精品解析：2025年山东省威海乳山市中考二模数学试题

初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将姓名、准考证号、座号等信息填写在答题纸规定的位置上，并用2B铅笔规范涂黑． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题纸对应题目的答案选项涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项． 4．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 5．考试时间120分钟，不允许使用计算器． 6．本次考试满分120分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘方，化简绝对值，有理数加法，有理数乘法，通过有理数乘方，化简绝对值，有理数加法，有理数乘法法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 故选：． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式运算，根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 3. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，根据平行线的性质得到再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴, 故选：C 4. 随机抛掷两个均匀的骰子（六个面标记的数字分别是1，2，3，4，5，6），两个骰子点数之和是10的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列表求概率． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共36种情形，其中和为10的有3种， 故两个骰子点数之和是10的概率是． 故选C． 【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 5. 在学校合唱比赛中，共有7位评委分别给各个班级进行评分，在计算班级成绩时，要从7个评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的统计量是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是指将一组数据从小到大或者从大到小重新排列后，最中间的那个数；一组数据中出现次数最多的数叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可． 【详解】解：根据题意，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，最中间的那个数不变，即不变的是中位数，故C正确． 故选：C． 6. 如图，在中，，点D是边上的动点，点D关于的对称点分别为E，F，连接．点D在从点B向点C运动过程中，的周长（ ） A. 一直在变小 B. 保持不变 C. 先变大再变小 D. 先变小再变大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求三角形周长最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得，，，，等量代换得，，得是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当时，取最小值，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点D关于的对称点分别为E，F， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为：， ∴当最小即取最小值时，的周长最小， ∴当，取最小值， ∴点D在从点B向点C运动过程中，的周长先变小再变大， 故选：D． 7. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：B． 8. 如图，正方形的边长为5，内部有6个全等的小正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别落在边上，则每个小正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强；过点G作，可以得到，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到，根据勾股定理可求，进而得到小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴， 过点G作，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴小正方形的边长为， ∴每个小正方形的面积为， 故选：C． 9. 二次函数图象与轴有两个不同的交点和，对于下列说法：①若函数图象开口向下，则的取值范围为；②函数图象过点；③当时，函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积是；④当，且时，的最大值为．正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由函数图象开口向下，且与轴有两个不同的交点，利用开口方向与的关系和判别式即可判断①；把点代入函数即可判断②；当时，，然后求出此时与坐标轴的交点，计算面积即可判断③；当，且时，可知该函数的图象开口向上，且对称轴，从而得到当时，函数取得最大值，即可判断④． 【详解】解：①因为该函数图象开口向下，且与轴有两个不同的交点， 则，且， 解得，故①错误； ②当时，， 所以函数图象过点，故②正确； ③当时，， 此时当时，，即与轴的交点为和； 当时，，即与轴的交点为； 所以函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积为，故③正确； ④该函数图象的对称轴为直线， 所以当时，该函数的图象开口向上，且对称轴， 所以当时，函数在时取得最大值， 最大值为，故④正确； 综上所示，②③④正确． 故选：A． 10. 如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理以及点与圆的位置关系，在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，则点运动时，点在上运动，作的的高，延长交于点，当点与点重合时面积最大，根据勾股定理求出，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，如图， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点运动时，点在上运动， 作的的高，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时面积最大，即面积的最大值为， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 纳米（）是非常小的长度单位， ．的空间可以放_______个的物体．（物体之间的间隙忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含负整数指数幂的幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法得到，即，再根据幂的乘方得到． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 13. 若不等式组的解集为，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组中的含参问题，熟练掌握找不等式组的解集是解题的关键． 先求出原不等式组中每一个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集为，确定的范围． 【详解】解：， 由①得：，由②得：， ∵原不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点在内，，，若，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，二次根式的性质，作，交的延长线于点，则，证明，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：作，交的延长线于点，则， ， ，， 在和中， ， ∴， ∵， ∵即 ∴ 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点P在边上，将沿翻折，点A落在点处，若点恰好在矩形的对角线上，则的长度为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与锐角三角函数的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据题意分当点在矩形的对角线上或点在矩形的对角线上两种情况进行讨论即可． 【详解】解：①点在矩形的对角线上时， 由折叠可知：， ， 则， 在中，， 在中，， 设，则， ， 解得， 当时，， 故是方程的解， ； ②点在矩形的对角线上时， 在矩形中，， 由翻折知，直线是与对称轴， ， 令交于点，则， ， ， ， ， 即， 解得， 综上所述，的长度是或， 故答案为：或； 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BCx轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值． 【详解】解：过点D作DF⊥BC于F， 由已知，BC＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝5， ∵BE＝2DE， ∴设DE＝x，则BE＝2x， ∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x， 在Rt△DFC中， DF2+FC2＝DC2， ∴（2x）2+（5﹣x）2＝52， 解得x1＝2，x2＝0（舍去）， ∴DE＝2，FD＝4， 设OB＝a， 则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a）， ∵点D、C在双曲线上， ∴k＝2×（a+4）＝5a， ∴a＝， ∴k＝5×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 先将小括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法． 【详解】解：原式 ． 18. 某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 19. 图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】灯管D距地面的高度约为 【解析】 【分析】过点D作，垂足为G，设，则．解直角三角形得出．，证明．得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为G． 设，则． 在中， ． 在中， ， ∴． ∴， 解得． ∴． ∴灯管D距地面的高度约为． 20. 为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，B，C三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，B，C三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 B 2300 C 900 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． （2）经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定，根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元并说明理由． 【答案】（1）12； （2）①应调低午餐单价；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元． 【解析】 【分析】（1）由统计表可得全校总人数为（人），根据中位数的定义，将午餐价格按从小到大的顺序排列，即可得出答案． （2）①根据条形统计图可得种、种、种午餐每份的利润，再求出平均每份午餐的利润，与3元作比较即可得出结论．②，，种午餐的单价调的越低，利润就越低，故分别算出单价降低1元时，，，种午餐平均每份的利润，即可得出结论． 【小问1详解】 解：全校总人数为（人）， 将午餐价格按从小到大的顺序排列，可得中位数为12元． 故答案为：12元； 【小问2详解】 ①根据条形统计图可知，种午餐每份的利润为2元，种午餐每份的利润为4元，种午餐每份的利润为3元， 平均每份午餐的利润为（元）， ， 需要调低午餐的单价． ②若降低种午餐的单价1元， 则平均每份午餐的利润为（元）； 若降低种午餐的单价1元， 则平均每份午餐的利润为（元）； 若降低种午餐的单价1元， 则平均每份午餐的利润为（元）， 应该应该调低种午餐的单价． ，，种午餐的单价调的越低，利润就越低， 单价降低1元，平均每份午餐的利润不超过但更接近3元， 应把种午餐的单价调整为14元． 【点睛】本题考查条形统计图、中位数，能够读懂题意，掌握中位数的定义是解答本题的关键． 21. 某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为元，试销售一段时间后统计每天的销售量（件）与售价（元件）间的部分数据如下表： 售价（元/件） 销售量（件） （1）根据表中数据，求出与之间满足的函数关系式； （2）物价部门规定单件利润率不得超过，售价定为多少元公司每天获得的利润最大？ 【答案】（1）； （2）售价定为元，公司每天获得的利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格可知与之间之间满足一次函数关系，设其关系式为，然后把和代入求解即可； （）设获利为元，由题意得，由 物价部门规定单件利润率不得超过，售价不低于成本，则，然后根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格可知与之间之间满足一次函数关系，设其关系式为， 选取和代入上式，得， 解得， ∴， 经检验，和均满足上式， ∴与之间满足的函数关系式是； 【小问2详解】 解：设获利为元，由题意得， ∵物价部门规定单件利润率不得超过，售价不低于成本， ∴，解得：， ∵， ∴当，时，随的增大而增大， ∴售价定为元，公司每天获得的利润最大． 22. 如图，点在矩形的对角线上，经过点C，且与，分别交于点，，且． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 解：连接． ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴直线与相切； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、切线的判定定理，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键． （1）连接，由已知条件易证，由此可得，结合，可得从而可得，由此可得，从而可得直线与相切； （2）根据同角的正切值相等及正切的概念可求得的值，再根据勾股定理可求得的值，在中，根据正切的概念可求得的值；设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求得r的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴． 在中，， ， 在中，由勾股定理得． 设的半径为r． 在中，由勾股定理得． 解得． ∴的半径为． 23. 【问题再现】如图①，点E，F分别在正方形的边，上，． 求证：． 思路：可以将绕点A顺时针旋转得到，可以把分散的线段，集中到同一条线段上． （1）请依据该思路对“问题再现”进行证明． 【类比探究】 （2）如图②，在等边中，点D，E在边上，．求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D，E在边边上，连接，， ，，，则线段的长为 ．（直接写答案） 【答案】 （1）∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到，如图①， 由旋转性质得：，，，， ∴，， ∴，G、B、E三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴即． （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转得到，证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点F作交延长线于G，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，再证明，即可求解； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点D作于G，先证明，再求得，则，设，则，由勾股定理得：，从而求得，根据得，解得：，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵等边 ∴，， ∵ ∴ 将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点F作交延长线于G，如图①， 由旋转可得：，，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵交延长线于G， ∴ ∴ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点D作于G，如图③， 由（2）同理可得， ∴ ∵ ∴ 由旋转可得：，， ∴ 在中，， 设，则， 由勾股定理得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴． 故答案为：2. 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质应用，勾股定理，直角三角形的性质．利用旋转性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，点，，在抛物线上，轴，，． （1）直接写出点的坐标 ；（用含，的式子表示） （2）将的面积记为． 求与之间的关系式； 若，当时，的最大值为，求的值． 【答案】（1） （2）；的值为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及对称性，解一元二次方程，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，再代入抛物线的解析式求出纵坐标即可； （2）过点作，交的延长线于点，由等角对等边求出，设，则，可求得点的坐标为，由点在抛物线上，得，解得解得：（舍），，再根据即可求解； 由，得，解出，得到抛物线的解析式，然后分三种情况进行讨论：1.当，即时；2.当，即时；3.当，即时；综上即可得解． 【小问1详解】 解：对称轴为，，轴， 关于对称轴对称， 点的横坐标为， 点在抛物线上， 将代入抛物线解析式，得， ， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， 设，则， 可求得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得：（舍），， ； 由，得， 解得：， 抛物线的解析式为， 分三种情况考虑： 1.当，即时，， 整理得：， 解得：（舍），（舍）； 2.当，即时，， 解得：； 3.当，即时，， 整理得：， 解得：（舍），； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将姓名、准考证号、座号等信息填写在答题纸规定的位置上，并用2B铅笔规范涂黑． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题纸对应题目的答案选项涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项． 4．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 5．考试时间120分钟，不允许使用计算器． 6．本次考试满分120分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 随机抛掷两个均匀的骰子（六个面标记的数字分别是1，2，3，4，5，6），两个骰子点数之和是10的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在学校合唱比赛中，共有7位评委分别给各个班级进行评分，在计算班级成绩时，要从7个评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的统计量是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 6. 如图，在中，，点D是边上的动点，点D关于的对称点分别为E，F，连接．点D在从点B向点C运动过程中，的周长（ ） A. 一直在变小 B. 保持不变 C. 先变大再变小 D. 先变小再变大 7. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 如图，正方形的边长为5，内部有6个全等的小正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别落在边上，则每个小正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数图象与轴有两个不同的交点和，对于下列说法：①若函数图象开口向下，则的取值范围为；②函数图象过点；③当时，函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积是；④当，且时，的最大值为．正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 10. 如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 纳米（）是非常小的长度单位， ．的空间可以放_______个的物体．（物体之间的间隙忽略不计） 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为_______． 13. 若不等式组的解集为，则a的取值范围是_______． 14. 如图，点在内，，，若，则的长度为_______． 15. 如图，在矩形中，，，点P在边上，将沿翻折，点A落在点处，若点恰好在矩形的对角线上，则的长度为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BCx轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 化简：． 18. 某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 19. 图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，B，C三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，B，C三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 B 2300 C 900 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． （2）经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定，根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元并说明理由． 21. 某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为元，试销售一段时间后统计每天的销售量（件）与售价（元件）间的部分数据如下表： 售价（元/件） 销售量（件） （1）根据表中数据，求出与之间满足的函数关系式； （2）物价部门规定单件利润率不得超过，售价定为多少元公司每天获得的利润最大？ 22. 如图，点在矩形的对角线上，经过点C，且与，分别交于点，，且． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的半径． 23. 【问题再现】如图①，点E，F分别在正方形的边，上，． 求证：． 思路：可以将绕点A顺时针旋转得到，可以把分散的线段，集中到同一条线段上． （1）请依据该思路对“问题再现”进行证明． 【类比探究】 （2）如图②，在等边中，点D，E在边上，．求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D，E在边边上，连接，， ，，，则线段的长为 ．（直接写答案） 24. 如图，点，，在抛物线上，轴，，． （1）直接写出点的坐标 ；（用含，的式子表示） （2）将的面积记为． 求与之间的关系式； 若，当时，的最大值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $