《三角形》复习检测卷-【数理报期末复习】2024-2025学年新教材七年级数学下册升级突破（北师大版2024）

书 《三角形》复习检测卷 ◆ 数理报社试题研究中心 （时间：９０分钟　满分：１２０分） 题号 一 二 三 总分 得分 第Ⅰ卷 选择题 （共３０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 一、精心选一选（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） １．如图１，△ＡＢＣ的边ＡＢ上的高是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＦ Ｂ．线段ＤＢ Ｃ．线段ＣＧ Ｄ．线段ＢＥ ２．如图２，已知两个三角形全等，则∠α的大小为 （　　） Ａ．５２° Ｂ．５８° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ３．将周长为１２ｃｍ的三角形三条边依次放在一条直线上，其 中所标数据正确的是 （　　） ４．已知△ＡＢＣ中，∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝３∶４∶７，则△ＡＢＣ一定 是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不能确定 ５．如图 ３，已知 ＡＥ＝ＣＦ，∠ＡＦＤ ＝ ∠ＣＥＢ，那么添加下列一个条件后，仍无法 判定△ＡＤＦ≌△ＣＢＥ的是 （　　） Ａ．∠Ｄ＝∠Ｂ 　　　Ｂ．ＡＤ＝ＣＢ Ｃ．ＢＥ＝ＤＦ 　　　Ｄ．ＡＤ∥ＢＣ ６．如图４，点Ｄ是△ＡＢＣ的重心，连接ＡＤ并延长交ＢＣ于点 Ｅ，ＡＢ＝５，△ＡＢＥ的周长比△ＡＣＥ的周长大２，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．７ Ｂ．６ Ｃ．５ Ｄ．３ ７．如图 ５，已知点 Ｂ，Ｃ，Ｅ在同一条直线上，∠Ｂ＝∠Ｅ＝ ∠ＡＣＤ＝６０°，ＡＢ＝ＣＥ，则图中与ＢＣ相等的线段是 （　　） Ａ．ＡＣ Ｂ．ＤＥ Ｃ．ＤＣ Ｄ．ＡＤ ８．如图６，ＡＤ，ＢＦ，ＣＥ是 △ＡＢＣ内部的三条线段，且 ∠１＝ ∠２＝∠３．若∠ＡＢＣ＝４５°，∠ＤＦＥ＝５０°，则∠ＢＡＣ的度数为 （　　） Ａ．１００° Ｂ．９５° Ｃ．９０° Ｄ．８５° ９．如图７，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边的中点，ＤＥ⊥ＤＦ，ＤＥ交ＡＢ 于点Ｅ，ＤＦ交ＡＣ于点Ｆ，连接ＥＦ．若ＢＥ＝２，ＣＦ＝３，则ＥＦ的长 可能为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ １０．如图８，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ为ＡＣ边上的高，ＢＥ平 分∠ＡＢＤ，点Ｆ在ＢＤ上，连接ＥＦ并延长交ＢＣ于点Ｇ，若ＢＧ＝ ＥＧ，∠Ａ＝２∠ＤＥＦ，有下列结论：①∠ＤＥＦ＝∠ＣＢＤ；②∠ＡＢＥ＋ ∠ＣＢＤ＝４５°；③ＥＧ⊥ＢＣ；④ＢＦ＝ＣＥ，其中正确的有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 第Ⅱ卷 非选择题 （共９０分） 二、细心填一填（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分） １１．在日常生活中，我们通常采用如图９的方法 （斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学 知识说明这样做的依据是： ． １２．已知一个等腰三角形的周长是２５，一边长是 ６，则其他两边长分别为 ． １３．如图１０，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ为边ＡＣ上两点，连接ＢＤ，ＢＥ， 点Ｆ为ＢＥ上一点，连接ＤＦ，若∠Ａ＝９０°，ＡＤ＝ＤＦ，ＡＢ＝ＢＦ， ∠ＤＢＦ＝２５°，则∠ＢＥＣ的度数为 ． １４．如图１１，已知ＢＤ是△ＡＢＣ的中线，ＡＦ是△ＡＢＤ的中线， ＣＥ∥ＡＦ交ＢＤ的延长线于点Ｅ．若△ＣＤＥ的面积为４，则△ＡＢＣ 的面积是 ． １５．如图１２，△ＡＢＣ是等腰直角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°，ｌ是过 点Ｃ的一条直线，分别过点Ａ，Ｂ作ＡＤ⊥ｌ，ＢＥ⊥ｌ，垂足为点Ｄ，Ｅ， 若ＡＤ＝２．５ｃｍ，ＢＥ＝１．７ｃｍ，则ＤＥ＝ ｃｍ． 三、耐心解一解（本大题共８个小题，共７５分） １６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分） （１）已知△ＡＢＣ的三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，试化简：｜ａ－ｂ＋ｃ｜ －｜ｃ－ａ－ｂ｜． （２）如图１３，△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ和ＡＣ上的点． 试说明：ＢＤ＝ＣＥ． １７．（６分）如图１４，已知线段ｌ，ｂ和∠α，求作△ＡＢＣ，使ＢＣ＝ ｂ，∠Ａ＝∠α，ＡＢ＋ＢＣ＝ｌ． １８．（７分）如图１５，在△ＡＢＣ中，∠ＢＣＡ＝４０°，∠ＡＢＣ＝６０°， 若ＢＦ是△ＡＢＣ的高，与角平分线ＡＥ相交于点Ｏ，求∠ＥＯＦ的度 数． ! "# $ "# % "# ! "# & "# & "# ' "# & "# % "# ( "# ( "# % "# ) * + , ! " ! # # '-! (.! (%! " ! % $ % & ' ( ) ! / * ! 0& ' * % & ( "#$ ' * % & ( ) ! & ' * % & ( ! $ ( ' * % & ! ( ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 ! " # $ % & ! ' ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 ( ' * % & ) ! '! ! * & ) % % ' ( 0 & ( ' % & ) * ! . $ * % & ! 0% ' *% & ( ) ! 0- ( ' * % & ) ! 00 ! + ! ! 0$ , * % & ( ) ! 0( ! 1 书 １９．（８分）如图１６，已知在四边形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在 ＡＤ上， ∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ，ＢＣ＝ＣＥ． （１）试说明：ＡＣ＝ＣＤ； （２）若ＡＣ＝ＡＥ，求∠ＤＥＣ的度数． ２０．（９分）七年级数学兴趣小组开展了“测量学校教学楼高 度ＡＢ”的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度ＡＢ 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （１）在教学楼外，选定一点Ｃ； （２）测量教学楼顶点Ａ的视线ＡＣ与地面夹角∠ＡＣＢ； （３）测量ＢＣ的长度； （４）放置一根与 ＢＣ长度相同的标杆 ＤＥ，ＤＥ垂直于地 面； （５）测量标杆顶部Ｅ的视线ＣＥ与地面夹角∠ＥＣＤ 测量数据 ∠ＡＣＢ＝６８．２°，∠ＥＣＤ＝２１．８°， ＢＣ＝ＤＥ＝２．５ｍ，ＣＤ＝１２ｍ 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度ＡＢ． ２１．（１０分）如图 １８－①，ＣＡ＝ＣＢ，ＣＤ ＝ＣＥ，∠ＡＣＢ＝ ∠ＤＣＥ＝α． （１）试说明：ＡＤ＝ＢＥ； （２）当α＝９０°时，取ＡＤ，ＢＥ的中点分别为点Ｐ，Ｑ，连接ＣＰ， ＣＱ，ＰＱ，如图１８－②，试判断△ＣＰＱ的形状，并说明理由． ２２．（１２分）在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，∠Ａ＝４５°，∠Ｅ＋∠Ｆ＝ １０５°，将△ＤＥＦ如图摆放，使得∠Ｄ的两条边分别经过点Ｂ和点 Ｃ． （１）将 △ＤＥＦ如图１９－① 摆放时，则 ∠ＡＢＤ＋∠ＡＣＤ＝ 度； （２）将△ＤＥＦ如图１９－②摆放时，求∠ＡＢＤ＋∠ＡＣＤ的度 数； （３）能否将△ＤＥＦ摆放到某个位置时，使得 ＢＤ，ＣＤ分别平 分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ？请说明理由． ２３．（１３分）如图２０，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝５，高ＡＤ，ＢＥ相交于 点Ｏ，且ＡＥ＝ＢＥ． （１）求线段ＡＯ的长． （２）设动点Ｐ从点Ｏ出发，沿线段ＯＡ以每秒１个单位长度的 速度向终点Ａ运动，同时动点 Ｑ从点 Ｂ出发，沿线段 ＢＣ以每秒 ４个单位长度的速度向终点Ｃ运动，当点Ｑ到达点Ｃ时，Ｐ，Ｑ两点 同时停止运动，连接ＥＰ，ＥＱ．当∠ＡＰＥ＝∠ＢＱＥ时，点Ｐ的运动 时间是多少秒？ （３）点Ｆ是直线ＡＣ上的一点且ＣＦ＝ＢＯ，动点Ｐ从点Ｏ出 发，沿线段ＯＡ以每秒１个单位长度的速度向终点Ａ运动，动点Ｑ 从点Ｂ出发沿射线ＢＣ以每秒４个单位长度的速度运动，Ｐ，Ｑ两点 同时出发，当点Ｐ到达点Ａ时，Ｐ，Ｑ两点同时停止运动．设点Ｐ的 运动时间为ｔ秒，是否存在ｔ值，使以点Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形与 以点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件 的ｔ值；若不存在，请说明理由． ! " # $ % ! !" !"# !"#$%&' !#$%& () ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 ! %& ! " # $ % % ! " # $ & ' ! " $ ( % ! " # "#!% $ ( % ! " # "#!' % ! " # $ ( ! () $ !"# % " # ! ! !* % ! " # $ ) % ! " # $ ) ! %+ ! " 书 ∠４＋１０°，所以∠４＋１０°＋∠４＝５８°．解得∠４＝２４°． 所以∠Ｈ＝３４°． ２３．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＭＮ＝∠ＣＮＭ．因为 ｌ∥ＦＧ，所以∠ＦＧＣ＝∠ＣＮＭ．所以∠ＢＭＮ＝∠ＦＧＣ． （２）如图１，过点Ｆ作ＦＨ∥ＡＢ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥ＣＤ∥ＦＨ．所以∠ＭＥＦ＝ ∠ＥＦＨ，∠ＦＧＣ＝∠ＧＦＨ．由（１）知∠ＢＭＮ＝∠ＦＧＣ．所 以∠ＢＭＮ＝∠ＧＦＨ．所以∠ＥＦＧ＝∠ＧＦＨ＋∠ＥＦＨ＝ ∠ＢＭＮ＋∠ＭＥＦ． （３）因为ＥＲ平分 ∠ＦＥＢ，ＧＲ平分 ∠ＦＧＤ，所以设 ∠ＢＥＲ＝∠ＦＥＲ＝ｘ，∠ＦＧＲ＝∠ＤＧＲ＝ｙ．所以∠ＡＥＦ ＝１８０°－２ｘ．如图２，过点Ｆ作ＦＴ∥ＡＢ，过点Ｒ作ＲＳ∥ ＡＢ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ＦＴ∥ ＡＢ∥ ＣＤ∥ ＲＳ．所以 ∠ＥＲＳ＝∠ＢＥＲ＝ｘ，∠ＧＲＳ＝∠ＤＧＲ＝ｙ，∠１＝∠ＦＧＣ ＝１８０°－２ｙ．所以∠ＥＲＧ＝ｘ＋ｙ．因为∠ＨＦＧ＝９０°，所 以∠２＝９０°－∠１＝９０°－（１８０°－２ｙ）＝２ｙ－９０°．所 以∠ＦＨＤ＝∠２＝２ｙ－９０°．因为 ∠ＦＨＤ－∠ＡＥＦ＝ ３０°，所以２ｙ－９０°－（１８０°－２ｘ）＝３０°，即２ｘ＋２ｙ＝ ３００°．所以 ｘ＋ｙ＝１５０°．所以 ∠ＥＲＧ＝１５０°．所以 ∠ＨＭＮ＝ １６∠ＥＲＧ＝２５°． 《概率初步》专项练习 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．６０％；　５．４； ６．Ｃ；　７．１２；　８．１４． ９．（１）设盒子中有黑球ｘ个．由题意，得ｘ＝１３（３＋ ７＋ｘ）．解得ｘ＝５． 答：盒子中有５个黑球． （２）由题意，得７＝ １３（３＋７＋ｍ）．解得ｍ＝１１． １０．４７；　１１．Ａ． 《概率初步》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ 二、１１．不可能；　１２．０．９７；　１３．③；　１４．π４； １５．１或２或３或４或５． 三、１６． （１） 抽 中 Ｃ 类 数 据 的 概 率 为： ５０ ２０＋３０＋５０＋４０＝ ５ １４． （２）不对，因为试验次数太少，不足以说明，当试验 次数足够大时，每个点数出现的次数大致相等． １７．（１）表格中从左至右依次填４，２或３． （２）事件Ａ发生的概率为： ８１２－２＝ ４ ５． １８．因为摸了１００次，发现有２５次摸到红色乒乓球，所 以估计摸到红色乒乓球的概率为： ２５ １００＝ １ ４．设箱子中有 红色乒乓球ｘ个．由题意，得ｘ＝１４（１５＋ｘ）．解得ｘ＝５． 答：估计箱子中有５个红色乒乓球． １９．（１）Ｐ（小明获得中性笔）＝ ３１８＝ １ ６． （２）Ｐ（小明获得奖品）＝２＋３＋４１８ ＝ １ ２． （３）１８×５９ ＝１０（个），１０－９＝１（个），所以需要再 将１个空白扇形涂上颜色． ２０．（１）因为盒中有ｘ枚白棋和ｙ枚黑棋，所以盒中 共有（ｘ＋ｙ）枚棋子．由题意，得ｙ＝４９（ｘ＋ｙ）．所以ｙ与 ｘ之间的关系式为ｙ＝ ４５ｘ． （２）由题意，得ｙ＋１２＝ ２３（ｘ＋ｙ＋１２）． 由（１）得ｙ＝ ４５ｘ，所以 ４ ５ｘ＋１２＝ ２ ３（ｘ＋ ４ ５ｘ＋ １２）．解得ｘ＝１０．所以ｙ＝８． ２１．（１）Ｐ（指针落在红色区域）＝１４４３６０＝ ２ ５， Ｐ（指针落在白色区域）＝３６０－１４４３６０ ＝ ３ ５． （２）红色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×１３ ＝ １２０°，黄色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×５１２＝ １５０°，绿色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×１４ ＝ ９０°．画图略． ２２．（１）０．６７；　（２）０．７；　（３）０．４； （４）根据题意，得４π０．４＝１０π（平方米）． 答：估计整个封闭图形的面积是１０π平方米． ２３．（１）由表１可知，经过食堂的师生有７０人，使用 共享雨伞的有７人，所以经过食堂的师生使用共享雨伞 的概率是： ７ ７０＝ １ １０． （２）４个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼：２８０×６８０＝２１，图书馆：３３０× ８ １１０＝２４，食 堂：２００×７７０＝２０，宿舍楼：２２５× ６ ９０＝１５． 所以雨天使用共享雨伞的平均人数约为：２１＋２４＋ ２０＋１５＝８０，所以在４个放置区投放雨伞的把数分别为： 教学楼：２４０×２１８０＝６３，图书馆：２４０× ２４ ８０＝７２，食堂：２４０ ×２０８０＝６０，宿舍楼：２４０× １５ ８０＝４５． 所以投放方案是教学楼６３把，图书馆７２把，食堂 ６０把，宿舍４５把． 《三角形》专项练习 １．３；　２．钝角；　３．三角形具有稳定性； ４．９０°或６０°；　５．５０；　６．Ｂ；　７．１９； ８．７；　９．Ｂ；　１０．２０°或８０°． １１．（１）１２； （２）因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°．因 为∠Ｃ＝７０°，所以∠ＤＡＣ＝９０°－∠Ｃ＝２０°．因为∠Ｃ ＝７０°，∠ＢＡＣ＝６０°，所以∠ＡＢＣ＝１８０°－∠Ｃ－∠ＢＡＣ ＝５０°．因为 ＢＦ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＡＢＦ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２５°．所以∠ＡＦＢ＝１８０°－∠ＡＢＦ－∠ＢＡＣ＝ ９５°． １２．①②③④；　１３．２；　１４．１２；　１５．Ｄ；　１６．Ａ． １７．因为点Ｃ是线段ＡＢ的中点，所以ＡＣ＝ＢＣ．因为 ∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥ，所以 ∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＥ＋ ∠ＤＣＥ，即∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ．设ＢＤ与ＡＥ交于点Ｏ，因为 ∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＥ，∠ＤＯＭ＝∠ＥＯＮ，所以１８０°－∠ＤＭＥ －∠ＤＯＭ＝１８０°－∠ＤＮＥ－∠ＥＯＮ，即∠Ｄ＝∠Ｅ．所以 △ＡＣＥ≌△ＢＣＤ（ＡＡＳ）． １８．５５°；　１９．１２． ２０．因为ＤＦ∥ＢＣ，所以∠Ｆ＝∠ＯＧＣ．又因为∠Ｃ ＝∠ＯＧＣ，所以∠Ｆ＝∠Ｃ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，因为 ∠Ｃ＝∠Ｆ，ＡＣ＝ＤＦ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ（ＡＳＡ）．所以ＢＣ＝ＥＦ． ２１．全等三角形的对应角相等． ２２．图略． 《三角形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 二、１１．三角形具有稳定性；　１２．９．５，９．５； １３．１４０°；　１４．１６；　１５．４．２或０．８． 三、１６．（１）由三角形的三边关系，得ａ＋ｃ＞ｂ，ｃ－ａ ＜ｂ．所以原式 ＝ａ＋ｃ－ｂ＋ｃ－ａ－ｂ＝２ｃ－２ｂ． （２）因为△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，所以ＡＥ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＡＣ． 因为Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ和ＡＣ上的点，所以ＡＢ－ＡＤ＝ＡＣ－ ＡＥ，即ＢＤ＝ＣＥ． １７．如图３，△ＡＢＣ和△ＡＢＣ′即为所求． １８．因为∠ＢＣＡ＝４０°，∠ＡＢＣ＝６０°，所以∠ＢＡＣ＝ １８０°－∠ＢＣＡ－∠ＡＢＣ＝８０°．因为ＡＥ是△ＡＢＣ的角平 分线，所以∠ＥＡＣ＝１２∠ＢＡＣ＝４０°．因为ＢＦ是△ＡＢＣ 的高，所以∠ＢＦＡ＝９０°．所以∠ＡＯＦ＝９０°－∠ＥＡＣ＝ ５０°．所以∠ＥＯＦ＝１８０°－∠ＡＯＦ＝１３０°． １９．（１）因为∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ＝９０°，所以∠ＢＣＡ＋ ∠ＡＣＥ＝９０°，∠ＥＣＤ＋∠ＡＣＥ＝９０°．所以 ∠ＢＣＡ＝ ∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＣ中，因为∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ，ＢＣ ＝ＥＣ，∠ＢＣＡ＝∠ＥＣＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ（ＡＳＡ）．所 以ＡＣ＝ＤＣ． （２）由（１）知 ＡＣ＝ＤＣ．因为 ∠ＡＣＤ＝９０°，所以 ∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＣ＝４５°．因为 ＡＣ＝ＡＥ，所以 ∠ＡＣＥ＝ ∠ＡＥＣ＝ １２（１８０°－∠ＣＡＤ）＝６７．５°．所以 ∠ＤＥＣ＝ １８０°－∠ＡＥＣ＝１１２．５°． ２０．因为ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＥ⊥ＣＤ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ ＝９０°．又因为 ∠ＡＣＢ＝６８．２°，所以 ∠ＢＡＣ＝９０°－ ∠ＡＣＢ＝２１．８°＝∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＣＤＥ中，∠ＢＡＣ ＝∠ＤＣＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ，ＢＣ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＣＤＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＣＤ．因为ＣＤ＝１２ｍ，所以ＡＢ ＝１２ｍ，即教学楼高度ＡＢ为１２ｍ． ２１．（１）因为∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，所以∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即 ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ．在 △ＡＣＤ和 △ＢＣＥ中，因为ＣＡ＝ＣＢ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ，ＣＤ＝ＣＥ，所 以△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）．所以ＡＤ＝ＢＥ． （２）△ＣＰＱ为等腰直角三角形．理由如下： 由（１）知ＡＤ＝ＢＥ．因为ＡＤ，ＢＥ的中点分别为点Ｐ， Ｑ，所以ＡＰ＝ＢＱ．因为△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，所以∠ＣＡＰ＝ ∠ＣＢＱ．在△ＡＣＰ和△ＢＣＱ中，因为ＣＡ＝ＣＢ，∠ＣＡＰ＝ ∠ＣＢＱ，ＡＰ＝ＢＱ，所以△ＡＣＰ≌△ＢＣＱ（ＳＡＳ）．所以ＣＰ ＝ＣＱ，∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＱ．又因为∠ＡＣＰ＋∠ＰＣＢ＝９０°， 所以 ∠ＢＣＱ＋∠ＰＣＢ＝９０°，即 ∠ＰＣＱ ＝９０°．所以 △ＣＰＱ为等腰直角三角形． ２２．（１）２４０； （２）因为∠Ａ＝４５°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－ ∠Ａ＝１３５°．因为∠Ｅ＋∠Ｆ＝１０５°，所以∠Ｄ＝１８０°－ （∠Ｅ＋∠Ｆ）＝７５°．所以∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１８０°－∠Ｄ ＝１０５°．所以 ∠ＡＢＤ＋∠ＡＣＤ ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ－ （∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ）＝３０°． （３）不能．理由如下： 由（２）知∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１０５°．若ＢＤ，ＣＤ分别平 分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝２∠ＤＢＣ＋ ２∠ＤＣＢ＝２１０°，与三角形内角和定理相矛盾．所以不能 将△ＤＥＦ摆放到某个位置，使得ＢＤ，ＣＤ分别平分∠ＡＢＣ 和∠ＡＣＢ． ２３．（１）因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°． 因为ＢＥ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＣ＝９０°．所 以∠ＥＡＯ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝９０°．所以 ∠ＥＡＯ＝∠ＥＢＣ．在△ＡＯＥ和△ＢＣＥ中，因为∠ＥＡＯ＝ ∠ＥＢＣ，ＡＥ＝ＢＥ，∠ＡＥＯ ＝∠ＢＥＣ，所以 △ＡＯＥ≌ △ＢＣＥ（ＡＳＡ）．所以ＡＯ＝ＢＣ＝５． （２）如图４，设点 Ｐ的运动时间为 ｘ秒．由已知得 ＯＰ＝ｘ，ＢＱ＝４ｘ．因为 ＡＯ＝５，所以ＡＰ＝ＡＯ－ＯＰ＝５－ｘ．在 △ＡＰＥ和 △ＢＱＥ中，因为 ∠ＡＰＥ ＝ ∠ＢＱＥ，∠ＥＡＰ＝∠ＥＢＱ，ＡＥ＝ＢＥ，所以 △ＡＰＥ≌△ＢＱＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＰ＝ＢＱ． 所以５－ｘ＝４ｘ．解得ｘ＝１．所以点Ｐ的 运动时间是１秒． （３）存在ｔ值，使以点 Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形与以 点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等． 由（１）知△ＡＯＥ≌△ＢＣＥ．所以∠ＡＯＥ＝∠ＢＣＥ．所 以１８０°－∠ＡＯＥ＝１８０°－∠ＢＣＥ，即∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ． ①如图 ５－①，当 ＯＰ＝ＣＱ时，因为 ＯＢ＝ＣＦ， ∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ，所以△ＢＯＰ≌△ＦＣＱ（ＳＡＳ），所以５－ ４ｔ＝ｔ，解得ｔ＝１； ②如图 ５－②，当 ＯＰ＝ＣＱ时，因为 ＯＢ＝ＣＦ， ∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ，所以△ＢＯＰ≌△ＦＣＱ（ＳＡＳ），所以４ｔ－ ５＝ｔ，解得ｔ＝ ５３． 综上所述，存在ｔ值，使以点Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形 与以点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等，符合条件的ｔ值为１ 或 ５ ３． 《图形的轴对称》专项练习 １．Ｂ． ２．如图６                                                                                                                                                                                         ． ! 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