精品解析：2025年四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学中考三模数学试题

四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学2024-2025学年度 九年级下册三模试题数学 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是中位线，，下面三个结论：①；②；③的面积与的面积之比为1：4．其中正确的有（ ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行于y轴的直线分别交与的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（ ） A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 不变 D. 先变短后变长再变短 10. 如图，△ABO顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 11. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是______． 14. 如图，是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与相交于点M，则sin∠MFG的值为________． 15. 如图，在中，，点在反比例函数（，）的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于1，则的值为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 17. 如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为________． 18. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝_____． 三、解答题（共78分） 19. 如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2． 21. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 22. 如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，小华准备利用所学的在角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小华从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处，测得广告牌底部C的仰角为45°，广告牌顶部B的仰角为53°，小华的身高忽略不计，已知广告牌米．（参考数据：，，） （1）求P处距离水平地面的高度； （2）求建筑物的高度． 23. 如图，在中，是直径，是弦，F是上的一点，交于点为延长线上的一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 24. 如图，反比例函数图象与过点，的直线交于点B和C． （1）求直线AB和反比例函数的解析式． （2）已知点，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求的面积． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学2024-2025学年度 九年级下册三模试题数学 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从正面看物体得到的图形是主视图是解题的关键． 根据主视图的概念求解可得． 【详解】解：根据主视图从正面看物体得到的图形知该几何体的主视图是： 故选：B． 2. 如图，是的中位线，，下面三个结论：①；②；③的面积与的面积之比为1：4．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】首先由DE是△ABC中位线即可得出DE的长，由此对①进行判断；接下来根据三角形中位线的性质可得，再结合相似三角形的判定定理可对②进行判断；然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△ADE的面积与△ABC的面积比，由此可对③进行判定． 【详解】解：①∵DE是它的中位线，BC=4， ∴DE=×BC=2． 故①正确； ②在△ABC中，BC=4，DE是它的中位线， ∴， ∴△ADE∽△ABC， 故②正确； ③∵△ADE∽△ABC，相似比为1：2， ∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4． 故③正确． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，中位线的性质是解决问题的关键． 3. 已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的增减性分析解答． 【详解】解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴当时， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，掌握反比例函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键． 4. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数（a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可． 【详解】解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0， 所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键． 5. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 6. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【详解】先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2＝1cm，高是3cm． 所以该几何体的侧面积为2π×1×3＝6π（cm2）． 故选C． 【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体． 7. 如图，平行于y轴的直线分别交与的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设A的坐标为（x，），B的坐标为（x，），然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设A的坐标为（x，），B的坐标为（x，）， ∴S△ABC==， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，设出A，B的坐标是解题关键． 8. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取点D，连接BD，如图，由题意：BD⊥AC，求出AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果． 【详解】解：取点D，连接BD，如图， 由题意：BD⊥AC， 由勾股定理得， AB=， BD=， sinA=， 故选B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 9. 如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（ ） A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 不变 D. 先变短后变长再变短 【答案】C 【解析】 【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得.又AB∥CD，得出，设=a,DF=b（a,b为常数），可得出，从而可以得出，结合可将DH用含a,b式子表示出来，最后得出结果. 【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG, ∴四边形CDFE为矩形. ∴DF∥GH, ∴ 又AB∥CD，∴. 设=a，DF=b, ∴, ∴ ∴ ∴GH=， ∵a,b的长是定值不变， ∴当人从点走向点时两段影子之和不变． 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 10. 如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案． 【详解】解： 四边形MNQP的面积为3， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 12. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（ ） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据，设，得到，进而得到，求出的值，判定①，根据的面积是正方形面积的3倍，求出，进而得到，判断②；旋转得到，进而得到点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，得到，判断③． 【详解】解：在中，， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若的面积是正方形面积的3倍，则：， ∴，即：， ∴或（舍去）， ∴， ∴点F是的三等分点；故②正确； ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， 取的中点，连接，则：，， ∴， ∴， 即：的最大值为；故③正确； 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是关于原点O的位似图形，相似比等于，点A的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 14. 如图，是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与相交于点M，则sin∠MFG的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得，，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得，，设正方形ABCD的边长为，从而可得，，然后在中，根据正弦三角函数的定义可得，最后根据圆周角定理可得，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接EG、HF 由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O 四边形ABCD是正方形 由圆的切线的性质得： 四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形 ， 设正方形ABCD的边长为，则 的半径为 在中， 由圆周角定理得： 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正弦三角函数、正方形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 15. 如图，在中，，点在反比例函数（，）的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于1，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE=，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：作AE⊥BC于E，连接OA， ∵AB=AC， ∴CE=BE， ∵OC=OB， ∴OC=CE， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， ∵，OC=OB， ∴， ∴， ∵OC=CE， ∴， ∴， ∵()， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 17. 如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为________． 【答案】70π 【解析】 【分析】容易看出此几何体为空心圆柱，圆柱的体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解. 【详解】解：观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内圆半径为3，外圆半径为4，高为10， 所以其体积为10×(π×42−π×32)=70π， 故答案为：70π. 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体. 18. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝CD＝AB，根据相似三角形的判定证明△ABP∽△EDP，再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90° ， ∵E为CD的中点， ∴DE＝CD＝AB， ∴△ABP∽△EDP， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∵PQ⊥BC， ∴PQ∥CD， ∴△BPQ∽△DBC， ∴＝＝， ∵CD＝2， ∴PQ＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角形判定和性质证明△ABP∽△EDP得到＝是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）， ；（2）或 【解析】 【分析】（1）先把A（-4，2）代入求出m=-8，从而确定反比例函数的解析式为；再把B（n，-4）代入求出n=2，确定B点坐标为（2，-4），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）观察图象得到当-4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值． 【详解】（1）把A（-4，2）代入得m=-4×2=-8， ∴反比例函数的解析式为； 把B（n，-4）代入得-4n=-8，解得n=2， ∴B点坐标为（2，-4）， 把A（-4，2）、B（2，-4）分别代入y=kx+b得 ， 解方程组得， ∴一次函数的解析式为y=-x-2； （2）观察图象得到当-4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式；求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标就是把两个图象的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．也考查了待定系数法以及观察函数图象的能力． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4），向左平移6个单位长度后得到,顺次连接,则即为所求； （2）分别取的中点，顺次连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：将点A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4），向左平移6个单位长度后可得： ，顺次连接，得到如图所示， 【小问2详解】 分别取的中点，顺次连接，如图所示， 【点睛】本题考查了平移作图，平面直角坐标系中画位似图形，掌握平移以及位似图形的性质是解题的关键． 21. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可； （2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等． 22. 如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，小华准备利用所学的在角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小华从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处，测得广告牌底部C的仰角为45°，广告牌顶部B的仰角为53°，小华的身高忽略不计，已知广告牌米．（参考数据：，，） （1）求P处距离水平地面的高度； （2）求建筑物的高度． 【答案】（1） （2）67m 【解析】 【分析】（1）过点P作于H，根据坡比设，，用勾股定理求得，求解得出即可． （2）过点P作于G，先证四边形为矩形，得，在利用三角形函数解可得的长，从而得解． 【小问1详解】 过点P作于H， ∵， ∴设，， ∴， ∵从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点P作于G， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用-仰角与坡比问题，熟练掌握仰角与坡比的定义，勾股定理，三角函数，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键 23. 如图，在中，是直径，是弦，F是上的一点，交于点为延长线上的一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即，即可得证； （2）连接，得出，直径得到，在中，勾股定理求出的长，证出，设，则，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：， ． ，， ，即， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接．                               ， ， 是的直径， ， ， ． ， ∴， 设，则， 在中，， ， ， ， 的半径为． 24. 如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点B和C． （1）求直线AB和反比例函数的解析式． （2）已知点，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求的面积． 【答案】（1）直线AB：；反比例函数：；（2）， 【解析】 【分析】（1）分别设出对应解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出C点坐标，从而求出直线CD的解析式，然后求出E点坐标，再利用割补法求解面积即可． 【详解】（1）设直线AB的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为：； 设反比例函数解析式为：， 将代入解析式得：， ∴反比例函数的解析式为：； （2）联立，解得：或， ∴C点坐标为：， 设直线CD的解析式为：， 将，代入得： ，解得：， ∴直线CD的解析式为：， 联立，解得：或， ∴E点的坐标为：； 如图，过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点， 则F点坐标为，， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，准确求出各直线的解析式以及与双曲线的交点坐标，灵活运用割补法求解面积是解题关键． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：． 【解析】 【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证； 尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案． 【详解】问题背景：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：连接CE， ∵，， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 由于，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$