专题2 三角形内求角的数学思想方法-2025-2026学年八年级数学上【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练（人教版）

专题2 三角形内求角的数学思想方法（解析版） 类型一 方程思想求角度 【典例】（2021春•仁寿县期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝50°． （1）求∠EAC的度数； （2）若∠CAD：∠E＝1：3；求∠E的度数． 【分析】 （1）利用外角定理以及∠EAD＝∠EDA，可得∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，又由角平分线的定义可得∠EAC＝∠B＝50°； （2）设∠CAD＝x，则∠E＝3x，∠DAB＝x，则∠EDA＝∠EAD＝x+50°，在三角形EDA中根据三角形内角和为180°建立方程求解x即可得到答案． 【详解】 解：（1）∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠EAC＝∠B， ∵∠B＝50°， ∴∠EAC＝50°． （2）设∠CAD＝x，则∠E＝3x，∠DAB＝x， ∵∠B＝50°， ∴∠EDA＝∠EAD＝x+50°， ∵∠EDA+∠EAD+∠E＝180°， ∴x+50°+x+50°+3x＝180°， ∴x＝16°， ∴∠E＝3x＝48°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、外角定理、角平分线的定义，注意方程思想的运用． 【变式训练】 1．（2024秋•洪山区期中）在△ABC中，∠B＝∠A﹣10°，∠C＝∠B+20°，求△ABC的各内角度数． 【分析】 先根据题意得出∠A＝∠B+10°，再由三角形内角和定理即可得出∠B的度数，进而可得出结论． 【详解】 解：∵∠B＝∠A﹣10°，∠C＝∠B+20°， ∴∠A＝∠B+10°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+10°+∠B+∠B+20°＝180°， 解得∠B＝50°， ∴∠A＝50°+10°＝60°，∠C＝50°+20°＝70°． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB∠BAC，CD是AB边上的高，CD＝5，求BC的长． 【分析】 根据已知条件和三角形的内角和求得∠B＝∠ACB＝30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到结论． 【详解】 解：∵∠B＝∠ACB∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠B+4∠B＝180°， ∴∠B＝∠ACB＝30°， ∵CD⊥AD， ∴∠D＝90°， ∴BC＝2CD＝10． 【点睛】 本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2024秋•内黄县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠C＝60°，AD⊥BC， （1）用尺规作图作∠ABC的平分线BE，且交AC于点E，交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求∠BFD的度数． 【分析】 （1）根据角平分线的尺规作图可得； （2）由三角形内角和定理得出∠ABC＝70°，根据BE平分∠ABC知∠DBC∠ABC＝35°，从而由AD⊥BC可得∠BFD＝90°﹣∠DBC＝55°． 【详解】 解：（1）如图所示，BE即为所求； （2）∵∠BAC＝50°、∠C＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝70°， 由（1）知BE平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝35°， 又∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 则∠BFD＝90°﹣∠DBC＝55°． 【点睛】 本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及三角形内角和定理与直角三角形性质的应用． 类型二 参数思想求角度 【典例2】（2024秋•天山区校级期中）如图，在△ABC中，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，∠A＝26°，∠B＝42°，求∠DCE的度数． 【分析】 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出∠ACE，再利用三角形的内角和求出∠ACD，最后利用角的和差关系求出∠ECD． 【详解】 解：∵∠A＝26°，∠B＝42°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝112°． ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠ACEACB＝56°． ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDA＝90°． ∵∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝64°． ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝64°﹣56°＝8°． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和、角平分线的性质等知识点，掌握“三角形的内角和是180°”、“直角三角形的两个锐角互余”及角平分线的性质是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（2021秋•新城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，连结DE． （1）当∠BAD＝40°，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由． 【分析】 （1）根据∠B＝∠C＝45°，可得∠BAC的度数，进一步可得∠DAE的度数，根据∠ADE＝∠AED，可得∠AED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠CDE的度数； （2）根据∠B＝∠C＝45°，可得∠BAC的度数，进一步可得∠DAE的度数，根据∠ADE＝∠AED，可得∠AED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠CDE的度数． 【详解】 解：（1）∵∠B＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵∠BAD＝40°， ∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°， ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠AED＝（180°﹣50°）÷2＝65°， ∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝65°﹣45°＝20°； （2）∠CDE∠BAD，理由如下： ∵∠B＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD， ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠AED＝（180°﹣90°+∠BAD）÷2＝45°∠BAD， ∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝45°∠BAD﹣45°∠BAD． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠DAC的平分线交BC于点E，试探究∠ADB，∠C与∠AEB之间的数量关系． 【分析】 ∠ADB+∠C＝2∠AEB，由AE平分∠DAC，利用角平分的定义，可得出∠DAC＝2∠EAC，结合三角形的外角性质，即可得出∠ADB+∠C＝2∠AEB． 【详解】 解：∠ADB+∠C＝2∠AEB，理由如下： ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAC＝2∠EAC． ∵∠ADB是△ACD的外角，∠AEB是△ACE的外角， ∴∠ADB＝∠C+∠DAC，∠AEB＝∠C+∠EAC， ∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C，∠EAC＝∠AEB﹣∠C， ∴∠ADB﹣∠C＝2（∠AEB﹣∠C）， ∴∠ADB+∠C＝2∠AEB． 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 类型三 整体思想求角度 【典例3】（2010春•廉江市期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝110°，求x的值． 【分析】 根据三角形内角和定理及角平分线的性质解答即可． 【详解】 解：在△ABC中，∠A+∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝110°， ∴∠2+∠435°， 又∵∠2+∠4+x°＝180°， ∴在x°＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣35°＝145°． 【点睛】 此题考查了角平分线性质及三角形内角和定理（三角形的内角和为180°）． 1．（2024秋•花溪区校级月考）如图①，根据图形填空： （1）∠1＝∠C+　∠E　 ，∠2＝∠B+　∠D　 ； （2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 　∠A　 +∠1+∠2＝ 　180　 °； 【应用】 （3）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 【分析】 （1）根据三角形的外角性质求解即可； （2）根据三角形的内角和定理求解即可； （3）根据三角形的外角性质得到，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：（1）如图①， ∵∠1是△CEF的一个外角，∠2是△BDG的一个外角， ∴∠1＝∠C+∠E，∠2＝∠B+∠D， 故答案为：∠E，∠D； （2）∵∠A+∠1+∠2＝180°，∠1＝∠C+∠E，∠2＝∠B+∠D， ∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D＝180°， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°， 故答案为：∠A，180； （3）∵∠AFG是△CEF的一个外角，∠AGF是△BDG的一个外角， ∴∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D， ∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°， ∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D＝180°， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 【点睛】 本题考查三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键． 2．如图，∠B＝∠C，点D为BC上一点，点E在CA的延长线上，连接AD，DE，若∠E＝∠ADE，∠BAD＝26°，求∠BDE的度数． 【分析】 分析题意，设∠E＝∠ADE＝α，由∠DAC是△AED的外角，可知∠CAD＝2α；已知∠B＝∠C，在△ABC中利用三角形内角和为180°，可表示出∠C的度数；由于∠BDE是△DEC的外角，再利用三角形外角性质求解，问题即可得解． 【详解】 解：设∠E＝∠ADE＝α， ∴∠CAD＝2α． ∵∠BAD＝26°， ∴∠BAC＝2α+26°． ∵∠B＝∠C， ∴∠C＝77°﹣α． ∵∠BDE＝∠C+∠E， ∴∠BDE＝77°． 【点睛】 本题侧重考查平行线的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 3．（2024春•青山区期中）如图，∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥AC； （2）若∠C＝∠DEF，∠ABC＝70°，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠A的度数． 【分析】 （1）结合邻补角定义求出∠1＝∠DFE，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）根据平行线的性质及判定求出DE∥BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠DEB＝110°，结合题意求出∠DEF＝50°＝∠C，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 （1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠DFE+∠2＝180°． ∴∠DFE＝∠1， ∴EF∥AC； （2）解：∵EF∥AC， ∴∠ADE＝∠DEF， ∵∠C＝∠DEF， ∴∠ADE＝∠ACB， ∴DE∥BC， ∴∠DEB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝70° ∴∠DEB＝∠DEF+∠FEB＝110°， ∵∠DEF＝∠FEB﹣10°， ∴∠FEB＝∠DEF+10°， ∴∠DEF+∠DEF+10°＝110°， ∴∠DEF＝50°＝∠ACB， ∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝60°． 【点睛】 此题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用平行线的性质定理及判定定理是解题的关键． 类型四 分类讨论思想求角度 【典例4】（2022秋•洪山区期中）在Rt△ABC中，∠B＝2∠C，则∠C的度数为 　45°或30°　 ． 【分析】 分∠B＝90°、∠A＝90°两种情况，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】 解：当∠B＝90°时， ∵∠B＝2∠C， ∴∠C＝45°， 当∠A＝90°时， ∵∠B＝2∠C， ∴∠C+2∠C＝90°， ∴∠C＝30°， 综上所述，∠C的度数为45°或30°， 故答案为：45°或30°． 【点睛】 本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【变式训练】 1．（2021秋•路南区期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 【分析】 当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论． 【详解】 解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°； ②如图2，当∠ACD＝90°时， ∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°， 综上，∠BCD的度数为60°或10°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键． 2．（2021秋•陵城区校级月考）在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD的度数为（　　） A．20° B．30° C．20°或30° D．20°或40° 【分析】 分∠C为锐角或钝角两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE；②当∠C为钝角时，如图所示，∠EAD＝∠DAC+∠EAC，分别求解即可． 【详解】 解：①当∠C为锐角时，如图所示， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°， AE平分∠BAC， ∴∠BAE80°＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝20°， 故：答案是20°． ②当∠C为钝角时，如图所示， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝20°， 则：∠EAD＝∠DAC+∠EAC＝40°， 故选：D． 【点睛】 本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键． 3．（2022秋•永川区校级月考）在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝40°，则∠C＝　65°或25°　 ． 【分析】 首先画出图形，根据三角形高的定义可得∠ADB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，然后再根据三角形内角和定理可得∠C的度数． 【详解】 解：如图1，∵BD为AC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝40°， ∴∠A＝50°， ∵∠ABC＝∠C， ∴∠C（180°﹣50°）＝65°， 如图2，∵BD为AC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝40°， ∴∠BAD＝50°， ∵∠ABC＝∠C， ∴∠C＝25°， 综上所述：∠C的度数为：65°或25°． 故答案为：65°或25°． 【点睛】 此题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°． 16．（2023秋•江夏区校级月考）在△ABC中，∠A＝50°，BD，CE是它的两条高，直线BD，CE交于点F，∠DFE＝　130°或50°　 ． 【分析】 分两种情况讨论：当△ABC为锐角三角形时，当△ABC为钝角三角形时，用四边形内角和求解即可． 【详解】 解：当△ABC为锐角三角形时，如图1， ∵∠A＝50°，BD，CE是它的两条高， ∴∠ADF＝∠AEF＝90°， ∴∠DFE＝130°； 当△ABC为钝角三角形时，如图2或3， ∵∠A＝50°，BD是它的高， ∴∠ABD＝40°， ∵CE是△ABC的高， ∴∠DFE＝50°， 综上所述：∠DFE＝130°或∠DFE＝50°， 故答案为：130°或50°． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 三角形内求角的数学思想方法（原卷版） 类型一 方程思想求角度 【典例】（2021春•仁寿县期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝50°． （1）求∠EAC的度数； （2）若∠CAD：∠E＝1：3；求∠E的度数． 【变式训练】 1．（2024秋•洪山区期中）在△ABC中，∠B＝∠A﹣10°，∠C＝∠B+20°，求△ABC的各内角度数． 2．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB∠BAC，CD是AB边上的高，CD＝5，求BC的长． 3．（2024秋•内黄县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠C＝60°，AD⊥BC， （1）用尺规作图作∠ABC的平分线BE，且交AC于点E，交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求∠BFD的度数． 类型二 参数思想求角度 【典例2】（2024秋•天山区校级期中）如图，在△ABC中，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，∠A＝26°，∠B＝42°，求∠DCE的度数． 【变式训练】 1．（2021秋•新城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，连结DE． （1）当∠BAD＝40°，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由． 2．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠DAC的平分线交BC于点E，试探究∠ADB，∠C与∠AEB之间的数量关系． 类型三 整体思想求角度 【典例3】（2010春•廉江市期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝110°，求x的值． 【变式训练】 1．（2024秋•花溪区校级月考）如图①，根据图形填空： （1）∠1＝∠C+　 　 ，∠2＝∠B+　 　 ； （2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 　 +∠1+∠2＝ 　 　 °； 【应用】 （3）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 2．如图，∠B＝∠C，点D为BC上一点，点E在CA的延长线上，连接AD，DE，若∠E＝∠ADE，∠BAD＝26°，求∠BDE的度数． 3．（2024春•青山区期中）如图，∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥AC； （2）若∠C＝∠DEF，∠ABC＝70°，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠A的度数． 类型四 分类讨论思想求角度 【典例4】（2022秋•洪山区期中）在Rt△ABC中，∠B＝2∠C，则∠C的度数为 　 　 ． 【变式训练】 1．（2021秋•路南区期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 2．（2021秋•陵城区校级月考）在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD的度数为（　　） A．20° B．30° C．20°或30° D．20°或40° 3．（2022秋•永川区校级月考）在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝40°，则∠C＝　 　 ． 4．（2023秋•江夏区校级月考）在△ABC中，∠A＝50°，BD，CE是它的两条高，直线BD，CE交于点F，∠DFE＝　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$