第4章 平面内的两条直线&第5章 轴对称与旋转-【数理报期末复习】2024-2025学年新教材七年级数学下册升级突破（湘教版2024）

20 专题复习 数理报 解：如图8，AB与直线n交于点D.因为m∥ 第四章 平面内的两条直线 m,∠1=50°，所以∠ACD=∠1=50°.因为 ∠ACB=90°，所L以∠BCD=∠ACB-∠ACD= 。湖南湛意娟 40°.所以∠2=180°-∠BCD=140° 线段中 故填140 知识回厨 4.两直线平行的性质与判定 ●专项练习 1.相交直线与平行线 (1)两直线平行的性质： 5.如图9，直线AF,BD相交于点C,过点C (1)对顶角的性质： 两条平行直线被第三条直线所截， 作射线CE,使得CD平分∠ECF,连接AB.若 (2)平行线的性质： ①同位角相等；②内错角相等： ∠B=∠ACB,试说明：AB∥CE. ①过直线外一点 条直线与这条 ③同旁内角互补 直线平行（基本事实）。 (2)两直线平行的判定： ②平行于同一条直线的两条直线 两条直线被第三条直线所截 2.平移的性质 ①如果同位角相等，那么这两条直线平行： (1）平移不改图形的 和 ②如果内错角相等，那么这两条直线平行： (2)平移不改变直线的 ③如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 6.如图10，∠1=∠2，∠C=∠D,试说明 (3)一个图形和它经过平移所得到的图形 (3)在同一平面内，垂直于同一条直线的 ∠A=LF 中，两组对应点的连线 (或 两条直线平行 。考点5：垂线及其性质 且 5.平行线间的距离 例5如图11，直线AB, 3.垂线的性质 (1)公垂线：与两条平行直线都 CD相交于点O,OE⊥CD,若 (1)在同一平面内，如果一条直线 的直线，叫做这两条平行直线的公垂线，这时 ∠AOE=50°，则∠BOD的度 两条平行线中的一条，那么这条直线」 的线段叫做这两条平行直线的公 数为 ( 图11 一条 垂线段，两条平行线的所有公垂线段都 A.30 B.40 (2)在同一平面内，过一点 C.45 D.50 与已知直线垂直（基本事实）： (2)平行线间的距离：两条平行线的 解：因为OE⊥CD.,所以∠EOD=90°，因 (3)直线外一点与直线上各点连接的所有 的长度 为∠A0E=50°，所以∠B0D=180°-∠A0E -∠EOD=40°. 考点解密 ●专项练习 故选B. 3.如图5，有下列判衔： ●专项练习 ◆考点1：对顶角 ①∠A与∠I是同位角：②∠A 7.如图12，直线AB.CD 例1如图1，已知直线 与∠B是同旁内角：③∠4与 相交于点0.0F1CD,0E平 AB.CD相交于点O.OE平分 ∠1是内错角：④∠1与∠3是同 分∠BOD. ∠C0B,若∠A0D=120°，则 位角，其中正确的是 (1)若∠A0C=68°，求 ∠EOB的度数是 ( (填序号， LEOF的度数； A.65 B.60 。考点3：平移 (2)若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE C.559 D.50 例3如图6，将三角形 的度数 解：因为∠A0D=120°，由对顶角相等，得 ABC沿BC向右平移得到三 令考点6：两条平行线间的距离 ∠COB=∠AOD=120.因为0E平分∠C0B 角形DEF,若BC=5.BE= 例6已在同一平面内，直线a,b,e互相 所以上B0B=子<c0B=60 2,则CF的长是 ( 平行，直线a与b之间的距离是3cm,直线b与 A.2 B.2.5 c之间的距离是5cm,那么直线a与c之间的距 故选B C.3 D.5 离是」 ●专项练习 解：选A 解：如图13，有两种情祝： 1.如图2，直线AC,BD相交于点O,若∠1+ ●专项练习 ∠2=50°，则∠1的度数是 4.如图7.三角形ABC A.20° B.25 C.50 D.659 的顶点都在方格纸的格点 上，将三角形ABC向右平 图13 移2格，再向上平移2格。 ①直线a与e之间的距离为：3+5 其中每个格子的边长均为 8(cm): ②直线4与c之间的距离为：5-3= 图2 3 1个单位长度 2(cm). 2.如图3，直线AD与BE相交于点O, (1)请在图中画出平移后的三角形 故填8cm或2cm ∠D0E与∠C0E互余，∠C0E=72°，则∠A0B A'B'C: ●专项练习 的度数是」 (2)若三角形A'BC与AB边相交于点M, 8.如图14，已知AD∥BC 。考点2：同位角、内错角、同旁内角 且∠B'MA=145°，求∠B的度数 AB∥EF,CD∥EG,且点E和 例2如图4，分别将木条。 。考点4：平行线的判定与性质 点F,H.G分别在直线AD,BC a,b与木条c钉在一起，与∠2 例4如图8，三角形ABC 上，EH平分∠FEG.∠A=∠D 图4 构成内错角的是 ( 中，∠ACB=90°，顶点A,C分 =110°，试判断线段EH的长是 A.∠5B.∠4 别在直线m,n上.若m∥n,∠I 否是两条平行线AD,BC之间的距离.请说明 C.∠3 D.∠1 = 50°，则∠2的度数是 理由 解：选D. (本章复习检测卷见第11-12版)】 数理报 专题复习 29 全重合，则转的角度最小为 第五章 轴对称与旋转 ©安徽徐皓飞 知识回厨 图形关于某一条直线对称的另一个图形，或已知 “一半”的轴对称图形的另一半，方法是先确定几 图5 6.如图6，点M为EF的中点，三角形AEC 1.轴对称 个关健点的对称点，再连线即可」 经旋转后与三角形BFD重合，试确定图中的 (1)轴对称：对于两个图形，如果 2.旋转 旋转中心和旋转的角度，并指出图中相等的线 ,它们能完全重合，那么 (1)理解旋转要注意以下两点： 段和相等的角 称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴， ①图形的旋转是由旋转 、旋转的 ◆考点3：图形的变换 两个图形中的对应点（即对折后两图形中互相 及旋转的】 决定的： 例3如图，在6×6的方格纸中，点A.0. 重合的点)叫做 ②注意图形旋转的对应元素。 B都在小方格的格点上，请在方格纸的格点中 理解轴对称应注意：①有两个图形：②沿某 (2)特征 取点C和D,并画三角形AOC和三角形BOD.使 条直线对折后能够完全重合：③对称轴是直线 ①对应点到旋转中心的距离相等： 这两个三角形完全相同. 而不是线段 ②经过旋转后，图形上的每个点都绕着英 (1)在图7中画出的两个三角形，可以使其 (2)轴对称图形：如果一个图形沿一条直 !转中心沿相同的方向转动了相同的 中一个三角形通过轴对称得到另一个三角形： 线折叠后， 能够互相重合，那 ③旋转后的图形与原图形的对应线段 (2)在图8中画出的两个三角形，可以使其 么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对 对应角 ,图形的形状和大小 中一个三角形通过旋转得到另一个三角形 称轴 都没有发生变化 理解轴对称图形应注意：①指一个图形；② (3)旋转作图 图形被直线分成的两部分能够互相重合：③轴 ①在已知图形上找关键点； 对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在 ②作出关键点的对应点，对应点的找法是： 多条 将各关键点与旋转中心连接，以旋转中心 图7 图8 (3)轴对称的性质：如果两个图形关于某 为顶点，以上述连线为一边，向旋转方向作角的 解：(1)答案不唯一，如图9-①所示： 条直线对称，那么对应线段一，对应角 另一边，使这些角的大小都等于旋转的角度，且 (2)答案不唯一，如图9-②所示 ， 对应点所连的线段被对称轴使另一边长度都等于对应关键点到旋转中心的 长度，这端点就是对应点： 温馨提示：根据性质可以画出一个轴对称图 ③顺次连接对应点 形的对称抽或两个成轴对称图形的对称轴，方法 (4)旋转一定角度后能与自身重合的图形 是作对应点连线的垂直平分线：也可以画出一个 就称为 图9 ●专项练习 考点解密 AB=3.AD∥BC,∠D=128°，则CD= 7.如图10，在4×4的方格纸中，有4个小方 ,∠B= 格被徐黑成“L形”，在图中再分别涂黑4格，使 考点1：轴对称图形及其性质 ◆考点2：图形的旋转 新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形 例1 下列图形中，为轴对称图形的是 例2。如图3，正方形网格中，三角形ABC 是轴对称图形（三个图各画一种） 为格点三角形（即三角形的顶点都在格，点上）， (1)把三角形ABC沿BA方向平移后，点A 移到点A,在网格中画出平移后得到的三角形 D 4B,C: 解：根据轴对称图形的定义可知，只有选顶 (2)把三角形A,B,C,绕点A,按逆时针方 图10 D符合题意故选D 向旋转90°，在网格中画出旋转后的三角形 8,利用变换可设计出美丽的图案，如图11， ●专项练习 A,B.C2 在方格纸中有一个顶点都在格点上的四边形， 1.下列图案中，不是轴对称图形的是 且每个小正方形的边长都为1，完成下列问题： (1)图案设计：先作出四边形关于直线1成 轴对称的图形，再将你所作的图形和原四边形 绕点0顺时针旋转90°： (2)完成上述图案设计后，请求出这个图 3 2.图1中的图形为轴对称图形，该图形的 案的面积 对称轴的条数为 (1)如图4所示： A.1 B.2 (2)如图4所示 C.3 D.5 ●专项练习 4.李明家有一个时钟，假期间的某天上年 他8点整出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转 了60°，那么李明回家的时间是 A.9点整 B.9点半 C.10点整 D.10点半 图11 3.如图2，直线1是四边形ABCD的对称轴 5.如图5，该图形绕其中心旋转能与自身完 (本章复习检测卷见第21~22版)】数理极 参 考答案 15 所以x2-y+y子=1+2+4=7. 5.解：因为CD平分∠ECF, 所以∠BEH=a=15“ 23.解：(1)12： 所以∠EGD=LDCF ∠FEH+∠EFG=180 (2)由题数，得x④2=2x- 因为∠ACB=∠DCF,∠B=∠ACB, 因为B=45 所以∠B=∠ECD. 所以∠FEH=180°-450-15。=120°， (-2)©+4=2×(-2)-(-2++4) 所以AB∥CE 所以∠EFG=I8O°-∠FEH 6.解：由对顶角相等，得∠2=∠3 =180°-120°=60°， 因为∠1=∠2. 所以EF与FG所成锐用的度数为60 因为x⊕2>(-2)⊕(x+4) 所以∠1=∠3 I8解：设NF交AB于点H. 所以-3>-吾-7 所以BD∥CE, 过E作EP∥AB.如图2 所以∠ABD=∠C 设∠FMB=a,∠END=B 解得x>-2. 因为∠C=∠D, 因为NE平分∠FND, 所以不等式的负整数解为一1， 所以∠D=∠ABD MB平分∠FHE. 24.解：(1)设第一次批发A种头盔x个，B种头盔 所以DF∥AC, 所以∠FMB=LBME=, 图2 个 所以∠A=∠F ∠ED=∠FNE=B, 金得om 7.解：(1)因为∠A0C=68° 所以∠FME=2a,∠FND=2B 由对打面角相等，得∠B00=∠AOC=68 因为AB∥CD,EP∥AB :知 因为OE平分∠BOD, 所以EP∥AB∥CD, 所以∠D0E=之∠B0D=34 所I以∠FHB=∠FND=2B. 答：第一次批发4种头强40个，B种头器80个 ∠MEP■LBME=a,∠PEY=∠END=B. (2)设第二次批发A种头盔a个，则批发B种头盔 因为OF⊥CD, 所以∠MEV=∠MEP+LPEN=a+B 1200-60e个. 所以∠D0F=90 又因为∠FB=∠F+∠FHB, 40 所以∠EOF=∠D0F-∠DOE=56, 所以∠F=∠FaMB-∠HB=a-2B 根据题意，得(80-60)a+(50-40)×7200-6 (2)设∠B0F=x°. 因为2∠EN+∠F=174°， 40 因为∠BOE比∠BOF大24° 所以2(a+B)+a-2B■174 ≥7200×30%， 所以∠B0E=(x+24)° 所以a=58°， 解得a≥72. 因为OE平分∠BOD, 所以∠FME=2a=116 答：该商店第二次至少批发A种头盔72个， 所以∠B0E=∠D0E=(x+24). 三、解答题 2改解：(1)解方程组2+y=1, 因为∠D0F■90， 19.解：因为AB∥DC, w-y=5-3a. 即∠D0E+∠BOE+∠BOF=90 所以∠B+∠C=180 2 所以(x+24)+(x+24)+米=90， 因为∠B=145°， 解得x=14. 所以∠C=180°-∠B=35 因为方程组的解都为非负数， 所以∠D0E=38, 因为BG∥DE. m. 所以∠C0E=180°-∠D0E=142 所以∠D=∠Cm35 8.解：线段EH的长是两条平行线AD,BC之间的距 20解：因为∠0C■50°， 解得子≤a气2 离理由如下： 所以∠A0D=∠0C=50°. 因为AB∥EF,CD∥EG, (2)因为2a-b=-1, ∠A0C=180°-∠B0C=130 所以∠A+∠AEF=180°，∠D+∠DEG=180 因为EO⊥CD, 所以a= 又因为∠A=∠D=110°， 所以∠D0E=90°， 所以∠AEF=∠DEG=70°， 所以号≤≤2， 所以∠A0E=∠A0D+∠D0E=140 所以∠FEG=180°-∠AEF-∠DEG=40 因为OF平分∠AOC 解得4≤b≤5， 因为EH平分∠FEG, 所以∠FEH=方LPEG=20 所以∠A0F=宁∠A0C=6S 所以号≤4+6≤7 所以∠0D=∠OA+∠AOD.=115 26,解：(1)）设长益段高铁全长为x千米，长益城隔 所以∠AEH■∠AEF+∠FEH■9O°， 21.解：c∥d理由如下： 铁路全长为y千米 所以EH⊥AD, 如图3，直线c与直线b相交，、9 5=x+40. 又因为AD∥BC 并标注角。 根据题意，得 所以∠EHC=∠AEH=90° y=104 因为a∥b, 所以EH⊥BC, 所以∠3=∠1 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长 阶以线段EH的长是两条平行线AD,BC之间的距离 因为∠4■∠3，∠1■∠2， 为104千米 所以∠2■∠4. (2)设甲工程队后期每天施工a千米 《平面内的两条直线》复习检测卷 所以e∥d 甲原来每天的施工长度为 一、选择题 22解：因为∠3=∠4. 4+0×6=07(千米)， 湖号12345678910 所以AF∥BC,所以∠EDC=∠5 乙每天的施工长度为 答案D CC BB CC A C D 因为∠A=∠5， 所以∠EDC=∠A,所以DC∥AB, 4+0×6=0.9(千米)， 二、填空题 所以∠5+∠ABC=180 1l,∠3：12.PTPQ:3.148: 根据粗意，得 即∠5+∠2+∠3■180 14.∠B=∠BAE(答案不1一)： 0.7×5+0.9×(40-3)+(40-3-5)e64. 因为∠1=∠2， 1558;16.18:17.60°；18.116 解得a≥085. 所以∠5+∠1+∠3=180°. 提示： 答：甲工程队后期每天至少施工0,85千米 即∠BCF+∠3=18O,所以BE∥CF 16解：由题意可灯，首次平行时 23解：(1)图路： 《平面内的两条直线》专项练习 ∠ACE=60°+2t,∠ADF=I50°-3 (2)平行且相等： 因为EC∥FD 1.B;2.18°：3.①2 (3)图略： 所以∠ACE=∠ADF 4.解：(1)图路： (4》△DEF的面积为 所以60°+2：=150°-3， (2)因为∠B'MA=145”, 解得：=18 4x4-7×4×1-7×4×2-子×3×2=7 所以∠AMC=I80°-∠BMA=35 17.解：如图1，过点E作EH∥AB. 24(1)证明：因为AB∥CD 由平移的性质知，BC∥BC, 因为AB∥FG, 所以∠ABC+LBCD=180P 所以∠B=∠AM=35 所以AB∥EH∥FG. 因为∠ABC=140°， 16 参考答案 数理极 所以∠BCD=40 《轴对称与旋转》复习检测卷 二、填空题 因为∠CDF=40°. 11.折线统计图：12.④：13.144： 所以∠BCD=∠CDF,所以BC∥EF 、选择题 14.12人：15.24：16.36：17.10：18.84 (2)结论：BD平分∠ABC.理由如下： 题号12345678910 三、解答题 因为BD∥AE. 19.解：此次调查中最喜欢学数学这门学科的百分比 所以∠BAE+∠ABD=180 因为∠BAE=110°， 二，填空题 为9品x10%=30%。 所以∠ABD=70 1L①②：12.：13.75°，30°：14.90： 20解：(1)总体是：该小区8个单元所有居民对物 因为∠ABC=140°， 15.21:05:16.74:17.5:18.90. 业工作的满意程度： 所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=70, 三、解答题 个体是：每位小区居民对物业工作的满意程度： 所以BD平分∠ABC I9.园略 样本是：调查的1单元280位居民对物业工作的满 25.解：(1)因为∠A=∠ACE=20°， 20.解：答案不难一，如： 意程度：样本容量是280 所以AB∥EC, ①一个空白部分是由另一个空白部分绕着散个圆 (2)不能理由如下： 所以∠B+∠BCE=180 的中心顿时针旋转【80°得到的： 因为聪聪灿取的样本太少，缺乏广泛性 因为∠B=0°， ②右边四边形是由左边四边形通过袖对称得到的： 2L.解：(1)3,7： 所以∠BCE=180°-∠B=110 ③图案是由一片花瓣绕其面点依次顺时针旋钓 (2)若将9月30日的游客人数记为0，则10月1 60°，120°，180°，240°，300°得到的 (2)设∠DCE=a,则∠E=2a,LBCD=a 7日的游客人数分别为： 2L.解：(1)答案不唯，如AC=BD,∠A=∠B。 0+1.6=1.6(万人)： 因为BC∥EF AC∥BD. 1.6+08=2.4(万人)： 所以∠E+∠BE=180°， (2)DE=15am 2.4+04=2.8(万人) 即2a+子+an10 22图略 2.8-04=2.4(万人)； 23解：答案不和唯一，如下图 2.4-08=1.6(万人)： 解得a=40. 1.6+02=18(万人) 所以∠BCE=+a=omr L.8-L2=0.6(万人). 由(1)知AB∥EC, 折线统计图略。 所以∠B=180°-∠BCE=80 22解：(1)本次共调查的学生有12÷20%= 26.解：(1)如图4，过点P作PM∥AB 60(名)： 24.解：(1)EF=3cm,AD=4cm 所以∠MPE=∠AEP=50°， (2)a=60-9-12-6-15=18: (2)∠G■80°. 因为AB∥CD. (3)“南芦丝“对应的扁形回心角的度数为 (3)直线MN垂直平分最段B的 所以PM∥CD 25.解：(1)旋转中心是点B,旋转的角度是90°： 360×0=36 所以∠MPF=∠PFC=120° (2)因为△BCF的面积为4m 所以∠EPF■∠MPF-∠MPE■0 23解：(1)75%，25%： 所以△ABE的面积为4cm (2)估计培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学 又因为正方形ABCD的面积为18cm, 所以四边形AECD的面积是14cm 生共有640×162=480（名） 26,解：因为△EPF关于直线PF的对称图形是△OPF 24.解：(1)160： 所以L0FP=LEFP=LEFQ (2)5632,126° (3)估计全校骑自行车上学的学生有 (2)因为EG是∠AEP的平分线 因为AB∥CD,∠PEF=75 所以∠CFE=180°-∠PEF=10B 150×高=58（人） FG是∠PFC的平分线， ①当点Q在直线AB,CD之甸时， 25.解：(1)1月的销售额为 所以∠ABG=∠AP=25, 因为∠CFQ=21. 35-10-8-4-8=5(万元) 补图略： LGFC =LPFC 60%. 所以∠EFp=∠CFE-∠CPO)=2 (2)8×15%=1.2(万元) 如图5，过点G作CN∥AB, ②当点Q在CD下方时 答：该店最畅销饮品去年12月的销售制是1.2万元 所以∠NGE=∠AEC=25 因为∠CFQ=21°， (3)不同意理由如下： 因为AB∥CD.所以GN∥CD 所以LBFP=∠CE+∠CPQ)=63 3月最畅销饮品的销售额为 所以∠GF=∠GFC=60P 8×10%=08(万元). 所以∠ECFm∠NGF-∠NGE=35 综上所述.∠EFP的度数为42°或63 1月最畅销饮品的销售领为 5×11%=055(万元). 《轴对称与旋转》专项练习 《收集、整理与描述数据》专项练习 因为0.8>0.55， 1.A:2D:3.3,52.4.C:5.72 1.D:2.C 所以店长的看法不正确 6.解：提转中心为点1.旋转的角度为180°： 3.解：总体：时代中学七年级10个班所有学生一周 26解：(1)由题意，得12÷3=4（人） 相等的线段有：AC=BD,CE=DF,AE=BF,EM= 中收看电视节目所用的时间： 答：902班D等级的人数为4. FH,AM■BM,AF=BE: 个体：时代中学七年级每名学生一周中收看电视节 (2)因为九年级每班选相同数量的同学参比赛 相等的角有：∠A=∠B,∠C=∠D,∠CEA 目所用的时间： 所以901班的总人数为4÷16%=25（人）， ∠DFB,∠GEM=∠DFM 样本：60名七年级学生一周中收看电视节目所用的 所以901班C等级的人数为 7.答案不难一，图略 时间： 25-6-12-5=2(人). 8.解：(1)如下图 4.36%: 补图路. 5.(1)15,5,15毫 (2)扇形统计图中表示“一般”的形圆心角α的 （3)901班的优秀常为若x100%=72。 度数为：360°×15%=549 02班的优秀率为44%+4%=48% 6.折线统计图， 因为8%<72%，所以901班的成绩更优秀 《收集、整理与描述数据》复习检测卷 七年级第一学期期末综合质量检测卷（一 一、选择题 一、选择题 题号12345678910 题号1234567890 (2)这个图案的面积为20， 答案DBBDAAADCB 签家CC DD BB C D CC