第17章 一元二次方程-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（沪科版 安徽专版）

书 考 点 解 密 考点１：一元二次方程的概念 例１　关于ｘ的方程（ｍ＋１）ｘｍ２＋１＋ｍｘ＋５＝０是一 元二次方程，则ｍ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．±１ Ｄ．２ 解：根据题意，得ｍ＋１≠０且ｍ２＋１＝２． 解得ｍ＝１． 故选Ａ． ●专项练习 １．在下列方程中，是一元二次方程的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｘ２＋２＝ ３ｘ Ｂ．３（ｘ－１）＋ｘ＝２ Ｃ．ｘ２ ＝３＋２ｘ Ｄ．ｘ２－２ｘｙ－１＝０ ２．把方程（ｘ－１）（ｘ＋７）＝１６－ｘ２化为一般形式后， 它的一次项的系数是 （　　） Ａ．２ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ 例２　若关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ－３＝０的 一个根是ｘ＝１，则代数式２９－ａ－ｂ的值是 （　　） Ａ．－２５ Ｂ．２５ Ｃ．－２６ Ｄ．２６ 解：把ｘ＝１代入ａｘ２＋ｂｘ－３＝０，得ａ＋ｂ－３＝０． 解得ａ＋ｂ＝３． 所以２９－ａ－ｂ＝２９－（ａ＋ｂ）＝２９－３＝２６． 故选Ｄ． ●专项练习 ３．若ｘ＝－１是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根， 则下列式子成立的是 （　　） Ａ．ａ＋ｂ＋ｃ＝０ Ｂ．ａ－ｂ＋ｃ＝０ Ｃ．ａ＋ｂ－ｃ＝０ Ｄ．－ａ＋ｂ＋ｃ＝０ ４．若ｘ＝２是关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ｍｘ－２＝ ０的一个根，则ｍ的值是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ 考点２：一元二次方程的解法 例３　用适当的方法解方程：ｘ（２ｘ－１）＝４ｘ－２． 解：移项，得ｘ（２ｘ－１）－２（２ｘ－１）＝０． 因式分解，得（２ｘ－１）（ｘ－２）＝０． 所以２ｘ－１＝０或ｘ－２＝０． 解得ｘ１ ＝ １ ２，ｘ２ ＝２． ●专项练习 ５．用配方法解方程ｘ２－４ｘ－７＝０，下列配方正确的 是 （　　） Ａ．（ｘ－４）２ ＝２３ Ｂ．（ｘ＋４）２ ＝２３ Ｃ．（ｘ－２）２ ＝１１ Ｄ．（ｘ＋２）２ ＝３ ６．用因式分解法解方程ｘ２＋ｐｘ－６＝０，若将左边分 解后有一个因式是ｘ－６，则ｐ的值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．５ Ｄ．－５ ７．用适当的方法解下列方程： （１）２ｘ２－８＝０； （２）２ｘ２－９ｘ＋８＝０； （３）２ｘ＋６＝（ｘ＋３）２； （４）（ｘ＋１）（ｘ－３）＝－４． 考点３：一元二次方程根的判别式 例４　若关于ｘ的一元二次方程２ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０没 有实数根，则ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ＜２ Ｂ．ｋ＞２ Ｃ．ｋ＞４ Ｄ．ｋ≥２ 解：因为关于ｘ的一元二次方程２ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０没 有实数根， 所以Δ＝ｂ２－４ａｃ＝１６－８ｋ＜０． 解得ｋ＞２． 故选Ｂ． ●专项练习 ８．关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋２ｍｘ＋ｍ２＝０的根的 情况是 （　　） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 ９．若一元二次方程ｍｘ２＋ｘ－２＝０有实数根，则ｍ 的取值范围是 ． １０．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｋｘ＋ｋ２－１＝ ０． （１）求证：不论ｋ取何值，方程总有两个不相等的实 数根； （２）若方程有一个根为５，求ｋ的值． 考点４：一元二次方程的根与系数的关系 例５　已知ａ，ｂ是方程ｘ２＋６ｘ－２＝０的两个实数 根，则ａ２＋７ａ＋ｂ的值是 （　　） Ａ．－４ Ｂ．－９ Ｃ．０ Ｄ．９ 解：根据题意，得ａ＋ｂ＝－６． 把ｘ＝ａ代入方程，得ａ２＋６ａ－２＝０，即ａ２＋６ａ＝ ２． 所以ａ２＋７ａ＋ｂ＝ａ２＋６ａ＋ａ＋ｂ＝－４． 故选Ａ． （下转第２９版                                                                                                         ） 书 知 识 回 顾 １．只含有 未知数，并且未知数的 的整式方程，叫做一元二次方程． ２．一元二次方程的一般形式（又叫做标准形式）是 ，其中 叫做二次项， 叫 做一次项， 叫做常数项， 是二次项的系 数， 是一次项的系数， 是任意实数且 ≠０． ３．一元二次方程的根的定义可以当做性质定理使 用，即若实数ｍ是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０） 的根，则 ｍ必然满足该方程，将 ｍ代入该方程，得 （ａ≠０）． ４．一元二次方程的解法： （１）直接开平方法． （２）配方法：先对原一元二次方程配方，使它出现 后，再 求解的方法． （３）公式法：先把一元二次方程整理成一般形式，确 定出ａ，ｂ，ｃ的值，然后把 ａ，ｂ，ｃ的值代入 ，就可 以得出方程的根． 对于一般形式的一元二次方程 ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ≠０且ｂ２－４ａｃ≥０）的求根公式是ｘ＝ ． 注意：利用求根公式解一元二次方程时，应先计算 此方程在一般形式下所对应的 ｂ２－４ａｃ的值，并判断是 否满足ｂ２－４ａｃ≥０，如果满足此条件，则可继续代入公 式求出方程的解；如果不满足此条件，即ｂ２－４ａｃ＜０时， 不能使用公式，此时方程无实数根． （４）因式分解法：通过 ，将一个一元二次方 程转化为两个一元一次方程来求解的方法． 注意：如果两个因式的积等于０，那么这两个因式中 有一个等于０；反过来，如果两个因式中有一个 等于０，那么它们的积就等于０． ５．一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的情 况与根的判别式Δ＝ｂ２－４ａｃ的关系： 当 时，有两个不相等的实数根； 当 时，有两个相等的实数根； 当 时，没有实数根． ６．一元二次方程的根与系数的关系： 如果ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两个根为ｘ１，ｘ２，那 么ｘ１＋ｘ２ ＝ ，ｘ１ｘ２ ＝ ．这个关系通常 称为 ． ７．利用方程解决实际问题时，首先要找出题目中的 已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，设出未 知数，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据 方程的解和具体问题的实际意义检验解的合理性． 注意：列一元二次方程解应用题的几种常见类型． （１）增长率（或降低率）问题： 数学模型为ａ（１±ｍ）２＝ｂ，ａ为原来的量，ｍ为增长 （或降低）的百分率，ｂ为经过两次增长（或降低）后的 量； （２）几何中的面积（或体积）问题： 解题时，要根据几何图形的性质以及它们之间的数 量关系来列方程，画出符合题意的图形，以便找到方程 所需要的等量关系是解题的关键； （３）市场经济中的问题：如利润问题： ①利润 ＝售价 －进价； ②总利润 ＝单件利润 ×销售量． ! " # $ ! ! !" #$% 书 管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为 １００分），九（１）班的五项得分依次为９５，９０，８５，９０，９２， 则这组数据的众数是 ． 解：在这组数据中，９０出现２次，出现的次数最多，所 以这组数据的众数是９０． 故填９０． ●专项练习 １０．某学校为了解本校学生暑期参加劳动教育活动 情况，随机调研了八年级的学生在暑期参加劳动教育活 动的天数．如图３，请根据图中提供的信息判断在这次抽 样调查中，这组数据的众数和中位数分别是 （　　） Ａ．５，６ Ｂ．５，７ Ｃ．６，７ Ｄ．７，６ １１．某校积极鼓励学生参加志愿者活动，下表列出了 随机抽取的１００名学生一周参加志愿者活动的时间情 况： 参加志愿者活动的时间 ／ｈ １ １．５ ２ ２．５ ３ 参加志愿者活动的人数 ２０ ｘ ３８ ８ ２ 根据表中数据，下列说法不正确的是 （　　） Ａ．表中ｘ的值是３２ Ｂ．这组数据的众数是２ Ｃ．这组数据的中位数是２ Ｄ．这组数据的平均数是１．７ １２．已知一组数据 －２，０，１，－２，－３，１，ｘ有惟一众 数，则这组数据的中位数是 ． 考点６：方差 例６　某校在甲、乙、丙、丁四名同学中选中一人参 加今年５月份举办的教育系统文艺展演独唱大赛，经过 三轮初赛，他们的平均成绩都是８８．５分，方差分别是ｓ２甲 ＝１．５，ｓ２乙 ＝２．６，ｓ ２ 丙 ＝１．７，ｓ ２ 丁 ＝２．８，则这四名同学独唱 成绩最稳定的是 ． 解：因为ｓ２甲 ＜ｓ ２ 丙 ＜ｓ ２ 乙 ＜ｓ ２ 丁，所以在平均成绩相等 的情况下，这四名同学独唱成绩最稳定的是甲． 故填甲． ●专项练习 １３．白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：ｓ２ ＝ １４［（３－ｘ） ２＋（４－ｘ）２＋（４－ｘ）２＋（５－ｘ）２］，下列 说法错误的是 （　　） Ａ．这组数据的中位数是４ Ｂ．这组数据的众数是４ Ｃ．这组数据的平均数是４ Ｄ．这组数据的方差是 １４ １４．Ａ，Ｂ两名射击运动员进行了相同次数的射击，下 列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明 Ａ成绩较好且更稳定的是 （　　） Ａ．ｘＡ ＞ｘＢ且ｓ ２ Ａ ＞ｓ ２ Ｂ Ｂ．ｘＡ ＜ｘＢ且ｓ ２ Ａ ＞ｓ ２ Ｂ Ｃ．ｘＡ ＞ｘＢ且ｓ ２ Ａ ＜ｓ ２ Ｂ Ｄ．ｘＡ ＜ｘＢ且ｓ ２ Ａ ＜ｓ ２ Ｂ 考点７：综合分析数据解决问题 例７　某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中 各选出１０名学生参加环保知识竞赛（满分１００分），并对 成绩进行整理分析，得到如图４所示的折线统计图： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 ８５．５ ｍ ８７ 八年级参赛学生成绩 ８５．５ ８５ ｎ 根据以上信息，回答下列问题： （１）填空：ｍ＝ ，ｎ＝ ； （２）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为ｓ２１，ｓ ２ ２， 则ｓ２１ ｓ ２ ２（填“＞”“＜”或“＝”）； （３）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学 生的成绩较好． 解：（１）七年级参赛学生成绩中 ８０分的最多，有 ３个，所以众数ｍ＝８０；将八年级参赛学生成绩按从小到 大的顺序排列为：７６，７７，８５，８５，８５，８７，８７，８８，８８，９７，所 以中位数ｎ＝ １２（８５＋８７）＝８６． 故填８０，８６． （２）七年级参赛学生成绩的方差为：ｓ２１ ＝ １ １０［（７４－ ８５．５）２＋３×（８０－８５．５）２＋（８６－８５．５）２＋２×（８８－ ８５．５）２＋（８９－８５．５）２＋（９１－８５．５）２＋（９９－８５．５）２］ ＝４６．０５； 八年级参赛学生成绩的方差为：ｓ２２ ＝ １ １０［（７６－ ８５．５）２＋（７７－８５．５）２＋３×（８５－８５．５）２＋２×（８７－ ８５．５）２＋２×（８８－８５．５）２＋（９７－８５．５）２］＝３１．２５． 所以ｓ２１ ＞ｓ ２ ２． 故填 ＞． （３）因为七、八年级参赛学生成绩的平均数相同，七 年级参赛学生成绩的中位数较大，所以七年级参赛学生 的成绩较好． ●专项练习 １５．某校组织了“航天梦·中国梦”知识竞赛，每小 题１０分，满分１００分，现从七、八年级学生中各随机抽取 了５０人的成绩进行统计，绘制了如图５所示的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （１）将下表补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ８０．８ ７０ 八年级 ８０ １２０ （２）若成绩在９０分以上（含９０分）为优秀，七、八年 级共有１２００名学生，请估计七、八年级在本次知识竞赛 中成绩为优秀的学生人数； （３）你认为七、八年级哪个年级学生的知识竞赛成 绩更好，请说明理由． （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                             ） 书 （上接第６版） ●专项练习 １１．下列方程中，两根之和为２的方程是 （　　） Ａ．ｘ２＋２ｘ＋１＝０ Ｂ．ｘ２－ｘ＋２＝０ Ｃ．３ｘ２－６ｘ＋１＝０ Ｄ．１２ｘ ２－２ｘ＋１＝０ １２．若ｘ＝３是关于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｍｘ－３＝ ０的一个解，则方程的另一个解是 （　　） Ａ．ｘ＝２ Ｂ．ｘ＝－１ Ｃ．ｘ＝０ Ｄ．ｘ＝－２ １３．若方程ｘ２＋３ｘ－１＝０的两个根为ｘ１，ｘ２，则 １ ｘ１ ＋ １ ｘ２ 的值是 ． 考点５：一元二次方程的应用 例６　 如图，有一块矩形纸板，长为 ２０ｃｍ，宽为 １５ｃｍ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四 周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无 盖方盒的底面积为１７６ｃｍ２，那么在矩形纸板四角切去的 正方形边长是多少？ 解：设在矩形纸板四角切去的正方形边长是 ｘｃｍ， 则制作的无盖方盒的底面长是（２０－２ｘ）ｃｍ，宽是（１５－ ２ｘ）ｃｍ． 根据题意，得（２０－２ｘ）（１５－２ｘ）＝１７６． 整理，得２ｘ２－３５ｘ＋６２＝０． 解得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ ３１ ２（不合题意，舍去）． 答：在矩形纸板四角切去的正方形边长是２ｃｍ． ●专项练习 １４．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过１０％， 即当涨了原价的１０％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了 原价的１０％后，便不能再跌，叫做跌停．现有一支股票某 天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格．若这 两天此股票股价的平均下跌率为ｘ，则ｘ满足的方程是 （　　） Ａ．（１＋１０％）（１－ｘ）２ ＝１ Ｂ．（１－１０％）（１＋ｘ）２ ＝１ Ｃ．（１－１０％）（１＋２ｘ）＝１ Ｄ．（１＋１０％）（１－２ｘ）＝１ １５．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有 为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒 英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘 尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位 数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”这位风流人物 去世的年龄为 岁． １６．某合作社 ２０２２年到 ２０２４年每年种植土豆 １００亩，２０２２年土豆的平均亩产量为１０００千克，２０２３年 到２０２４年引进先进的种植技术，２０２４年土豆的平均亩产 量达到１４４０千克． （１）若２０２３年和２０２４年土豆的平均亩产量的年增 长率相同，求土豆的平均亩产量的年增长率； （２）２０２５年该合作社计划在保证土豆种植的总成本 不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发 现，２０２４年每亩土豆的种植成本为１２００元，若土豆的种 植面积每增加 １亩，则每亩土豆的种植成本将下降 １０元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证 土豆种植的总成本不变？ !" ! " # $ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"#$%&'()* !"#!$+, !"%# $% "# & '( ($ () (& !* !( $ ) ! ' *# +# $# ,#& ,#'( )* +,- ./- 0123456789:;<=> 89!? $$ $, ,+ +) $$ ,! $+ $$$$ $& ,, $& $+ $" $" $" ++ +* $* $& ! ( ' ) " * + $ , & !&& ," ,& $" $& +" +& !& ! ) @,-01456789 AB<=> .,-01456789 CB<=> $&? )&- ,&? (&- +&? (&- *&? !&- !&&? !&- D% 89!? (" (& !" !& " & (( ) * ) !) *& +& $& ,& !&& ! " 书 ４４期２版 ２０．２．２数据的离散程度 基础训练　 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．２； ６．３．６；　７．８７． ８．该班应选择甲参加学校的展示活动．理由如下： 甲的平均成绩为： １ ６×（１２．１＋１２．１＋１２．０＋１１．９ ＋１１．８＋１２．１）＝１２，方差为：１６×［３×（１２．１－１２） ２＋ （１２．０－１２）２＋（１１．９－１２）２＋（１１．８－１２）２］＝ １７５； 乙的平均成绩为： １ ６×（１２．２＋１２．０＋１１．８＋１２．０ ＋１２．３＋１１．７）＝１２，方差为：１６×［（１２．２－１２） ２＋２× （１２．０－１２）２＋（１１．８－１２）２＋（１２．３－１２）２＋（１１．７－ １２）２］＝１３３００． 因为１２＝１２，１７５＜ １３ ３００， 所以该班应该选择甲参加学校的展示活动． 能力提高　９．Ａ；　１０．１或６． １１．（１）表格从左到右、从上到下依次填入８５，８５，８０． （２）初中代表队与高中代表队选手决赛成绩的平均 数相同，初中代表队选手决赛成绩的中位数高，故初中 代表队的决赛成绩较好． （３）初中代表队选手决赛成绩的方差为：１５×［（７５ －８５）２＋（８０－８５）２＋２×（８５－８５）２＋（１００－８５）２］＝ ７０； 高中代表队选手决赛成绩的方差为： １ ５ ×［（７０－ ８５）２＋（７５－８５）２＋（８０－８５）２＋２×（１００－８５）２］＝ １６０． 因为７０＜１６０，所以初中代表队选手的成绩较为稳 定． ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１１．乙；　１２．５８；　１３．９；　１４．６； １５．１９５或４或 ２１ ５． 三、１６．甲 的 平 均 成 绩 为：８５×７＋９０×３７＋３ ＝ ８６．５（分）； 乙的平均成绩为： ９２×７＋８２×３ ７＋３ ＝８９（分）． 因为８６．５＜８９，所以乙将被录取． １７．（１）１１，７９，７８．８． （２）１１＋４＝１５（人）．１５＜１８，人数不超． ７９×１１＋５２．３×４＝１０７８．２（ｋｇ）＜１１００ｋｇ，总重 不超． 所以这队运动员和这４位女士能一起安全地搭乘这 部电梯． １８．何亮的成绩更稳定．理由如下： 赵明在训练中排球垫球个数的平均数为： １ ５ ×（２５ ＋２３＋２７＋２９＋２１）＝２５，方差为：１５×［（２５－２５） ２＋ （２３－２５）２＋（２７－２５）２＋（２９－２５）２＋（２１－２５）２］＝ ８； 何亮在训练中排球垫球个数的平均数为： １ ５ ×（２４ ＋２５＋２３＋２６＋２７）＝２５，方差为：１５×［（２４－２５） ２＋ （２５－２５）２＋（２３－２５）２＋（２６－２５）２＋（２７－２５）２］＝ ２． 因为２５＝２５，８＞２，所以何亮的成绩更稳定． １９．（１）８，７２． （２）小明的说法错误．理由如下： 本次调查中平均每周家务劳动时长的中位数是 ３．５ｈ．因为小明平均每周家务劳动时长是３．６ｈ，比中位 数大，所以他做家务劳动的时长超过一半的人． （３）本次调查中，获奖的学生有：５０－５－８－１５＝ ２２（名）． １５００×２２５０＝６６０（名） 答：获奖的学生约有６６０名． ２０．（１）ａ＝６，ｂ＝４．７，ｃ＝４．７５． （２）若选择众数４．７ｋｇ，这３００箱大枣共损坏了：３００ ×（５－４．７）＝９０（千克）； 若选择平均数或中位数４．７５ｋｇ，这３００箱大枣共损 坏了：３００×（５－４．７５）＝７５（千克）． （３）若选择众数，１０×５×３００÷（３００×５－９０）≈ １０．６４（元），所以至少定价１０．７元才不亏本； 若选择平均数或中位数，１０×５×３００÷（３００×５－ ７５）≈１０．５３（元），所以至少定价１０．６元才不亏本． ２１．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５ －２－１＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、 ５千元、６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、 ４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２ ＋６×４＋７×２＋８×１）＝６（千元）， 方差为： １ １０×［（４－６） ２＋２×（５－６）２＋４×（６－ ６）２＋２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６， 所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千 元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于 ６千元的有７名， 所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位 数，所以ｎ的最小值为：７－３＝４． 所以当这４名员工工资低于６千元，且是较高工资 时，这４名员工的工资和取得最大值． 所以这４名员工的工资分别为４千元、４千元、５千 元、５千元． 所以这４名员工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５ ＝１８（千元）． 复习专号参考答案 《二次根式》专项练习 １．Ｃ；　２．ｘ≥ ５２；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５ 槡．－ －ｙ； ６．Ｃ；　７．Ａ；　８．Ａ． ９．（１）０；　（２）９－ 槡３２２；　（３）槡６２； （４）－４３＋ 槡６５． １０．因为ｘ＋ｙ＝槡２，ｘｙ＝１－槡２，所以 （１）（ｘ＋１）（ｙ＋１）＝ｘｙ＋ｘ＋ｙ＋１＝１－槡２＋槡２＋ １＝２． （２）ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝（ｘ＋ｙ）２－３ｘｙ＝（槡２） ２－３（１－ 槡２）＝ 槡３２－１． １１．Ａ；　１２．Ｃ；　１３．ｘ＜－１０－ 槡５５； １４． ｘ＝－１， ｙ＝槡３＋１２ { ． 《二次根式》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ 二、９．答案不惟一，如 ｘ－槡 ２；　１０．＜； １１．－５－ 槡３３；　１２．槡２２＋２或槡２＋４． 三、１３．（１）０；　（２） 槡３２１０；　（３） ７ ３． １４．根据题意，得３ｘ－１０＝２，２ｘ＋ｙ－５＝ｘ－３ｙ＋ １１．解得ｘ＝４，ｙ＝３．所以ｘ，ｙ平方和的算术平方根为： ｘ２＋ｙ槡 ２ ＝５． １５．根据数轴，得ａ＜０，ａ＋ｃ＜０，ｃ－ｂ＜０，ｂ－ａ＞ ０．所以原式 ＝－ａ＋ａ＋ｃ＋ｂ－ｃ－（ｂ－ａ）＝ａ． １６．（１）因为（－槡３） ２＝３，（－４）２＝１６，（－槡２２） ２＝ ８，所以－槡３＞－槡２２＞－４．所以ｍａｘ｛－槡３，－４，－ 槡２２｝ ＝－槡３． （２）因为槡１２＝ 槡２３，槡 １ ３ ＝ 槡３ ３，－ ４ 槡３ ＝－ 槡４３３， 所以Ｍ｛槡１２，槡 １ ３，－ ４ 槡３ ｝＝ 槡２３＋槡 ３ ３－ 槡４３ ３ ３ ＝ 槡３ ３． １７．（１）两个正方形的面积之和为：ａ２＋ｂ２ ＝１２＋ （槡２） ２ ＝３． （２）根据题意，得 ∠ＡＣＤ ＝∠ＤＣＦ＝４５°．所以 ∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＦ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２ ＝１０，ＣＦ２ ＝ＣＥ２＋ＥＦ２ ＝６．所以 ＡＦ＝ ＡＣ２＋ＣＦ槡 ２ ＝４． （３）因为ａｍ－ｂｎ＝槡３，ａｎ＋ｂｍ＝槡５，所以（ａｍ－ ｂｎ）２ ＝３①，（ａｎ＋ｂｍ）２＝５②．① ＋②，得ａ２ｍ２＋ｂ２ｎ２－ ２ａｂｍｎ＋ａ２ｎ２＋ｂ２ｍ２＋２ａｂｍｎ＝（ａ２＋ｂ２）（ｍ２＋ｎ２）＝ ８．根据题意，得ａ２＋ｂ２ ＝２，（ｍ＋ｎ）２ ＝６．所以２（６－ ２ｍｍ）＝８．解得ｍｎ＝１．所以Ｓ△ＡＣＦ ＝ １ ２×槡２ｍ×槡２ｎ＝ １． 《二次根式》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．槡２３；　１０．６８；　１１． 槡２４ １３； １２．５－ 槡２６或 －５－ 槡２６． 三、１３．（１）槡ａ２；　（２） 槡１６５ ３ ；　（３）５． １４．因为 １ 槡２６＋５ ＜１，所以 ｘ－１＜０．所以原式 ＝ ｘ２－ｘ－１ ｘ ．当ｘ＝ １ 槡２６＋５ ＝５－槡２６时，原式 ＝－槡４６－１． １５．（１）槡４５，槡５． （２）长方体盒子的底面边长为：槡４５－ 槡２５＝ 槡２５≈ ２×２．２４≈４．５（ｃｍ），体积为：槡２５×槡２５×槡５＝ 槡２０５≈ ２０×２．２４＝４４．８（ｃｍ３）． １６．（１）因为ｘ＝２－槡３，ｙ＝２＋槡３，所以ｘ＋ｙ＝２ －槡３＋２＋槡３＝４，ｘｙ＝（２－槡３）（２＋槡３）＝４－３＝１． （２）ｘ２＋ｙ２－３ｘｙ＝（ｘ＋ｙ）２－５ｘｙ＝４２－５×１＝ １１． （３）因为 －２＜－槡３＜－１，所以０＜２－槡３＜１．因 为 ｘ的小数部分是ａ，所以ａ＝２－槡３．因为３＜２＋槡３＜ ４，ｙ的整数部分是 ｂ，所以 ｂ＝３．所以 ａｘ－ｂｙ＝（２－ 槡３）（２－槡３）－３（２＋槡３）＝４－ 槡４３＋３－６－ 槡３３＝１ － 槡７３． １７．（１）槡３２－４＝ （槡３２－４）（槡３２＋４） 槡３２＋４ ＝ ２ 槡３２＋４ ， 槡２ ３ － 槡１０ ＝ （槡２３－槡１０）（槡２３＋槡１０） 槡２３＋槡１０ ＝ ２ 槡２３＋槡１０ ．因为 槡３２＞ 槡２３，４＞槡１０，所以 槡３２＋４＞ 槡２３＋槡１０．所以 槡３２－４＜ 槡２３－槡１０． （２）由１－ｘ≥０，１＋ｘ≥０，ｘ≥０，得０≤ｘ≤１． ｙ＝ １槡 －ｘ＋ （ １槡 槡＋ｘ－ ｘ）（ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ） １槡 槡＋ｘ＋ ｘ ＝ １槡 －ｘ＋ １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ ． 当ｘ＝０时， １槡 槡＋ｘ＋ ｘ有最小值，则 １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ 有最大值１，此时 １槡 －ｘ有最大值１，所以ｙ的最大值为 ２； 当ｘ＝１时， １槡 槡＋ｘ＋ ｘ有最大值，则 １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ 有最小值槡２－１，此时 １槡 －ｘ有最小值０，所以ｙ的最小 值为槡２－１． 《一元二次方程》专项练习 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．Ａ；　５．Ｃ；　６．Ｄ． ７．（１）ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－２； （２）ｘ１ ＝ ９＋槡１７ ４ ，ｘ２ ＝ ９－槡１７ ４                                                                                                                                                                                         ； !" ! " # $ ! " # $ !" 书 （３）ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝－１； （４）ｘ１ ＝ｘ２ ＝１． ８．Ｂ；　９．ｍ≥－１８且ｍ≠０． １０．（１）根据题意，得Δ＝（－２ｋ）２－４（ｋ２－１）＝４ ＞０．所以不论ｋ取何值，方程总有两个不相等的实数根． （２）由求根公式，得ｘ＝２ｋ±槡４２ ＝ｋ±１．所以ｘ１＝ ｋ＋１，ｘ２＝ｋ－１．当ｋ＋１＝５时，ｋ＝４；当ｋ－１＝５时， ｋ＝６． 综上所述，ｋ的值是４或６． １１．Ｃ；　１２．Ｂ；　１３．３；　１４．Ａ；　１５．３６． １６．（１）设土豆的平均亩产量的年增长率为ｘ． 根据题意，得１０００（１＋ｘ）２ ＝１４４０． 解得ｘ１＝０．２＝２０％，ｘ２＝－２．２（不合题意，舍去）． 答：土豆的平均亩产量的年增长率为２０％． （２）设该合作社增加土豆种植面积 ａ亩，才能保证 土豆种植的总成本不变． 根据题意，得（１００＋ａ）（１２００－１０ａ）＝１２００×１００． 解得ａ１ ＝２０，ａ２ ＝０（不合题意，舍去）． 答：该合作社增加土豆种植面积２０亩，才能保证土 豆种植的总成本不变． 《一元二次方程》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．２ｘ２－４ｘ－１＝０；　１０．－２；　１１．８； １２．１或２． 三、１３．（１）ｘ１ ＝ ５ ３，ｘ２ ＝－ １ ３； （２）ｘ１ ＝ ４ ３，ｘ２ ＝－２； （３）ｘ１ ＝ｘ２ ＝槡 ３ ３． １４．由题意，得ｍ２－３ｍ＋２＝０，ｍ－１≠０．解得ｍ＝ ２． １５．（１）根据题意，得Δ＝［－（ｋ＋３）］２－４×１×（２ｋ ＋２）＝ｋ２－２ｋ＋１＝（ｋ－１）２≥０．所以该方程总有两 个实数根． （２）解ｘ２－（ｋ＋３）ｘ＋２ｋ＋２＝０，得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ ｋ＋１．因为方程有一个根小于 －３，所以ｋ＋１＜－３．解得 ｋ＜－４． １６．（１）△ＡＢＣ是等腰三角形．理由如下： 把ｘ＝－１代入方程（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ｂ－ｃ）＝０， 得ａ＋ｃ－２ｂ＋ｂ－ｃ＝０．解得ａ＝ｂ．所以△ＡＢＣ是等腰 三角形． （２）因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ａ＝ｂ＝ｃ．此时 方程（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ｂ－ｃ）＝０可化为ｘ２＋ｘ＝０．解 得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－１． １７．（１）１３．４． （２）设需要销售ｘ辆汽车，则每辆汽车的销售利润 为１５－［１３．５－０．０５（ｘ－１）］＝（０．０５ｘ＋１．４５）万元． 当ｘ≤１０时，（０．０５ｘ＋１．４５）ｘ＋０．２５ｘ＝１２．整理， 得ｘ２＋３４ｘ－２４０＝０．解得ｘ１＝６，ｘ２＝－４０（不合题意， 舍去）． 当ｘ＞１０时，（０．０５ｘ＋１．４５）ｘ＋０．７ｘ＝１２．整理，得 ｘ２＋４３ｘ－２４０＝０．解得ｘ１ ＝５（不合题意，舍去），ｘ２ ＝ －４８（不合题意，舍去）． 答：需要销售６辆汽车． 《一元二次方程》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ 二、９．１；　１０．－１；　１１．２０２５；　１２．３． 三、１３．（１）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－ １ ２； （２）ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３； （３）ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－ ２ ５． １４．设应减少ｘ条生产线． 根据题意，得（８０－ｘ）（８＋４１０ｘ）＝８４０． 解得ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝５０． 因为ｘ≤８０×２０％ ＝１６，所以ｘ＝１０． 答：应减少１０条生产线． １５．因为ｐ是方程的一个实数根，所以ｐ２－２ｐ＋ｎ－１ ＝０，即ｐ２－２ｐ＝１－ｎ．因为（ｐ２－２ｐ＋３）（ｎ＋４）＝７， 所以（１－ｎ＋３）（ｎ＋４）＝７．解得ｎ＝３或ｎ＝－３．因 为关于ｘ的一元二次方程有实数根，所以 Δ≥ ０，即 （－２）２－４（ｎ－１）≥０．解得ｎ≤２．所以ｎ＝－３． １６．（１）根据题意，得Δ＝［－（２ｋ－１）］２－４（ｋ２－２） ＝９－４ｋ≥０．解得ｋ≤ ９４． （２）因为ｋ是符合条件的最大整数，所以ｋ＝２．此时 原方程为ｘ２－３ｘ＋２＝０．解得ｘ１＝１，ｘ２＝２．因为一元 二次方程（ｍ－１）ｘ２＋ｘ＋ｍ－３＝０与方程ｘ２－（２ｋ－１）ｘ ＋ｋ２－２＝０有一个相同的根，所以当ｘ＝２时，４（ｍ－１） ＋２＋ｍ－３＝０．解得ｍ＝１（不合题意，舍去）．当ｘ＝１ 时，ｍ－１＋１＋ｍ－３＝０．解得ｍ＝ ３２． １７．（１）２． （２）（ｙ２－３ｙ）２－４ｙ２＋１２ｙ＝（ｙ２－３ｙ）２－４（ｙ２－３ｙ） ＝（ｙ２－３ｙ）（ｙ２－３ｙ－４）＝０．所以ｙ２－３ｙ＝０或ｙ２－ ３ｙ－４＝０．解方程ｙ２－３ｙ＝０，得ｙ１＝０，ｙ２＝３；解方程 ｙ２－３ｙ－４＝０，得ｙ３＝－１，ｙ４＝４．所以原方程的解为ｙ１ ＝０，ｙ２ ＝３，ｙ３ ＝－１，ｙ４ ＝４． 《勾股定理》专项练习 １．Ｂ；　２．８． ３．连接ＢＥ，图略．由尺规作图可知ＭＮ为ＡＢ的垂直 平分线．因为ＣＥ＝ １３ＡＥ＝１，所以ＡＥ＝３．所以ＡＣ＝ ＡＥ＋ＣＥ＝４，ＢＥ＝ＡＥ＝３．在Ｒｔ△ＥＣＢ中，由勾股定理， 得ＢＣ＝ ＢＥ２－ＣＥ槡 ２ ＝ 槡２２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定 理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２６． ４．Ｄ． ５．在△ＡＣＤ中，ＡＣ２ ＝２５，ＣＤ２ ＝１，ＡＤ２ ＝２６．因为 ＡＣ２＋ＣＤ２ ＝ＡＤ２，所以△ＡＣＤ是直角三角形，且∠Ｃ＝ ９０°．因为ＢＤ＝４，ＣＤ＝１，所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５．在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡５２． ６．１０． ７．（１）在 Ｒｔ△ＭＮＢ中，ＢＮ ＝ ＢＭ２－ＭＮ槡 ２ ＝ ４５ｍ．所以ＡＮ＝ＡＢ－ＢＮ＝８０ｍ．在Ｒｔ△ＡＭＮ中，ＡＭ＝ ＡＮ２＋ＭＮ槡 ２ ＝１００ｍ．所以供水点Ｍ到喷泉Ａ，Ｂ需要 铺设的管道总长为：ＡＭ＋ＢＭ ＝１７５ｍ． （２）因为ＡＢ＝１２５ｍ，ＡＭ＝１００ｍ，ＢＭ＝７５ｍ．所 以ＡＢ２ ＝ＢＭ２ ＋ＡＭ２．所以 △ＡＢＭ是直角三角形，且 ∠ＡＭＢ＝９０°．所以ＢＭ⊥ＡＣ．所以喷泉Ｂ到小路ＡＣ的 最短距离是７５ｍ． 《勾股定理》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ 二、９．１５；　１０．９０；　１１．１５；　１２．４； 三、１３．因为ＡＣ２＋ＤＣ２ ＝３＋２＝５＝ＡＤ２，所以 △ＡＤＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾 股定理，得ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝槡３ｃｍ．所以ＢＤ＝ＢＣ －ＤＣ＝（槡３－槡２）ｃｍ． １４．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２＝ＡＤ２－ＡＢ２＝４５．在△ＢＣＤ 中，ＢＣ２＋ＣＤ２＝４５．所以ＢＣ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２．所以∠ＢＣＤ ＝９０°，即ＢＣ⊥ＣＤ．所以该车符合安全标准． １５．因为 ＡＢ⊥ ＡＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，ＢＣ＝１７米，ＡＢ ＝８米，由勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＢＣ２－ＡＢ槡 ２ ＝１５米．所以ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＝３５米．在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得 ＢＤ ＝ ＡＤ２＋ＡＢ槡 ２ ＝ 槡１２８９≈３６米． 答：钢丝绳ＢＤ的长度约为３６米． １６．如图，将长方体沿侧面展 开，当动点Ｑ在第５秒拦截动点Ｐ 时，Ｃ１Ｐ＝５．所以 ＣＰ＝ＣＣ１ － Ｃ１Ｐ＝６．因为ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ ８，所以ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＣＰ槡 ２ ＝１０． 所以点Ｑ的速度为：１０５＝２（单位 ／秒）． 答：动点Ｑ的速度至少应设定为２单位 ／秒． １７．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＢＤ＝ ＡＤ＝ 槡２３．因为ＢＣ ２＋ＢＤ２＝１２＋（槡２３） ２＝１３＝ＣＤ２， 所以∠ＣＢＤ＝９０°． （２）过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｆ，图略， 则 ∠ＢＦＣ＝９０°．由题意，得 ＣＦ＝槡３２．所以 ＢＦ ＝ ＢＣ２－ＣＦ槡 ２ ＝１２．因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＤＥＢ＝９０°． 因为ＤＥ＝槡３，ＢＤ＝ 槡２３，所以ＢＥ＝ ＢＤ ２－ＤＥ槡 ２ ＝３． 所以ＥＦ＝ＢＥ＋ＢＦ＝７２．在Ｒｔ△ＣＥＦ中，由勾股定理， 得ＣＥ＝ ＥＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝槡１３． 《勾股定理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．５；　１０．３－槡５；　１１．２０；　１２．２或 槡２７． 三、１３．根据题意，得５２＋（ｘ－２）２＝（ｘ＋１）２．解得ｘ＝ １４ ３． １４．△ＡＢＤ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ ＝ＢＣ＝２，由勾股定理，得ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝８．因为 ＡＢ２＋ＢＤ２＝８＋２２＝１２，ＡＤ２＝１２，即ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２， 所以△ＡＢＤ是直角三角形． １５．因为ＭＮ⊥ＡＢ，所以∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ＝９０°．所 以ＢＮ２＝ＢＭ２－ＭＮ２，ＡＮ２＝ＡＭ２－ＭＮ２．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＭ２－ＢＭ２．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＡＭ２＝ＡＣ２＋ＣＭ２． 所以ＡＮ２－ＢＮ２＝ＡＣ２＋ＣＭ２－ＢＭ２．因为ＡＭ是中线，所 以ＢＭ ＝ＣＭ．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １６．（１）△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ２＋ＢＣ２＝１６０２＋１２０２＝４００００，ＡＢ２＝２００２ ＝４００００，即ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＢＣ是直角三角 形． （２）甲方案所修的水渠较短．理由如下： 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＨ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ，所以ＣＨ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝９６ｍ．因为 ＡＣ＋ＢＣ＝２８０ｍ，ＣＨ＋ＡＢ＝ ２９６ｍ，即ＡＣ＋ＢＣ＜ＣＨ＋ＡＢ，所以甲方案所修的水渠较 短． １７．（１）因为ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，所以ａ＝ｃ，ｂ＞ｃ． 因为△ＡＢＣ是“类勾股三角形”，所以ａｃ＋ａ２ ＝ｂ２，即ｃ２ ＋ａ２ ＝ｂ２．所以△ＡＢＣ是等腰直角三角形．所以 ∠Ａ＝ ４５°． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．由题意，得ＡＤ ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ａ．所以ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｃ－ａ．因为ＣＧ ⊥ＡＢ，所以ＤＧ＝ＢＧ＝１２（ｃ－ａ）．所以ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ ＝ａ＋１２（ｃ－ａ）＝ １ ２（ａ＋ｃ）．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ ２＝ＡＣ２ －ＡＧ２ ＝ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２．在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＣＧ２ ＝ＢＣ２ －ＢＧ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．所以ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２＝ ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．整理，得ｂ２＝ａｃ＋ａ２．所以△ＡＢＣ是 “类勾股三角形”． 《四边形》专项练习 １．Ａ；　２．１１２．５；　３１．１２６０°．　４．Ｄ；　５．Ａ； ６．３；　７．２０；　８．Ｂ；　９．Ｃ． １０．连接ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ ＝ＣＤ．因为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形． 所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ． 所以四边形ＡＣＦＥ是平行四边形． １１．４；　１２．２；　１３．Ｄ；　１４．Ｃ； 槡　１５．２２； １６．２５°． １７．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ ＦＤ，所以ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即ＡＦ＝ＤＣ．在△ＡＢＦ和 △ＤＥＣ中，因为 ＡＦ＝ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＦ≌△ＤＥＣ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝ ∠ＥＣＤ．所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠                                                                                                                                                                                         ＢＦＣ＝ ! 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