第3章 概率初步&第4章 三角形-【数理报期末复习】2024-2025学年新教材七年级数学下册升级突破（北师大版2024）

书 ∠４＋１０°，所以∠４＋１０°＋∠４＝５８°．解得∠４＝２４°． 所以∠Ｈ＝３４°． ２３．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＭＮ＝∠ＣＮＭ．因为 ｌ∥ＦＧ，所以∠ＦＧＣ＝∠ＣＮＭ．所以∠ＢＭＮ＝∠ＦＧＣ． （２）如图１，过点Ｆ作ＦＨ∥ＡＢ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥ＣＤ∥ＦＨ．所以∠ＭＥＦ＝ ∠ＥＦＨ，∠ＦＧＣ＝∠ＧＦＨ．由（１）知∠ＢＭＮ＝∠ＦＧＣ．所 以∠ＢＭＮ＝∠ＧＦＨ．所以∠ＥＦＧ＝∠ＧＦＨ＋∠ＥＦＨ＝ ∠ＢＭＮ＋∠ＭＥＦ． （３）因为ＥＲ平分 ∠ＦＥＢ，ＧＲ平分 ∠ＦＧＤ，所以设 ∠ＢＥＲ＝∠ＦＥＲ＝ｘ，∠ＦＧＲ＝∠ＤＧＲ＝ｙ．所以∠ＡＥＦ ＝１８０°－２ｘ．如图２，过点Ｆ作ＦＴ∥ＡＢ，过点Ｒ作ＲＳ∥ ＡＢ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ＦＴ∥ ＡＢ∥ ＣＤ∥ ＲＳ．所以 ∠ＥＲＳ＝∠ＢＥＲ＝ｘ，∠ＧＲＳ＝∠ＤＧＲ＝ｙ，∠１＝∠ＦＧＣ ＝１８０°－２ｙ．所以∠ＥＲＧ＝ｘ＋ｙ．因为∠ＨＦＧ＝９０°，所 以∠２＝９０°－∠１＝９０°－（１８０°－２ｙ）＝２ｙ－９０°．所 以∠ＦＨＤ＝∠２＝２ｙ－９０°．因为 ∠ＦＨＤ－∠ＡＥＦ＝ ３０°，所以２ｙ－９０°－（１８０°－２ｘ）＝３０°，即２ｘ＋２ｙ＝ ３００°．所以 ｘ＋ｙ＝１５０°．所以 ∠ＥＲＧ＝１５０°．所以 ∠ＨＭＮ＝ １６∠ＥＲＧ＝２５°． 《概率初步》专项练习 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．６０％；　５．４； ６．Ｃ；　７．１２；　８．１４． ９．（１）设盒子中有黑球ｘ个．由题意，得ｘ＝１３（３＋ ７＋ｘ）．解得ｘ＝５． 答：盒子中有５个黑球． （２）由题意，得７＝ １３（３＋７＋ｍ）．解得ｍ＝１１． １０．４７；　１１．Ａ． 《概率初步》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ 二、１１．不可能；　１２．０．９７；　１３．③；　１４．π４； １５．１或２或３或４或５． 三、１６． （１） 抽 中 Ｃ 类 数 据 的 概 率 为： ５０ ２０＋３０＋５０＋４０＝ ５ １４． （２）不对，因为试验次数太少，不足以说明，当试验 次数足够大时，每个点数出现的次数大致相等． １７．（１）表格中从左至右依次填４，２或３． （２）事件Ａ发生的概率为： ８１２－２＝ ４ ５． １８．因为摸了１００次，发现有２５次摸到红色乒乓球，所 以估计摸到红色乒乓球的概率为： ２５ １００＝ １ ４．设箱子中有 红色乒乓球ｘ个．由题意，得ｘ＝１４（１５＋ｘ）．解得ｘ＝５． 答：估计箱子中有５个红色乒乓球． １９．（１）Ｐ（小明获得中性笔）＝ ３１８＝ １ ６． （２）Ｐ（小明获得奖品）＝２＋３＋４１８ ＝ １ ２． （３）１８×５９ ＝１０（个），１０－９＝１（个），所以需要再 将１个空白扇形涂上颜色． ２０．（１）因为盒中有ｘ枚白棋和ｙ枚黑棋，所以盒中 共有（ｘ＋ｙ）枚棋子．由题意，得ｙ＝４９（ｘ＋ｙ）．所以ｙ与 ｘ之间的关系式为ｙ＝ ４５ｘ． （２）由题意，得ｙ＋１２＝ ２３（ｘ＋ｙ＋１２）． 由（１）得ｙ＝ ４５ｘ，所以 ４ ５ｘ＋１２＝ ２ ３（ｘ＋ ４ ５ｘ＋ １２）．解得ｘ＝１０．所以ｙ＝８． ２１．（１）Ｐ（指针落在红色区域）＝１４４３６０＝ ２ ５， Ｐ（指针落在白色区域）＝３６０－１４４３６０ ＝ ３ ５． （２）红色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×１３ ＝ １２０°，黄色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×５１２＝ １５０°，绿色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×１４ ＝ ９０°．画图略． ２２．（１）０．６７；　（２）０．７；　（３）０．４； （４）根据题意，得４π０．４＝１０π（平方米）． 答：估计整个封闭图形的面积是１０π平方米． ２３．（１）由表１可知，经过食堂的师生有７０人，使用 共享雨伞的有７人，所以经过食堂的师生使用共享雨伞 的概率是： ７ ７０＝ １ １０． （２）４个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼：２８０×６８０＝２１，图书馆：３３０× ８ １１０＝２４，食 堂：２００×７７０＝２０，宿舍楼：２２５× ６ ９０＝１５． 所以雨天使用共享雨伞的平均人数约为：２１＋２４＋ ２０＋１５＝８０，所以在４个放置区投放雨伞的把数分别为： 教学楼：２４０×２１８０＝６３，图书馆：２４０× ２４ ８０＝７２，食堂：２４０ ×２０８０＝６０，宿舍楼：２４０× １５ ８０＝４５． 所以投放方案是教学楼６３把，图书馆７２把，食堂 ６０把，宿舍４５把． 《三角形》专项练习 １．３；　２．钝角；　３．三角形具有稳定性； ４．９０°或６０°；　５．５０；　６．Ｂ；　７．１９； ８．７；　９．Ｂ；　１０．２０°或８０°． １１．（１）１２； （２）因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°．因 为∠Ｃ＝７０°，所以∠ＤＡＣ＝９０°－∠Ｃ＝２０°．因为∠Ｃ ＝７０°，∠ＢＡＣ＝６０°，所以∠ＡＢＣ＝１８０°－∠Ｃ－∠ＢＡＣ ＝５０°．因为 ＢＦ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＡＢＦ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２５°．所以∠ＡＦＢ＝１８０°－∠ＡＢＦ－∠ＢＡＣ＝ ９５°． １２．①②③④；　１３．２；　１４．１２；　１５．Ｄ；　１６．Ａ． １７．因为点Ｃ是线段ＡＢ的中点，所以ＡＣ＝ＢＣ．因为 ∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥ，所以 ∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＥ＋ ∠ＤＣＥ，即∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ．设ＢＤ与ＡＥ交于点Ｏ，因为 ∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＥ，∠ＤＯＭ＝∠ＥＯＮ，所以１８０°－∠ＤＭＥ －∠ＤＯＭ＝１８０°－∠ＤＮＥ－∠ＥＯＮ，即∠Ｄ＝∠Ｅ．所以 △ＡＣＥ≌△ＢＣＤ（ＡＡＳ）． １８．５５°；　１９．１２． ２０．因为ＤＦ∥ＢＣ，所以∠Ｆ＝∠ＯＧＣ．又因为∠Ｃ ＝∠ＯＧＣ，所以∠Ｆ＝∠Ｃ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，因为 ∠Ｃ＝∠Ｆ，ＡＣ＝ＤＦ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ（ＡＳＡ）．所以ＢＣ＝ＥＦ． ２１．全等三角形的对应角相等． ２２．图略． 《三角形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 二、１１．三角形具有稳定性；　１２．９．５，９．５； １３．１４０°；　１４．１６；　１５．４．２或０．８． 三、１６．（１）由三角形的三边关系，得ａ＋ｃ＞ｂ，ｃ－ａ ＜ｂ．所以原式 ＝ａ＋ｃ－ｂ＋ｃ－ａ－ｂ＝２ｃ－２ｂ． （２）因为△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，所以ＡＥ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＡＣ． 因为Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ和ＡＣ上的点，所以ＡＢ－ＡＤ＝ＡＣ－ ＡＥ，即ＢＤ＝ＣＥ． １７．如图３，△ＡＢＣ和△ＡＢＣ′即为所求． １８．因为∠ＢＣＡ＝４０°，∠ＡＢＣ＝６０°，所以∠ＢＡＣ＝ １８０°－∠ＢＣＡ－∠ＡＢＣ＝８０°．因为ＡＥ是△ＡＢＣ的角平 分线，所以∠ＥＡＣ＝１２∠ＢＡＣ＝４０°．因为ＢＦ是△ＡＢＣ 的高，所以∠ＢＦＡ＝９０°．所以∠ＡＯＦ＝９０°－∠ＥＡＣ＝ ５０°．所以∠ＥＯＦ＝１８０°－∠ＡＯＦ＝１３０°． １９．（１）因为∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ＝９０°，所以∠ＢＣＡ＋ ∠ＡＣＥ＝９０°，∠ＥＣＤ＋∠ＡＣＥ＝９０°．所以 ∠ＢＣＡ＝ ∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＣ中，因为∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ，ＢＣ ＝ＥＣ，∠ＢＣＡ＝∠ＥＣＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ（ＡＳＡ）．所 以ＡＣ＝ＤＣ． （２）由（１）知 ＡＣ＝ＤＣ．因为 ∠ＡＣＤ＝９０°，所以 ∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＣ＝４５°．因为 ＡＣ＝ＡＥ，所以 ∠ＡＣＥ＝ ∠ＡＥＣ＝ １２（１８０°－∠ＣＡＤ）＝６７．５°．所以 ∠ＤＥＣ＝ １８０°－∠ＡＥＣ＝１１２．５°． ２０．因为ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＥ⊥ＣＤ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ ＝９０°．又因为 ∠ＡＣＢ＝６８．２°，所以 ∠ＢＡＣ＝９０°－ ∠ＡＣＢ＝２１．８°＝∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＣＤＥ中，∠ＢＡＣ ＝∠ＤＣＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ，ＢＣ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＣＤＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＣＤ．因为ＣＤ＝１２ｍ，所以ＡＢ ＝１２ｍ，即教学楼高度ＡＢ为１２ｍ． ２１．（１）因为∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，所以∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即 ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ．在 △ＡＣＤ和 △ＢＣＥ中，因为ＣＡ＝ＣＢ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ，ＣＤ＝ＣＥ，所 以△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）．所以ＡＤ＝ＢＥ． （２）△ＣＰＱ为等腰直角三角形．理由如下： 由（１）知ＡＤ＝ＢＥ．因为ＡＤ，ＢＥ的中点分别为点Ｐ， Ｑ，所以ＡＰ＝ＢＱ．因为△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，所以∠ＣＡＰ＝ ∠ＣＢＱ．在△ＡＣＰ和△ＢＣＱ中，因为ＣＡ＝ＣＢ，∠ＣＡＰ＝ ∠ＣＢＱ，ＡＰ＝ＢＱ，所以△ＡＣＰ≌△ＢＣＱ（ＳＡＳ）．所以ＣＰ ＝ＣＱ，∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＱ．又因为∠ＡＣＰ＋∠ＰＣＢ＝９０°， 所以 ∠ＢＣＱ＋∠ＰＣＢ＝９０°，即 ∠ＰＣＱ ＝９０°．所以 △ＣＰＱ为等腰直角三角形． ２２．（１）２４０； （２）因为∠Ａ＝４５°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－ ∠Ａ＝１３５°．因为∠Ｅ＋∠Ｆ＝１０５°，所以∠Ｄ＝１８０°－ （∠Ｅ＋∠Ｆ）＝７５°．所以∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１８０°－∠Ｄ ＝１０５°．所以 ∠ＡＢＤ＋∠ＡＣＤ ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ－ （∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ）＝３０°． （３）不能．理由如下： 由（２）知∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１０５°．若ＢＤ，ＣＤ分别平 分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝２∠ＤＢＣ＋ ２∠ＤＣＢ＝２１０°，与三角形内角和定理相矛盾．所以不能 将△ＤＥＦ摆放到某个位置，使得ＢＤ，ＣＤ分别平分∠ＡＢＣ 和∠ＡＣＢ． ２３．（１）因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°． 因为ＢＥ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＣ＝９０°．所 以∠ＥＡＯ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝９０°．所以 ∠ＥＡＯ＝∠ＥＢＣ．在△ＡＯＥ和△ＢＣＥ中，因为∠ＥＡＯ＝ ∠ＥＢＣ，ＡＥ＝ＢＥ，∠ＡＥＯ ＝∠ＢＥＣ，所以 △ＡＯＥ≌ △ＢＣＥ（ＡＳＡ）．所以ＡＯ＝ＢＣ＝５． （２）如图４，设点 Ｐ的运动时间为 ｘ秒．由已知得 ＯＰ＝ｘ，ＢＱ＝４ｘ．因为 ＡＯ＝５，所以ＡＰ＝ＡＯ－ＯＰ＝５－ｘ．在 △ＡＰＥ和 △ＢＱＥ中，因为 ∠ＡＰＥ ＝ ∠ＢＱＥ，∠ＥＡＰ＝∠ＥＢＱ，ＡＥ＝ＢＥ，所以 △ＡＰＥ≌△ＢＱＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＰ＝ＢＱ． 所以５－ｘ＝４ｘ．解得ｘ＝１．所以点Ｐ的 运动时间是１秒． （３）存在ｔ值，使以点 Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形与以 点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等． 由（１）知△ＡＯＥ≌△ＢＣＥ．所以∠ＡＯＥ＝∠ＢＣＥ．所 以１８０°－∠ＡＯＥ＝１８０°－∠ＢＣＥ，即∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ． ①如图 ５－①，当 ＯＰ＝ＣＱ时，因为 ＯＢ＝ＣＦ， ∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ，所以△ＢＯＰ≌△ＦＣＱ（ＳＡＳ），所以５－ ４ｔ＝ｔ，解得ｔ＝１； ②如图 ５－②，当 ＯＰ＝ＣＱ时，因为 ＯＢ＝ＣＦ， ∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ，所以△ＢＯＰ≌△ＦＣＱ（ＳＡＳ），所以４ｔ－ ５＝ｔ，解得ｔ＝ ５３． 综上所述，存在ｔ值，使以点Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形 与以点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等，符合条件的ｔ值为１ 或 ５ ３． 《图形的轴对称》专项练习 １．Ｂ． ２．如图６                                                                                                                                                                                         ． ! 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" # $ 2 2 "! ! 书 考 点 解 密 ?考点１：事件的分类 例１　下列事件中，属于必然事件的是 （　　） Ａ．射击运动员射击一次，命中１０环 Ｂ．一匹马奔跑的速度是７０米 ／秒 Ｃ．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 Ｄ．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将 落下 解析：Ａ．射击运动员射击一次，命中１０环， 是随机事件，不符合题意； Ｂ．一匹马奔跑的速度是７０米 ／秒，是不可 能事件，不符合题意； Ｃ．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事 件，不符合题意； Ｄ．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将 落下，是必然事件，符合题意．故选Ｄ． ●专项练习 １．下列事件中，属于随机事件的是 （　　） Ａ．把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底 Ｂ．测量三角形的三个内角，其和等于３６０° Ｃ．随机抽取九年级（１）班１０名学生测量视 力，该班的小明同学参加视力测量 Ｄ．对九年级（１）班的每一名学生测量视力， 该班的小明同学参加视力测量 ２．赵师秀在《约客》诗中写道“黄梅时节家 家雨，青草池塘处处蛙”，从数学的观点看，诗句 中描述的事件是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．必然事件 Ｂ．不可能事件 Ｃ．随机事件 Ｄ．无法确定 ?考点２：随机事件发生的可能性 例２　一个不透明的盒子中装有２个黑球、 ３个白球、４个红球，它们除颜色外都相同．若从 中任意摸出一个球，下列说法正确的是 （　　） Ａ．摸出黑球的可能性最大 Ｂ．摸出白球的可能性最大 Ｃ．摸出红球的可能性最大 Ｄ．摸出黑球、白球、红球的可能性一样大 解析：因为一个不透明的盒子中装有２个黑 球、３个白球、４个红球，即红球个数最多，所以摸 到红球的可能性最大．故选Ｃ． ●专项练习 ３．投掷４次硬币，有３次反面朝上，１次正面 朝上，那么投掷第５次硬币正面朝上的可能性是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５ Ｂ． １ ２ Ｃ． ３ ４ Ｄ． １ ３ ４．春节期间，某商场举行有 奖促销活动，各个奖项所占比例 如图１所示，某消费者在购物后 要进行一次抽奖，则该消费者中 奖的可能性是 ． ５．一个不透明的袋子中装 有红球、白球共９个，这些球除颜 色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到白球 的可能性大，则红球至多有 个． ?考点３：用频率估计概率 例３　如图２－①，在长为１０ｃｍ，宽为８ｃｍ 的长方形内部有一个不规则图案（图中阴影部 分），某数学小组为了探究该不规则图案的面 积，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投 放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数 （点在界线上不计入试验结果），得到如图２－② 所示数据： 由此可估计这个不规则图案的面积大约为 （　　） Ａ．３２ｃｍ２ Ｂ．２４ｃｍ２ Ｃ．１６ｃｍ２ Ｄ．８ｃｍ２ 解析：由折线统计图可知，随着试验次数的 增加，点落在不规则图案上的频率稳定在０．３， 所以不规则图案的面积大约占长方形面积的 ０．３，即为：１０×８×０．３＝２４（ｃｍ２）．故选Ｂ． ●专项练习 ６．２０２４年１１月，中国苹果产业协会和国家 苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中 国苹果产量位居世界第一，当前我国已培育自主 产权苹果新品种１５２个．某科学研究院为研究一 类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移 植试验，结果如下表所示： 移植总数ｎ ２７０ ４００ ７５０ １５００ ３５００ ７０００ １００００１４０００ 成活总数ｍ ２３５ ３６９ ６８２ １３５９ ３２０３ ６３９８ ９１０２ １２７８２ 成活率 ｍ ｎ ８７．０％ ９２．３％ ９０．９％ ９０．６％ ９１．５％ ９１．４％ ９１．０％ ９１．３％ 估计这一类新品种苹果树成活的概率为 （　　） Ａ．８９％ Ｂ．９０％ Ｃ．９１％ Ｄ．９２％ ７．一个不透明的袋子里装有１８个黄球和若 干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随 机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多 次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在０．４， 则袋子里约有红球 个． ?考点４：等可能事件的概率 例４　２０２４年中国在科技领域取得了多项 重大成就，涵盖了多个领域，包括高铁提速、科技 创新、量子科技、航天发射等，小强同学随机从上 面四个领域中选择一个领域做深入研究，则恰好 选中科技创新的概率为 （　　） Ａ．１４ Ｂ． ３ ８ Ｃ． １ ２ Ｄ． ３ ４ 解：Ａ． ●专项练习 ８．从拼音“ｚｈｏｎｇｋａｏ”中随机抽取一个字 母，抽中字母“ｏ”的概率为 ． ９．在一个不透明的盒子里装有除颜色外都 相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球３个， 白球７个，黑球若干个．若从中任意摸出１个球是 黑球的概率是 １ ３． （１）求盒子中黑球的个数； （２）若黑球的数量变更为ｍ个，且使得任意 摸出１个球是白球的概率是１３，求ｍ的值． 例５　如图３，是一个可以自 由转动的转盘，转动转盘，当转盘 停止时，指针落在白色区域的概率 是 ． 解析：根据几何概率的求法， 用白色区域的面积除以转盘的面积即可．根据扇 形的面积公式，白色区域的面积与转盘的面积之 比等于白色区域扇形圆心角的度数与 ３６０°之 比．所以指针落在白色区域的概率是：１５０３６０＝ ５ １２． 故填 ５ １２． ●专项练习 １０．如图４，在４×３的小正方形网格中，已有 ５个阴影小正方形，任意再涂１个小正方形，使得 ６个阴影小正方形是正方体展开图的概率为 ． １１．如图５，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，分别以 点Ａ，Ｃ为圆心，正方形的边长为半径画弧，在正 方形ＡＢＣＤ中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴 影区域内的概率为 （　　） Ａ．π－２２ Ｂ． π－２ ４ Ｃ．π－１２ Ｄ． π－１ ４ （本章检测卷见第１１～１２版                                                                                                         ） 书 知 识 回 顾 １．事件发生的可能性 （１）在一定条件下进行可重复试验时，有些 事件一定会发生，这样的事件称为 事 件． （２）在一定条件下进行可重复试验时，有些 事件一定不会发生，这样的事件称为 事件． （３）在一定条件下进行可重复试验时，有些 事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为 事件． ２．频率和概率 （１）频率：在ｎ次重复试验中，事件 Ａ发生 了ｍ次，则比值 称为事件 Ａ发生的频 率． （２）频率的稳定性：一般地，在大量重复的 试验中，一个随机事件发生的频率会在 附近摆动，这个性质称为频率的稳定 性．事件Ａ的频率越大，那么事件Ａ发生的可能 性也就越大． （３）概率：把刻画事件Ａ发生的 大 小的数值，称为事件Ａ发生的概率，记为Ｐ（Ａ）． 一般地，在大量重复的试验中，我们常用事件 Ａ 发生的频率来估计事件Ａ发生的概率． 一般地，如果一个试验有 ｎ种等可能的结 果，事件Ａ包含其中的ｍ种结果，那么事件Ａ发 生的概率Ｐ（Ａ）＝ ． （４）几何事件的概率 在与图形有关的概率问题中，概率的大小 往往与面积有关，这种类型的概率称为几何概 率．在几何事件中，某一事件发生的概率等于这 一事件所有结果组成的图形的面积除以所有结 果组成的图形的面积． 例如，向一个圆形盘内扔石 子（假设石子必落在盘内），如 右图，大圆的面积为４π，小圆的 面积为 π，则 Ｐ（石子落在阴影 部分）＝４π－π４π ＝３４． ! ! ! " # $ ! " ! ! " # $ ! !" #$% # $ #% !"# %"& $%& $'& '%& $"& (( )* !(& ! % %"(! ! ) ! $ ! " *$(+((!,()+($!(%$( ,!( (-$" (.) (.)" +,-. /0123456789: ( 书 考 点 解 密 ?考点１：三角形及其内角和 例１　将一副三角尺如图１所示摆放，点Ｄ 在ＡＣ上，延长ＥＡ交ＣＢ的延长线于点Ｆ，∠ＡＢＣ ＝∠ＡＤＥ＝９０°，∠Ｃ＝３０°，∠Ｅ＝４５°，则∠Ｆ 的度数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．１０° Ｂ．１５° Ｃ．２０° Ｄ．２５° 解析：因为 ∠Ｃ＝３０°，∠ＡＢＣ＝９０°，所以 ∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＡＢＦ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．因 为∠Ｅ＝４５°，∠ＡＤＥ＝９０°，所以∠ＥＡＤ＝４５°． 所以∠ＦＡＢ＝１８０°－∠ＢＡＣ－∠ＥＡＤ＝７５°．所 以∠Ｆ＝９０°－∠ＦＡＢ＝１５°． 故选Ｂ． ●专项练习 １．图２中以ＡＢ为边 的三角形有 个． ２．已知 △ＡＢＣ中， ∠Ａ＝２８°，∠Ｂ＝５２°， 则△ＡＢＣ是 三 角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． ３．生活中处处有数学，起重机的底座、输电 线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的 数学原理是 ． ４．当三角形中一个内角 α是另一个内角 β 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其 中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特 征三角形”，那么它的“特征角”是 ． ５．如图３，已知小岛 Ｂ在基 地Ａ的南偏东２０°方向上，与基 地Ａ相距１０海里，货轮Ｃ在基地 Ａ的南偏西７０°方向、小岛 Ｂ的 北偏西 ６０°方向上，则 ∠Ｃ＝ °． ?考点２：三角形的三边关系 例２　数学课上，老师让小明准备三根木棒 用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准 备了６ｃｍ和１０ｃｍ的木棒，若第三根木棒能够和 已经准备好的木棒构成三角形，则第三根木棒的 长度可以是 （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．５ｃｍ Ｃ．１６ｃｍ Ｄ．１８ｃｍ 解析：设第三根木棒的长度是 ｘｃｍ．由三角 形的三边关系，得１０－６＜ｘ＜１０＋６，即４＜ｘ ＜１６．所以第三根木棒的长度可以是５ｃｍ． 故选Ｂ． ●专项练习 ６．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （　　） Ａ．１ｃｍ，３ｃｍ，４ｃｍ Ｂ．３ｃｍ，３ｃｍ，５ｃｍ Ｃ．５ｃｍ，６ｃｍ，１２ｃｍ Ｄ．１ｃｍ，６ｃｍ，８ｃｍ ７．已知三角形的两边长分别是 ２ｃｍ和 ８ｃｍ，如果第三边长为 ｘｃｍ（ｘ是整数），则该三 角形周长最大为 ｃｍ． ８．若等腰三角形的周长为１８，一边长为４， 则其腰长是 ． ?考点３：三角形的三条重要线段 例３　如图４，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＢＡＣ＝ ７５°，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，ＢＥ⊥ ＡＣ于点Ｅ，ＡＤ与ＢＥ交于点 Ｈ，则∠ＣＨＤ＝ ． 解析：如图 ４，延长 ＣＨ交 ＡＢ于点 Ｆ．在 △ＡＢＣ中，三边的高交于一点，所以ＣＦ⊥ＡＢ．所 以∠ＡＦＣ＝９０°．又因为 ∠ＢＡＣ＝７５°，所以 ∠ＡＣＦ＝９０°－∠ＦＡＣ＝１５°．又因为∠ＡＣＢ＝ ６０°，所以∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＦ＝４５°．因为 ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＣ＝９０°．所以∠ＣＨＤ＝９０° －∠ＢＣＦ＝４５°． 故填４５°． ●专项练习 ９．如图 ５，在周长为 ２０ｃｍ的△ＡＢＣ中，ＡＤ是边 ＢＣ上的中线，若ＣＤ＝４ｃｍ， ＡＣ＝７ｃｍ，则ＡＢ的长为 （　　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．５ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．３ｃｍ １０．在△ＡＢＣ中，ＡＤ为边ＢＣ上的高，∠ＡＢＣ ＝４０°，∠ＣＡＤ ＝３０°，则 ∠ＢＡＣ的度数是 ． １１．如图６，ＡＤ和ＢＦ分别是 △ＡＢＣ的高和角平分线，ＡＥ是 边ＢＣ上的中线． （１）若△ＡＢＥ的面积为６， 则△ＡＢＣ的面积为 ； （２）若∠Ｃ＝７０°，∠ＢＡＣ＝６０°，求∠ＤＡＣ 和∠ＡＦＢ的度数． ?考点４：全等三角形的性质 例４　如图７，点Ｆ，Ｂ， Ｅ，Ｃ在 同 一 条 直 线 上， △ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，若∠Ａ＝ ３０°，∠Ｆ＝２６°，则 ∠ＤＥＣ 的度数为 （　　） Ａ．５４° Ｂ．５６° Ｃ．５８° Ｄ．６０° 解析：因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，∠Ａ＝３０°，所 以∠Ｄ＝∠Ａ＝３０°．又因为 ∠Ｆ＝２６°，所以 ∠ＤＥＦ＝１８０°－∠Ｄ－∠Ｆ＝１２４°．所以∠ＤＥＣ ＝１８０°－∠ＤＥＦ＝５６°． 故选Ｂ． ●专项练习 １２．如图８，点 Ｄ，Ｅ 是 △ＡＢＣ的边 ＡＣ，ＢＣ 上 的 点，△ＡＤＢ ≌ △ＥＤＢ≌ △ＥＤＣ，下列 结论：①ＡＤ＝ＥＤ；②ＢＣ ＝２ＡＢ；③∠１＝∠２＝∠３；④∠４＝∠５＝∠６， 其中正确的有 （填序号）． １３．一个三角形的三边长分别为３，７，ｘ，另 一个三角形的三边长分别为 ｙ，３，９，若这两个三 角形全等，则ｘ－ｙ＝ ． １４．如图９，在△ＡＢＣ中， ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，ＢＥ⊥ＡＣ于 点 Ｅ，ＡＤ，ＢＥ 交 于 点 Ｆ， △ＡＤＣ≌△ＢＤＦ，若ＢＤ＝４， ＤＣ＝２，则 △ＡＢＣ的面积为 ． （下转第２９版                                                                                     ） ! " # $ ! ! ! " # $ % & ! " ! " # $ % # " ! $ % & ! ' ! ( ! " # $ % & ! " # $ % & ! ) ! " # $ % & ! % ! " # $ % ! $ ! " # $ % ' ! & & 书 知 识 回 顾 １．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段 所 组成的图形叫作三角形．三角形有 条 边、 个内角和 个顶点．“三角 形”可以用符号“△”表示． （１）在直角三角形中，直角所对的边称为直 角三角形的 ，夹 的两条边称 为直角三角形的直角边．直角三角形 ＡＢＣ可记 作 ． （２）有两边相等的三角形叫作 ，三 边都 的三角形叫作等边三角形． ２．三角形的三条重要线段 （１）从三角形的一个顶点向它的对边所在 直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角 形的 ．三 角 形 的 三 条 高 所 在 的 交于一点． （２）在三角形中，连接一个顶点与它对边中 点的线段，叫作三角形的 ．三角形的三 条中线交于一点，这个点称为三角形的 ． （３）在三角形中，一个内角的角平分线与它 的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 叫作三角形的 ．三角形的三条角平分 线交于一点． ３．三角形的主要性质 （１）三角形的任意两边之和 第三 边，任意两边之差 第三边． （２）三角形三个内角的和等于 ，直 角三角形的两个锐角 ． （３）三角形具有 性，即三边长确定 后三角形的大小和形状是固定不变的． ４．全等三角形的概念及性质 （１）能够 的两个三角形叫作全等 三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫 作 ，互相重合的边叫作 ，互相 重合的角叫作 ．夹边就是三角形中相 邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端 点的两边所组成的角． （２）全等三角形的 相等、 相等． （３）全等三角形的一切对应元素都 ． ５．一般三角形全等的判定方法 三角形全等的判定方法 简记 文字语言简述 边边边 ＳＳＳ 角边角 角角边 边角边 ６．三角形全等的应用 （１）根据三角形全等的判定方法，能利用尺 规作三角形； （２）利用三角形全等测距离． ! " # $ ! ! !" #$% ! " ! $ ! ! # 书 （上接第６版） ?考点５：全等三角形的判定 例５　 如图 １０，点 Ｅ在 △ＡＢＣ的边ＡＣ上，ＡＥ＝ＢＣ， ＢＣ∥ ＡＤ，∠ＣＥＤ＝∠ＢＡＤ． 试说明：△ＡＢＣ≌△ＤＥＡ． 解：因为ＢＣ∥ ＡＤ，所以 ∠ＤＡＣ＝∠Ｃ．因为 ∠ＣＥＤ ＝１８０°－∠ＡＥＤ，∠Ｄ ＋∠ＤＡＣ ＝ １８０°－ ∠ＡＥＤ，所以 ∠ＣＥＤ ＝∠Ｄ＋∠ＤＡＣ．又因为 ∠ＣＥＤ＝∠ＢＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＋∠ＢＡＣ，所 以∠Ｄ＝∠ＢＡＣ．又因为ＢＣ＝ＥＡ，所以△ＡＢＣ ≌△ＤＥＡ（ＡＡＳ）． ●专项练习 １５．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人 墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着 造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风 筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图１１所示的 “风筝”图案中，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＣ＝ＤＥ， 则可以直接判定 （　　） Ａ．△ＡＥＧ≌△ＡＢＣ Ｂ．△ＡＥＧ≌△ＡＣＦ Ｃ．△ＡＢＦ≌△ＡＤＧ Ｄ．△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ １６．如图１２，已知∠１＝∠２，添加下列条件， 不能使△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ的是 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＡＣ＝ＢＤ Ｃ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｄ．∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ １７．如图１３，点Ｃ是线段ＡＢ的中点，∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥ，∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＥ，试说明：△ＡＣＥ≌ △ＢＣＤ． 例６　如图１４，在△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，边 ＢＣ与边Ｂ′Ｃ′上的中线分别为ＡＤ与Ａ′Ｄ′．若ＡＢ ＝Ａ′Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，ＡＤ＝Ａ′Ｄ′．试说明：△ＡＢＣ ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′． 解：因为 ＡＤ，Ａ′Ｄ′分别是 △ＡＢＣ，△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 的中线，所以 ＢＤ＝１２ＢＣ，Ｂ′Ｄ′＝ １ ２Ｂ′Ｃ′．又因 为ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，所以 ＢＤ ＝Ｂ′Ｄ′．在 △ＡＢＤ和 △Ａ′Ｂ′Ｄ′中，因为ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＢＤ＝Ｂ′Ｄ′，ＡＤ＝ Ａ′Ｄ′，所以 △ＡＢＤ≌ △Ａ′Ｂ′Ｄ′（ＳＳＳ）．所以 ∠Ｂ ＝∠Ｂ′．在 △ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′中，因为 ＡＢ＝ Ａ′Ｂ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，所以 △ＡＢＣ≌ △Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＳＡＳ）． ●专项练习 １８．如图１５，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｄ在线段 ＢＥ上，ＡＤ ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，∠１＝２５°， ∠２＝３０°，则 ∠３的度数为 ． １９．如图１６，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ为 ＢＣ边上的 中线，过点Ｂ作 ＢＥ⊥ ＡＤ，交 ＡＤ的延长线于点 Ｅ，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，在ＤＡ延长线上取 一点Ｇ，连接 ＧＣ，使 ∠Ｇ＝∠ＢＡＤ，则 Ｓ△ＢＤＥ Ｓ△ＡＧＣ ＝ ． ２０．如图１７，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在边ＡＢ上， ＥＦ分别交 ＢＣ，ＡＣ于点 Ｇ，Ｏ，ＤＦ∥ ＢＣ，ＡＣ＝ ＤＦ，∠Ｃ＝∠ＯＧＣ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ，试说明：ＢＣ＝ ＥＦ． ?考点６：全等三角形的应用 例７　情境：如图１８－①，为了测量池塘两 端Ａ，Ｂ之间的距离，在地面上选取可以直接到达 点Ａ和点Ｂ的点Ｃ，连接 ＡＣ，ＢＣ，再在地面上选 取可以直接到达点 Ｂ和点 Ｃ的点 Ｄ，连接 ＤＢ， ＤＣ，使ＣＢ平分∠ＡＣＤ，ＡＣ＝ＤＣ（点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在 同一平面内），此时测量出线段 ＢＤ的长便是池 塘两端Ａ，Ｂ之间的距离． 论证：（１）请你说明“情境”中的结论正确； 探究：（２）请你再设计一种测量池塘两端Ａ， Ｂ之间距离的方案，并说明理由（要求写出方案 并借助刻度尺和圆规在图１８－②中画出图形）． 解：（１）因为ＣＢ平分∠ＡＣＤ，所以∠ＡＣＢ＝ ∠ＤＣＢ．在△ＡＣＢ和△ＤＣＢ中，因为ＡＣ＝ＤＣ， ∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ，ＢＣ ＝ＢＣ，所以 △ＡＣＢ≌ △ＤＣＢ（ＳＡＳ）．所以ＡＢ＝ＤＢ． （２）如图１９，在地面上选取可以直接到达点 Ａ和点Ｂ的点Ｏ，连接ＡＯ并延长到点Ｃ，使ＯＣ＝ ＯＡ，连接ＢＯ并延长到点 Ｄ，使 ＯＤ＝ＯＢ，连接 ＣＤ，此时测量出线段ＣＤ的长就是池塘两端Ａ，Ｂ 之间的距离．理由为：在 △ＡＯＢ和 △ＣＯＤ中，因 为ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，ＯＢ＝ＯＤ，所以 △ＡＯＢ≌△ＣＯＤ（ＳＡＳ）．所以ＡＢ＝ＣＤ． ●专项练习 ２１．如图２０，工人师傅要检查人字梁的 ∠Ｂ 和∠Ｃ是否相等，但他手边没有量角器，只有一 个刻度尺．他是这样操作的：①分别在ＢＡ和ＣＡ 上取ＢＥ＝ＣＧ；②在ＢＣ上取ＢＤ＝ＣＦ；③量出 ＤＥ的长为ａ，ＦＧ的长为ｂ．如果ａ＝ｂ，那么说明 ∠Ｂ和∠Ｃ是相等的，他得出此结论的依据是 ． ２２．如图２１，已知△ＡＢＣ和射线ＥＭ，请仅用 无刻度直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图 痕迹，不写作法）． （１）在射线ＥＭ的上方，作∠ＮＥＭ ＝∠Ｂ； （２）在射线 ＥＭ的上方，作 △ＥＤＦ，使得 △ＢＡＣ≌△ＥＤＦ． （本章检测卷见第１３～１４版                                                                                             ） 书 （上接第３１版） ?考点４：用图象表示变量之间的关系 例４　小敏上午８：００ 从家里出发，骑车去一家 超市购物，然后从这家超 市返回家中，小敏离家的 路程 ｙ（米）和所经过的 时间ｘ（分钟）之间的图象如图３所示．下列结 论：①小敏在超市逗留了３０分钟；②小敏家距离 超市 ３０００米；③ 小敏去超市途中的速度是 ３００米 ／分；④小敏８：５０返回到家，其中正确的 是 （填序号）． 解析：由图象知：小敏在超市逗留的时间为： ４０－１０＝３０（分钟），① 正确；小敏家距离超市 ３０００米，②正确；小敏去超市途中的速度为： ３０００÷１０＝３００（米 ／分），③正确；小敏从超市 返回时的速度为： ３０００－２０００ ４５－４０ ＝２００（米 ／分）， 所以小敏从超市返回时的时间为：３０００÷２００＝ １５（分钟），４０＋１５＝５５（分钟），所以小敏８：５５ 返回到家，④错误． 故填①②③． ●专项练习 ６．小明在游乐场坐 过山车，在某一段６０秒 的时间内过山车的高度 ｈ（米）与时间ｔ（秒）之 间的图象如图 ４所示， 下列结论错误的是 （　　） Ａ．当ｔ＝４１时，ｈ＝１５ Ｂ．过山车距水平地面的最高高度为９８米 Ｃ．在 ０～６０秒范围内，当过山车高度是 ８０米时，ｔ的值只能等于３０ Ｄ．在４１～５３秒范围内，高度ｈ（米）随时间 ｔ（秒）的增大而增大 ７．如图５所示容器是由两个底面半径不相 等的圆柱体构成，匀速向容器内注水，直至把容 器注满，在注水过程中，水面高度ｈ随注水时间ｔ 变化的图象是 （　　） （本章检测卷见第２１～２２版） 书 （上接第３０版） ●专项练习 １２．如图１４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，以顶 点Ａ为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ＡＣ，ＡＢ 于点Ｅ，Ｆ；再分别以点Ｅ，Ｆ为圆心，大于１２ＥＦ的 长为半径画弧，两弧交于点 Ｐ，作射线 ＡＰ交 ＢＣ 于点 Ｄ．若 ＣＤ ＝６，则点 Ｄ到 ＡＢ的距离是 ． １３．如图１５，在△ＡＢＣ中，Ｓ△ＡＢＣ ＝２１，∠ＢＡＣ 的平分线ＡＤ交ＢＣ于点Ｄ，点Ｅ为ＡＤ的中点，连 接ＢＥ，点Ｆ为ＢＥ上一点，且ＢＦ＝２ＥＦ．若Ｓ△ＤＥＦ ＝２，ＡＣ＝６，则ＡＢ＝ ． （本章检测卷见第１９～２０版） ! " # $ % ! !" ! " # $ ! $ ! !# ! " ! " # $ & ' % ( ! !$! %& ! " # $ & ( ' ! " # $ & ( ' ! %% ! " # $ & ! %' ! " # $ ! ( ! %( ! " # $ $! !! "! #! ! %) ! " # $ & % ( * ! %+ !" ! " # $ ! + ) ' * ) ' * ) ' * ) ' * , - . / * ''' ( ''' ' !' )' )+ +,! -,"# ! * ' !+ +0 0' "0 *' )! +*&' ),! *,$ ! ) ! " # $ & ! !* . / !" # $ & 0 ( ! !) " # & $ ( ! ! !+ ! (' ! (! & . ! " $ ! " # $ & ( '