第1章 整式的乘除&第2章 相交线与平行线-【数理报期末复习】2024-2025学年新教材七年级数学下册升级突破（北师大版2024）

书 考 点 解 密 ?考点１：幂的运算 　　　　　　　　　　　　　　　例１ 下列运算正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（ｘ５）２ ＝ｘ７ Ｂ．ｘ２·ｘ４ ＝ｘ８ Ｃ．ｘ６÷ｘ３ ＝ｘ３ Ｄ．（－３ｘ）３ ＝－９ｘ３ 解析：（ｘ５）２ ＝ｘ１０，故选项Ａ不正确； ｘ２·ｘ４ ＝ｘ６，故选项Ｂ不正确； ｘ６÷ｘ３ ＝ｘ３，故选项Ｃ正确； （－３ｘ）３ ＝－２７ｘ３，故选项Ｄ不正确． 故选Ｃ． ●专项练习 １．计算：（２０２５－π）０－（１２） －２＝ ． ２．地球可以近似地看成是球体，球的体积公 式是Ｖ＝４３πｒ ３．已知地球的半径约为６×１０３千 米，则它的体积大约是 立方千米（π取 ３）． ３．已知 ３ｍ ＝６，９ｎ ＝３，则 ３２ｍ－４ｎ的值为 ． ４．计算： （１）（ｘ３）３÷ｘ４； （２）（ａ２）２·ａ２＋（－３ａ３）２－（２ａ２）３； （３）（２５） ２０２５×２．５２０２６×（－１）２０２５． ?考点２：整式的乘法 例２　若整式（２ｘ＋ｍ）（ｘ－１）不含ｘ的一 次项，则ｍ的值为 （　　） Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．－１ Ｄ．２ 解析：（２ｘ＋ｍ）（ｘ－１）＝２ｘ２＋（ｍ－２）ｘ－ ｍ． 因为（２ｘ＋ｍ）（ｘ－１）不含ｘ的一次项，所以 ｍ－２＝０．解得ｍ＝２． 故选Ｄ． ●专项练习 ５．若（ｘ－１）（ｘ＋ａ）＝ｘ２－５ｘ＋４，则ａ＝ ． ６．李老师做了一个长方形教具，其中一边长 为２ａ＋ｂ，另一边长为ａ，则该长方形教具的面积 为 ． ７．已知ａｂ＝１，ａ＋ｂ＝－３，则代数式（ａ－ １）（ｂ－１）的值为 ． ８．计算： （１）４ｘ２ｙ·２ｘｙ； （２）（－２ａｂ）（３ａ２－２ａｂ－４ｂ２）； （３）（２ｘ－１）（ｘ－４）－（ｘ＋３）（ｘ＋２）． ?考点３：乘法公式 例 ３　 如图，在长方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，点Ｅ，Ｆ是边 ＢＣ，ＣＤ上的点，ＥＣ＝３，且ＢＥ ＝ＤＦ＝ｘ，分别以ＦＣ，ＣＢ为边 在长方形ＡＢＣＤ外侧作正方形 ＣＦＧＨ和ＣＢＭＮ，若长方形 ＣＢＱＦ的面积为２０， 则图中阴影部分的面积和为 ． 解析：设ＣＦ＝ａ，ＢＣ＝ｂ． 由题意，得ＦＣ＝６－ｘ，ＢＣ＝３＋ｘ，即ａ＝ ６－ｘ，ｂ＝３＋ｘ． 因为长方形ＣＢＱＦ的面积为２０，所以 ａｂ＝ ２０． 又因为ａ＋ｂ＝（６－ｘ）＋（ｘ＋３）＝９，所以 Ｓ阴影 ＝ＣＦ ２＋ＢＣ２＝ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝ ９２－２×２０＝４１． 故填４１． ●专项练习 ９．若ｍ－ｎ＝－２，且ｍ＋ｎ＝５，则ｍ２－ｎ２ ＝ ． １０．小北将（２０２４ｘ＋２０２５）２展开后得到 ａ１ｘ ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１，小湖将（２０２５ｘ－２０２４） ２展开后 得到ａ２ｘ ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２，若两人计算过程无误，则ｂ１ ＋ｂ２的值为 ． １１．若（２ｘ＋ｍ）２＝４ｘ２＋４ｍｘ＋１，则ｍ的值 是 ． １２．利用乘法公式计算： （１）（３ａ－ｂ）２－（ａ－３ｂ）（ａ＋３ｂ）； （２）（ａ－２ｂ＋１）（ａ＋２ｂ＋１）； （３）３０１２； （４）１０１×９９； （５）（ｘ－２ｙ）２（ｘ＋２ｙ）２． ?考点４：整式的除法 例４　小明与小亮在做游戏时，两人各报一 个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整 式作为被除式，要求商必须为２ｘｙ．若小明报的 整式是 ｘ３ｙ－２ｘｙ３，则小亮应报的整式是 ． 解析：根据题意可知，小亮应报的整式为： （ｘ３ｙ－２ｘｙ３）÷２ｘｙ＝ｘ３ｙ÷２ｘｙ－２ｘｙ３÷２ｘｙ＝ １ ２ｘ ２－ｙ２． 故填 １ ２ｘ ２－ｙ２． ●专项练习 １３．若（－３ａ３ｂｍ）２÷９ａｎｂ＝ａ４ｂ，则ｍ＋ｎ的 值为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ １４．已知多项式３ｘ３＋６ｘ２－８ｘ＋２除以Ａ得 商式３ｘ，余式ｘ＋２，则多项式Ａ为 ． １５．先化简，再求值：［（２ｘ－ｙ）２－ｘ（４ｘ－ｙ） ＋８ｙ２］÷３ｙ，其中ｘ＝３，ｙ＝－１． ?考点５：用科学记数法表示小数 例５　油菜是我国栽培面积最大的油料作 物，栽培范围几乎遍布全国各地，花期多集中在 ２～４月，可持续约２０～３０天，从花粉产量来看， 几乎占全年花粉总产量的一半．油菜花粉是蜜蜂 从油菜花中采集回来的花粉团，花粉团直径约 ０．００３１５米．将数据０．００３１５用科学记数法表示 为 （　　） Ａ．３１５×１０－５ Ｂ．０．３１５×１０－２ Ｃ．３．１５×１０－２ Ｄ．３．１５×１０－３ 解析：０．００３１５＝３．１５×１０－３． 故选Ｄ． ●专项练习 １６．“气凝胶”是一种具有纳米多孔结构的新 型材料，其颗粒尺寸通常小于０．０００００００２ｍ，将 数据 ０．０００００００２用科学记数法表示为 ． １７．若把数据０．００１３用科学记数法表示成 １．３×１０ｎ的形式，其中ｎ＝ ． （专项练习答案参见第１５～１８版，后同） （本章检测卷见第７～８版                                                                                             ） 书 知 识 回 顾 １．幂的乘除 （１）同底数幂相乘，底数 ，指数 ．即ａｍ·ａｎ＝ａｍ＋ｎ（ｍ，ｎ都是正整数）． （２）幂 的 乘 方，底 数 ，指 数 ．即（ａｍ）ｎ ＝ａｍｎ（ｍ，ｎ都是正整数）． （３）积的乘方等于各因数的乘方的 ．即（ａｂ）ｎ ＝ａｎｂｎ（ｎ是正整数）． （４）同底数幂相除，底数 ，指数 ．即ａｍ÷ａｎ＝ａｍ－ｎ（ａ≠０，ｍ，ｎ都是正 整数，且ｍ＞ｎ）． （５）ａ０ ＝ （ａ≠０）． （６）ａ－ｐ ＝ （ａ≠０，ｐ是正整数）． ２．科学记数法 用科学记数法表示一个数就是把一个数写 成ａ×１０ｎ的形式，其中 ≤｜ａ｜＜ （ｎ 为整数）． 温馨提示： （１）当表示一个绝对值大于１０的数时，ｎ为 正整数，且ｎ的值等于这个数的整数部分的位数 减去１． （２）当表示一个绝对值小于１的数时，ｎ为 负整数，且ｎ的绝对值等于这个数的第一个非零 数前面的零的个数（包括小数点前面的零）． ３．整式的乘法 （１）单项式与单项式相乘：把它们的系数、 相同字母的幂分别 ，其余字母连同它 的指数 ，作为积的 ． （２）单项式与多项式相乘：就是根据分配律 用单项式乘多项式的 ，再把所得的积 ． （３）多项式与多项式相乘：先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的 ，再把所 得的积 ． ４．乘法公式 （１）平方差公式：两数和与这两数差的积， 等于它们的 ．即（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ ｂ２． （２）完全平方公式：两数和（或差）的平方， 等于它们的 ，加上（或减去）它们的积 的 倍．即（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，（ａ－ ｂ）２ ＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２． ５．整式的除法 （１）单项式除以单项式：把系数、同底数幂 分别相除后，作为商的 ；对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商 的一个 ． （２）多项式除以单项式：先把这个多项式的 每一项分别除以 ，再把所得的商 ． ! ! " # $ ! !" #$% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! 书 考 点 解 密 ?考点１：相交线 例１　 如图 １，直线 ＡＢ， ＣＤ相交于 点 Ｏ，∠ＡＯＤ ＝ １３５°，∠１＝１２∠２，则∠１的度 数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 解析：由对顶角相等，得∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＤ＝ １３５°．所以∠１＋∠２＝１３５°．因为∠１＝１２∠２， 所以３∠１＝１３５°．所以∠１＝４５°．故选Ｃ． ●专项练习 １．如图２，直线ａ，ｂ相交于点Ｏ，若∠１＋∠３ ＝６０°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．７０° Ｃ．１１０° Ｄ．１５０° ２．将一个含３０°角的三角尺和直尺如图３所 示放置，若∠１＝５０°，则∠２的度数是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ?考点２：余角和补角 例２　 一个角的余角比它的补角的 ２３少 ４０°，则这个角的度数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．３６° Ｃ．４２° Ｄ．４８° 解析：设这个角的度数是 ｘ°．根据题意，得 ９０－ｘ＝２３（１８０－ｘ）－４０．解得ｘ＝３０．所以这 个角的度数是３０°．故选Ａ． ●专项练习 ３．已知∠１＝α＜９０°，则∠１的余角比∠１ 的补角少 （　　） Ａ．α Ｂ．９０°－α Ｃ．９０° Ｄ．１８０°－２α ４．如图４，射线 ＯＥ，ＯＳ， ＯＷ，ＯＮ分别表示东、南、西、 北方向，已知∠ＡＯＢ＝９０°． （１）图中与∠ＡＯＮ互余 的角是 ； （２）图中与∠ＡＯＮ互补 的角是 ； （３）如果∠ＢＯＥ＝１１８°，那么点Ａ在点Ｏ的 方向． ?考点３：垂线及其性质 例３　如图５，直线ＡＢ， ＣＤ相交于点 Ｏ，ＥＯ⊥ ＣＤ． 若∠ＡＯＣ∶∠ＢＯＥ＝１∶４， 则∠ＢＯＤ的度数为 （　　） Ａ．１０° Ｂ．１８° Ｃ．２０° Ｄ．２５° 解析：因为ＥＯ⊥ＣＤ，所以∠ＣＯＥ＝９０°．所 以∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＥ＝９０°．因为∠ＡＯＣ∶∠ＢＯＥ ＝１∶４，所以∠ＡＯＣ＝９０°× １１＋４＝１８°．由对 顶角相等，得∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝１８°．故选Ｂ． ●专项练习 ５．如图６，小华同学的家在点Ｐ处，他想尽快 到达公路边乘车到学校，就选择沿线段 ＰＣ去公 路边，他的这一选择用到的数学知识是 （　　） Ａ．垂线段最短 Ｂ．两点之间，线段最短 Ｃ．两点确定一条直线 Ｄ．经过一点有无数条直线 ６．如图７，已知 ＯＣ⊥ ＡＢ于点 Ｏ，∠ＡＯＤ∶ ∠ＣＯＤ＝１∶２，ＯＥ是∠ＢＯＣ内一条射线． （１）若ＯＥ平分∠ＢＯＣ，求∠ＤＯＥ的度数； （２）若∠ＡＯＥ的度数比∠ＣＯＥ的度数的３ 倍多３０°，试判断ＯＤ与ＯＥ的位置关系，并说明 理由． ?考点４：同位角、内错角、同旁内角 例４　如图８，下列结论 不正确的是 （　　） Ａ．∠５与∠６是内错角 Ｂ．∠１与∠４是同位角 Ｃ．∠３与∠４是内错角 Ｄ．∠２与∠３是同旁内角 解：Ｂ． ●专项练习 ７．以下几个英文大写字母中，不含有同旁内 角的是 （　　） ８．如图９，下列判断：①∠Ａ与 ∠１是同位角；②∠Ａ与 ∠Ｂ是同 旁内角；③∠４与 ∠１是内错角； ④∠１与 ∠３是同位角；⑤∠２和 ∠３是对顶角，其中正确的是 ． ?考点５：平行线的判定与性质 例５　如图１０，已知 直线ＡＦ交ＣＤ于点Ｅ，连 接ＡＢ，ＥＢ，ＤＢ．若∠Ａ与 ∠ＢＥＤ互余，∠ＥＢＡ与 ∠ＣＥＢ互补，求 ∠ＡＥＢ 的度数． 解：因为∠ＥＢＡ与∠ＣＥＢ互补，所以∠ＥＢＡ ＋∠ＣＥＢ＝１８０°．所以 ＡＢ∥ ＤＣ．所以 ∠Ａ＝ ∠ＡＥＣ．因为 ∠Ａ与 ∠ＢＥＤ互余，所以 ∠Ａ＋ ∠ＢＥＤ＝９０°．所以∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＤ＝９０°．所以 ∠ＡＥＢ＝１８０°－（∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＤ）＝９０°． ●专项练习 ９．如图１１，已知 ∠３＝∠４， ∠１＝１０５°，则∠２等于 （　　） Ａ．７０° 　　　　Ｂ．７５° Ｃ．８０° 　　　　Ｄ．８５° １０．善思的雯雯发现英文大写字母“Ｆ”中某 一个部分也可以抽象成一个数学问题：如图１２， 已知ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＥ＝９７°，∠ＣＤＥ＝１３６°，则 ∠Ｅ的度数是 ． １１．如图１３，已知ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＡＥ 交ＢＣ的延长线于点Ｅ． （１）试说明：ＡＤ∥ＢＥ； （２）若∠１＝∠２＝６０°，∠ＢＡＣ＝２∠ＥＡＣ， 求∠Ｂ的度数． （本章检测卷见第９～１０版                                                                                       ） ! " # $ 书 知 识 回 顾 １．相交线 （１）相交线：若两条直线只有 ，那 么称这两条直线为相交线． （２）对顶角：如图１，∠１和 ∠３有一个 ，并且 ∠１ 的两边分别是 ∠３的两边的 ，具有这种位置关系的 两个角叫作对顶角． 对顶角的性质： ． （３）补角：如果两个角的和是 ，那 么称这两个角互为 ． 补角的性质：同角（或等角）的补角相等． （４）余角：如果两个角的和是 ，那 么称这两个角互为 ． 余角的性质：同角（或等角）的余角相等． （５）垂线 ①垂直：两条直线相交成四个角，如果有一 个角是 ，那么称这两条直线互相垂直， 它们的交点叫作 ． 垂线的性质：同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线 上各点连接的所有线段中， ． ②点到直线的距离：直线外一点到这条直 线的 的长度． ２．同位角、内错角、同旁内角 如图２，直线ＡＢ，ＣＤ被直 线ＥＦ所截，形成了八个角． （１）两个角都在两直线 的同侧，并且在第三条直线的 同旁，这样的一对角叫作 ．图 ２中的 ∠１与 、∠２与 、∠３与 、∠４ 与 都是同位角． （２）两个角都在两直线之间，并且在第三条 直线的两旁，这样的一对角叫作 ．图２ 中的∠３与 、∠４与 都是内错角． （３）两个角都在两直线之间，并且在第三条 直线的同旁，这样的一对角叫作 ．图２ 中的 ∠３与 、∠４与 都是同旁内 角． ３．平行线 （１）平行线：在同一平面内， 的两 条直线叫作平行线． 在同一平面内，过直线外一点 一 条直线与这条直线平行． （２）判定两直线平行的方法 ① ，两直线平行； ② ，两直线平行； ③ ，两直线平行； ④平行于同一条直线的两条直线 ． （３）平行线的性质 ①两直线平行， ； ②两直线平行， ； ③两直线平行， ． ! " # % & ' ( ! ) ! " # $ % & % * ( & + ' ! , ! " # $ % ' ! - ! " # $ ( !" ! * ! " # $ % & ! '. ) * + , & ' % ( ! '' ! " # $ ! $ " # ! & % ' ( ' ! ' $ " % ! # ' % & ( + , - * & ! % ! !" #$% % ' ! " # $ ' ! ' % ' % ! & % & ' + , ! % ' # $ %& ! " - . / % ' ! ( ! " # $ % ' % ! '& ! " # $ % ! '% ! " # $ ' % ! + 书 ４４期２版 ６．４用图象表示变量之间的关系 ６．４．１曲线型图象 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．①②． ４．（１）１０，５；　（２）８； （３）这只蝴蝶在０～１秒飞行高度逐渐升高，１～２ 秒飞行高度逐渐降低，２～３秒飞行高度逐渐升高，３～５ 秒飞行高度逐渐降低． 能力提高　５．Ｄ． ６．４．２折线型图象 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ； ３．（１）时间（或ｔ），（２）５，（３）２５，（４）２，１５，（５）第６ 分钟时，无人机飞行的高度是５０米． ４．（１）观察时间ｘ； （２）该植物从观察时起，６０天以后停止长高． （３）因为３１－２４＝７（厘米），７÷（６０－４０）＝７２０（厘 米 ／天），所以从第４０天到第６０天，植物的高度增长７厘米， 植物平均每天长高 ７ ２０厘米． ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ 二、１１．１５；　１２．ｙ＝４ｘ；　１３．２０； １４．①②③；　１５．２．５或８．５． 三、１６．（１）常量：ｖ０，－ １ ２，ｇ；变量：ｈ，ｔ． （２）温度在０～３５℃内时豌豆苗的呼吸作用强度 逐渐变强；在３５～５０℃内豌豆苗的呼吸作用强度逐渐 减弱． １７．（１）常量：４３，π；变量：Ｒ，Ｖ． （２）当Ｒ＝２时，Ｖ＝３２３π；当Ｒ＝３时，Ｖ＝３６π；当 Ｒ＝４时，Ｖ＝２５６３π．列表略． １８．（１）垂直于墙的边长ｘ，平行于墙的边长ｙ； （２）ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝－２ｘ＋４１． （３）当ｘ＝７时，ｙ＝－２×７＋４１＝２７．因为２７＞２６， 所以不合理． １９．（１）反映了速度和时间的关系． （２）点Ａ表示６分钟时的速度为６０千米／时，点Ｂ表 示１８分钟时的速度为０千米 ／时． （３）０到６分钟时加速行驶，６到１２分钟匀速行驶，１２ 到１８分钟减速行驶至停止． （４）答案不惟一，如：小明的爸爸驾车上班，前６分 钟在加速行驶，加速到６０千米 ／时后，匀速行驶了６分 钟，１２到１８分钟减速行驶至停止． ２０．（１）容器内原有水０．５Ｌ． （２）水龙头关闭不严造成的滴水速度为：（２．０－ ０．５）÷１．５＝１（Ｌ／ｈ）． 设上午有 ｎ个小时水龙头关闭不严，导致容器内显 示水量３．５Ｌ．根据题意，得０．５＋１×ｎ＝３．５．解得ｎ＝ ３． 因为开始时间是上午７：３０，所以经过３小时应该是 上午１０：３０，即当容器内显示水量３．５Ｌ时是上午１０：３０． ２１．（１）由甲印刷厂的优惠方法可得，ｙ甲 ＝ｘ＋ １５００； 由乙印刷厂的优惠方法可得，ｙ乙 ＝２．５ｘ． （２）当ｘ＝８００时，ｙ甲 ＝８００＋１５００＝２３００，ｙ乙 ＝ ２．５×８００＝２０００． 因为２３００＞２０００，所以印制８００份宣传材料时，选 择乙印刷厂比较合算． （３）当ｙ＝３０００时，甲印刷厂印制份数为：３０００－ １５００＝１５００（份），乙印刷厂印制份数为：３０００÷２．５＝ １２００（份）． 因为１５００＞１２００，所以找甲印刷厂印制宣传材料 的份数较多． ２２．（１）７１；　（２）ｙ＝７５－１２ｘ； （３）因为ｘ＋ｙ＝１１０，所以ｘ＋７５－１２ｘ＝１１０．解得 ｘ＝７０． 答：此时单层部分的长度为７０ｃｍ． ２３．（１）甲行驶的时间ｔ，甲、乙两人间的距离ｓ． （２）①Ｐ；②Ｍ；③Ｎ． （３）２４０． （４）由（１）可得甲、乙的行驶时间分别为６ｈ和３ｈ． 所以甲的速度是：２４０÷６＝４０（ｋｍ／ｈ），乙的速度 是：２４０÷３＝８０（ｋｍ／ｈ）． （５）①相遇之前：（２４０－１８０）÷（４０＋８０）＝１２（小时）； ②相遇之后：３＋（１８０－１２０）÷４０＝ ９２（小时）． 答：甲出发 １ ２小时或 ９ ２小时后，甲、乙两人相距１８０千米． 复习专号 《整式的乘除》专项练习 １．－３；　２．８．６４×１０１１；　３．４． ４．（１）ｘ５；　（２）２ａ６；　（３）－５２． ５．－４；　６．２ａ２＋ａｂ；　７．５． ８．（１）８ｘ３ｙ２；　（２）－６ａ３ｂ＋４ａ２ｂ２＋８ａｂ３； （３）ｘ２－１４ｘ－２． ９．－１０；　１０．０；　１１．±１． １２．（１）８ａ２－６ａｂ＋１０ｂ２；　（２）ａ２＋２ａ＋１－４ｂ２； （３）９０６０１；　（４）９９９９；　（５）ｘ４－８ｘ２ｙ２＋１６ｙ４． １３．Ａ；　１４．ｘ２＋２ｘ－３． １５．原式 ＝３ｙ－ｘ． 当ｘ＝３，ｙ＝－１时，原式 ＝－６． １６．２×１０－８；　１７．－３． 《整式的乘除》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ 二、１１．４；　１２．ｘ８－１；　１３．４１；　１４．３６； １５．－１或３或１． 三、１６．（１）３ｍ＋４＋ｎ＝３４×３ｍ ＋ｎ＝８１×３ｍ ＋ｎ＝ ８０×３ｍ ＋（３ｍ ＋ｎ）． 因为３ｍ ＋ｎ能被１０整除，８０×３ｍ能被１０整除，所以 ３ｍ＋４＋ｎ能被１０整除． （２）第一处被弄污的内容为：－（－７ｘ２ｙ）·５ｘｙ＝ ３５ｘ３ｙ２； 第二处被弄污的内容为：２１ｘ４ｙ３ ÷（－７ｘ２ｙ） ＝ －３ｘ２ｙ２． １７．（１）－６ａ６；　（２）－２ｘ－３；　（３）８９９．９１． １８．原式 ＝－１２ｘ． 当ｘ＝２０２６，ｙ＝－２０２５时，原式 ＝－１０１３． １９．（１）２×１２× １ ２ｍ（ｍ＋２ｎ）＋ｎ ２＋ｎ２ ＝１２ｍ ２＋ ｍｎ＋２ｎ２，即空白部分的面积为（１２ｍ ２＋ｍｎ＋２ｎ２）ｃｍ２； （ｍ＋ｎ）（ｍ＋２ｎ）－（１２ｍ ２＋ｍｎ＋２ｎ２）＝ｍ２＋２ｍｎ ＋ｍｎ＋２ｎ２－１２ｍ ２－ｍｎ－２ｎ２＝１２ｍ ２＋２ｍｎ，即箭头的 面积为（ １ ２ｍ ２＋２ｍｎ）ｃｍ２． （２）当 ｍ＝１０，ｎ＝２０时，１２ｍ ２＋２ｍｎ＝１２×１０ ２ ＋２×１０×２０＝４５０，即箭头的面积为４５０ｃｍ２． ２０．（１）因为甲错把ｂ看成了６，所以（２ｘ＋ａ）（ｘ＋６） ＝２ｘ２＋（１２＋ａ）ｘ＋６ａ． 又因为（２ｘ＋ａ）（ｘ＋６）＝２ｘ２＋８ｘ－２４，所以６ａ＝ －２４．解得ａ＝－４． 因为乙错把ａ看成了 －ａ，所以（２ｘ－ａ）（ｘ＋ｂ）＝ ２ｘ２＋（２ｂ－ａ）ｘ－ａｂ． 又因为（２ｘ－ａ）（ｘ＋ｂ）＝２ｘ２＋１４ｘ＋２０，所以２ｂ－ ａ＝２ｂ－（－４）＝１４．解得ｂ＝５． （２）由（１）得，（２ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝（２ｘ－４）（ｘ＋５） ＝２ｘ２＋６ｘ－２０． ２１．（１）因为３２×９２ｍ＋１÷２７ｍ＋１＝８１，所以３２×３４ｍ＋２ ÷３３ｍ＋３ ＝３２＋４ｍ＋２－３ｍ－３ ＝３ｍ＋１ ＝３４．所以ｍ＋１＝４．解得 ｍ＝３． （２）因为ｘ２ｎ ＝２，所以原式 ＝９ｘ６ｎ－４ｘ４ｎ ＝９（ｘ２ｎ）３ －４（ｘ２ｎ）２ ＝９×２３－４×２２ ＝７２－１６＝５６． ２２．（１）（ｘ２＋ｘ－１３ｐ）（－ｘ＋３ｑ）＝－ｘ ３－ｘ２＋１３ｐｘ ＋３ｑｘ２＋３ｑｘ－ｐｑ＝－ｘ３＋（３ｑ－１）ｘ２＋（１３ｐ＋３ｑ）ｘ－ｐｑ． 因为（ｘ２＋ｘ－１３ｐ）（－ｘ＋３ｑ）的积中不含 ｘ与 ｘ ２ 项，所以３ｑ－１＝０，１３ｐ＋３ｑ＝０．解得ｐ＝－３，ｑ＝ １ ３． （２）（－ｐ３ｑ２）２＋ｐ２０２５ｑ２０２４＝ｐ６ｑ４＋ｐ２０２４·ｐ·ｑ２０２４＝ ｐ６ｑ４＋（ｐｑ）２０２４·ｐ． 当ｐ＝－３，ｑ＝ １３时，原式 ＝（－３） ６×（１３） ４＋ ［（－３）×１３］ ２０２４×（－３）＝３６ ×１ ３４ ＋（－１）２０２４ × （－３）＝３２－３＝６． ２３．（１）①５；②３＋４ｉ． （２）因为（１＋２ｉ）２＝１＋４ｉ＋４ｉ２＝１＋４ｉ－４＝－３ ＋４ｉ，ａ＋ｂｉ是（１＋２ｉ）２的共轭复数，所以 ａ＝－３，ｂ＝ －４．所以（ｂ－ａ）２ ＝（－４＋３）２ ＝（－１）２ ＝１． （３）因为（ａ＋ｉ）（ｂ＋ｉ）＝ａｂ＋（ａ＋ｂ）ｉ＋ｉ２ ＝ａｂ －１＋（ａ＋ｂ）ｉ＝１－３ｉ，所以ａｂ－１＝１，ａ＋ｂ＝－３．所 以ａｂ＝２，ａ＋ｂ＝－３．所以ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝ （－３）２－２×２＝５．因为ｉ２＋ｉ３＋ｉ４＋ｉ５＝－１－ｉ＋１＋ ｉ＝０，ｉ２＋ｉ３＋ｉ４＋… ＋ｉ２０２５有２０２４个加数，２０２４÷４ ＝５０６，所以ｉ２＋ｉ３＋ｉ４＋… ＋ｉ２０２５ ＝０．所以ｉ＋ｉ２＋ｉ３ ＋ｉ４＋… ＋ｉ２０２５ ＝ｉ．所以（ａ２＋ｂ２）（ｉ＋ｉ２＋ｉ３＋ｉ４＋… ＋ｉ２０２５）＝５ｉ． 《相交线与平行线》专项练习 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．（１）∠ＡＯＥ，∠ＮＯＢ， （２）∠ＡＯＳ，∠ＢＯＥ，（３）北偏东６２°；　５．Ａ． ６．（１）因为ＯＣ⊥ＡＢ，所以∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝９０°． 因为∠ＡＯＤ∶∠ＣＯＤ＝１∶２，所以∠ＣＯＤ＝２３∠ＡＯＣ＝ ６０°．因为 ＯＥ平分 ∠ＢＯＣ，所以 ∠ＣＯＥ＝ １２∠ＢＯＣ＝ ４５°．所以∠ＤＯＥ＝∠ＣＯＤ＋∠ＣＯＥ＝１０５°． （２）ＯＤ⊥ＯＥ．理由如下： 由题意，得∠ＡＯＥ－３∠ＣＯＥ＝３０°．因为∠ＡＯＥ＝ ∠ＡＯＣ＋∠ＣＯＥ，所以∠ＡＯＣ＋∠ＣＯＥ－３∠ＣＯＥ＝３０°． 由（１），得∠ＡＯＣ＝９０°．所以９０°＋２∠ＣＯＥ＝３０°．所以 ∠ＣＯＥ＝３０°．所以∠ＤＯＥ＝∠ＣＯＤ＋∠ＣＯＥ＝９０°．所 以ＯＤ⊥ＯＥ． ７．Ｂ；　８．①②③⑤；　９．Ｂ；　１０．３９°． １１．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．又因为 ∠Ｂ＝∠Ｄ，所以∠ＤＣＥ＝∠Ｄ．所以ＡＤ∥ＢＥ． （２）因为ＡＢ∥ＣＤ，∠２＝６０°，所以∠ＢＡＥ＝∠２＝ ６０°，即∠ＥＡＣ＋∠ＢＡＣ＝６０°．因为∠ＢＡＣ＝２∠ＥＡＣ，所 以∠ＥＡＣ＝２０°．所以∠ＢＡＣ＝４０°．因为∠１＝６０°，所 以∠Ｂ＝１８０°－∠１－∠ＢＡＣ＝８０°． 《相交线与平行线》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ 二、１１．１３０°；　１２．１０°；　１３．４．８；　１４．１１２．５； １５．６或９或１５或３３． 三、１６．（１）图略． （２）设这个锐角的度数为ｘ°． 根据题意，得１８０－ｘ＝３（９０－ｘ）＋３０． 解得ｘ＝６０． 答：这个锐角的度数是６０°． １７．因为ＡＥ∥ＢＤ，∠ＥＡＢ＝１３０°，∠ＥＦＤ＝３０°，所 以∠ＣＢＤ＝∠ＥＡＢ＝１３０°，∠ＣＦＢ＝∠ＥＦＤ＝３０°．所 以∠Ｃ＝１８０°－∠ＣＢＤ－∠ＣＦＢ＝２０°． １８．因为∠ＤＯＥ是直角，所以∠ＣＯＥ＝１８０°－９０°＝ ９０°．因为∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝２２°，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＣ ＋∠ＣＯＥ＝１１２°．又因为ＯＦ平分∠ＡＯＥ，所以∠ＡＯＦ＝ １ ２∠ＡＯＥ＝５６°．所以∠ＣＯＦ＝∠ＡＯＦ－∠ＡＯＣ＝３４°． １９．（１）∠ＢＡＤ；∠ＢＡＣ，∠ＥＡＢ和∠Ｃ． （２）因为∠ＥＡＣ＝∠Ｃ，所以ＤＥ∥ＢＣ．所以∠ＢＡＥ ＋∠Ｂ＝１８０°．因为∠Ｂ＝４４°，所以∠ＢＡＥ＝１８０°－∠Ｂ ＝１３６°．因为ＡＣ平分∠ＢＡＥ，所以∠ＥＡＣ＝１２∠ＢＡＥ＝ ６８°．所以∠Ｃ＝∠ＥＡＣ＝６８°． ２０．角平分线的定义；∠ＢＤＥ；等量代换；ＤＥ；同位角 相等，两直线平行；∠ＤＥＢ；两直线平行，同位角相等；垂 直的定义；９０°． ２１．（１）因为 ∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ，∠ＡＯＢ＋ ∠ＢＯＣ＋∠ＡＯＣ＝３６０°，所以∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ ＝１２０°．因为ＯＡ⊥ＯＰ，所以∠ＡＯＰ＝９０°． 当ＯＰ在∠ＡＯＣ内部时，∠ＣＯＰ＝∠ＡＯＣ－∠ＡＯＰ ＝３０°．所以∠ＢＯＰ＝∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＰ＝１５０°． 当ＯＰ在∠ＡＯＢ内部时，∠ＢＯＰ＝∠ＡＯＢ－∠ＡＯＰ ＝３０°． 综上所述，∠ＢＯＰ的度数是３０°或 １５０°． （２）设旋转的最小角度是ｘ°，则∠ＡＯＰ＝ｘ°，∠ＢＯＰ ＝（ｘ＋１２０）°．因为∠ＡＯＰ与∠ＢＯＰ互补，所以∠ＡＯＰ ＋∠ＢＯＰ＝１８０°，即ｘ＋ｘ＋１２０＝１８０．解得ｘ＝３０．所 以旋转的最小角度是３０°． ２２．（１）ＥＨ∥ＡＤ．理由如下： 因为∠１＝∠Ｂ，所以ＡＢ∥ＧＤ，所以∠２＝∠ＢＡＤ． 因为∠２＋∠３＝１８０°，所以∠ＢＡＤ＋∠３＝１８０°．所以 ＥＨ∥ＡＤ． （２）由（１）得ＡＢ∥ＧＤ．所以∠２＝∠ＢＡＤ，∠ＤＧＣ ＝∠ＢＡＣ．因为∠ＤＧＣ＝５８°，所以 ∠ＢＡＣ＝５８°．因为 ＥＨ∥ＡＤ，所以 ∠２＝∠Ｈ．所以 ∠Ｈ＝∠ＢＡＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＋∠４＝∠Ｈ＋∠４＝５８°．因为∠                                                                                                                                                                                         Ｈ＝ !" ! 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