当，可得； 当，可得. 故选：BCD. 【能力提升4：由充分；必要条件求参数范围】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 【例题3】多选题在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 【相似题2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【相似题3】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由得，再利用集合的补集和并集的定义求解即可； （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集，分情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以或， 所以或； （2）由于是的充分不必要条件，故是的真子集， 若，则，所以， 若，则，且且（等号不同时取得）， 当时，真包含于， 当时，真包含于， 故：， 综上所述，实数的取值范围是或. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知集合，集合且，是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 4．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知，为实数，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·云南红河·期末）甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件条件 D．“”是“”的充分不必要条件 12．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 三、填空题 13．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有 (填序号) 14．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，，则“”是“”的 条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）. 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 16．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知“或”是“或”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 四、解答题 17．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 20．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D D D A C AD AC 题号 11 12 答案 BC BC 1．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程有实数根，则且， 所以充分性成立； 由推不出，即推不出方程一定为一元二次方程，故必要性不成立； 所以“一元二次方程有实数根”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．A 【分析】解不等式，得到或，根据推出关系得到答案. 【详解】或， 或，但或， 故“”是“”的充分而不必要条件，A正确，BCD错误. 故选：A 3．B 【分析】根据条件可得⫋，由此可得答案. 【详解】由得，， ∴， ∴⫋， ∴是的必要不充分条件. 故选：B. 4．D 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】因是的充分条件，则，故， 则. 故选：D 5．D 【分析】记，，依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围. 【详解】记，， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于，所以， 所以的取值范围为. 故选：D 6．D 【分析】由充分、必要条件的判定方法进行判断即可. 【详解】对于充分性，取，，此时，但，充分性不成立； 对于必要性，取，，此时，但，必要性不成立． 故甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件． 故选：D 7．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得. 【详解】因“且”“” “”， 故“且”是“”的充要条件. 故选：A 8．C 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】若甲不是冠军，则乙是冠军或丙是冠军； 若乙是冠军，则甲不是冠军， 所以“甲不是冠军”是“乙是冠军”的必要不充分条件. 故选：C. 9．AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 10．AC 【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 11．BC 【分析】利用充分条件与必要条件的定义逐项判断可得结论. 【详解】可得出，所以“”是“”的充分条件， ，满足，但得不出，所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 当时，方程为，，解得，所以集合只有一个元素， 所以是集合只有一个元素的充分条件， 当，方程只有一个解，集合只有一个元素， 当，因为只有一个元素，所以，解得， 所以只有一个元素，可得或， 所以“”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件，故B正确； 如“，但推不出， 所以“”是“”的不充分条件， 显然能得出，所以“”是“”的必要条件，故C正确； 由，可得且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：BC. 12．BC 【分析】根据必要不充分，以及充分不必要和充要条件的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 13．③ 【分析】根据各项中集合的交并补关系判断的包含关系即可得答案. 【详解】由、、，均等价于， 由，等价于， 所以的充要条件的有③. 故答案为：③ 14．必要不充分 【分析】应用举例说明不充分，据绝对值的概念可证明必要性成立. 【详解】取，显然成立， 而不成立，所以“”是“”的不充分条件； 当，不妨假设， 则，所以， 又因为，所以， 所以“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 15．充分不必要 【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【详解】依题意，有，则，而推不出，故p是s的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 16．/ 【分析】根据条件确定两个集合的包含关系，求参数的取值范围. 【详解】若“或”是“或”的必要不充分条件， 所以集合或是集合或的真子集. 则且等号不同时成立，即. 故答案为： 17．(1)，或 (2) 【分析】（1）根据集合的基本运算可得结果. （2）把条件转化为⫋，利用集合间的基本关系可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， ∴，或. （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， ∴（等号不同时成立），解得， ∴实数a的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围； （2）可知集合B是集合A的真子集，然后根据两集合的包含关系列不等式组可求得答案. 【详解】（1）因为， 则，解得， 即实数的取值范围为. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合B是集合A的真子集， 因为，， 若，由（1）可知：； 若，则且（等号不同时成立），无解； 综上所述：实数的取值范围为. 19．(1)，； (2). 【分析】（1）利用交集的定义求解，再写出所有真子集. （2）根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）由，得， 则，所以的所有真子集为. （2）由是的充分条件，得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 20．(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$