第18章 勾股定理&复习白测题&复习检测题-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（沪科版 安徽专版）

书 考 点 解 密 考点１：勾股定理 例 １　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝６，∠ＡＢＣ ＝６０°，∠ＡＤＣ＝９０°，对角线ＡＣ 与ＢＤ相交于点Ｅ．若ＢＥ＝３ＤＥ， 则ＢＤ＝ ． 解：过点Ｂ作ＢＭ⊥ＡＣ于点Ｍ，过点Ｄ分别作ＤＮ⊥ ＢＭ于点Ｎ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，连接ＤＭ，如图１． 所以∠ＢＭＣ＝∠Ｎ＝∠ＤＦＭ ＝９０°． 所以ＣＭ∥ＤＮ． 因为ＡＢ＝ＢＣ＝６，∠ＡＢＣ＝６０°， 所以△ＡＢＣ是等边三角形． 所以ＡＣ＝６． 因为ＢＭ⊥ＡＣ，所以ＣＭ ＝ １２ＡＣ＝３． 根据勾股定理，得ＢＭ ＝ ＢＣ２－ＣＭ槡 ２ ＝ 槡３３． 因为ＢＥ＝３ＤＥ， 所以Ｓ△ＢＭＥ ＝３Ｓ△ＤＭＥ，即 １ ２ＭＥ·ＢＭ＝３× １ ２ＭＥ· ＤＦ． 所以ＤＦ＝槡３． 由“平行线之间的距离处处相等”，得ＭＮ＝槡３． 所以ＢＮ＝ＢＭ＋ＭＮ＝ 槡４３． 因为∠ＡＤＣ＝９０°，所以ＤＭ ＝ １２ＡＣ＝３． 根据勾股定理，得ＤＮ＝ ＤＭ２－ＭＮ槡 ２ ＝槡６． 根据勾股定理，得ＢＤ＝ ＢＮ２＋ＤＮ槡 ２ ＝ 槡３６． 故填 槡３６． ●专项练习 １．如图２，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°．若 ＡＢ＝ ９ｃｍ，则正方形ＡＣＤＥ和正方形ＢＣＧＦ的面积差为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．９０ｃｍ２ Ｂ．８１ｃｍ２ Ｃ．１００ｃｍ２ Ｄ．无法确定 ２．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算 经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一 幅如图３－①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”． 图３－②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角 形拼接而成，记图中正方形 ＡＢＣＤ，正方形 ＥＦＧＨ，正方 形ＭＮＸＴ的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３．若Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３ ＝２４， 则正方形ＥＦＧＨ的面积为 ． ３．如图 ４，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，分别以 Ａ，Ｂ为圆 心，大于 １ ２ＡＢ的长为半径作弧， 两弧相交于点Ｍ，Ｎ，直线ＭＮ分 别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ．若 ＣＥ＝ １ ３ＡＥ＝１，求ＡＢ的长． 考点２：勾股定理的逆定理 例２　已知Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ上的两点，ＡＭ＝ＭＮ＝ ２，ＮＢ＝１，以点Ａ为圆心，ＡＮ长为半径画弧；再以点Ｂ为 圆心，ＢＭ长为半径画弧，两弧交于点 Ｃ，则 △ＡＢＣ一定 是 （　　） Ａ．直角三角形 Ｂ．等腰直角三角形 Ｃ．锐角三角形 Ｄ．钝角三角形 解：如图５．因为ＡＭ＝ＭＮ ＝２，ＮＢ＝１，所以ＡＮ＝ＡＭ＋ ＭＮ＝４，ＢＭ＝ＮＢ＋ＭＮ＝３， ＡＢ＝ＡＭ＋ＭＮ＋ＮＢ＝５．由题 意，得ＡＣ＝ＡＮ＝４，ＢＣ＝ＢＭ ＝３．因为ＡＣ２＋ＢＣ２＝２５，ＡＢ２＝２５，所以ＡＣ２＋ＢＣ２＝ ＡＢ２．所以△ＡＢＣ一定是直角三角形． 故选Ａ． ●专项练习 ４．下面各组数中，是勾股数的是 （　　） Ａ．１，槡２，槡３ Ｂ．３ ２，４２，５２ Ｃ．１，３，２ Ｄ．５，１２，１３ ５．如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝５， Ｄ为ＢＣ边上一点，且ＣＤ＝１，ＡＤ＝ 槡２６，ＢＤ＝４，求ＡＢ的长． 考点３：勾股定理的应用 例３　一艘船由 Ａ港沿北偏东 ６０°方向航行３０ｋｍ至Ｂ港，然后再沿 北偏西３０°方向航行４０ｋｍ至Ｃ港，则Ａ，Ｃ两港之间的 距离为 ｋｍ． 解：根据题意画图如图 ７，其中 ∠ＤＡＢ ＝６０°，∠ＦＢＣ ＝３０°．所以 ∠ＡＢＥ＝６０°．所以 ∠ＡＢＣ＝１８０°－ ∠ＡＢＥ－∠ＦＢＣ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝３０ｋｍ，ＢＣ＝４０ｋｍ，由勾股 定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５０ｋｍ． 故填５０． ●专项练习 ６．如图８，圆柱形玻璃杯的杯高为９ｃｍ，底面周长为 １６ｃｍ，在杯内壁离杯底４ｃｍ的点 Ａ处有一滴蜂蜜，此 时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿１ｃｍ，且与 蜂蜜相对的点Ｂ处，则蚂蚁从外壁Ｂ处到内壁Ａ处所走 的最短距离为 ｃｍ（杯壁厚度不计）． ７．如图９，某小区有两个喷泉Ａ，Ｂ，两个喷泉的距离 长为１２５ｍ．现要为喷泉铺设供水管道 ＡＭ，ＢＭ，供水点 Ｍ在小路ＡＣ上，供水点Ｍ到ＡＢ的距离ＭＮ的长为６０ｍ， ＢＭ的长为７５ｍ． （１）求供水点Ｍ到喷泉Ａ，Ｂ需要铺设的管道总长； （２）求喷泉Ｂ到小路ＡＣ的最短距离． （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                  ） 书 知 识 回 顾 １．勾股定理 如果直角三角形的两直角边用ａ，ｂ表示，斜边用ｃ 表示，那么勾股定理可表示为 ＝ｃ２，即直 角三角形 ，等于斜边的平方． 在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如 下三点： （１）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形 适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （２）注意勾股数对求解直角三角形的第三边的误导； （３）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式 致错； （４）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中， 已知任意两边，可求第三边，即ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２，ａ２ ＝ｃ２－ ｂ２，ｂ２ ＝ｃ２－ａ２，进而有ｃ＝ ａ２＋ｂ槡 ２，ａ＝ ｃ２－ｂ槡 ２， ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２．这些都是勾股定理的常见表达式，可用 来求三角形的第三边． ２．勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和 第三边的平 方，那么这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理这一判别直角三角形的方 法时，要注意如下四点： （１）这一方法与勾股定理的题设和结论正好相 反，值得注意的是，在这一方法的描述中，不能带有“斜 边”、“直角边”字样； （２）这一方法可以实现数与形的转化； （３）要判别一个三角形是否是直角三角形，先确 定最长边ｃ，计算ｃ２与另外两边长ｂ，ａ的平方和（即ｂ２＋ ａ２），再验证ｃ２与ａ２＋ｂ２的关系，如果 ，那 么这个三角形就是直角三角形，否则就不是； （４）学会识别勾股数：满足条件ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２的三 个正整数叫做勾股数，常见的勾股数有 、 、 等． ３．应用 （１）勾股定理的应用主要有： ①已知直角三角形的两边，求第三边； ②已知直角三角形的一边，求另两边的关系； ③用于求解图形的面积； ④用于说明含有平方关系的式子的关系； ⑤用于作长为槡ｎ（ｎ为正整数）的线段； ⑥借助勾股定理来构造方程，解决实际问题． （２）勾股定理的逆定理的应用主要有： ①判别某三角形是否为直角三角形； ②说明两条线段垂直； ③与勾股定理结合用于求线段的长度以及角度的 大小． （３）运用勾股定理解题要注意联系方程思想与转 化思想．求几何体表面两点间的最短路程是一类比较 常见的数学问题，解答这类问题，通常将几何体表面 ，把立体图形转化为 ，利用 勾股定理及其他知识加以解答． ! ! " # $ ! !" #$% ! " # $ % & ' ! ! ! " # ( ) ! " ! " # $ ! # ! $ # ( " ) ! ! % ! " $ ) # ' % ( ! " ! & " ' # & $ * ) + ( % ! , ! " ! ' " % ' ! " ! $ # #(! '(! ! ) ! * ! " # $ ( ) % 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．若直角三角形的两条直角边长分别为１和２，则斜 边长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　槡 槡Ａ．５ Ｂ．５ Ｃ．３ Ｄ．３ ２．如图１，以Ｒｔ△ＡＢＣ的三边为边分别向外作正方 形，它们的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３．若Ｓ３＝２５，则Ｓ１＋Ｓ２＋ Ｓ３的值为 （　　） Ａ．３０ Ｂ．３５ Ｃ．４０ Ｄ．５０ ３．在△ＡＢＣ中，若∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°，则 （　　） Ａ．ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ Ｂ．ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２ Ｃ．ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ＢＣ２ Ｄ．ＢＣ２ ＝ＡＢ２＋ＡＣ２ ４．如图２是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为 ８ｃｍ和６ｃｍ，高为１０ｃｍ，将一支长为１８ｃｍ的签字笔放 入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的长度最少为 （　　） Ａ．（ 槡１８－１０２）ｃｍ Ｂ．１０ｃｍ 槡Ｃ．１０２ｃｍ Ｄ．８ｃｍ ５．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，则ＡＣ 边上的高ＢＤ的长是 （　　） Ａ．４ Ｂ．４．４ Ｃ．４．８ Ｄ．５ ６．在△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边分别记为ａ，ｂ， ｃ，下列条件中，不能判定△ＡＢＣ是直角三角形的是 （　　） Ａ．ａ２ ＝ｂ２－ｃ２ Ｂ．ａ∶ｂ∶ｃ＝ 槡１∶３∶２ Ｃ．∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝３∶４∶５ Ｄ．∠Ａ－∠Ｂ＝∠Ｃ ７．如图４是楼梯的示意图，楼梯的宽是５ｍ，ＡＣ＝ ５ｍ，ＡＢ＝１３ｍ．若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑 材料的面积至少是 （　　） Ａ．６５ｍ２ Ｂ．８５ｍ２ Ｃ．９０ｍ２ Ｄ．１５０ｍ２ ８．如图５是由一系列直角三角形组成的螺旋，则第 ９５个直角三角形的面积Ｓ９５ ＝ （　　） 槡Ａ． ９５ Ｂ．９５ Ｃ．槡 ９５ ２ Ｄ． ９５ ２ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．有一组勾股数，其中的两个分别是８和１７，则第三 个数是 ． １０．如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，以点Ａ为圆 心，ＡＣ长为半径画弧，交ＡＢ于点Ｄ．若ＢＤ＝２，则∠ＡＣＢ ＝ °． １１．如图７，将长为１２ｃｍ的弹性绳放置在直线ｌ上， 固定端点Ａ和Ｂ，然后把中点Ｃ竖直向上拉升４．５ｃｍ至 点Ｄ，则拉长后弹性绳的长为 ｃｍ． １２．如图 ８，在 △ＡＢＣ 中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＞ＡＣ，斜 边ＢＣ的垂直平分线交ＡＢ边 于点Ｅ，交 ＢＣ边于点 Ｄ．若 ＡＣ＝３，ＢＣ＝ 槡３ １０，则ＡＥ的长是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图９，在△ＡＤＣ中，ＡＤ＝槡５ｃｍ，ＡＣ＝ 槡３ｃｍ，ＤＣ＝槡２ｃｍ，Ｂ是ＣＤ延长线上的点，连接ＡＢ．若 ＡＢ＝槡６ｃｍ，求ＢＤ的长． １４．（８分）如图１０是某品牌婴儿车的简化结构示意 图．根据安全标准需满足ＢＣ⊥ＣＤ，现测得 ＡＢ＝ＣＤ＝ ６ｄｍ，ＢＣ＝３ｄｍ，ＡＤ＝９ｄｍ，其中ＡＢ与ＢＤ之间由一个 固定为９０°的零件连接（即 ∠ＡＢＤ＝９０°），请通过计算 说明该车是否符合安全标准． １５．（１０分）塔吊是建筑工地上最常用的一种起重 设备，又名“塔式起重机”，用来吊施工用的钢筋、木楞、 混凝土、钢管等施工的原材料．如图１１是塔吊示意图，线 段ＢＣ，ＢＤ表示钢丝绳，ＡＤ表示起重臂，ＡＢ⊥ＡＤ，综合与 实践小组向工人了解到如下信息：ＡＢ＝８米，ＢＣ＝ １７米，ＣＤ＝２０米，求钢丝绳ＢＤ的长度（结果精确到整 数位，参考数值：槡１２８９≈３６）． １６．（１２分）如图１２，在棱长分别为５，３，１１的长方体 模型中，动点Ｐ从顶点Ｃ１出发，以１个单位 ／秒的速度在 长方体外部沿Ｃ１→Ｃ向下匀速运动，同时动点Ｑ从顶点 Ａ出发，在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Ｑ在 第５秒时恰好拦截动点Ｐ，则动点Ｑ的速度至少应设定为 多少？ １７．（１４分）如图１３，在四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为ＡＢ 的中点，ＤＥ⊥ ＡＢ，ＡＤ＝ 槡２３，ＤＥ＝槡３，ＢＣ＝１，ＣＤ＝ 槡１３． （１）求证：∠ＣＢＤ＝９０°； （２）若点Ｃ到ＡＢ的距离是槡３２，求ＣＥ的长                                                                                                                                                                   ． ! " # $ !" ! ! ! " # ! "! # ! $ % & $ & # & " ! $ ! ' % $ ! % ( % # % & % $ % ! % " & # & " & $ & ! & % % % # # # # # # # % ' & ' " ! ' # ' ! % ! & ) # ! % ' ! % ' * $ ! ( ! '$ " ! ) ! #* " $ ! ' ! #$ $ ! * ' " ! ## " $ !' $ ! ' " $ # ! # ' # " # + ## $ % ! #" , !"+#$%"& '()*+, #%,#( -. 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　１．如图１，直角三角形中边长ｘ为 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．５ Ｄ．７ ２．Ｄ是△ＡＢＣ中ＢＣ边上的一点，若 ＡＣ２－ＣＤ２ ＝ ＡＤ２，则ＡＤ是 （　　） Ａ．ＢＣ边上的中线 Ｂ．∠ＢＡＣ的平分线 Ｃ．ＢＣ边上的高线 Ｄ．ＡＣ边上的高线 ３．如图２，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝６， 分别以点Ａ，Ｂ为圆心，以ＡＢ长为半径画弧，两弧相交于 点Ｄ，连接ＡＤ，ＢＤ，则△ＡＢＤ的周长是 （　　） 槡Ａ．１８ 　Ｂ．２４ Ｃ．１２３ Ｄ．３０ ４．下列四组数中，是勾股数的是 （　　） 槡Ａ．２，槡２，２ Ｂ．４，５，６ Ｃ．０．４，０．３，０．５ Ｄ．７，２４，２５ ５．如图３，一扇卷闸门用一块宽５０ｃｍ，长１２０ｃｍ的 长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起 （　　） Ａ．１３０ｃｍ Ｂ．１２０ｃｍ Ｃ．７０ｃｍ Ｄ．５０ｃｍ ６．如图４，在长方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡２５ｃｍ，ＡＤ＝ １０ｃｍ，将此长方形折叠，使点Ｄ与点Ｂ重合，折痕为ＥＦ， 则△ＡＢＥ的面积是 （　　） 槡Ａ．２５ｃｍ ２ Ｂ．６ｃｍ２ 槡Ｃ．４５ｃｍ ２ 槡Ｄ．８５ｃｍ ２ ７．如图５，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜 地ＡＢＣＤ，测得ＡＢ＝９ｍ，ＢＣ＝１２ｍ，ＣＤ＝８ｍ，ＡＤ＝ １７ｍ，且∠ＡＢＣ＝９０°，这块菜地的面积是 （　　） Ａ．４８ｍ２ Ｂ．１１４ｍ２ Ｃ．１２２ｍ２ Ｄ．１５８ｍ２ ８．如图６，长方体的长为１５，宽为１０，高为２０，点Ｂ到 点Ｃ的距离为５．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 点Ａ爬到点Ｂ，需要爬行的最短距离是 （　　） 槡Ａ．５ ２９ Ｂ．２５ 槡Ｃ．１０５＋５ Ｄ．３５ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图７，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，以ＢＣ和ＡＣ为 边向两边分别作正方形，面积分别为Ｓ１和Ｓ２．已知 Ｓ１－ Ｓ２ ＝２５，则ＡＢ的长为 ． １０．如图８，在２×３的正方形网格中，每个小正方形 的边长是１，点Ａ，Ｂ，Ｃ均为格点，以点Ａ为圆心，ＡＢ长为 半径作弧交网格线于点Ｄ，则ＣＤ的长是 ． １１．如图９，小冰想用一条彩带缠绕圆柱４圈，正好从 Ａ点绕到正上方的Ｂ点．已知圆柱底面周长是３ｍ，高是 １６ｍ，则所需彩带最短是 ｍ． １２．如图１０，已知边长为２的等边△ＡＢＣ中，分别以 点Ａ，Ｃ为圆心，ｍ长为半径作弧，两弧交于点 Ｄ，连接 ＢＤ．若ＢＤ的长为 槡２３，则ｍ的值是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）已知△ＡＢＣ的三边长分别为５，ｘ－２，ｘ＋ １，若该三角形是以ｘ＋１为斜边的直角三角形，求ｘ的值． １４．（８分）如图１１，已知ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＣ＝ＢＣ＝ＢＤ＝ ２，ＡＤ＝ 槡２３，请问△ＡＢＤ是直角三角形吗？并说明理由． １５．（１０分）如图１２，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＭ是 中线，ＭＮ⊥ＡＢ，垂足为点Ｎ．求证：ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １６．（１２分）如图１３，Ａ，Ｂ两块试验田相距２００ｍ，Ｃ 为水源地，ＡＣ＝１６０ｍ，ＢＣ＝１２０ｍ，为了方便灌溉，现有 两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地 Ｃ直接修筑两条水渠分别到 Ａ，Ｂ 两块试验田； 乙方案：过点Ｃ作ＡＢ的垂线，垂足为点Ｈ，先从水源 地Ｃ修筑一条水渠到ＡＢ所在直线上的点Ｈ处，再从点Ｈ 分别向Ａ，Ｂ两块试验田进行修筑． （１）请判断△ＡＢＣ的形状（要求写出推理过程）； （２）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通 过计算说明． １７．（１４分）定义：在△ＡＢＣ中，若ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ， ＡＢ＝ｃ，且ａ，ｂ，ｃ满足ａｃ＋ａ２ ＝ｂ２，则称这个三角形是 “类勾股三角形”．请根据以上定义解答下列问题： （１）如图１４－①，若等腰三角形ＡＢＣ是“类勾股三 角形”，其中ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，请求∠Ａ的度数； （２）如图１４－②，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ边上一点，且 ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＣ．求证：△ＡＢＣ是“类勾股三角形”                                                                                                                                                                   ． !" ! 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" # $ !" 书 （３）ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝－１； （４）ｘ１ ＝ｘ２ ＝１． ８．Ｂ；　９．ｍ≥－１８且ｍ≠０． １０．（１）根据题意，得Δ＝（－２ｋ）２－４（ｋ２－１）＝４ ＞０．所以不论ｋ取何值，方程总有两个不相等的实数根． （２）由求根公式，得ｘ＝２ｋ±槡４２ ＝ｋ±１．所以ｘ１＝ ｋ＋１，ｘ２＝ｋ－１．当ｋ＋１＝５时，ｋ＝４；当ｋ－１＝５时， ｋ＝６． 综上所述，ｋ的值是４或６． １１．Ｃ；　１２．Ｂ；　１３．３；　１４．Ａ；　１５．３６． １６．（１）设土豆的平均亩产量的年增长率为ｘ． 根据题意，得１０００（１＋ｘ）２ ＝１４４０． 解得ｘ１＝０．２＝２０％，ｘ２＝－２．２（不合题意，舍去）． 答：土豆的平均亩产量的年增长率为２０％． （２）设该合作社增加土豆种植面积 ａ亩，才能保证 土豆种植的总成本不变． 根据题意，得（１００＋ａ）（１２００－１０ａ）＝１２００×１００． 解得ａ１ ＝２０，ａ２ ＝０（不合题意，舍去）． 答：该合作社增加土豆种植面积２０亩，才能保证土 豆种植的总成本不变． 《一元二次方程》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．２ｘ２－４ｘ－１＝０；　１０．－２；　１１．８； １２．１或２． 三、１３．（１）ｘ１ ＝ ５ ３，ｘ２ ＝－ １ ３； （２）ｘ１ ＝ ４ ３，ｘ２ ＝－２； （３）ｘ１ ＝ｘ２ ＝槡 ３ ３． １４．由题意，得ｍ２－３ｍ＋２＝０，ｍ－１≠０．解得ｍ＝ ２． １５．（１）根据题意，得Δ＝［－（ｋ＋３）］２－４×１×（２ｋ ＋２）＝ｋ２－２ｋ＋１＝（ｋ－１）２≥０．所以该方程总有两 个实数根． （２）解ｘ２－（ｋ＋３）ｘ＋２ｋ＋２＝０，得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ ｋ＋１．因为方程有一个根小于 －３，所以ｋ＋１＜－３．解得 ｋ＜－４． １６．（１）△ＡＢＣ是等腰三角形．理由如下： 把ｘ＝－１代入方程（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ｂ－ｃ）＝０， 得ａ＋ｃ－２ｂ＋ｂ－ｃ＝０．解得ａ＝ｂ．所以△ＡＢＣ是等腰 三角形． （２）因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ａ＝ｂ＝ｃ．此时 方程（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ｂ－ｃ）＝０可化为ｘ２＋ｘ＝０．解 得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－１． １７．（１）１３．４． （２）设需要销售ｘ辆汽车，则每辆汽车的销售利润 为１５－［１３．５－０．０５（ｘ－１）］＝（０．０５ｘ＋１．４５）万元． 当ｘ≤１０时，（０．０５ｘ＋１．４５）ｘ＋０．２５ｘ＝１２．整理， 得ｘ２＋３４ｘ－２４０＝０．解得ｘ１＝６，ｘ２＝－４０（不合题意， 舍去）． 当ｘ＞１０时，（０．０５ｘ＋１．４５）ｘ＋０．７ｘ＝１２．整理，得 ｘ２＋４３ｘ－２４０＝０．解得ｘ１ ＝５（不合题意，舍去），ｘ２ ＝ －４８（不合题意，舍去）． 答：需要销售６辆汽车． 《一元二次方程》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ 二、９．１；　１０．－１；　１１．２０２５；　１２．３． 三、１３．（１）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－ １ ２； （２）ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３； （３）ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－ ２ ５． １４．设应减少ｘ条生产线． 根据题意，得（８０－ｘ）（８＋４１０ｘ）＝８４０． 解得ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝５０． 因为ｘ≤８０×２０％ ＝１６，所以ｘ＝１０． 答：应减少１０条生产线． １５．因为ｐ是方程的一个实数根，所以ｐ２－２ｐ＋ｎ－１ ＝０，即ｐ２－２ｐ＝１－ｎ．因为（ｐ２－２ｐ＋３）（ｎ＋４）＝７， 所以（１－ｎ＋３）（ｎ＋４）＝７．解得ｎ＝３或ｎ＝－３．因 为关于ｘ的一元二次方程有实数根，所以 Δ≥ ０，即 （－２）２－４（ｎ－１）≥０．解得ｎ≤２．所以ｎ＝－３． １６．（１）根据题意，得Δ＝［－（２ｋ－１）］２－４（ｋ２－２） ＝９－４ｋ≥０．解得ｋ≤ ９４． （２）因为ｋ是符合条件的最大整数，所以ｋ＝２．此时 原方程为ｘ２－３ｘ＋２＝０．解得ｘ１＝１，ｘ２＝２．因为一元 二次方程（ｍ－１）ｘ２＋ｘ＋ｍ－３＝０与方程ｘ２－（２ｋ－１）ｘ ＋ｋ２－２＝０有一个相同的根，所以当ｘ＝２时，４（ｍ－１） ＋２＋ｍ－３＝０．解得ｍ＝１（不合题意，舍去）．当ｘ＝１ 时，ｍ－１＋１＋ｍ－３＝０．解得ｍ＝ ３２． １７．（１）２． （２）（ｙ２－３ｙ）２－４ｙ２＋１２ｙ＝（ｙ２－３ｙ）２－４（ｙ２－３ｙ） ＝（ｙ２－３ｙ）（ｙ２－３ｙ－４）＝０．所以ｙ２－３ｙ＝０或ｙ２－ ３ｙ－４＝０．解方程ｙ２－３ｙ＝０，得ｙ１＝０，ｙ２＝３；解方程 ｙ２－３ｙ－４＝０，得ｙ３＝－１，ｙ４＝４．所以原方程的解为ｙ１ ＝０，ｙ２ ＝３，ｙ３ ＝－１，ｙ４ ＝４． 《勾股定理》专项练习 １．Ｂ；　２．８． ３．连接ＢＥ，图略．由尺规作图可知ＭＮ为ＡＢ的垂直 平分线．因为ＣＥ＝ １３ＡＥ＝１，所以ＡＥ＝３．所以ＡＣ＝ ＡＥ＋ＣＥ＝４，ＢＥ＝ＡＥ＝３．在Ｒｔ△ＥＣＢ中，由勾股定理， 得ＢＣ＝ ＢＥ２－ＣＥ槡 ２ ＝ 槡２２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定 理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２６． ４．Ｄ． ５．在△ＡＣＤ中，ＡＣ２ ＝２５，ＣＤ２ ＝１，ＡＤ２ ＝２６．因为 ＡＣ２＋ＣＤ２ ＝ＡＤ２，所以△ＡＣＤ是直角三角形，且∠Ｃ＝ ９０°．因为ＢＤ＝４，ＣＤ＝１，所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５．在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡５２． ６．１０． ７．（１）在 Ｒｔ△ＭＮＢ中，ＢＮ ＝ ＢＭ２－ＭＮ槡 ２ ＝ ４５ｍ．所以ＡＮ＝ＡＢ－ＢＮ＝８０ｍ．在Ｒｔ△ＡＭＮ中，ＡＭ＝ ＡＮ２＋ＭＮ槡 ２ ＝１００ｍ．所以供水点Ｍ到喷泉Ａ，Ｂ需要 铺设的管道总长为：ＡＭ＋ＢＭ ＝１７５ｍ． （２）因为ＡＢ＝１２５ｍ，ＡＭ＝１００ｍ，ＢＭ＝７５ｍ．所 以ＡＢ２ ＝ＢＭ２ ＋ＡＭ２．所以 △ＡＢＭ是直角三角形，且 ∠ＡＭＢ＝９０°．所以ＢＭ⊥ＡＣ．所以喷泉Ｂ到小路ＡＣ的 最短距离是７５ｍ． 《勾股定理》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ 二、９．１５；　１０．９０；　１１．１５；　１２．４； 三、１３．因为ＡＣ２＋ＤＣ２ ＝３＋２＝５＝ＡＤ２，所以 △ＡＤＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾 股定理，得ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝槡３ｃｍ．所以ＢＤ＝ＢＣ －ＤＣ＝（槡３－槡２）ｃｍ． １４．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２＝ＡＤ２－ＡＢ２＝４５．在△ＢＣＤ 中，ＢＣ２＋ＣＤ２＝４５．所以ＢＣ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２．所以∠ＢＣＤ ＝９０°，即ＢＣ⊥ＣＤ．所以该车符合安全标准． １５．因为 ＡＢ⊥ ＡＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，ＢＣ＝１７米，ＡＢ ＝８米，由勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＢＣ２－ＡＢ槡 ２ ＝１５米．所以ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＝３５米．在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得 ＢＤ ＝ ＡＤ２＋ＡＢ槡 ２ ＝ 槡１２８９≈３６米． 答：钢丝绳ＢＤ的长度约为３６米． １６．如图，将长方体沿侧面展 开，当动点Ｑ在第５秒拦截动点Ｐ 时，Ｃ１Ｐ＝５．所以 ＣＰ＝ＣＣ１ － Ｃ１Ｐ＝６．因为ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ ８，所以ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＣＰ槡 ２ ＝１０． 所以点Ｑ的速度为：１０５＝２（单位 ／秒）． 答：动点Ｑ的速度至少应设定为２单位 ／秒． １７．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＢＤ＝ ＡＤ＝ 槡２３．因为ＢＣ ２＋ＢＤ２＝１２＋（槡２３） ２＝１３＝ＣＤ２， 所以∠ＣＢＤ＝９０°． （２）过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｆ，图略， 则 ∠ＢＦＣ＝９０°．由题意，得 ＣＦ＝槡３２．所以 ＢＦ ＝ ＢＣ２－ＣＦ槡 ２ ＝１２．因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＤＥＢ＝９０°． 因为ＤＥ＝槡３，ＢＤ＝ 槡２３，所以ＢＥ＝ ＢＤ ２－ＤＥ槡 ２ ＝３． 所以ＥＦ＝ＢＥ＋ＢＦ＝７２．在Ｒｔ△ＣＥＦ中，由勾股定理， 得ＣＥ＝ ＥＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝槡１３． 《勾股定理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．５；　１０．３－槡５；　１１．２０；　１２．２或 槡２７． 三、１３．根据题意，得５２＋（ｘ－２）２＝（ｘ＋１）２．解得ｘ＝ １４ ３． １４．△ＡＢＤ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ ＝ＢＣ＝２，由勾股定理，得ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝８．因为 ＡＢ２＋ＢＤ２＝８＋２２＝１２，ＡＤ２＝１２，即ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２， 所以△ＡＢＤ是直角三角形． １５．因为ＭＮ⊥ＡＢ，所以∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ＝９０°．所 以ＢＮ２＝ＢＭ２－ＭＮ２，ＡＮ２＝ＡＭ２－ＭＮ２．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＭ２－ＢＭ２．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＡＭ２＝ＡＣ２＋ＣＭ２． 所以ＡＮ２－ＢＮ２＝ＡＣ２＋ＣＭ２－ＢＭ２．因为ＡＭ是中线，所 以ＢＭ ＝ＣＭ．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １６．（１）△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ２＋ＢＣ２＝１６０２＋１２０２＝４００００，ＡＢ２＝２００２ ＝４００００，即ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＢＣ是直角三角 形． （２）甲方案所修的水渠较短．理由如下： 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＨ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ，所以ＣＨ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝９６ｍ．因为 ＡＣ＋ＢＣ＝２８０ｍ，ＣＨ＋ＡＢ＝ ２９６ｍ，即ＡＣ＋ＢＣ＜ＣＨ＋ＡＢ，所以甲方案所修的水渠较 短． １７．（１）因为ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，所以ａ＝ｃ，ｂ＞ｃ． 因为△ＡＢＣ是“类勾股三角形”，所以ａｃ＋ａ２ ＝ｂ２，即ｃ２ ＋ａ２ ＝ｂ２．所以△ＡＢＣ是等腰直角三角形．所以 ∠Ａ＝ ４５°． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．由题意，得ＡＤ ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ａ．所以ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｃ－ａ．因为ＣＧ ⊥ＡＢ，所以ＤＧ＝ＢＧ＝１２（ｃ－ａ）．所以ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ ＝ａ＋１２（ｃ－ａ）＝ １ ２（ａ＋ｃ）．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ ２＝ＡＣ２ －ＡＧ２ ＝ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２．在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＣＧ２ ＝ＢＣ２ －ＢＧ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．所以ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２＝ ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．整理，得ｂ２＝ａｃ＋ａ２．所以△ＡＢＣ是 “类勾股三角形”． 《四边形》专项练习 １．Ａ；　２．１１２．５；　３１．１２６０°．　４．Ｄ；　５．Ａ； ６．３；　７．２０；　８．Ｂ；　９．Ｃ． １０．连接ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ ＝ＣＤ．因为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形． 所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ． 所以四边形ＡＣＦＥ是平行四边形． １１．４；　１２．２；　１３．Ｄ；　１４．Ｃ； 槡　１５．２２； １６．２５°． １７．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ ＦＤ，所以ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即ＡＦ＝ＤＣ．在△ＡＢＦ和 △ＤＥＣ中，因为 ＡＦ＝ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＦ≌△ＤＥＣ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝ ∠ＥＣＤ．所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠                                                                                                                                                                                         ＢＦＣ＝ ! 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