专题3 三角形中的数学活动——生活中的三角形及多边形的划分-2025-2026学年八年级数学上【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练（人教版）

专题3 三角形中的数学活动——生活中的三角形及多边形的划分 模块一 生活中的三角形 1．【新情境】（2024秋•思明区期末）如图，每个盒子里都有两个小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A、被剪成的两段木棒长的和等于上面的木棒的长，不能围成三角形，故A不符合题意； B、被剪成的两较短木棒长的和大于上面的木棒的长，能围成三角形，故B符合题意； C、D、被剪成的两段木棒和另外一个木棒，其中两较短木棒长的和小于最长木棒的长，不能围成三角形，故C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 2．【新考向】（2025•任泽区一模）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中C′是点C的对应点），其中线段AD一定是△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，由此即可判断． 【详解】解：A、由折叠的性质得到BD＝CD，因此AD一定是△ABC的中线，故A符合题意； B、由折叠的性质得到DC′＝CD，因此AD不是△ABC的中线，故B不符合题意； C、由折叠的性质得到∠CAD＝C′AD，因此AD是△ABC的角平分线，不一定是△ABC的中线，故C不符合题意； D、如图，由折叠的性质得到CE＝AE，但BD和CD不一定相等，因此AD不一定是△ABC的中线，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的角平分线，中线、高线，折叠问题，关键是掌握三角形的中线的定义，折叠的性质． 3．【生活情境】（2024秋•湘西州期末）小李家有一个六边形置物架已经变形，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固木条数量为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解；依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，如图，工人师傅至少需要加固木条数量为3条． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性． 4．【新考向】（2024秋•莱山区期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆CD上接上新的篱笆的长度可以为（　　） A．3m B．4m C．8m D．9m 【分析】根据三角形的三边关系得到CD的取值范围即可求解． 【详解】解：根据图示知：BC＝8m，AB＝2m，CD＝3m， 设在篱笆CD上接上新的篱笆的长度为x m， 若要围成一个三角形的空地，则8﹣2＜3+x＜8+2， 解得3＜x＜7， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的三边关系的应用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 5．【跨学科】（2024春•睢宁县月考）如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若∠1＝35°，∠3＝75°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．55° C．66° D．65° 【分析】由光线的反射角等于入射角得出∠6＝∠1＝35°，∠5＝∠3＝75°，∠2＝∠4，由三角形内角和定理求出∠7，再由平角的定义即可得出结果． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：∠6＝∠1＝35°，∠5＝∠3＝75°，∠2＝∠4， 由三角形内角和定理得：∠7＝180°﹣∠6﹣∠5＝180°﹣35°﹣75°＝70°， ∴∠2（180°﹣70°）＝55°； 故选：B． 【点睛】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 6．【生活情境】（2024秋•义乌市期末）如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，∠ACB＝90°，∠DBF＝110°，则∠ADB的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠DBF＝110°， ∴∠ADB＝∠DBF﹣∠ACB＝20°． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 7．【生活情境】（2024春•长子县期末）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°．为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD＝150°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为 　50　 度． 【分析】延长DF交CE于M，由三角形内角和定理求出∠ACB＝70°，由对顶角的性质得到∠DCE＝∠ACB＝70°，由三角形外角的性质推出∠EFD＝∠E+∠D+∠DCE，即可求出∠CDF＝50°． 【详解】解：延长DF交CE于M， ∵∠CAB＝50°，∠CBA＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠DCE＝∠ACB＝70°， ∵∠EFD＝∠E+∠EMF，∠EMF＝∠D+∠DCE， ∴∠EFD＝∠E+∠D+∠DCE， ∵∠CEF＝30°．∠EFD＝150°， ∴∠CDF＝50°， ∴∠CDF应调整为50°． 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由三角形外角的性质推出∠EFD＝∠E+∠D+∠DCE． 模块二 多边形的三角划分 活动1 搭等边三角形 8．（2024秋•湘西州期中）3根等长的木棍，可以组成一个等边三角形，6根这样的木棍最多能搭造成　4　 个等边三角形． 【分析】此题注意能够尽量利用立体几何进行思考． 【详解】解：当用6根火柴为边组成一个正三棱椎时，此时正三棱椎有4个三角形． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了空间图形，注意组成三角形时不要仅仅在一个平面内想问题． 活动2 多边形的三角划分 9．（1）从四边形的一个顶点出发，可以引　1　 条对角线，将四边形分成　2　 个三角形． （2）从五边形的一个顶点出发，可以引　2　 条对角线，将五边形分成　3　 个三角形． （3）从六边形的一个顶点出发，可以引　3　 条对角线，将六边形分成　4　 个三角形． （4）从n边形的一个顶点出发，可以引　（n﹣3）　 条对角线，将n边形分成　（n﹣2）　 个三角形． 【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，据此作答． 【详解】解：（1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形． （2）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形． （3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形． （4）从N边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，将n边形分成（n﹣2）个三角形． 故答案为1，2；2，3；3，4；（n﹣3），（n﹣2）． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形． 10．（2022春•黄陂区月考）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方法：（如图示）20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（Dn表示凸n边形的三角剖分数） 请你用上面的公式计算D6＝　14　 ． 【分析】根据D4＝2，可得出D5，由D5可得出D6． 【详解】解：∵D4＝2，， ∴D5＝5， ∵， ∴D6＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现D4＝2． 11．（2023秋•怀仁市期中）观察探究及应用． （1）如图，观察图形并填空： 一个四边形有 　2　 条对角线；一个五边形有 　5　 条对角线；一个六边形有 　9　 条对角线； （2）分析探究： 由凸n边形的一个顶点出发，可作 　（n﹣3）　 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 　n（n﹣3）　 条对角线； （3）结论：一个凸n边形有 　　 条对角线； （4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？ 【分析】（1）根据图形数出对角线条数即可； （2）根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线即可求解； （3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，即可解答； （4）由（3）把n＝12代入计算即可． 【详解】解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线，一个七边形有14对角线； 故答案为：2，5，9； （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，若允许重复计数，共可作n（n﹣3）条对角线； 故答案为：（n﹣3），n（n﹣3）； （3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条， 故答案为：； （4）把n＝12代入计算得：54． 故答案为：54． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题关键是熟练掌握n边形从一个顶点出发的对角线有（n﹣3）条． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 三角形中的数学活动——生活中的三角形及多边形的划分 模块一 生活中的三角形 1．【新情境】（2024秋•思明区期末）如图，每个盒子里都有两个小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．【新考向】（2025•任泽区一模）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中C′是点C的对应点），其中线段AD一定是△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 3．【生活情境】（2024秋•湘西州期末）小李家有一个六边形置物架已经变形，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固木条数量为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．【新考向】（2024秋•莱山区期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆CD上接上新的篱笆的长度可以为（　　） A．3m B．4m C．8m D．9m 5．【跨学科】（2024春•睢宁县月考）如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若∠1＝35°，∠3＝75°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．55° C．66° D．65° 6．【生活情境】（2024秋•义乌市期末）如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，∠ACB＝90°，∠DBF＝110°，则∠ADB的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 7．【生活情境】（2024春•长子县期末）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°．为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD＝150°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为 　 度． 模块二 多边形的三角划分 活动1 搭等边三角形 8．（2024秋•湘西州期中）3根等长的木棍，可以组成一个等边三角形，6根这样的木棍最多能搭造成　 　 个等边三角形． 活动2 多边形的三角划分 9．（1）从四边形的一个顶点出发，可以引　 　 条对角线，将四边形分成　 个三角形． （2）从五边形的一个顶点出发，可以引　 　 条对角线，将五边形分成　 　 个三角形． （3）从六边形的一个顶点出发，可以引　 　 条对角线，将六边形分成　 　 个三角形． （4）从n边形的一个顶点出发，可以引　 条对角线，将n边形分成　 　 个三角形． 10．（2022春•黄陂区月考）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方法：（如图示）20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（Dn表示凸n边形的三角剖分数）请你用上面的公式计算D6＝　 ． 11．（2023秋•怀仁市期中）观察探究及应用． （1）如图，观察图形并填空： 一个四边形有 　 　 条对角线；一个五边形有 　 　 条对角线；一个六边形有 　 　 条对角线； （2）分析探究： 由凸n边形的一个顶点出发，可作 　 　 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 　 条对角线； （3）结论：一个凸n边形有 　 条对角线； （4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$