第十三章 三角形章节提优测试卷-2025-2026学年八年级数学上【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练（人教版）

第13章 三角形提优测试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．三角形的周长是偶数，其中两条边长分别为2和4，那么第三条边的长应为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，△ABC的面积可以表示为（　　） A．AC•BD B．AB•AM C．BC•CE D．BM•AF 3．在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，∠B＝2∠A﹣12°，则∠B的度数为（　　） A．78° B．58° C．56° D．34° 4．已知，在△ABC中，∠C＝56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC，垂足为F，若∠FDB＝20°，则∠CAB的度数为（　　） A．76° B．65° C．56° D．54° 5．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE＝2cm，DE＝1cm，，CE＝（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 6．如图所示，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 7．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（　　） A．108° B．36° C．72° D．144° 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 10．如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 二．填空题（共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分） 11．如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH＝　 　 ． 13．三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 　 　 ． 14．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于 　 ． 15．如图，四边形ABCD为矩形纸带，将四边形ABCD沿EF折叠，则A、D两点的对应点分别为A'、D'，若∠1＝2∠2，则∠2的度数为　 　 ． 16．如图，在∠AOB内部有一点C，外部有一点D，连接CD，OC．OC平分∠AOB，CD与OA交于点E，若∠EOC＝∠ECO，∠COB＝28°，则∠AED的度数为 　 　 ． 17．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、PA，若∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，∠C＝15°，则∠A+∠D+∠F＝ 　 　 ． 18．如图所示，△ABC中，∠A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为 　 ． 三．解答题（共8小题，共90分） 19．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数． 20．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是△ABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数． 21．（10分）当三角形中的一个内角a是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“二倍角三角形”其中a称为“二倍角”，如果一个“二倍角三角形”的一个内角为40°，求此三角形的二倍角的度数是多少度？ 22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝x°，∠ACD＝y°，∠D＝（x﹣20）°．求x，y的值． 23．（12分）如图，△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 24．（12分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 25．（15分）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数； （2）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　 ． 【猜想证明】 （3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D） 【拓展提高】 （4）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由． 26．（15分）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： （1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF； （2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和∠CFE的度数； （3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形提优测试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．三角形的周长是偶数，其中两条边长分别为2和4，那么第三条边的长应为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据三角形的周长是偶数，且已知的两边和是偶数，则三角形的第三边应该是偶数，从而求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 三角形的第三边大于2而小于6． 根据题意，得三角形的第三边应该是偶数，则三角形的第三边是4． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，同时能够根据周长和已知的边判断第三边应满足的条件． 2．如图，△ABC的面积可以表示为（　　） A．AC•BD B．AB•AM C．BC•CE D．BM•AF 【分析】直接利用三角形面积公式进行判断． 【详解】解：根据题意得S△ABC•AC•BDBC•AF． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．也考查三角形的高． 3．在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，∠B＝2∠A﹣12°，则∠B的度数为（　　） A．78° B．58° C．56° D．34° 【分析】利用三角形的内角和定理与∠C＝∠A+∠B，先求出∠A+∠B，再根据∠B＝2∠A﹣12°求出∠B和∠A． 【详解】解：∵∠C+∠A+∠B＝180°，∠C＝∠A+∠B， ∴∠A+∠B＝90°． ∵∠B＝2∠A﹣12°， ∴∠A+2∠A﹣12°＝90°． ∴∠A＝34°． ∴∠B＝56°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解决本题的关键． 4．已知，在△ABC中，∠C＝56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC，垂足为F，若∠FDB＝20°，则∠CAB的度数为（　　） A．76° B．65° C．56° D．54° 【分析】在△BDF和△ABC中分别使用内角和定理即可求出结果． 【详解】解：∵DF⊥BC， ∴∠B＝90°﹣∠FDB＝70°， ∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠B＝54°， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练使用内角和定理进行导角是解题关键． 5．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE＝2cm，DE＝1cm，，CE＝（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】根据三角形的面积公式求出BC，根据中线的概念求出DC，计算即可． 【详解】解：∵S△ABC＝8cm2， ∴BC•AE＝8，即BC×2＝8， 解得：BC＝8， ∵AD是边BC上的中线， ∴DCBC＝4（cm）， ∴EC＝DC﹣DE＝4﹣1＝3（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的中线、高的概念、三角形的面积计算，掌握三角形的中线的概念是解题的关键． 6．如图所示，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【分析】根据三角形的内角和是180°进行分析求解． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得 ∠1+∠2+∠7+∠3+∠4+∠9+∠5+∠6+∠8＝180°×3＝540°， 又∠10+∠11+∠12＝180°，∠7＝∠10，∠8＝∠11，∠9＝∠12， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理以及对顶角相等的性质．注意：三角形的内角和是180°． 7．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（　　） A．108° B．36° C．72° D．144° 【分析】如图，延长AB并交l2于点M．由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题． 【详解】解：如图，延长AB并交l2于点M． ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴正五边形ABCDE的每个外角相等． ∴∠MBC72°． ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠BMD． ∵∠1＝∠BMD+∠MBC， ∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC． ∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正多边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练掌握正多边形的性质是解决本题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据角平分线的定义的定义可知：∠ABF∠ABC，∠EAB∠BAD，根据三角形外角的性质可知：∠EAB﹣∠ABF＝45°，得到∠BFE的度数． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF∠ABC， ∵AE平分∠DAB， ∴∠EAB∠DAB， ∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠EAB﹣∠ABF＝45°， ∴∠BFE＝∠EAB﹣∠ABF＝45°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】由折叠性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角可求得∠ADF＝60°，则∠ADE＝30°，由三角形的内角和可求得∠AED＝135°，由三角形的外角求得∠DEG＝45°，则可求∠CEF的度数． 【详解】解：由题意得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED， ∵∠BDF＝120°， ∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝60°， ∴∠ADE＝30°， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝135°， ∠DEG＝∠A+∠ADE＝45°， ∴∠DEF＝135°， ∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEG＝90°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 10．如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【分析】连接AE，根据三角形的外角性质得到∠DEF+∠BAC＝140°，根据题意求出∠BAC＝70°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：连接AE， 则∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA， ∵∠1+∠2＝140°， ∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝140°， ∴∠DEF+∠BAC＝140°， ∵∠DEF＝∠BAC， ∴∠DEF＝∠BAC＝70°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠BAC） ＝180°（180°﹣70°） ＝125°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 二．填空题（共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分） 11．如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝　10°　 ． 【分析】在△EHD中，由三角形的外角性质知：∠HED＝∠AEC＝∠B∠BAC，所以∠B∠BAC+∠EDH＝90°；联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EDH（∠C﹣∠B）． 【详解】解：由三角形的外角性质知：∠HED＝∠AEC＝∠B∠BAC， 故∠B∠BAC+∠EDH＝90° ①， △ABC中，由三角形内角和定理得： ∠B+∠BAC+∠C＝180°， 即：∠C∠B∠BAC＝90° ②， ②﹣①，得：∠EDH（∠C﹣∠B）（50°﹣30°）＝10°． 故答案为：10°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是证明∠EDH（∠C﹣∠B）． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH＝　15°　 ． 【分析】利用三角形的三条高交于一点解决问题即可． 【详解】解：延长CH交AB于点M，如图， 在△ABC中，三边的高所在的直线相交于一点， ∴CM⊥AB， ∴∠CMA＝90°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠ACM＝180°﹣∠CMA﹣∠BAC＝15°， 即∠EAH＝15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的三条高线所在的直线相交于一点． 13．三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 　﹣3＜a＜﹣2　 ． 【分析】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围a＜﹣2；再由三角形三边关系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，从而求出a的取值范围． 【详解】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列， ∴3＜1﹣a＜1﹣2a， ∴a＜﹣2， ∵这三个数为边长能构成三角形， ∴3+（1﹣a）＞1﹣2a， ∴a＞﹣3， ∴﹣3＜a＜﹣2， 故答案为﹣3＜a＜﹣2． 【点睛】本题考查数轴上点的特点，这是第一个隐含的a的范围，再由三角形两边之和大于第三边进一步确定a的取值范围，从而顺利求解． 14．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于 　105°　 ． 【分析】求出∠CBD＝60°，由对顶角的性质得到∠ABE＝∠CBD＝60°，由三角形的外角性质即可求出∠α的度数． 【详解】解：∵∠CBD＝90°﹣∠D＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ABE＝∠CBD＝60°， ∴∠α＝∠A+∠ABE＝45°+60°＝105°． 故答案为：105°． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 15．如图，四边形ABCD为矩形纸带，将四边形ABCD沿EF折叠，则A、D两点的对应点分别为A'、D'，若∠1＝2∠2，则∠2的度数为　36°　 ． 【分析】根据折叠的性质，可得∠AEF＝∠A′EF，根据平行线的性质得出∠1＝∠AEF，根据∠AEF+∠A′EF+∠2＝180°，得出2∠2+2∠2+∠2＝180°，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：∠AEF＝∠A′EF， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠AEF， ∵∠1＝2∠2， ∴∠1＝∠AEF＝∠A′EF＝2∠2， ∵∠AEF+∠A′EF+∠2＝180°， ∴2∠2+2∠2+∠2＝180°， 5∠2＝180°， 解得：∠2＝36°． 故答案为：36° 【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形的内角与外角，掌握相应的运算法则是关键． 16．如图，在∠AOB内部有一点C，外部有一点D，连接CD，OC．OC平分∠AOB，CD与OA交于点E，若∠EOC＝∠ECO，∠COB＝28°，则∠AED的度数为 　124°　 ． 【分析】利用角平分线的定义，可得出∠EOC＝28°，结合∠EOC＝∠ECO，可得出∠ECO＝28°，在△OCE中，利用三角形内角和定理，可求出∠OEC的度数，再利用对顶角相等，即可求出∠AED的度数． 【详解】解：∵OC平分∠AOB，∠COB＝28°， ∴∠EOC＝∠COB＝28°， ∵∠EOC＝∠ECO， ∴∠ECO＝28°． 在△OCE中，∠EOC＝28°，∠ECO＝28°， ∴∠OEC＝180°﹣∠EOC﹣∠ECO＝180°﹣28°﹣28°＝124°， ∴∠AED＝∠OEC＝124°． 故答案为：124°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 17．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、PA，若∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，∠C＝15°，则∠A+∠D+∠F＝ 　215°　 ． 【分析】连接AC，DF，把凹多边形转变成四边形，然后根据三角形内角和公式和已知条件求出∠1+∠2，∠3+∠4，最后根据四边形的内角和为360°求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接AC，DF， ∵∠DEF+∠1+∠2＝180°，∠DEF＝130°， ∴∠1+∠2＝180°﹣130°＝50°， ∵∠ABC+∠3+∠4＝180°，∠ABC＝100°， ∴∠3+∠4＝180°﹣100°＝80°， ∵∠4+∠BCD+∠3+∠BAF+∠AFE+∠1+∠2+∠CDE＝（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠BAF+∠CDE+∠AFE＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4+∠BCD）＝360°﹣（50°+80°+15°）＝215°， 故答案为：215°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和，解题关键是添加辅助线，构造四边形． 18．如图所示，△ABC中，∠A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为 　102.5°　 ． 【分析】根据角平分线的定义得出∠ABP＝∠CBP∠ABC，∠ACP＝∠DCP∠ACD，∠MBC∠PBC，∠MCB∠PCB，根据三角形内角和定理求出∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP∠ABC， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠DCP∠ACD， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACP＝90°∠ACB， ∵∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB，（三角形内角和为180°）， ∵∠PBC∠ABC， ∵∠PCB＝∠ACB+∠ACP＝90°∠ACB， ∴∠P＝180°∠ABC﹣90°∠ACB ＝90°（180°﹣50°）＝25°， ∵MB平分∠PBC，MC平分∠PCB， ∴∠MBC∠PBC， ∠MCB∠PCB， ∴∠M＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB ＝180°（∠PBC+∠PCB） ＝180°（180°﹣∠P） ＝102.5°． 故答案为：102.5°． 【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 三．解答题（共8小题，共90分） 19．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数． 【分析】根据垂直的定义得到∠AFC＝∠EFC，根据角平分线的定义得到∠ACF＝∠ECF，由三角形的内角和定理得出∠EAC＝∠CEA，再根据三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵AE⊥CD交CD于点F， ∴∠AFC＝∠EFC＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠ECF， ∵∠AFC+∠EAC+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°， ∴∠EAC＝∠CEA， ∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝37°，∠BAE＝33°， ∴∠CEA＝70°， ∴∠EAC＝70°． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是180°得出∠EAC＝∠CEA是解题的关键． 20．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是△ABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数． 【分析】根据高定义得出∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理求出∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，求出∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝54°，求出∠MAC＝180°﹣∠BAC＝126°，根据角平分线定义求出∠CAEMAC＝63°，求出∠BAF＝∠BAC+CAE＝117°，根据角平分线定义求出∠ABF∠ABC＝23°，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝46°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣46°＝44°， ∵∠DAC＝10°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝44°+10°＝54°， ∴∠MAC＝180°﹣∠BAC＝126°， ∵AE是△ABC外角∠MAC的平分线， ∴∠CAEMAC＝63°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝54°+63°＝117°， ∵∠ABC＝46°，BF平分∠ABC， ∴∠ABF∠ABC＝23°， ∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣23°﹣117°＝40°． 【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180°和角平分线定义是解此题的关键． 21．当三角形中的一个内角a是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“二倍角三角形”其中a称为“二倍角”，如果一个“二倍角三角形”的一个内角为40°，求此三角形的二倍角的度数是多少度？ 【分析】根据三角形的内角和定理，结合分类讨论的数学思想进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为2×20°＝40°，且20°+40°+120°＝180°， 所以三角形的二倍角可以是40°． 因为40°×2＝80°，且40°+80°+60°＝180°， 所以三角形的二倍角可以是80°． 因为180°﹣40°＝140°，且， 所以三角形的二倍角可以是， 综上所述，三角形的二倍角是40°或80°或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，理解题中所给定义是解题的关键． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝x°，∠ACD＝y°，∠D＝（x﹣20）°．求x，y的值． 【分析】在Rt三角形ACD中利用三角形内角和定理得出x+y＝110①，根据平行线的性质得出∠BAC＝∠ACD，在三角形ABC中利用三角形内角和定理得出2x+y＝180②，②﹣①即可求出x的值，从而求出y的值． 【详解】解：∵∠CAD＝90°， ∴∠D+∠ACD＝90°， ∵∠ACD＝y°，∠D＝（x﹣20）°， ∴y+x﹣20＝90， ∴x+y＝110①， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠BAC＝y°， ∵∠B＝∠ACB＝x°， ∴x+x+y＝180， ∴2x+y＝180②， ②﹣①，得x＝70， ∴y＝40． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握这两个定理是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 【分析】（1）首先由CD是中线得BD＝AD，再分别求出△BCD和△ACD的周长，然后再求出它们的差即可； （2）先根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝31°，然后根据三角形的外角定理可得∠BOC的度数． 【详解】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝3+AD+CD，△ACD的周长＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴△BCD的周长﹣△ACD的周长＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． 故答案为：1． （2）CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角的性质，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的外角的性质进行角度的计算是解答此题的关键． 24．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理进行证明即可． （2）①结合（1）中发现的结论，进行计算即可． ②结合（1）中发现的结论，进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB． 同理可得，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）①解：由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 又∵∠B＝36°，∠D＝16°， ∴∠P． ②∠P，证明如下： 由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和定理是解题的关键． 25．如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数； （2）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　30°　 ． 【猜想证明】 （3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D） 【拓展提高】 （4）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到∠D∠A； （4）延长BM、CN交于点A，将问题转化为（3）即可． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝75°，BD平分∠ABC， ∴∠DBE∠ABC＝37.5°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝180°﹣45°＝135°， ∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE＝67.5°， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝67.5°﹣37.5°＝30°， 答：∠D＝30°； （2）∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE∠ABC， ∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC ∠ACE∠ABC （∠ACE﹣∠ABC） （∠A+∠ABC﹣∠ABC） ∠A ＝30°， 故答案为：30°； （3）不变化，理由如下： ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE∠ABC， ∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC ∠ACE∠ABC （∠ACE﹣∠ABC） （∠A+∠ABC﹣∠ABC） ∠A， 即∠D∠A； （4）（∠M+∠N﹣180°），理由如下： 如图，延长BM、CN交于点A， 则∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM） ＝180°﹣[360°﹣（∠BMN+∠CNM）] ＝∠BMN+∠CNM﹣180° ∴∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°， 由（3）可得∠D∠A， ∴∠D（∠M+∠N﹣180°）． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是180°以及三角形外角的性质是正确解答的关键． 26．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： （1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF； （2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和∠CFE的度数； （3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE的度数． 【分析】（1）由余角的性质可得∠B＝∠ACD，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求∠GAF＝130°，由角平分线的性质可求∠GAF＝65°，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN＝90°，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∵AE是角平分线， ∴∠CAF＝∠DAF， ∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， ∴∠CEF＝∠CFE； （2）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠GAF＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°， ∵AF为∠BAG的角平分线， ∴∠GAF＝∠DAF130°＝65°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠ADF＝∠ACE＝90°， ∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°， 又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°， ∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°； （3）证明：∵C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线， ∴∠EAN＝90°， 又∵∠GAN＝∠CAM， ∴∠M+∠CEF＝90°， ∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴∠M+∠CFE＝90°． ∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$