七年级下学期期末复习检测卷(一)-【数理报期末复习】2024-2025学年新教材七年级数学下册升级突破（北师大版2024）

书 七年级第二学期 期末复习检测卷（一） ◆ 数理报社试题研究中心 （时间：９０分钟　满分：１２０分） 题号 一 二 三 总分 得分 第Ⅰ卷 选择题 （共３０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 一、精心选一选（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个汉字 中，是轴对称图形的为 （　　） ２．宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春 风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”， 月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季 花粉直径约为０．００００３５２米，数据０．００００３５２用科学记数法表 示为 （　　） Ａ．０．３５２×１０－５ Ｂ．３．５２×１０－５ Ｃ．３．５２×１０－６ Ｄ．３５．２×１０－６ ３．端午节是我国传统节日，蕴含着丰富的文化内涵．小明在 端午节期间参加了社区举办的“端午文化体验活动”，并获得了四 张精美的主题卡片．其中两张卡片记录了包粽子的详细步骤，一 张卡片印有龙舟竞渡的图案，还有一张卡片介绍了艾草的药用价 值．若小明从这四张卡片中随机抽取一张，抽到记录包粽子步骤 卡片的概率为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ５ ４．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ｘ２·ｘ４ ＝ｘ８ Ｂ．（ｘ－１）２ ＝ｘ２－１ Ｃ．（－ｍ２）３ ＝－ｍ６ Ｄ．（ｍ２ｎ３）２ ＝ｍ４ｎ５ ５．如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ的直角顶点Ａ在直线ａ上，斜边ＢＣ在直线 ｂ上．若ａ∥ｂ，∠２＝５５°，则∠１的度数为 （　　） Ａ．５５° Ｂ．４５° Ｃ．３５° Ｄ．２５° ６．在化学实验中，小明研究 Ａ，Ｂ，Ｃ三种固体物质的溶解度， 如图２，为这三种固体物质的溶解度曲线．下列结论错误的是 （　　） Ａ．Ａ，Ｂ，Ｃ三种物质的溶解度都随温度的增加而变大 Ｂ．温度为ｔ２℃时，Ａ，Ｂ，Ｃ三种物质的溶解度由大到小的顺序 是Ｃ＞Ａ＞Ｂ Ｃ．温度为ｔ３℃时，Ａ，Ｂ，Ｃ三种物质的溶解度由大到小的顺序 是Ａ＞Ｂ＞Ｃ Ｄ．温度为ｔ１℃时，Ａ，Ｂ两种物质的溶解度相等 ７．如图 ３，已知直线 ＡＢ，ＣＤ交于点 Ｏ，ＯＥ⊥ ＣＤ，ＯＦ平分 ∠ＡＯＣ，若∠ＡＯＦ比∠ＡＯＥ大１５°，则∠ＢＯＤ的度数为 （　　） Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° ８．若多项式２ｘ２－（２ｘ＋ｍ）（ｘ－２ｎ）＋３的值与ｘ的取值无 关，则ｍ和ｎ满足 （　　） Ａ．ｍ＝４ｎ Ｂ．ｍ＝０且ｎ＝０ Ｃ．４ｍ＝ｎ Ｄ．ｍ＋４ｎ＝０ ９．如图４，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｂ关于ＡＤ的对称点Ｅ恰好落在ＣＤ上， ∠ＢＡＣ＝１２４°，ＡＦ为△ＡＣＥ中ＣＥ边上的中线，则∠ＡＤＢ的度数 为 （　　） Ａ．２４° Ｂ．２８° Ｃ．３０° Ｄ．３８° １０．如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ为一个钝角，ＣＤ⊥ＢＣ交ＡＢ 于点Ｄ，点Ｅ在ＢＤ上，且∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＤ＝１２°，ＡＣ＋ＣＥ＝ＡＢ， 延长ＡＣ至点Ｆ，使ＢＣ平分∠ＡＢＦ，则下列结论错误的是（　　） Ａ．∠ＢＣＥ＝７８° Ｂ．∠ＡＣＢ＝１０２° Ｃ．∠ＣＤＥ＝５６° Ｄ．∠ＡＢＣ＝４８° 第Ⅱ卷 非选择题 （共９０分） 二、细心填一填（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分） １１．一个角的度数是６３°，则这个角的补角的度数是 ． １２．已知三角形的两边长分别是４ｃｍ和９ｃｍ，如果第三边长 为ｘｃｍ（ｘ是整数），则该三角形周长最大为 ｃｍ． １３．某书店对外租赁图书．收费办法是：每本书在租赁后的前 两天每天按０．５元收费，以后每天按０．７元收费（不足一天按一天 计算），则租金 ｙ（元）和租赁天数 ｘ（ｘ≥ ２）之间的关系式为 ． １４．如图６，在△ＡＢＣ和△ＢＤＥ中，点Ｃ在 边ＢＤ上，ＡＣ交ＢＥ于点Ｆ．若ＡＣ＝ＢＤ，ＡＢ＝ ＥＤ，ＢＣ ＝ ＢＥ，∠ＡＣＢ ＝５０°，则 ∠ＡＦＢ ＝ °． １５．有一张三角形纸片ＡＢＣ，已知∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝５０°，点Ｄ 在边ＡＢ上，请在边ＢＣ上找一点Ｅ，将纸片沿直线ＤＥ折叠，点Ｂ落 在点Ｆ处，若ＥＦ与三角形纸片ＡＢＣ的边ＡＣ平行，则∠ＢＥＤ的度 数为 ． 三、耐心解一解（本大题共８个小题，共７５分） １６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分） （１）计算：－１２＋（π－３．１４）０－（－１３） －２＋（－２）３． （２）先化简，再求值：［（３ａ＋ｂ）２－（ｂ＋３ａ）（３ａ－ｂ）－６ｂ２］ ÷２ｂ，其中ａ＝－１３，ｂ＝－２． １７．（６分）如图７，电信部门要在Ｓ区修建一座电视信号发射 塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇Ａ，Ｂ的距离必须相等，到两 条高速公路ｍ和ｎ的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？ 在图上标出它的位置（保留作图痕迹）． ! " # $ ! " # $ % & ! % !"# ' ( ) # $ * ! & ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 3 4 ! " # $ % & ! ' ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 3 4 ' $ + ( # ) , ! ' ) ()*-* $ # ) . ' . + . , +*-! ! + ' ( ) # $ * " ! , ' ( ) # $ * ! - # ' ( $ ) ! . * 书 １８．（８分）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球 共２０个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的 个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把 球放回盒子中，多次重复上述过程，结果见下表： 摸球的次数ｎ ５０ １００ ３００ ５００ ８００ １０００ ２０００ 摸到红球的次数ｍ １４ ３３ ９５ １５５ ２４１ ２９８ ６０２ 摸到红球的频率 ｍ ｎ ０．２８ ０．３３ ０．３１７ ０．３１ ０．３０１ ０．２９８ ０．３０１ （１）通过以上试验，可得盒子里红球的数量为 个； （２）先从袋子中取出ｘ（ｘ＞１）个红球，再从袋子中随机摸出 １个球，若“摸出黑球”为必然事件，则ｘ＝ ； （３）先从袋子中取出 ｙ个红球，再放入 ｙ个一样的黑球并摇 匀，若随机摸出１个红球的概率为１４，求ｙ的值． １９．（８分）如图８，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的高线，ＡＥ平 分∠ＢＡＣ，若∠ＢＡＣ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝４∶３∶２，求∠ＤＡＥ的度数． ２０．（９分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续 向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定 某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过１４０ｋｍ／ｈ），对这 种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速ｖ／（ｋｍ／ｈ） ０ １０ ２０ ３０ ４０ ５０ … 刹车距离ｓ／ｍ ０ ２．５ ５ ７．５１０１２．５ … （１）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （２）当刹车时车速为６０ｋｍ／ｈ时，刹车距离是 ｍ； （３）根据上表反映的规律写出该种型号汽车ｓ与ｖ之间的关 系式： ； （４）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测 得刹车距离为３２ｍ，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时， 汽车是超速行驶还是正常行驶？ （相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行 驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时１２０公里．） ２１．（１０分）如图９，已知点Ｅ，Ｆ在直线ＡＢ上，点Ｇ在线段ＣＤ 上，ＥＤ与ＦＧ交于点Ｈ，∠Ｃ＝∠ＥＦＧ，∠ＣＥＤ＋∠ＦＨＤ＝１８０°． （１）试说明：ＣＥ∥ＧＦ； （２）试判断∠ＡＥＤ与∠Ｄ之间的数量关系，并说明理由； （３）若∠ＥＨＦ＝８８°，∠Ｄ＝２８°，求∠ＡＥＭ的度数． ２２．（１１分）对于任意有理数 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，我们规定（ａ，ｂ）☆（ｃ， ｄ）＝ａ２－ｂｃ＋ｄ２． （１）对于有理数 ｘ，ｋ，若（ｘ，ｋ）☆（ｘ，１）＝（ｘ±１）２，则 ｋ＝ ； （２）对于有理数ｘ，ｙ，若ｘ＋ｙ＝１２，（ｘ＋ｙ，ｙ）☆（２ｘ＋ｙ，ｙ）＝ １０４． ①求ｘｙ的值； ②将长方形ＡＢＣＤ和长方形ＣＥＦＧ按照如图１０所示方式进 行放置，点Ｅ在边ＣＤ上，连接ＢＤ，ＢＦ．若ＡＢ＝２ｘ，ＡＤ＝ｘ，ＥＦ＝ ２ｙ，ＦＧ＝ｙ，求图中阴影部分的面积． ２３．（１３分）【问题背景】（１）如图１１－①，在四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝１２０°，∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，点Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ， ＣＤ上的点，且∠ＥＡＦ＝６０°．探究图中线段ＢＥ，ＥＦ，ＤＦ之间的数 量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长ＦＤ到点Ｇ，使ＤＧ＝ＢＥ， 连接ＡＧ．先判定△ＡＢＥ≌△ＡＤＧ，再判定△ＡＥＦ≌△ＡＧＦ，可得 出结论，他的结论应是 ． 【探索延伸】（２）如图１１－②，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ， ∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＢＣ，ＣＤ上的点，且 ∠ＥＡＦ＝ １ ２∠ＢＡＤ，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】（３）如图１１－③，在某次军事演习中，快艇甲在 指挥中心（Ｏ处）北偏西３０°的 Ａ处，快艇乙在指挥中心南偏东 ７０°的Ｂ处，并且两快艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令 后，快艇甲向正东方向以３０海里 ／时的速度前进，快艇乙沿北偏 东５０°的方向以４０海里 ／时的速度前进，１．５小时后，指挥中心观 测到甲、乙两快艇分别到达Ｅ，Ｆ处，且两快艇之间的夹角为７０°， 试求此时两快艇之间的距离． !"# !"#$%&' !"#!$ () ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 3 4 ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 3 4 !" # $ % ! $ ! " # $ % & ' ( ) ! % ! " # $ % & ! !! ! $ % & * + , ! ( # $ % & ! " # ! " + ! !& ! " # $ % & , '+ ', ( 书 ３．１２２°． ４．图略． ５．ＥＦ＝２ＢＤ．理由如下： 过点Ａ作ＡＧ⊥ＥＦ于点Ｇ，图略．所以∠ＡＧＥ＝９０°． 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＢ＝９０°．因为点Ｂ关 于直线ＡＣ的对称点为Ｅ，所以ＡＢ＝ＡＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ．因为 ＡＦ＝ＡＢ，所以 ＡＦ＝ＡＥ．所以 ＥＦ＝２ＥＧ．在 △ＡＢＤ和 △ＡＥＧ中，因为∠ＡＤＢ＝∠ＡＧＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ，ＡＢ＝ＡＥ， 所以△ＡＢＤ≌△ＡＥＧ（ＡＡＳ）．所以ＢＤ＝ＥＧ．所以ＥＦ＝ ２ＢＤ． ６．Ｂ；　７．Ｃ． ８．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ．因为ＡＤ＝ ＡＥ，所以 ∠Ｅ＝∠ＡＤＥ．因为 ∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＋∠ＢＡＣ＝ １８０°，∠Ｅ＋∠ＡＤＥ＋∠ＣＡＤ＝１８０°，所以２∠ＡＣＢ＋２∠Ｅ ＋∠ＢＡＤ＝３６０°．因为∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ，所以２（∠ＤＣＥ＋ ∠Ｅ）＋∠ＢＡＤ＝３６０°．因为∠ＢＡＤ＝１２０°，所以∠ＤＣＥ ＋∠Ｅ＝１２０°．所以∠ＥＤＣ＝１８０°－（∠ＤＣＥ＋∠Ｅ）＝ ６０°． （２）∠ＢＡＤ＝２∠ＥＤＣ．理由如下： 由（１）知２（∠ＤＣＥ＋∠Ｅ）＋∠ＢＡＤ＝３６０°．所以 ２（１８０°－∠ＥＤＣ）＋∠ＢＡＤ ＝３６０°．所以 ∠ＢＡＤ ＝ ２∠ＥＤＣ． ９．Ｂ；　１０．Ｂ． １１．连接ＤＢ，图略．因为∠ＡＢＣ＝５０°，所以∠ＢＡＣ＋ ∠ＢＣＡ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝１３０°．因为ＤＥ，ＤＦ分别为ＢＣ， ＡＢ边的垂直平分线，所以 ＤＢ＝ＤＣ，ＤＢ＝ＤＡ．所以 ∠ＤＣＢ ＝∠ＤＢＣ，∠ＤＡＢ ＝∠ＤＢＡ，ＤＣ ＝ＤＡ．所以 ∠ＤＡＣ＋∠ＤＣＡ＝∠ＢＣＡ－∠ＤＣＢ＋（∠ＢＡＣ－∠ＤＡＢ） ＝１３０°－∠ＤＣＢ－∠ＤＡＢ＝８０°．因为 ＤＣ＝ＤＡ，所以 ∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＤ＝４０°． １２．６；　１３．８． 《图形的轴对称》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 二、１１．②③；　１２．８；　１３．４；　１４．１５０°； １５．６７°或１１３°． 三、１６．图略． １７．因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝６５°，所以∠ＡＣＢ＝∠Ｂ＝ ６５°．所以∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＡＣＢ＝５０°．因为ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＣＡＤ＝１２∠ＢＡＣ＝２５°．因为ＣＥ ＝ＡＥ，所以 ∠ＡＣＥ＝∠ＥＡＣ＝２５°．所以 ∠ＥＣＤ ＝ ∠ＡＣＢ－∠ＡＣＥ＝４０°． １８．（１）因为点Ｐ关于ＯＡ，ＯＢ对称的点分别为点Ｃ， Ｄ，所以ＰＭ ＝ＣＭ，ＰＮ＝ＤＮ．所以ＣＤ＝ＣＭ＋ＭＮ＋ＮＤ ＝ＰＭ＋ＭＮ＋ＰＮ＝１８ｃｍ．所以△ＰＭＮ的周长为１８ｃｍ． （２）因为∠Ｃ＝１５°，∠Ｄ＝１７°，所以∠ＣＰＤ＝１８０° －∠Ｃ－∠Ｄ＝１４８°．因为 ＰＭ ＝ＣＭ，ＰＮ＝ＤＮ，所以 ∠ＭＰＣ＝∠Ｃ＝１５°，∠ＮＰＴ＝∠Ｄ＝１７°．所以∠ＭＰＮ ＝∠ＣＰＤ－∠ＭＰＣ－∠ＮＰＴ＝１１６°． １９．（１）因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，∠ＡＢＣ＝４０°，所以 ∠ＤＢＣ＝ １２∠ＡＢＣ＝２０°．因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∠ＡＣＢ ＝７０°，所以∠ＤＣＢ＝ １２∠ＡＣＢ＝３５°．所以 ∠ＢＤＣ＝ １８０°－∠ＤＢＣ－∠ＤＣＢ＝１２５°． （２）因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，ＤＥ＝ ２，所以ＤＦ＝ＤＥ＝２．因为ＢＣ＝９，所以Ｓ△ＢＣＤ ＝ １ ２ＢＣ· ＤＦ＝９． ２０．图略． ２１．（１）因为ＡＥ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＣＥ，所以ＡＤ是ＣＥ的垂 直平分线．所以ＤＥ＝ＣＤ．所以∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ． （２）因为ＡＣ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝ ∠ＢＣＥ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ．所以∠ＡＥＣ＝１８０°－ ∠ＢＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＣＥ＝２∠Ｂ．在 △ＡＥＣ中，∠ＡＣＥ＋ ∠ＡＥＣ＋∠ＢＡＣ＝２∠Ｂ＋２∠Ｂ＋∠Ｂ＝１８０°．解得∠Ｂ ＝３６°． ２２．（１）４８； （２）①因为ＡＢ＝ＡＤ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为ＡＢ ＝ＡＣ，∠Ｃ＝２∠ＡＤＢ，所以∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝２∠ＡＢＤ．所 以 ∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＤ ＝２∠ＡＢＤ－∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ．所以ＡＤ∥ＢＣ． ②因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＡＢＣ，∠ＤＡＣ＝ ∠Ｃ．所以∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＣ，即ＡＤ是∠ＥＡＣ的平分线．又 因为ＤＥ⊥ ＡＢ，ＤＥ＝６ｃｍ，所以点 Ｄ到 ＡＣ的距离是 ６ｃｍ． ２３．（１）△ＡＢＣ与 △ＡＣＤ，△ＡＢＣ与 △ＢＣＤ（答案不 惟一）． （２）因为ＣＤ＝ＡＤ，∠Ａ＝５０°，所以∠ＡＣＤ＝∠Ａ＝ ５０°．所以 ∠ＢＤＣ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝ １００°．因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ，所以∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＤ＝５０°， ∠ＡＣＢ＝２∠ＡＣＤ＝１００°．所以∠ＢＣＤ＝∠Ａ，∠ＢＤＣ＝ ∠ＡＣＢ．又因为ＣＤ＝ＤＡ，∠Ｂ＝∠Ｂ，所以ＣＤ为△ＡＢＣ 的“等角分割线”． （３）当△ＡＣＤ是等腰三角形，如图７，ＤＡ＝ＤＣ时， ∠ＡＣＤ＝∠Ａ＝５４°，∠ＢＣＤ＝∠Ａ＝５４°，所以∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝１０８°，所以∠Ｂ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＣＢ ＝１８°； 当△ＡＣＤ是等腰三角形，如图８，ＡＤ＝ＡＣ时，∠ＡＣＤ ＝∠ＡＤＣ＝ １２（１８０°－∠Ａ）＝６３°，∠ＢＣＤ＝∠Ａ＝ ５４°，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝１１７°，所以∠Ｂ＝ １８０°－∠Ａ－∠ＡＣＢ＝９°； 当△ＡＣＤ是等腰三角形，ＣＤ＝ＣＡ的情况不存在； 当 △ＢＣＤ是等腰三角形，如图 ９，ＤＣ ＝ＤＢ时， ∠ＡＣＤ＝∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝ １３（１８０°－∠Ａ）＝４２°； 当△ＢＣＤ是等腰三角形，如图 １０，ＢＤ ＝ＢＣ时， ∠ＢＤＣ＝∠ＢＣＤ＝ １２（１８０°－∠Ｂ）＝９０°－ １ ２∠Ｂ， ∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝９０°－ １ ２∠Ｂ＋∠Ｂ＝９０°＋ １ ２∠Ｂ，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＋∠Ｂ＋ ∠ＡＣＢ＝５４°＋∠Ｂ＋９０°＋１２∠Ｂ＝１８０°，解得∠Ｂ＝ ２４°； 当△ＢＣＤ是等腰三角形，ＣＤ＝ＣＢ的情况不存在． 综上所述，∠Ｂ的度数为９°或１８°或４２°或２４°． 《变量之间的关系》专项练习 １．（１）常量：４，π；变量：Ｓ，Ｒ． （２）常量：１２，ｇ；变量：ｈ，ｔ． （３）常量：１．８，变量：ｘ，ｙ． ２．注水的速度，３．５ｈ． ３．（１）气温，声音在空气中的传播速度； （２）ｖ＝０．６ｔ＋３３１； （３）（０．６×１０＋３３１）×３＝１０１１（ｍ）． 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距１０１１ｍ． ４．ｙ＝０．６５ｘ－２２．５． ５．（１）１０．５，６； （２）ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝０．５ｘ＋８．当ｘ＝１０ 时，ｙ＝０．５×１０＋８＝１３． （３）常量是０．５，８．它们是定值，保持不变，表示增加 一个纸杯，纸杯的总高度在 ８ｃｍ的基础上增加一个 ０．５ｃｍ． ６．Ｃ；　７．Ｃ． 《变量之间的关系》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、１１．空调每小时的用电量；　１２．ｙ＝５ｘ＋１； １３．５．４４；　１４．４；　１５．２或３． 三、１６．（１）ｎ，ｍ为变量；２０，１．２为常量． （２）α与β之间的关系式为α＝１８０°－２β． １７．由题意，得ｙ＝ １２（ｘ＋８）×５＝ ５ ２ｘ＋２０，所以 四边形ＡＢＣＥ的面积ｙ与ＡＥ的长ｘ（０＜ｘ＜８）之间的 关系式为ｙ＝ ５２ｘ＋２０（０＜ｘ＜８）．列表如下： ｘ ３ ４ ５ ６ ７ ｙ ２７．５ ３０ ３２．５ ３５ ３７．５ １８．（１）７０，５４； （２）变大； （３）摩天轮的直径为：７０－５＝６５（ｍ）． １９．（１）６８； （２）３７÷５＝７．４（ｃｍＨｇ），所以ｈ每增加１ｍ，压强增 加７．４ｃｍＨｇ． 所以ｐ与ｈ之间的关系式为ｐ＝６８＋７．４ｈ． 当ｈ＝３２．８时，ｐ＝６８＋７．４×３２．８＝３１０．７２，所以 离水面３２．８ｍ处的压强为３１０．７２ｃｍＨｇ． ２０．（１）时间，下降的速度； （２）１３ｓ； （３）根据图象可知，２０ｓ时，该运动员下降的速度为 ５ｍ／ｓ，且到落地前速度不变，所以２０ｓ时，该运动员距离 地面的高度是：５×（４０－２０）＝１００（ｍ）． ２１．（１）３４８０，２２００；　（２）８； （３）３４８０＋（３０００－２２００）×２＝５０８０（米）， （３４８０－２２００）÷（２８－２４）＝３２０（米 ／分）． 答：小宇一共行驶了５０８０米，小宇买到书后从书店 前往西安交通大学的速度为３２０米 ／分． ２２．（１）ｙ１ ＝３０＋ １ ２ｘ，ｙ２ ＝６ｘ． （２）【问题解决】由题意，得６ｘ＝３０＋１２ｘ．解得ｘ＝ ６０ １１． 答：在１：００～１：１５之间时针与分针的重合时刻为 １点 ６０１１分钟． 【问题拓展】由题意，得６ｘ＝３０＋１２ｘ＋９０，解得ｘ＝ ２４０ １１． 答：在１：１５～１：３０之间时针与分针所在直线互相垂 直的时刻为１点２４０１１分钟． ２３．（１）１，５２，１０；　（２）５，３； （３）兔子比乌龟晚出发２分钟，此时乌龟走了２米． （４）由题意得，兔子休息前的速度为：５÷（５－２）＝ ５ ３（米 ／分）．所以兔子不休息到达终点需要的时间为： １０÷５３ ＝６（分钟）．因为兔子比乌龟晚出发２分钟，所以 兔子需要８分钟完成比赛，１０－８＝２（分钟）． 答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与 比赛，将比乌龟早到达终点２分钟． 七年级第二学期期末复习检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ 二、１１．１１７°；　１２．２５；　１３．ｙ＝０．７ｘ－０．４； １４．１００；　１５．２５°或１１５°． 三、１６．（１）－１７． （２）原式 ＝３ａ－２ｂ．当ａ＝－１３，ｂ＝－２时，原式 ＝ ３． １７．作线段ＡＢ的垂直平分线，与Ｓ区内高速公路ｍ， ｎ夹角的平分线交于点Ｐ，则发射塔应修建在点Ｐ处．图 略． １８．（１）６；　（２）６； （３）由题意，得６－ｙ＝ １４×２０．解得ｙ＝１． １９．在△ＡＢＣ中，因为∠ＢＡＣ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝４∶３∶２， 所以∠ＢＡＣ＝１８０°×４９ ＝８０°，∠Ｂ＝１８０°× ３ ９ ＝６０°． 因为ＡＤ是 ＢＣ边上的高线，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°．所以 ∠ＢＡＤ＝９０°－∠Ｂ＝３０°．因为 ＡＥ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＥ＝ １２∠ＢＡＣ ＝４０°．所以 ∠ＤＡＥ ＝∠ＢＡＥ－ ∠ＢＡＤ＝１０°． ２０．（１）刹车时车速，刹车距离； （２）１５； （３）ｓ＝０．２５ｖ（ｖ≥０）； （４）当ｓ＝３２时，０．２５ｖ＝３２，解得ｖ＝１２８． 所以推测刹车时车速是１２８ｋｍ／ｈ． 因为１２０＜１２８，所以事故发生时，汽车是超速行驶． ２１．（１）因为 ∠ＣＥＤ＋∠ＦＨＤ ＝１８０°，∠ＧＨＤ＋ ∠ＦＨＤ＝１８０°，所以∠ＣＥＤ＝∠ＧＨＤ．所以ＣＥ∥ＧＦ． （２）∠ＡＥＤ＋∠Ｄ＝１８０°．理由如下： 因为 ＣＥ∥ ＧＦ，所以 ∠Ｃ＝∠ＦＧＤ．因为 ∠Ｃ＝ ∠ＥＦＧ，所以 ∠ＦＧＤ ＝∠ＥＦＧ．所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＡＥＤ＋∠Ｄ＝１８０°． （３）因为∠Ｄ＝２８°，所以∠ＡＥＤ＝１８０°－∠Ｄ＝ １５２°．因为ＣＥ∥ＧＦ，∠ＥＨＦ＝８８°，所以∠ＭＥＨ＝１８０° －∠ＥＨＦ＝９２°．所以∠ＡＥＭ＝３６０°－∠ＡＥＤ－∠ＭＥＨ ＝１１６°． ２２．（１）±２； （２）①由题意知，（ｘ＋ｙ，ｙ）☆（２ｘ＋ｙ，ｙ）＝（ｘ＋ｙ）２ －（２ｘ＋ｙ）ｙ＋ｙ２＝ｘ２＋ｙ２＝１０４．因为ｘ＋ｙ＝１２，所以 （ｘ＋ｙ）２ ＝ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ＝１４４．所以２ｘｙ＝４０．所以ｘｙ ＝２０． ②由图可知，Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＢＣＤ＋Ｓ长方形ＣＥＦＧ－Ｓ△ＢＧＦ ＝ １ ２ｘ                                                                                                                                                                                         · !" ! " # $% ! " # $ ! ! ! " # $ ! "# ! " # $ ! $ ! " $ # ! % 书 ２ｘ＋２ｙ２－１２ｙ·（ｘ＋２ｙ）＝ｘ ２＋ｙ２－１２ｘｙ．因为ｘｙ＝２０， ｘ２＋ｙ２ ＝１０４，所以Ｓ阴影 ＝１０４－ １ ２×２０＝９４． ２３．（１）ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ． （２）结论ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ仍然成立．理由如下： 延长ＦＤ到点Ｇ，使ＤＧ＝ＢＥ，连接ＡＧ，如图１１．因为 ∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∠ＡＤＣ＋∠ＡＤＧ＝１８０°，所以∠Ｂ ＝∠ＡＤＧ．在△ＡＢＥ和△ＡＤＧ中，因为ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝ ∠ＡＤＧ，ＢＥ＝ＤＧ，所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＧ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ ＝ＡＧ，∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＧ．因为∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＤ， ∠ＥＡＧ＝∠ＥＡＤ＋∠ＤＡＧ，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＧ．因为 ∠ＥＡＦ＝ １２∠ＢＡＤ，所以 ∠ＥＡＦ ＝ １ ２∠ＥＡＧ．所以 ∠ＥＡＦ＝∠ＧＡＦ．在△ＡＥＦ和△ＡＧＦ中，因为ＡＥ＝ＡＧ， ∠ＥＡＦ＝∠ＧＡＦ，ＡＦ＝ＡＦ，所以△ＡＥＦ≌△ＡＧＦ（ＳＡＳ）． 所以ＥＦ＝ＧＦ．因为ＧＦ＝ＤＦ＋ＤＧ＝ＤＦ＋ＢＥ，所以ＥＦ ＝ＢＥ＋ＤＦ． （３）连接ＥＦ，延长 ＡＥ，ＢＦ交于点 Ｃ，如图１２．因为 ∠ＡＯＢ＝３０°＋９０°＋（９０°－７０°）＝１４０°，∠ＥＯＦ＝７０°， 所以∠ＥＯＦ＝１２∠ＡＯＢ．因为ＯＡ＝ＯＢ，∠ＯＡＣ＋∠ＯＢＣ ＝（９０°－３０°）＋（７０°＋５０°）＝１８０°，所以四边形ＯＡＣＢ 符合探索延伸中的条件．所以结论ＥＦ＝ＡＥ＋ＢＦ成立， 即ＥＦ＝ＡＥ＋ＢＦ＝１．５×３０＋１．５×４０＝１０５（海里）． 答：此时两快艇之间的距离是１０５海里． 七年级第二学期期末复习检测卷（二） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ 二、１１．１．２×１０－７；　１２．ｙ＝３００ｘ；　１３．１２； １４．１５９°；　１５．１或 ７２或１２． 三、１６．（１）图略，理由：垂线段最短． （２）１００． １７．（１）因为ＡＢ∥ＤＦ，所以∠Ａ＝∠ＥＤＦ．因为ＡＤ ＝ＣＥ，所以ＡＤ＋ＣＤ＝ＣＥ＋ＣＤ，即ＡＣ＝ＤＥ．在△ＡＢＣ 和△ＤＦＥ中，ＡＢ＝ＤＦ，∠Ａ＝∠ＦＤＥ，ＡＣ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＣ≌△ＤＦＥ（ＳＡＳ）． （２）设 ＢＣ与 ＤＦ交于点 Ｏ．因为 ∠ＢＣＦ＝６０°， ∠ＤＦＣ＝２０°，所以∠ＤＯＣ＝１８０°－∠ＣＯＦ＝∠ＢＣＦ＋ ∠ＤＦＣ＝８０°．因为ＡＢ∥ＤＦ，所以∠Ｂ＝∠ＤＯＣ＝８０°． 因为△ＡＢＣ≌△ＤＦＥ，所以∠ＤＦＥ＝∠Ｂ＝８０°． １８．（１）不可能事件； （２）转动一次转盘获得５０元购物券的概率是 １１６；转 动一次转盘获得３０元购物券的概率是：２１６＝ １ ８；转动一 次转盘获得２０元购物券的概率是：４１６＝ １ ４． （３）因为得到购物券的概率是 ７１６，得不到购物券的 概率是：１－７１６＝ ９ １６， ７ １６＜ ９ １６，所以得不到购物券的概 率大． １９．（１）时间，距离； （２）１５，２５； （３）２５÷（５３－ １ ４－１）＝６０（千米 ／时）． 答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速 度为６０千米 ／时． ２０．（１）ＡＢ∥ＥＦ； （２）因为 ∠ＥＦＧ＝１１０°，所以 ∠ＥＦＤ ＝１８０°－ ∠ＥＦＧ＝７０°．又因为 ∠ＢＤＧ＝７０°，所以 ∠ＢＤＧ＝ ∠ＥＦＤ．所以ＡＢ∥ＥＦ． （３）因为 ＡＢ∥ ＥＦ，所以 ∠ＡＤＥ＝∠ＤＥＦ．又因为 ∠Ｂ＝∠ＤＥＦ，所以∠Ｂ＝∠ＡＤＥ．所以ＤＥ∥ＢＣ．所以 ∠ＡＥＤ＝∠Ｃ．因为ＤＥ⊥ＡＣ，所以∠ＡＥＤ＝９０°．所以 ∠Ｃ＝９０°．所以ＡＣ⊥ＢＣ． ２１．（１）ｍ２＋８ｍ＋７，ｍ２＋６ｍ＋８，＞； （２）①长方形Ａ的周长为：２（ｍ＋７＋ｍ＋１）＝４ｍ ＋１６．因为正方形的周长与长方形Ａ的周长相等，所以正 方形的周长为４ｍ＋１６．所以正方形的边长为：１４（４ｍ＋ １６）＝ｍ＋４． ②因为正方形的面积Ｓ＝（ｍ＋４）２，所以Ｓ－Ｓ１ ＝ （ｍ＋４）２－（ｍ２＋８ｍ＋７）＝９．所以该正方形的面积Ｓ 与长方形Ａ的面积Ｓ１的差（即Ｓ－Ｓ１）是一个常数，这个 常数为９． ２２．（１）连接ＢＦ，图略．因为腰ＡＢ的垂直平分线ＥＦ 分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ，所以ＦＡ＝ＦＢ．所以 ∠ＦＢＡ＝ ∠Ａ．所以 ∠ＢＦＣ＝１８０°－∠ＡＦＢ＝∠Ａ＋∠ＦＢＡ＝ ２∠Ａ．因为ＡＦ＝ＢＣ，所以ＢＦ＝ＢＣ．所以∠Ｃ＝∠ＢＦＣ ＝２∠Ａ．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝２∠Ａ．因为 ∠Ａ＋∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＝１８０°，所以∠Ａ＋２∠Ａ＋２∠Ａ＝ １８０°．解得∠Ａ＝３６°． （２）连接ＭＡ，ＡＤ，图略．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝６，点Ｄ 为ＢＣ的中点，所以ＢＤ＝１２ＢＣ＝３，ＡＤ⊥ＢＣ．因为Ｍ为 ＥＦ上一点，所以ＭＡ＝ＭＢ．所以Ｃ△ＢＤＭ ＝ＢＭ＋ＭＤ＋ＢＤ ＝ＡＭ＋ＭＤ＋ＢＤ≥ＡＤ＋ＢＤ．因为Ｓ△ＢＤＨ ＝７．５，Ｈ是ＡＣ 的中点，所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＢＣＨ ＝４Ｓ△ＢＤＨ ＝３０，即 １ ２ＢＣ· ＡＤ＝３０．解得ＡＤ＝１０．所以 △ＢＤＭ周长的最小值为： ＡＤ＋ＢＤ＝１３． ２３．（１）ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．理由如下： 如题图②，延长ＢＥ交ＣＤ延长线于点Ｆ．因为 Ｅ是 ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＤＥ．因为ＡＢ∥ＤＣ，所以∠ＡＢＥ＝ ∠Ｆ．在△ＡＢＥ和△ＤＦＥ中，因为 ∠ＡＢＥ＝∠Ｆ，∠ＡＥＢ ＝∠ＤＥＦ，ＡＥ＝ＤＥ，所以△ＡＢＥ≌△ＤＦＥ（ＡＡＳ）．所以 ＡＢ＝ＤＦ．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ．所 以∠Ｆ＝∠ＣＢＥ．过点Ｃ作ＣＧ⊥ＢＦ于点Ｇ，图略．所以 ∠ＣＧＢ＝∠ＣＧＦ＝９０°．又因为ＣＧ＝ＣＧ，所以△ＣＧＢ≌ △ＣＧＦ（ＡＡＳ）．所以ＣＢ＝ＣＦ．因为ＣＦ＝ＤＦ＋ＣＤ，所以 ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． （２）延长ＡＤ至点Ｈ，使ＤＨ＝ＡＤ，连接ＢＨ，图略．因 为Ｄ是ＢＣ的中点，所以 ＢＤ＝ＣＤ．在 △ＢＤＨ和 △ＣＤＡ 中，因为 ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＤＨ＝∠ＣＤＡ，ＤＨ＝ＤＡ，所以 △ＢＤＨ≌△ＣＤＡ（ＳＡＳ）．所以∠Ｈ＝∠ＣＡＤ，ＢＨ＝ＡＣ． 因为ＡＥ＝ＥＦ，所以∠ＣＡＤ＝∠ＡＦＥ．所以∠Ｈ＝∠ＡＦＥ ＝∠ＢＦＨ．易得ＢＦ＝ＢＨ．所以ＡＣ＝ＢＦ． （３）延长ＡＥ，ＣＤ相交于点 Ａ′，图略．因为 Ｓ△ＡＢＥ ＝ Ｓ△ＡＣＥ，所以 ＢＥ＝ＣＥ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＡＢＥ＝ ∠Ａ′ＣＥ．又因为 ∠ＡＥＢ ＝∠Ａ′ＥＣ，所以 △ＡＢＥ≌ △Ａ′ＣＥ（ＡＳＡ）．所以Ａ′Ｃ＝ＡＢ＝５，∠ＢＡＥ＝∠Ａ′．因为 ∠ＤＦＥ＝∠ＢＡＥ，所以∠ＤＦＥ＝∠Ａ′．易得ＤＦ＝Ａ′Ｄ．因 为ＣＤ＝１．６，所以ＤＦ＝Ａ′Ｄ＝Ａ′Ｃ－ＣＤ＝３．４． 七年级第二学期期末复习检测卷（三） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ 二、１１．－２；　１２．ＡＤ＝ＣＦ（答案不惟一）；　１３．１３； １４．ｙ＝２ｘ＋８；　１５．１５°或４５°或９０°或１３５°． 三、１６．（１）原式 ＝－２ｘ－５ｙ．当 ｘ＝（－１３） －１ ＝ －３，ｙ＝２０２５０ ＝１时，原式 ＝１． （２）①如果底边长为６厘米，则腰长为：１２×（２０－ ６）＝７（厘米），满足三角形三边关系；②如果腰长为６厘 米，则底边长为：２０－２×６＝８（厘米），满足三角形三边 关系．所以其他两边的长分别为７厘米、７厘米或６厘米、 ８厘米． １７．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．因为∠ＡＣＤ ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＝∠ＡＣＢ＋∠ＤＣＥ，所以∠Ｄ＝∠ＡＣＢ．在 △ＡＢＣ和△ＥＣＤ中，∠Ｂ＝∠ＤＣＥ，∠ＡＣＢ＝∠Ｄ，ＡＣ＝ ＥＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＣＤ（ＡＡＳ）．所以ＢＣ＝ＣＤ． １８．（１）９１０， ７ ２５； （２）５０×２５－１４＝６（个）． 答：需要将６个标有２元的小球改为８元的小球． １９．如图１３． ２０．（１）ａ２－ａｂ＋ｂ２； （２）（ａ＋ｂ）（ａ２－ａｂ＋ｂ２）＝ａ３－ａ２ｂ＋ａｂ２＋ａ２ｂ－ ａｂ２＋ｂ３ ＝ａ３＋ｂ３． （３）原式 ＝（ｘ３＋ｙ３）－（ｘ３＋８ｙ３）＝－７ｙ３． ２１．（１）离家时间ｔ，离家距离ｓ； （２）２，３０； （３）当１＜ｔ＜２时，小西行进的距离为２０ｋｍ，用时： ２－１＝１（ｈ），所以小西在这段时间的速度为：２０÷１＝ ２０（ｋｍ／ｈ）； 当２＜ｔ＜４时，小西行进的距离为１０ｋｍ，用时：４－ ２＝２（ｈ），所以小西在这段时间的速度为：１０÷２＝ ５（ｋｍ／ｈ）． （４）当１＜ｔ＜２时，小西的速度为２０ｋｍ／ｈ，所以小 西与家相距２０ｋｍ时，离家时间为：１＋（２０－１０）÷２０＝ ３ ２（ｈ）； 由图象可得，当ｔ＝４时，ｓ＝２０，即小西在离家４ｈ 时，与家相距２０ｋｍ． 综上所述，小西在离家 ３ ２ ｈ或 ４ｈ时，与家相距 ２０ｋｍ． ２２．（１）１３５°； （２）①不存在ＡＣ∥ＢＤ的情况．理由如下： 因为∠ＢＡＮ＝４５°，所以∠ＭＡＢ＝１８０°－∠ＢＡＮ＝ １３５°．若ＡＣ∥ＢＤ，则 ∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＤ，即１３５°－３α＝ １３５°－α，解得α＝０°，不符合题意，所以不存在ＡＣ∥ＢＤ 的情况． ②如图 １４，过点 Ｇ作 ＧＥ∥ ＰＱ．因为ＰＱ∥ＭＮ，所以ＰＱ∥ＭＮ ∥ＧＥ．所以∠ＥＧＢ＝∠ＰＢＤ＝α， ∠ＥＧＡ＝∠ＮＡＣ＝１８０°－∠ＭＡＣ ＝１８０°－３α．所以∠ＡＧＢ＝∠ＥＧＡ ＋∠ＥＧＢ＝１８０°－３α＋α＝１８０°－ ２α． ③∠ＢＡＧ与∠ＢＧＨ的数量关系不发生变化． 因为ＧＨ⊥ＡＧ，所以 ∠ＡＧＨ＝９０°．所以 ∠ＢＧＨ＝ ９０°－∠ＡＧＢ＝９０°－（１８０°－２α）＝２α－９０°．因为 ∠ＢＡＧ＝３α－１３５°，所以∠ＢＡＧ＝ ３２∠ＢＧＨ． ２３．（１）理由：因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ，所以ＡＣ＝ＤＣ． 因为∠ＤＥＣ＝９０°，所以ＡＭ ＝ＤＭ，即点Ｍ恰好是线段 ＡＤ的中点． （２）因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＥＣ． 所以∠ＣＢＥ＝∠ＣＥＢ．因为∠ＡＢＥ＋∠ＣＢＥ＝∠ＣＥＢ＋ ∠ＤＥＧ＝９０°，所以∠ＡＢＥ＝∠ＤＥＧ．因为ＤＥ＝ＤＧ，所 以∠ＤＥＧ＝∠ＤＧＥ，ＡＢ＝ＤＧ．所以∠ＤＧＥ＝∠ＡＢＥ．又 因为∠ＡＭＢ＝∠ＤＭＧ，所以△ＡＢＭ≌△ＤＧＭ（ＡＡＳ）．所 以ＡＭ ＝ＤＭ，即点Ｍ是线段ＡＤ的中点． （３）因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ，所以ＡＣ＝ＤＣ，ＢＣ＝ＥＣ， ＡＢ＝ＤＥ，∠ＣＤＥ＝∠ＢＡＣ＝３５°，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝ ９０°－∠ＢＡＣ＝５５°．所以 ∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ＋ ∠ＡＣＥ，即∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ． ①当ＡＢ＝ＡＭ时，如图 １５－①，所以 ∠ＡＢＭ ＝ ∠ＡＭＢ，由（２）知ＡＭ＝ＤＭ，所以ＤＥ＝ＤＭ，所以点Ｅ，Ｍ 重合，所以ＡＣ垂直平分ＢＥ，所以∠ＡＢＭ＝９０°－∠ＢＡＣ ＝５５°； ②当ＡＭ＝ＢＭ时，如图１５－②，连接ＢＤ，由（２）知 ＡＭ＝ＤＭ，所以ＡＭ＝ＢＭ＝ＤＭ，所以∠ＭＡＢ＝∠ＭＢＡ， ∠ＭＢＤ＝∠ＭＤＢ，所以∠ＡＢＤ＝９０°，所以Ｂ，Ｃ，Ｄ三点 共线，因为ＢＣ＝ＥＣ，所以∠ＣＢＥ＝∠ＣＥＢ＝１２（１８０°－ ∠ＢＣＥ）＝ １２∠ＤＣＥ＝２７．５°，所以∠ＡＢＭ ＝∠ＡＢＣ－ ∠ＣＢＥ＝６２．５°； ③当 ＢＡ＝ＢＭ时，如图 １５－③，所以 ∠ＢＡＭ ＝ ∠ＢＭＡ＝１２（１８０°－∠ＡＢＭ），因为ＡＣ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＥＣ， ∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ，所以∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ＝９０°－∠ＡＢＭ， 所以∠ＢＡＭ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ＝３５°＋９０°－∠ＡＢＭ＝ １２５°－∠ＡＢＭ，所以 １２（１８０°－∠ＡＢＭ） ＝１２５°－ ∠ＡＢＭ，解得∠ＡＢＭ ＝７０°． 综上所述，∠ＡＢＭ的度数为５５°或６２．５°或７０                                                                                                                                                                                         °． ! 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