第19章 四边形-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（沪科版 安徽专版）

书 考 点 解 密 考点１：多边形内角和 例１　如图１，正五边形 ＡＢＣＤＥ 中，连接 ＡＣ，则 ∠ＢＡＣ的度数是 ． 解：因为五边形ＡＢＣＤＥ是正五边 形， 所 以 ＡＢ ＝ ＢＣ，∠Ｂ ＝ （５－２）×１８０° ５ ＝１０８°．所以 ∠ＢＡＣ ＝∠ＢＣＡ＝ １２（１８０°－∠Ｂ）＝３６°．故填３６°． ●专项练习 １．一个ｎ边形从一个顶点可引３条对角线，则ｎ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６ Ｂ．５ Ｃ．４ Ｄ．３ ２．图２－①所示的是一把木工台锯时使用的六角 尺，它能提供常用的几种测量角度．在图２－②所示的六 角尺示意图中，ｘ的值是 ． 例２　我国古建筑墙上采用的八角 形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之 境如同镶嵌于一个画框之中．如图３是八 角形空窗的示意图，它的一个外角∠１＝ （　　） Ａ．４５° Ｂ．６０° Ｃ．１１０° Ｄ．１３５° 解：因为正八边形的外角和是３６０°，所以它的每一 个外角为：３６０°÷８＝４５°．故选Ａ． ●专项练习 ３．一个多边形的每个外角都是４０°，则这个多边形 的内角和是 ． 考点２：平行四边形的性质 例３　如图４，在 ＡＢＣＤ中， ＢＤ＝ＣＤ，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ．若∠Ｃ ＝７０°，则∠ＢＡＥ＝ °． 解：因为ＢＤ＝ＣＤ，∠Ｃ＝７０°， 所以∠ＤＢＣ＝７０°．所以∠ＢＤＣ＝ １８０°－∠Ｃ－∠ＤＢＣ＝４０°．因为四 边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ．所以∠ＡＢＤ＝ ∠ＢＤＣ＝４０°．因为 ＡＥ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＡＥＢ＝９０°．所以 ∠ＢＡＥ＝９０°－∠ＡＢＥ＝５０°．故填５０． ●专项练习 ４．在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＋∠Ｃ＝１００°，则∠Ｄ ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５０° Ｂ．８０° Ｃ．１００° Ｄ．１３０° ５．如图５，ＡＢＣＤ的顶点坐标 分别为 Ａ（１，４），Ｂ（１，１），Ｃ（５，２）， 则点Ｄ的坐标为 （　　） Ａ．（５，５） 　　Ｂ．（５，６） Ｃ．（６，６） 　　Ｄ．（５，４） ６．如图６，已知直线ｌ１∥ｌ２，点Ａ在直线ｌ１上，点Ｂ，Ｃ 在直线ｌ２上，ＡＣ⊥ｌ２．如果ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，则平 行线ｌ１，ｌ２之间的距离是 ｃｍ． ７．如图７，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ相交 于点Ｏ，ＡＢ⊥ ＡＣ．若 ＡＢ＝８，ＡＣ＝１２，则 ＢＤ的长是 ． 考点３：平行四边形的判定 例４　 如图 ８，已知 ＥＦ∥ ＡＣ，Ｂ，Ｄ分别是 ＡＣ和 ＥＦ上的 点，∠ＥＤＣ＝∠ＣＢＥ．求证：四边 形ＢＣＤＥ是平行四边形． 证明：因为 ＥＦ∥ ＡＣ，所以 ∠ＥＤＣ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠ＥＤＣ＝∠ＣＢＥ，所以∠ＣＢＥ ＋∠Ｃ＝１８０°．所以ＥＢ∥ＤＣ．所以四边形ＢＣＤＥ是平行 四边形． ●专项练习 ８．依据所标数据，一定是平行四边形的是 （　　） ９．如图９，已知ＡＢ∥ＣＤ，增加下列条件可以使四边 形ＡＢＣＤ成为平行四边形的是 （　　） Ａ．∠１＝∠２ Ｂ．ＡＤ＝ＢＣ Ｃ．ＯＡ＝ＯＣ Ｄ．ＡＤ＝ＡＢ １０．如图１０，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ边的中点，连接ＢＤ 并延长至点Ｅ，使ＤＥ＝ＢＤ，延长ＢＣ至点Ｆ，使ＣＦ＝ＢＣ， 连接ＡＥ，ＥＦ．求证：四边形ＡＣＦＥ是平行四边形． 考点４：三角形的中位线定理 例５　 如图１１，Ａ，Ｂ两点被 池塘隔开，Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线．设 ＡＣ，ＢＣ的中点分别为 Ｍ，Ｎ．若 ＭＮ＝３米，则ＡＢ＝ （　　） Ａ．４米 　　Ｂ．６米 Ｃ．８米 　　Ｄ．１０米 解：因为Ｍ，Ｎ分别是ＡＣ，ＢＣ的中点，所以ＡＢ＝２ＭＮ ＝６米．故选Ｂ． ●专项练习 １１．如图１２，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＢＣ＝１４，ＢＤ是ＡＣ边上的高，垂足为 Ｄ，点Ｆ在ＢＣ边上，连接ＡＦ，Ｅ为 ＡＦ 的中点，连接ＤＥ．若ＤＥ＝５，则ＢＦ的 长是 ． 考点５：矩形的性质 例 ６　 如图 １３，Ｏ是矩形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ的中点，Ｅ为 ＡＤ的中点．若ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，则 △ＢＯＥ的周长为 （　　） 槡Ａ．１０ Ｂ．８＋２５ 槡Ｃ．８＋２ １３ Ｄ．１４ （下转第２５版                                                                                 ） 书 知 识 回 顾 １．多边形内角和 （１）ｎ边形的内角和等于 （ｎ为不小于３ 的整数）； （２）ｎ边形的外角和等于 （ｎ为不小于３ 的整数）． ２．平行四边形的性质 （１）定义：两组对边分别 的四边形叫做 平行四边形． （２）性质： ①平行四边形的对边 ； ②平行四边形的对角 ； ③平行四边形的对角线 ． （３）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一 条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离．两条平 行线之间的距离 ． ３．平行四边形的判定 （１）定义； （２）一组对边 的四边形是平行四边形； （３）两组对边分别 的四边形是平行四边 形； （４）对角线 的四边形是平行四边形； （５）两组 分别相等的四边形是平行四边 形． ４．三角形中位线定理 三角形两边中点连线 于第三边，并且 第三边的一半． ５．矩形的性质 （１）定义：有一个角是 的平行四边形叫 做矩形． （２）性质： ①具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是 ； ③矩形的对角线 ； ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ． ６．矩形的判定 （１）定义； （２）对角线相等的 是矩形； （３）三个角是 的四边形是矩形． ７．菱形的性质 （１）定义：有一组邻边 的平行四边形叫 做菱形． （２）性质： ①具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边都 ； ③菱形的对角线互相 ，并且每一条对角 线 一组对角； ④菱形的面积等于 （适用于所 有对角线互相垂直的四边形）． ８．菱形的判定 （１）定义； （２）四边都 的四边形是菱形； （３）对角线互相 的平行四边形是菱形． ９．正方形的性质 （１）定义：有一个角是 ，且有一组邻边 的平行四边形叫做正方形． （２）性质： ①具有 、 和 的所有性 质； ② 正方形的四条边都 ，四个角都是 ； ③正方形的对角线 且互相 ． １０．正方形的判定 （１）定义； （２）先判定四边形是矩形，再判定它是菱形； （３）先判定四边形是菱形，再判定它是矩形． ! " # $ !" ! !" # $ !"# $%!&# '# (# ) * # %&'()*+,- ! ! " ! " ! # !$%! &$'! !"(! !! +!"),! +$!#&$',! $ % & ' ( ! & % & ( $ ' ! * ! % $ ' & ) * ! ( + # + & % ' & ! % ! + % $ ) ' & % & ' ,$ ( ! , ( &&'! +'! ( &&'! +'! ( ( &&'! ,'! &''! ( ( ( - . / 0 % & $ ) ! ' $ ! ) ! !' , % & $ (' & -% . ' ! !! % $ ' ( , & ! !$ % $ ( ) ' & ! !" 书 （下转第２４版） 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，所以ＣＤ ＝６，ＡＤ＝８，∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝９０°．因为点Ｏ是ＡＣ的中 点，Ｅ为ＡＤ的中点，所以ＯＥ＝１２ＣＤ＝３，ＡＥ＝ １ ２ＡＤ＝４． 根据勾股定理，得 ＢＥ＝ ＡＢ２＋ＡＥ槡 ２ ＝ 槡２ １３，ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０．所以ＢＯ＝１２ＡＣ＝５．所以△ＢＯＥ的周 长为：ＢＯ＋ＯＥ＋ＢＥ＝８＋ 槡２ １３．故选Ｃ． ●专项练习 １２．在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ＝４，点Ｄ为ＡＣ的 中点，则ＢＤ的长为 ． １３．如图１４，在矩形ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ， 过点Ｏ作ＥＦ⊥ＡＣ交ＡＤ于点 Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ．已知ＡＢ＝４， △ＡＯＥ的面积为５，则ＤＥ的长 为 （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．３ １４．如图１５，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，ＡＢ＝ＢＯ，ＡＥ平分∠ＢＡＤ交ＢＣ于点Ｅ，点Ｅ，Ｆ关于 ＡＣ对称，连接ＥＦ，则∠ＡＥＦ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．９０° Ｂ．８５° Ｃ．７５° Ｄ．无法确定 １５．如图１６，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＡＤ＝２，点Ｅ 在ＡＤ上，点Ｆ在ＢＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ，连接ＣＥ，ＤＦ，则ＣＥ ＋ＤＦ的最小值为 ． 考点６：矩形的判定 例 ７　 如图 １７，点 Ｍ 在 ＡＢＣＤ的ＡＤ边上，ＢＭ ＝ＣＭ， 请从以下三个选项中：①∠１＝ ∠２；②ＡＭ ＝ＤＭ；③∠３＝∠４， 选择一个合适的选项作为已知 条件，使ＡＢＣＤ是矩形． （１）你添加的条件是 （填序号）； （２）添加条件后，请证明ＡＢＣＤ是矩形． 解：（１）①（或②）； （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ∥ ＤＣ，ＡＢ＝ＤＣ．所以∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°． 选择①．证明如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中，因为ＡＢ＝ＤＣ，∠１＝∠２， ＢＭ＝ＣＭ，所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（ＳＡＳ）．所以∠Ａ＝∠Ｄ ＝９０°．所以ＡＢＣＤ是矩形． 选择②．证明如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中，因为ＡＢ＝ＤＣ，ＡＭ＝ＤＭ， ＢＭ＝ＣＭ，所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（ＳＳＳ）．所以∠Ａ＝∠Ｄ ＝９０°．所以ＡＢＣＤ是矩形． ●专项练习 １６．如图１８，平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相 交于点 Ｏ，且 ＯＡ＝ＯＢ，∠ＯＡＤ ＝６５°，则 ∠ＯＤＣ＝ ． １７．如图 １９，已知 ＡＢ∥ ＤＥ，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＦＤ， ∠ＣＥＦ＝９０°．求证： （１）△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ； （２）四边形ＢＣＥＦ是矩形． 考点７：菱形的性质 例８　如图２０，菱形ＡＢＣＤ 中，连接ＡＣ，ＢＤ．若∠１＝２０°， 则∠２的度数为 （　　） Ａ．２０° 　　Ｂ．６０° Ｃ．７０° 　　Ｄ．８０° 解：因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ ＢＤ．所以∠ＤＣＡ＝∠１＝２０°．所以∠２＝９０°－∠ＤＣＡ ＝７０°．故选Ｃ． ●专项练习 １８．将两个完全相同的菱形按如图２１方式放置．若 ∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＢＥ＝β，则β＝ （　　） Ａ．４５°＋１２α Ｂ．４５°＋ ３ ２α Ｃ．９０°－１２α Ｄ．９０°－ ３ ２α １９．如图２２，已知菱形ＡＢＣＤ的面积等于２４，ＢＤ＝８， 则 （１）ＡＣ＝ ； （２）点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ边上的点， 且ＢＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＡＨ，则ＥＦ＋ＧＨ＝ ． 考点８：菱形的判定 例９　 如图２３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，点 Ｅ在 ＤＡ的延长线上，连接ＢＥ，过点Ｃ作ＣＦ ∥ＢＥ交 ＡＤ的延长线于点 Ｆ，连接 ＢＦ，ＣＥ．求证：四边形ＢＥＣＦ是菱形． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边 上的中线，所以ＡＤ垂直平分ＢＣ．所以 ＥＢ＝ＥＣ，ＦＢ＝ＦＣ．因为ＣＦ∥ＢＥ，所 以∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ，∠ＥＢＤ＝∠ＦＣＤ．又因为ＢＤ＝ＣＤ， 所以△ＥＢＤ≌△ＦＣＤ（ＡＡＳ）．所以ＢＥ＝ＣＦ．所以ＥＢ＝ ＦＢ＝ＦＣ＝ＥＣ．所以四边形ＢＥＣＦ是菱形． ●专项练习 ２０．如图２４，在四边形ＡＢＣＤ中，Ｏ为ＤＡ边上一点， 连接ＣＯ并延长与ＢＡ的延长线交于点Ｅ，且点Ａ恰好为 ＢＥ的中点，ＯＤ＝ １２ＤＣ，△ＡＯＥ≌△ＤＯＣ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形； （２）若∠Ｅ＝３０°，ＢＣ＝６，菱形ＡＢＣＤ的面积等于 槡１８３，求ＥＣ的长． ２１．如图２５，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ 于点Ｏ，点Ｅ是ＤＢ延长线上一点，ＯＥ＝ＯＤ，ＢＦ⊥ＡＥ于 点Ｆ． （１）求证：四边形ＡＥＣＤ是菱形； （２）若ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＯＢ＝３，ＢＥ＝５，求ＥＦ和ＡＤ 的长． 考点９：正方形的性质 例１０　如图２６，在正方形ＡＢＣＤ中， Ｏ为对角线 ＡＣ的中点，Ｅ为正方形内一 点，连接ＢＥ，ＢＥ＝ＢＡ，连接ＣＥ并延长，与 ∠ＡＢＥ的平分线交于点Ｆ，连接ＯＦ．若ＡＢ ＝２，则ＯＦ的长度为 （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．２ 解：如图２６，连接ＡＦ．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以ＡＢ＝ＢＣ＝２，∠ＡＢＣ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２２．因为ＢＥ＝ＢＡ，所以ＢＥ＝ＢＣ．所以 ∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ．所以 ∠ＥＢＣ＝１８０°－２∠ＢＥＣ．所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＥＢＣ＝２∠ＢＥＣ－９０°．因为ＢＦ平分 ∠ＡＢＥ，所以 ∠ＡＢＦ＝∠ＥＢＦ＝ １２∠ＡＢＥ＝∠ＢＥＣ－ ４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＢＥＣ－∠ＥＢＦ＝４５°．在△ＢＡＦ和 △ＢＥＦ中，因为ＡＢ＝ＥＢ，∠ＡＢＦ＝∠ＥＢＦ，ＢＦ＝ＢＦ，所 以△ＢＡＦ≌△ＢＥＦ（ＳＡＳ）．所以∠ＢＦＥ＝∠ＢＦＡ＝４５°． 所以∠ＡＦＣ＝∠ＢＦＡ＋∠ＢＦＥ＝９０°．因为Ｏ为对角线 ＡＣ的中点，所以ＯＦ＝ １２ＡＣ＝槡２．故选Ｄ． ●专项练习 ２２．如图２７，点Ｅ是正方形ＡＢＣＤ对角线ＢＤ上一点， 点Ｆ在ＢＣ上且ＥＦ＝ＥＣ，连接ＡＥ，ＡＦ．若∠ＥＣＦ＝α， ∠ＡＦＢ＝β，则 （　　） Ａ．β－α＝１５° Ｂ．α＋β＝１３５° Ｃ．２β－α＝９０° Ｄ．２α＋β＝１８０° ２３．如图２８，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＢＣ边上的点，连 接ＡＥ，作ＡＥ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｇ，交ＣＤ于点Ｆ，连 接ＧＥ．已知ＢＧＢＥ＝ ３ ４． （１）若正方形ＡＢＣＤ的边长为４，求ＢＧ的长； （２）求证：ＤＦＣＦ＝ １ ７． 考点１０：正方形的判定 例１１　如图２９，ＡＢＣＤ的 对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，分别以 点Ｂ，Ｃ为圆心，１２ＡＣ， １ ２ＢＤ的长 为半径画弧，两弧交于点Ｐ，连接 ＢＰ，ＣＰ． （１）试判断四边形ＢＰＣＯ的形状，并说明理由； （２）请说明当 ＡＢＣＤ的对角线满足什么条件时， 四边形ＢＰＣＯ是正方形？ 解：（１）四边形ＢＰＣＯ是平行四边形．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＣ＝１２ＡＣ， ＯＢ＝ １２ＢＤ．因为分别以点Ｂ，Ｃ为圆心， １ ２ＡＣ， １ ２ＢＤ的 长为半径画弧，两弧交于点Ｐ，所以ＣＰ＝ＯＢ，ＢＰ＝ＯＣ． 所以四边形ＢＰＣＯ是平行四边形． （２）当ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ时，四边形ＢＰＣＯ是正方 形．理由如下： 因为 ＡＣ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＢＯＣ＝９０°．所以四边形 ＢＰＣＯ是矩形．因为ＡＣ＝ＢＤ，所以ＯＢ＝ＯＣ．所以四边形 ＢＰＣＯ是正方形． ●专项练习 ２４．当一个四边形的两组对边分别平行，四条边都相 等，四个角都相等时，这个四边形是 （　　） Ａ．平行四边形 Ｂ．正方形 Ｃ．菱形 Ｄ．矩形 ２５．如 图 ３０，ＡＢＣＤ 中，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ ＣＤ，ＣＦ ＝ＣＤ，ＣＦ交ＤＢ的延长线于 点Ｆ；过点Ｃ作ＣＥ∥ＤＢ，交 ＡＢ的延长线于点 Ｅ，ＢＥ交 ＣＦ于点Ｏ，连接ＥＦ，ＡＢ＝２ＢＯ＝４． （１）求ＯＥ的长； （２）求证：四边形ＢＣＥＦ是正方形． （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                                                                                                                         ） !" ! " # $ ! " # $ % & ' ! !" ! $ " % # & ' ! !# ! !$ " ! $ % ' & ! % " & & ! " (' ! !' ' & ! # " ! !( ! !) & ! " % $ ' & ! % ! ' " ! %* ) * ! % $ " ! & " ' ! %! ! %% ! * " ) ' % $ & ! " $ ' % & ! %& & ! ' # " % ! %" ! %# ! " # & % $ ' ! & # % " $ ' ! %$ ! " % $ & ' ! %' ! %( ! % & * $ " ' + ! " # ' & ! %) " ' & $ # ! % ! &* ! " # $ !" 书 （３）ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝－１； （４）ｘ１ ＝ｘ２ ＝１． ８．Ｂ；　９．ｍ≥－１８且ｍ≠０． １０．（１）根据题意，得Δ＝（－２ｋ）２－４（ｋ２－１）＝４ ＞０．所以不论ｋ取何值，方程总有两个不相等的实数根． （２）由求根公式，得ｘ＝２ｋ±槡４２ ＝ｋ±１．所以ｘ１＝ ｋ＋１，ｘ２＝ｋ－１．当ｋ＋１＝５时，ｋ＝４；当ｋ－１＝５时， ｋ＝６． 综上所述，ｋ的值是４或６． １１．Ｃ；　１２．Ｂ；　１３．３；　１４．Ａ；　１５．３６． １６．（１）设土豆的平均亩产量的年增长率为ｘ． 根据题意，得１０００（１＋ｘ）２ ＝１４４０． 解得ｘ１＝０．２＝２０％，ｘ２＝－２．２（不合题意，舍去）． 答：土豆的平均亩产量的年增长率为２０％． （２）设该合作社增加土豆种植面积 ａ亩，才能保证 土豆种植的总成本不变． 根据题意，得（１００＋ａ）（１２００－１０ａ）＝１２００×１００． 解得ａ１ ＝２０，ａ２ ＝０（不合题意，舍去）． 答：该合作社增加土豆种植面积２０亩，才能保证土 豆种植的总成本不变． 《一元二次方程》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．２ｘ２－４ｘ－１＝０；　１０．－２；　１１．８； １２．１或２． 三、１３．（１）ｘ１ ＝ ５ ３，ｘ２ ＝－ １ ３； （２）ｘ１ ＝ ４ ３，ｘ２ ＝－２； （３）ｘ１ ＝ｘ２ ＝槡 ３ ３． １４．由题意，得ｍ２－３ｍ＋２＝０，ｍ－１≠０．解得ｍ＝ ２． １５．（１）根据题意，得Δ＝［－（ｋ＋３）］２－４×１×（２ｋ ＋２）＝ｋ２－２ｋ＋１＝（ｋ－１）２≥０．所以该方程总有两 个实数根． （２）解ｘ２－（ｋ＋３）ｘ＋２ｋ＋２＝０，得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ ｋ＋１．因为方程有一个根小于 －３，所以ｋ＋１＜－３．解得 ｋ＜－４． １６．（１）△ＡＢＣ是等腰三角形．理由如下： 把ｘ＝－１代入方程（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ｂ－ｃ）＝０， 得ａ＋ｃ－２ｂ＋ｂ－ｃ＝０．解得ａ＝ｂ．所以△ＡＢＣ是等腰 三角形． （２）因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ａ＝ｂ＝ｃ．此时 方程（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ｂ－ｃ）＝０可化为ｘ２＋ｘ＝０．解 得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－１． １７．（１）１３．４． （２）设需要销售ｘ辆汽车，则每辆汽车的销售利润 为１５－［１３．５－０．０５（ｘ－１）］＝（０．０５ｘ＋１．４５）万元． 当ｘ≤１０时，（０．０５ｘ＋１．４５）ｘ＋０．２５ｘ＝１２．整理， 得ｘ２＋３４ｘ－２４０＝０．解得ｘ１＝６，ｘ２＝－４０（不合题意， 舍去）． 当ｘ＞１０时，（０．０５ｘ＋１．４５）ｘ＋０．７ｘ＝１２．整理，得 ｘ２＋４３ｘ－２４０＝０．解得ｘ１ ＝５（不合题意，舍去），ｘ２ ＝ －４８（不合题意，舍去）． 答：需要销售６辆汽车． 《一元二次方程》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ 二、９．１；　１０．－１；　１１．２０２５；　１２．３． 三、１３．（１）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－ １ ２； （２）ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３； （３）ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－ ２ ５． １４．设应减少ｘ条生产线． 根据题意，得（８０－ｘ）（８＋４１０ｘ）＝８４０． 解得ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝５０． 因为ｘ≤８０×２０％ ＝１６，所以ｘ＝１０． 答：应减少１０条生产线． １５．因为ｐ是方程的一个实数根，所以ｐ２－２ｐ＋ｎ－１ ＝０，即ｐ２－２ｐ＝１－ｎ．因为（ｐ２－２ｐ＋３）（ｎ＋４）＝７， 所以（１－ｎ＋３）（ｎ＋４）＝７．解得ｎ＝３或ｎ＝－３．因 为关于ｘ的一元二次方程有实数根，所以 Δ≥ ０，即 （－２）２－４（ｎ－１）≥０．解得ｎ≤２．所以ｎ＝－３． １６．（１）根据题意，得Δ＝［－（２ｋ－１）］２－４（ｋ２－２） ＝９－４ｋ≥０．解得ｋ≤ ９４． （２）因为ｋ是符合条件的最大整数，所以ｋ＝２．此时 原方程为ｘ２－３ｘ＋２＝０．解得ｘ１＝１，ｘ２＝２．因为一元 二次方程（ｍ－１）ｘ２＋ｘ＋ｍ－３＝０与方程ｘ２－（２ｋ－１）ｘ ＋ｋ２－２＝０有一个相同的根，所以当ｘ＝２时，４（ｍ－１） ＋２＋ｍ－３＝０．解得ｍ＝１（不合题意，舍去）．当ｘ＝１ 时，ｍ－１＋１＋ｍ－３＝０．解得ｍ＝ ３２． １７．（１）２． （２）（ｙ２－３ｙ）２－４ｙ２＋１２ｙ＝（ｙ２－３ｙ）２－４（ｙ２－３ｙ） ＝（ｙ２－３ｙ）（ｙ２－３ｙ－４）＝０．所以ｙ２－３ｙ＝０或ｙ２－ ３ｙ－４＝０．解方程ｙ２－３ｙ＝０，得ｙ１＝０，ｙ２＝３；解方程 ｙ２－３ｙ－４＝０，得ｙ３＝－１，ｙ４＝４．所以原方程的解为ｙ１ ＝０，ｙ２ ＝３，ｙ３ ＝－１，ｙ４ ＝４． 《勾股定理》专项练习 １．Ｂ；　２．８． ３．连接ＢＥ，图略．由尺规作图可知ＭＮ为ＡＢ的垂直 平分线．因为ＣＥ＝ １３ＡＥ＝１，所以ＡＥ＝３．所以ＡＣ＝ ＡＥ＋ＣＥ＝４，ＢＥ＝ＡＥ＝３．在Ｒｔ△ＥＣＢ中，由勾股定理， 得ＢＣ＝ ＢＥ２－ＣＥ槡 ２ ＝ 槡２２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定 理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２６． ４．Ｄ． ５．在△ＡＣＤ中，ＡＣ２ ＝２５，ＣＤ２ ＝１，ＡＤ２ ＝２６．因为 ＡＣ２＋ＣＤ２ ＝ＡＤ２，所以△ＡＣＤ是直角三角形，且∠Ｃ＝ ９０°．因为ＢＤ＝４，ＣＤ＝１，所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５．在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡５２． ６．１０． ７．（１）在 Ｒｔ△ＭＮＢ中，ＢＮ ＝ ＢＭ２－ＭＮ槡 ２ ＝ ４５ｍ．所以ＡＮ＝ＡＢ－ＢＮ＝８０ｍ．在Ｒｔ△ＡＭＮ中，ＡＭ＝ ＡＮ２＋ＭＮ槡 ２ ＝１００ｍ．所以供水点Ｍ到喷泉Ａ，Ｂ需要 铺设的管道总长为：ＡＭ＋ＢＭ ＝１７５ｍ． （２）因为ＡＢ＝１２５ｍ，ＡＭ＝１００ｍ，ＢＭ＝７５ｍ．所 以ＡＢ２ ＝ＢＭ２ ＋ＡＭ２．所以 △ＡＢＭ是直角三角形，且 ∠ＡＭＢ＝９０°．所以ＢＭ⊥ＡＣ．所以喷泉Ｂ到小路ＡＣ的 最短距离是７５ｍ． 《勾股定理》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ 二、９．１５；　１０．９０；　１１．１５；　１２．４； 三、１３．因为ＡＣ２＋ＤＣ２ ＝３＋２＝５＝ＡＤ２，所以 △ＡＤＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾 股定理，得ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝槡３ｃｍ．所以ＢＤ＝ＢＣ －ＤＣ＝（槡３－槡２）ｃｍ． １４．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２＝ＡＤ２－ＡＢ２＝４５．在△ＢＣＤ 中，ＢＣ２＋ＣＤ２＝４５．所以ＢＣ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２．所以∠ＢＣＤ ＝９０°，即ＢＣ⊥ＣＤ．所以该车符合安全标准． １５．因为 ＡＢ⊥ ＡＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，ＢＣ＝１７米，ＡＢ ＝８米，由勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＢＣ２－ＡＢ槡 ２ ＝１５米．所以ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＝３５米．在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得 ＢＤ ＝ ＡＤ２＋ＡＢ槡 ２ ＝ 槡１２８９≈３６米． 答：钢丝绳ＢＤ的长度约为３６米． １６．如图，将长方体沿侧面展 开，当动点Ｑ在第５秒拦截动点Ｐ 时，Ｃ１Ｐ＝５．所以 ＣＰ＝ＣＣ１ － Ｃ１Ｐ＝６．因为ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ ８，所以ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＣＰ槡 ２ ＝１０． 所以点Ｑ的速度为：１０５＝２（单位 ／秒）． 答：动点Ｑ的速度至少应设定为２单位 ／秒． １７．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＢＤ＝ ＡＤ＝ 槡２３．因为ＢＣ ２＋ＢＤ２＝１２＋（槡２３） ２＝１３＝ＣＤ２， 所以∠ＣＢＤ＝９０°． （２）过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｆ，图略， 则 ∠ＢＦＣ＝９０°．由题意，得 ＣＦ＝槡３２．所以 ＢＦ ＝ ＢＣ２－ＣＦ槡 ２ ＝１２．因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＤＥＢ＝９０°． 因为ＤＥ＝槡３，ＢＤ＝ 槡２３，所以ＢＥ＝ ＢＤ ２－ＤＥ槡 ２ ＝３． 所以ＥＦ＝ＢＥ＋ＢＦ＝７２．在Ｒｔ△ＣＥＦ中，由勾股定理， 得ＣＥ＝ ＥＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝槡１３． 《勾股定理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．５；　１０．３－槡５；　１１．２０；　１２．２或 槡２７． 三、１３．根据题意，得５２＋（ｘ－２）２＝（ｘ＋１）２．解得ｘ＝ １４ ３． １４．△ＡＢＤ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ ＝ＢＣ＝２，由勾股定理，得ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝８．因为 ＡＢ２＋ＢＤ２＝８＋２２＝１２，ＡＤ２＝１２，即ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２， 所以△ＡＢＤ是直角三角形． １５．因为ＭＮ⊥ＡＢ，所以∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ＝９０°．所 以ＢＮ２＝ＢＭ２－ＭＮ２，ＡＮ２＝ＡＭ２－ＭＮ２．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＭ２－ＢＭ２．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＡＭ２＝ＡＣ２＋ＣＭ２． 所以ＡＮ２－ＢＮ２＝ＡＣ２＋ＣＭ２－ＢＭ２．因为ＡＭ是中线，所 以ＢＭ ＝ＣＭ．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １６．（１）△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ２＋ＢＣ２＝１６０２＋１２０２＝４００００，ＡＢ２＝２００２ ＝４００００，即ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＢＣ是直角三角 形． （２）甲方案所修的水渠较短．理由如下： 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＨ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ，所以ＣＨ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝９６ｍ．因为 ＡＣ＋ＢＣ＝２８０ｍ，ＣＨ＋ＡＢ＝ ２９６ｍ，即ＡＣ＋ＢＣ＜ＣＨ＋ＡＢ，所以甲方案所修的水渠较 短． １７．（１）因为ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，所以ａ＝ｃ，ｂ＞ｃ． 因为△ＡＢＣ是“类勾股三角形”，所以ａｃ＋ａ２ ＝ｂ２，即ｃ２ ＋ａ２ ＝ｂ２．所以△ＡＢＣ是等腰直角三角形．所以 ∠Ａ＝ ４５°． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．由题意，得ＡＤ ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ａ．所以ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｃ－ａ．因为ＣＧ ⊥ＡＢ，所以ＤＧ＝ＢＧ＝１２（ｃ－ａ）．所以ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ ＝ａ＋１２（ｃ－ａ）＝ １ ２（ａ＋ｃ）．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ ２＝ＡＣ２ －ＡＧ２ ＝ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２．在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＣＧ２ ＝ＢＣ２ －ＢＧ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．所以ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２＝ ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．整理，得ｂ２＝ａｃ＋ａ２．所以△ＡＢＣ是 “类勾股三角形”． 《四边形》专项练习 １．Ａ；　２．１１２．５；　３１．１２６０°．　４．Ｄ；　５．Ａ； ６．３；　７．２０；　８．Ｂ；　９．Ｃ． １０．连接ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ ＝ＣＤ．因为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形． 所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ． 所以四边形ＡＣＦＥ是平行四边形． １１．４；　１２．２；　１３．Ｄ；　１４．Ｃ； 槡　１５．２２； １６．２５°． １７．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ ＦＤ，所以ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即ＡＦ＝ＤＣ．在△ＡＢＦ和 △ＤＥＣ中，因为 ＡＦ＝ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＦ≌△ＤＥＣ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝ ∠ＥＣＤ．所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠                                                                                                                                                                                         ＢＦＣ＝ ! " # # ! $!%" ! ! " ! " # 书 ∠ＥＣＦ．所以ＥＣ∥ＢＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形． 因为∠ＣＥＦ＝９０°，所以四边形ＢＣＥＦ是矩形． １８．Ｄ；　１９．（１）６，（２）６． ２０．（１）因为△ＡＯＥ≌△ＤＯＣ，所以ＯＡ＝ＯＤ，ＡＥ＝ ＣＤ，∠Ｅ＝∠ＤＣＯ．所以ＣＤ∥ＡＢ．因为点Ａ为ＢＥ的中 点，所以ＡＥ＝ＡＢ．所以ＣＤ＝ＡＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平 行四边形．因为 ＯＤ＝ １２ＤＣ，ＯＤ＝ １ ２ＡＤ，所以 ＡＤ＝ ＤＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）过点Ｃ作ＣＦ⊥ ＡＢ于点 Ｆ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ＝６．因为菱形ＡＢＣＤ的面积 等于 槡１８３，所以ＡＢ边上的高ＣＦ＝ 槡１８３÷６＝ 槡３３．因 为∠Ｅ＝３０°，所以ＥＣ＝２ＣＦ＝ 槡６３． ２１．（１）因为ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ．因 为ＯＥ＝ＯＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为 ＡＣ ⊥ＢＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＣＦ⊥ＡＥ，ＯＥ⊥ＯＡ，所以 ＢＦ ＝ ＯＢ ＝ ３，∠ＡＯＥ ＝ ９０°．所 以 Ｒｔ△ＡＦＢ≌ Ｒｔ△ＡＯＢ（ＨＬ）．所以ＡＦ＝ＯＡ．因为ＢＥ＝５，所以ＥＦ＝ ＢＥ２－ＢＦ槡 ２ ＝４，ＯＥ＝ＯＢ＋ＢＥ＝８．在Ｒｔ△ＡＯＥ中，根 据勾股定理，得ＯＡ２＋ＯＥ２ ＝ＡＥ２，即（ＡＥ－４）２＋８２ ＝ ＡＥ２．解得ＡＥ＝１０．因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，所以ＡＤ＝ ＡＥ＝１０． ２２．Ｂ． ２３．因为ＢＧＢＥ＝ ３ ４，所以设ＢＧ＝３ｘ，则ＢＥ＝４ｘ．因为 四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ∠Ｂ＝９０°．所以 ＥＧ＝ ＢＧ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５ｘ．因为ＦＧ是 ＡＥ的垂直平分线，所以 ＡＧ＝ＥＧ＝５ｘ．所以ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝８ｘ． （１）因为正方形ＡＢＣＤ的边长为４，所以８ｘ＝４．解得 ｘ＝ １２．所以ＢＧ＝３ｘ＝ ３ ２． （２）连接 ＡＦ，ＥＦ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方 形，所以ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝８ｘ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．所以ＣＥ ＝ＢＣ－ＢＥ＝４ｘ．因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＦ ＝ＥＦ．所以ＡＤ２＋ＤＦ２ ＝ＣＥ２＋ＣＦ２，即（８ｘ）２＋ＤＦ２ ＝ （４ｘ）２＋（８ｘ－ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ｘ．所以ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ ＝７ｘ．所以ＤＦＣＦ＝ １ ７． ２４．Ｂ． ２５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ ＣＤ，ＣＤ＝ＡＢ＝４．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以四边形ＥＣＤＢ是平 行四边形．所以ＢＥ＝ＣＤ＝４．因为２ＢＯ＝４，所以ＢＯ＝ ２．所以ＯＥ＝ＢＥ－ＢＯ＝２． （２）由（１），得ＯＢ＝ＯＥ＝２．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以 ∠ＣＥＯ ＝∠ＦＢＯ，∠ＥＣＯ ＝∠ＢＦＯ．所以 △ＣＯＥ≌ △ＦＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＯＣ＝ＯＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行 四边形．因为ＡＢ∥ＣＤ，ＣＦ⊥ＣＤ，所以ＣＦ⊥ＯＢ．所以四 边形ＢＣＥＦ是菱形．因为ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＣＤ，所以ＢＥ＝ ＣＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是正方形． 《四边形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３９；　１０．７０°；　１１．槡５－１； １２．０．５或４．５． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，所以ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ．所以∠ＤＡＦ＝∠ＢＣＥ．因为ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ ⊥ＡＣ，所以 ∠ＣＥＢ＝∠ＡＦＤ ＝９０°．所以 △ＡＤＦ≌ △ＣＢＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＦ＝ＣＥ． １４．取ＢＣ的中点Ｈ，连接ＥＨ，ＦＨ，图略．因为Ｅ，Ｆ分 别是ＡＢ，ＣＤ的中点，所以 ＥＨ＝ １２ＡＣ＝２ｃｍ，ＦＨ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ，ＥＨ∥ＡＣ，ＦＨ∥ＢＤ．因为ＡＣ⊥ＢＤ，所以 ∠ＥＨＦ＝９０°．在 Ｒｔ△ＥＨＦ中，由勾股定理，得 ＥＦ＝ ＥＨ２＋ＦＨ槡 ２ ＝槡１３ｃｍ． １５．（１）因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ ＣＤ，ＡＢ＝ＢＣ．因为四边形ＡＦＣＧ是矩形，所以ＣＧ∥ＡＦ． 所以∠ＣＤＯ＝∠ＡＢＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＡＯ．所以△ＣＯＤ≌ △ＡＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＣＤ＝ＡＢ．所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ． 所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ＤＢ． 因为ＡＤ＝ＡＢ，所以 △ＡＤＢ是等边三角形．所以 ∠ＤＢＡ ＝６０°．因为ＣＤ∥ＡＢ，所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＡ＝６０°． １６．（１）因为 ＥＦ∥ ＡＣ，所以 ∠ＥＦＤ＝∠ＯＣＤ．在 △ＯＤＣ和△ＥＤＦ中，因为 ∠ＯＣＤ＝∠ＥＦＤ，ＤＣ＝ＤＦ， ∠ＣＤＯ＝∠ＦＤＥ，所以△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）． （２）四边形ＯＣＥＦ是正方形．证明如下： 因为△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ，所以 ＯＤ＝ＥＤ．因为 ＤＦ＝ ＤＣ，所以四边形ＯＣＥＦ是平行四边形．因为ＯＤ＝ＤＣ，所 以ＥＤ＝ＤＣ，ＯＥ＝ＣＦ．所以四边形ＯＣＥＦ是矩形．因为 ∠ＢＥＣ＝４５°，所以∠ＤＣＥ＝４５°．所以∠ＣＤＥ＝１８０°－ ∠ＤＥＣ－∠ＤＣＥ＝９０°．所以 ＯＥ⊥ ＣＦ．所以四边形 ＯＣＥＦ是正方形． １７．作∠ＧＡＨ＝１２０°，交ＢＧ的延长线于点Ｈ，作ＡＴ ⊥ＢＨ于点Ｔ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ ＡＤ．因为∠ＢＡＤ＝１２０°，所以∠ＧＡＨ＋∠ＧＡＢ＝∠ＢＡＤ ＋∠ＧＡＢ，即∠ＢＡＨ＝∠ＤＡＧ．由对顶角相等，得 ∠ＡＦＤ ＝∠ＢＦＧ．因为 ∠ＢＧＤ＝１２０°，所以 １８０°－∠ＡＦＤ－ ∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＢＦＧ－∠ＢＧＤ，即∠ＡＤＦ＝∠ＧＢＦ．所 以△ＨＡＢ≌△ＧＡＤ（ＡＳＡ）．所以ＡＨ＝ＡＧ＝５，ＢＨ＝ＤＧ． 因为ＡＴ⊥ＢＨ，所以ＧＨ＝２ＴＨ，∠ＨＡＴ＝６０°．所以∠Ｈ ＝３０°．所以ＡＴ＝ １２ＡＨ＝ ５ ２．根据勾股定理，得ＴＨ＝ ＴＧ＝ ＡＨ２－ＡＴ槡 ２ ＝ 槡５３２．所以ＧＨ＝ 槡５３．所以ＤＧ＝ ＢＨ＝ＢＧ＋ＧＨ＝２＋ 槡５３． 《四边形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ 二、９．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １０．１２；　１１．１５°；　１２．槡１９２ ． 三、１３．因为平行四边形 ＡＢＣＤ与平行四边形 ＣＤＥＦ 的周长相等，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ＝ＤＥ．所以 ∠ＤＡＥ＝ ∠ＤＥＡ．因为∠ＢＡＤ＝６０°，∠Ｆ＝１１０°，所以∠ＡＤＣ＝ １８０°－∠ＢＡＤ＝１２０°，∠ＣＤＥ＝∠Ｆ＝１１０°．所以∠ＡＤＥ ＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＤＥ ＝１３０°．所以 ∠ＤＡＥ ＝ １ ２（１８０°－∠ＡＤＥ）＝２５°． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ＝ ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ， 即ＡＦ＝ＥＣ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为ＡＣ＝ ＥＦ，所以四边形ＡＥＣＦ是矩形． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所 以 ∠ＤＡＣ ＝∠ＢＣＡ．由折叠的性质，得 ∠ＨＡＦ ＝ １ ２∠ＤＡＣ＝ １ ２∠ＢＣＡ＝∠ＭＣＥ．所以ＡＦ∥ＣＥ． （２）３０．理由如下： 因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，∠Ｂ＝ ９０°．又因为ＡＦ∥ＣＥ，所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形． 因为∠ＢＡＣ＝３０°，所以∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＢＡＣ＝６０°．所 以 ∠ＭＣＥ＝３０°．所以ＡＥ＝ＣＥ．所以四边形ＡＥＣＦ是菱 形． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点Ｏ是ＢＤ 的中点，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＯ＝ＤＯ．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ． 在△ＢＯＥ和△ＤＯＦ中，因为∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ，ＢＯ＝ＤＯ， ∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ，所以△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（ＡＳＡ）．所以ＤＦ ＝ＢＥ．所以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （２）过点Ｄ作ＤＮ⊥ＥＣ于点Ｎ，图略．因为ＤＥ＝ＤＣ ＝６，ＤＮ⊥ＥＣ，ＣＥ＝４，所以ＥＮ＝ＣＮ＝２．所以ＤＮ＝ ＤＣ２－ＣＮ槡 ２ ＝ 槡４２．因为∠ＤＢＣ＝４５°，ＤＮ⊥ＢＣ，所以 ∠ＢＤＮ＝∠ＤＢＣ＝４５°．所以ＢＮ＝ＤＮ＝ 槡４２．所以ＢＥ ＝ＢＮ－ＥＮ＝ 槡４２－２．因为ＳＢＥＤＦ ＝ＢＥ·ＤＮ＝ＤＥ·ＰＧ， 所以ＰＧ＝ＢＥ·ＤＮＤＥ ＝ １６－ 槡４２ ３ ． １７．（１）取ＯＣ的中点Ｍ，连接ＤＭ．因为四边形ＡＢＣＤ 是正方形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ＝ ４５°．所以∠ＣＥＯ＝∠ＡＢＯ．因为Ｄ为ＣＥ的中点，Ｍ为ＯＣ 的中点，所以 ＯＥ＝２ＭＤ，ＤＭ∥ ＯＥ．所以 ∠ＣＤＭ ＝ ∠ＣＥＯ．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ．在△ＡＢＯ和△ＣＤＭ中， 因为∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ，所以 △ＡＢＯ≌ △ＣＤＭ（ＡＳＡ）．所以 ＯＢ＝ＭＤ．所以 ＯＥ＝ ２ＯＢ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ都是正方形， 所以ＡＢ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＥＢＧ＝９０°，ＢＥ＝ＢＧ．所以 ∠ＢＥＣ＋∠ＥＢＣ＝９０°，∠ＡＢＥ＋∠ＧＢＨ＝９０°．由（１），得 ∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＥ．所以∠ＥＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为ＧＨ⊥ＡＢ， 所以∠ＢＨＧ＝９０°．所以 △ＢＥＣ≌ △ＢＧＨ（ＡＡＳ）．所以 ＢＣ＝ＢＨ．所以ＡＢ＝ＢＨ． 《数据的初步分析》专项练习 １．３，３１１；　２．９． ３．（１）４００．　（２）１６０，０．３，０．４．　（３）补图略． （４）由频数分布表、频数直方图可知，８０≤ｘ＜９０的 人数最多，其所占的频率为０．４（答案不惟一）． ４．８；　５．Ｄ；　６．Ｃ；　７．Ｄ；　８．７；　９．１２．２； １０．Ａ；　１１．Ｃ；　１２．－２或０；　１３．Ｄ；　１４．Ｃ． １５．（１）表格从左到右、从上到下依次填入７０，１９９．３６， ８０，８０． （２）１ ２００ × ６＋１４＋５０×２０％ ＋５０×１０％１００ ＝ ４２０（名）． 答：七、八年级在本次知识竞赛中成绩为优秀的学 生约有４２０名． （３）七年级学生知识竞赛的成绩更好．理由如下： 因为七年级学生知识竞赛成绩的平均数大于八年 级学生知识竞赛成绩的平均数，所以七年级学生知识竞 赛的成绩更好（答案不惟一，合理即可）． 《数据的初步分析》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ 二、９．２２．５；　１０．０．２５；　１１．８；　１２．２８． 三、１３．（１）小明家每天的平均用电量是：（１４６－ １０４）÷７＝６（度）． （２）０．５６×６×３０＝１００．８（元）． 答：小明家４月份的电费约为１００．８元． １４．（１）８，６，０．１６． （２）补图略． （３）该基地冬训方案科学．理由如下： 由题意，得７０分以上的有：１６＋６＋１６＝３８（人）．所 以冬训效果显著的人数占总人数的百分比为： ３８ ５０× １００％ ＝７６％ ＞７０％．所以该基地冬训方案科学． １５．乙的光合作用速率更稳定．理由如下： 甲光合作用速率的方差为： １ ５ ×［（３５－２５） ２＋ （３０－２５）２＋（２３－２５）２＋（１７－２５）２＋（２０－２５）２］ ＝４３．６； 乙光合作用速率的方差为： １ ５×［（２７－２５） ２＋（２５ －２５）２＋（２６－２５）２＋（２４－２５）２＋（２３－２５）２］＝２． 因为４３．６＞２，所以两个大豆品种中乙的光合作用 速率更稳定． １６．（１）甲的得票分是：４０×２５％ ×２＝２０（分）； 乙的得票分是：４０×４０％ ×２＝３２（分）； 丙的得票分是：４０×３５％ ×２＝２８（分）． （２）甲的得分是：（７５＋９０＋２０）÷３＝１８５３（分）； 乙的得分是：（８０＋８０＋３２）÷３＝６４（分）； 丙的得分是：（８４＋８０＋２８）÷３＝６４（分）． 因为６４＝６４＞１８５３，所以无法确定人选． （３）甲的个人成绩是：７５×４０％ ＋９０×３５％ ＋２０× ２５％ ＝６６．５（分）； 乙的个人成绩是：８０×４０％ ＋８０×３５％ ＋３２×２５％ ＝６８（分）； 丙的个人成绩是：８４×４０％ ＋８０×３５％ ＋２８×２５％ ＝６８．６（分）． 因为６８．６＞６８＞６６．５，所以丙将被选中． １７．（１）２０，３； （２）该班男生对篮球节目的“关注指数”是：１３２０× １００％ ＝６５％．因为该班级女生对篮球赛的“关注指数” 比男生低 ５％，所以女生对篮球赛的“关注指数”是 ６０％． 设该班级的女生有ｘ人．根据题意，得ｘ－（１＋３＋６） ＝６０％ｘ．解得ｘ＝２５． 答：该班级的女生有２５人                                                                                                                                                                                         ． !" ! 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