第5章 分式与分式方程-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（北师大版）

数理报 专题复习 25 第五章口 面 解：原式=(a-5) a-5 =,故选D ●专项练习 6.下列分式中，最简分式是 分式与分式方程 A 4x +尽 a+6 c 。河北张志是 知识回厨 4.分式的运算 1分试号嘉岩的最简公分母是 (1)分式的桑法法则：两个分式相乘，把 A.6x'y B.3xy 1分式的概念 作为积的分子， 作为积的分 C.6t D.ry 般地，用4，B表示两个整式4+B可以表示成分 母 (2)分式的除法法则：两个分式相除，担 8把衣·高通分，则拉= 的形式如果B中含有学母，那么称合为。 ,其中 后再与被除式相乘 9.约分： A称为分式的 ,B称为分式的 (3)分式的加减法法剩：同分母的分式相加减。 不变，把 相加减：异分母的分式相加 分式有无意义的条件：对于分式，当 时 ω盖22=兴 y-x 减，先 ·北为 然后再按 分式有意义：当」 时，分式无意义 进行计算 考点4：分式的运算 分式的值为0的条件：当 时，分式 (4)分式的乘方：分式乘方要把 例5 化简：(m+5 m+7+m-1)÷m+2 分别乘方 m+1 的值为0. 2分式的基本性质 5.分式方程 解：原式=细+5，m-)(m+山]，m+ m+1 m+】 m+2 分式的分子与分母都莱（或除以）同一个 分母中含有 的方程叫做分式方程 的整式，分式的值不变 解分式方程的基本思想：将分式方程化为整式方 m+1m+2=m+2 程 ●专项练以 ÷m 解分式方程的步藏：(1)方程两边同乘最简公分母】 10.计算： 3,分式的约分与通分 化分式方程为 兽产 21 (1)分式的的分：根据分式的 ,把一个分式 (2)解这个整式方程： 的分子和分母的 约去 (3)检验，即将整式方程的解代入 ,看最简 (2)最简分式：分子与分母设有 的分式 公分母是否为0.若是0，则此解为原方程的增根，若不是 11.先化简，再求值： (3)分式的通分：根据分式的 ,把几个0，则此解为原方程的解： 的分式分别化成与原来的分式」 的 (4)写出此方程的解 0如果4-6=2，求代数式(：世-2)·。 的分式 分式方程的应用：寻找等量关系列分式方程，最后 的值 (4)最简公分母： 的公分母 要进行“双验根” x2-4 (2)(产点2-)4r+4并从-22,4中选 考点2：分式的甚本性质 个合适的数作为x的值代人求值， 考点解密 考点5：分式方程及其应用 例3若x,的值均扩大到原来的3倍，则下列分式 考点1：分式的骶念 的值一定保持不变的是 例6 那分式方超，号十+礼 1 例1若分式，十有意义，则：的取值范国是 A.2 I-y B多 解：方程两边都乘(x+3),得2x+1=1+米+3.解 x 得x=3经检验，x=3是原分式方程的根 c 3x ●专项练习 A,x≠-1 B.x≠0 解：由分式的本性质可知选项A,B,C均不成立 C,x≠1 D.x≠2 2已知关于的方号。二=分的解是1，则 故选D. 解：由圆意，得x+1≠0.解得x-1.故选A a的值是 ●专项练习 ●专项练习 13解分式方程： 4 1下列试子-6 1 32中 4根据分式的基木性质，分式，号可变形为 分式有 4 A.1个 B.2个 A.-x-y a士。 C.3个 D.4个 例7关于的分式方程受+士=3有增根， 2婴使分式卫有查义，则x的取值范围是 则m■ 5.下列各选项中，从左边到右边的变形正确的是 解：方程两边都乘(x-2),得x+m-1=3(x-2) ( 例2若分式的值为0，则的值是( 4号=器 解得x=“宁因为分式为程有增限，所以-2=0解 B二4=-1 得=2所以=2解得m=-1故填-1 A.1 B.0 a+b ●安项练习 G.-1 D.-3 0.5a+b .5a+b 解：由题意，得x-1=0,且3x+1≠0解得x=1 4若分试方程2+冷=亡无解，则的值是 故选A ●专项练习 D.-m-n=-m-n A.±I B.2 3.下列分式的值，以为0的是 考点3：分式的约分、通分 C.1或2 D.-1或2 出 B出 例4计算，-5 a-5 15已知关于x的分式方程？+号=1的解是负数。 C+2x+1 A.a-5 B.a+5 则m的取值范围是 x+1 D出 C.5 D.a (下转第4版) 4 专 题复习 数理极 (上接第3版) ●专项练习 |(上接第10版) 9.如图10.在△4BC中，∠C 12,如图12，△ABC中.BD平分∠ABC.EF垂直平分 考点4：作图与图案设计 =90°，AC=10m,BC=5cm, BC交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60 例5如图10，在8×5的正方形网格中，每个小正 条线段PQ=AB,P,Q两点分别在 LABD=25°，则∠ACF的度数为 AC上和过点A且垂直于AC的射 方形的边长均为【，△ABC的三个顶点均在小正方形的 A.70 B.509 线AQ上运动，问点P运动到AC上 图0 顶点上 C.45 D.25 什么位置时，△ABC能和△APQ全等（根据直角三商 (1)在图10-①中画△ABD(点D在小正方形的项 形企等的利定方法“HL”解答) 点上)，使△ABD的周长等于△ABG的周长，且以A,B, 考点4：反证法与互逆命题 C,D为顶点的四边形是轴对称图形： 例4牛领曾说过：“反证法是数学家最精良的武器 (2)在图10-②中画△ABE(点E在小正方形的顶 之一.“那么我们用反证法证明“若a>6>0,则石 点上)，使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A,B, 图12 图3 不”，首先应该假设 13.如图13.AD与BC相交于点0，OA=0C.∠A= C,￡为顶点的四边形是中心对称图形并求出该四边形 A. B./a> ∠C,BE■DE.求证：OE垂直平分BD 的面积 C.a<6 D.a≥B 考点6：角平分线的性质与判定 解：选D 例7如图14，已知AD是△ABC ●专项练习 的角平分线，DE,DF分别是△ABD和 10.我们用反正法证明命题“三角形中不倦有两个 图10 △ACD的高，AE■12，DF=5,则点E 直角”，应先假设 解：(1)如图11-①： A.三角形中有一个内角是直用 到直线AD的距离为 (2)如图11-②四边形ACE的面飘为：2×4=8 B.三角形中有两个内角是直角 解：如图14，过点E作EH⊥AD C.三角形中有三个内角是直角 于点H.因为AD是△ABC的角平分 图14 D.三角形中不能有内角是直角 线，DE⊥AB,DF⊥AC,所以DE=DF=5.在R△ADE 例5命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题中，4E=12,由勾股定理，得4D=√AE+DE=13.因 ① 是 ,它是 (填“真”成 图11 “假”)命题 为5度子0M=宁5：DE,所以团=-1S AD ●专项练习 解：填有两个角相等的三角形是等腰三角形，真 9.如图12，在4×4的方格中，有4个小方格被涂思 ●项线习 骨所以点E到直线0的距离为号 60 成“L形” .下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是 故龄号 (1)在☒12一①中再涂黑4格，使新涂氯的图形与 原来的“L形”关于对称中心点0成中心对称： A.若a=b.则3a=36 ●专项练习 (2)在图12-②和图12-③中再分调涂黑4格，使 B.若ma2>na,则m> I4.如图15，在△ABC中，∠C=90°，BD平分 新涂黑的图形与原米的“L形”所组成的新图形既是轴 C.全等三角形的面积相等 ∠ABC,交AC于点D,AC=15m.AD=9Cm,DE⊥AB 对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）， D,全等三角形的对应角相等 则DE= 考点5：线段垂直平分线的性质与判定 例6如图11.在 △ABC中，DE是BC的垂直 平分线若AB=5,AC=8, 测△ABD的周长是 图12 1411 15 16 (专项练习答案参见第15-18版】 解：因为DE是BC的垂直平分线，所以BD=CD,所 15,如图16.点0在△ABC中，且到三边的距离相 以△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB 等，连接0B,0C.若∠B0C=126°，则∠A的度数是 (上接第25版】 +AC=13 例8随著中国网民规模突破10忆，博物馆美有不 故填13 (专项练习答案参见第15~18版】 断向线上拓展，敦煌研究院病势拉出数字敦煌文化大使 摇”，受到广大敦烛文化爱好者的好评，某工厂计划 (上接第7版) x轴于点B,且(AB+OA)(AB-OA)=- ,则不等式心 制作3000个“伽加瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际 考点5：三个“一次”的关系 +b>0的解集为 平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天 例5如图1，一次函数y=+b(k,b为常数，且k 完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件 B.x>3 <0)的图象与直线y=了都经过点A(m,),当：+ 解：设原计划平均每天制作x个摆件 D.x<3 b>了时，的取值范国 根据划意，牌3吧-=5解将：=20 经检监，x=200是原分式方程的恨，且符合题意 答：原计划平均每天作200个摆件 ●项练习 16贵州省出台“引客入黔”团队旅游及营销奖动协 图2 法，助推旅游市场强劲复苏某旅行社5月1日阻住某景 12.若关于x的方程2x-3m=1的解是负数，则m的 A.x<3 B.x>3 区A,B两种客房一天，下面是有关信息：用6000元租到 C.x<1 取值范围是 D.x>1 4客房的数量与用4400元租到B客房的数量相等，已知 13,如图3，在平面直角华标系中，直线1，过4(-6 解：把点A(m,1)代人=了子，得了m=L解得m 0),B(0,3)两点，点C在直线L上.点C的纵华标是4. A客房的单价比B客房的单价多80元 (1)求直线1，的压数表达式及点C的坐标 (1)求A.B两种客房的单价： ■3.所以A(3,1).由图象，得当#<3时，直线y■ (2)直线在直线上方时，的取值范围是 (2)若租住A,B两种客房共30间，A客房的数量不 在一次函数y■红+6的下方， (3)若点D为直线4上一动点，且△OBC与△0AD 低于B客房数量的}，且所花总费用不高于7600元，则 故选A. ●专项练习 的面积相等，试求点D的坐标 有娜几种租住方案？ 11.如图2，直线y=红+6(k<0)交y轴于点A,安 (专项练习答案参见第15~18版】 (专项练习答案参见第15~18版)数理极 参考答案 17 19,(1)(y42)(x-9). 报据盟意.得360.1+360-1+3.解得x=36 (2)r-b加+g2-=e(g-b)+(a◆b)(a-)=(a 1.5 b)(a+b+c). 2宁a125:141减3 经检验，￥=3斯是原分式方程的根，且符合幽意 (3)这个三角形是等边三角形理由如下： 三52当 所以30-3：7 #2-2b+22-2k+2ma2-2ab+b2+2-2k+2■ (a-)3+(B-r)3=0因为(a-b)2≥0，(-c)22≥0.所以 答：宽成第一项任务实际需要7天 a-B=0,b-e=0,即a=b,b=公所以4==6所以这个 16a=(2=-4 (2)1>与.理由如下： 三角形是等边三角形 17.(1)②，分式的基本性硬. 甲方案4：四，增。1四少（无）：乙方案根据型 《因式分解》复习检测题 (2)不正疏，第③步出现错误正确的解整过程如下： 16 原式=m-4m+“m4=m-4m+4 ，得a:+兰=解得：所以46 题号123456 2(+4) 16-2m-8 -2(m-4) 78 +6 ab(a+b) (m-4)(m+4) (m-4)(m+4)(m+4)(m-4 所以(a-)2>0,ab(a+b)>0所以4-与>0，即与>. 案DACBBACD m+4 二9.-12：10.11；11.>N216 《平行四边形》专项练习 13.20:144或-4 1区)被字得4代鞋的代数式为：吕· 1 L.D:2.A:3.3:4,48:5B:6.C 三，15.原式=2(42-4+y)=2y(2x-y).当对= 2-1 x-132 7.连接CE,路.因为D是AC边的中点，所以AD▣CD因 3,2x-y=-1时，原式=6 -2+“fx+-= 为DE=D,所以四边形ABC下是平行四边形所以AE=BC,AB 16,设这三个连续叫放分别是2n-2,2n,2a+2.所以它们的 2)原代数式的值不能等于-1，理由如下： ∥BC,因为CF■BC,所以CF=AE历以四边形ACFF是平行 平方和是(2n-2)2+(2a)2+(2m+2)2=4n-8测+4+4n +4m2+8m+4=12m2+8=4(3n2+2).因为n是正整数，所以 当代数式的值等于1 =-1解得￥=0经检， 四边形 8.D 9.A:10.112.5:1l.1260 它的平方和是“4倍数”. 2-1 :0是该分式方程的根要使代数式一市(“一2x+司 ◆ 17,〔1)白题宜，得4■(s+4)(2x-1)■2：2-x+8x-4 《平行四边形》复习自测题 =2,2+7x=4. 本行有意义，别x-1≠0，r≠0且x+10x1.0,-1所 (2)因为x-2能胸除x2+红-14，所以当x-2=0时，x2 以原代数式的慎不能许于-1 恐号12345678 +红-14=0.当x=2时，x2+红-14=4+2h-14=0.解得 19.(1)设A奖品的单价是r元，B奖品的单价是y元 人=5 答案BACBBBDC 18.(1)(a+26)(2a+b) 0:+a画三o解聘化=25 根起题意，得+y=35, y=10. 二、92027：0135：1l.答案不惟一，妇DF-E (2)由题意，得22+22=20.6a+6b=24.所以a2+2= 答：A奖品的单价漫25元.B奖品的单价是10元 12.3:13.4:14(0。-6)或(0，-2)或(0,6 10,4◆6=4.所以b=3所以中空白部分的积为：5a动= 三、5.因为四边形ARCD是平行四边形，所以AB∥CD.OA 5平方祖米 (2)①设甲商场的南品打a拆 =OC,BC=AD=3所以∠OAE=∠OF由对顶角相等，得 19.(1)(-1) 根题意.得200 -2×200 m5.解得m■8 ∠AOE∠COF,所以△AOE≌△COF(ASA),所以AE=CF (2)设2+6r=y,则原式=y+18)+81=2+8y+ 10×10 25×10 0E=OF所以EF=20F=2.6,所以四边形BCFB的周长为： 81=(y+9)2=(2+6x+9)2=(x+3) 轻检验，■8是原分式方型的根，且符合题包 EF CF +BC BE EF AE +BC BE EF BC +AB 答：甲商场的商品打8折 9.6 ②题意，得25×0.8m+10×0.8a=2Sm+10(a-m).解 6设这个多边形的边数是 y-1所以原贰=y-1+0-+0-》=0-0 得5m=2.所似当5m=2山时，在甲.乙两个场所花费用样 根意，得(n-2)×180°■3×360°-180，解得N■7 《分式与分式方程》复习检测题 答：这个多边形的数是7 -y+0x-0=-而+y0+0=0 17.取BC的中点H,连接EH,H,图路.因为E,F分别是 《分式与分式方程》专项练习 ,CD的中点.所以EH=4G=2cm,FH=BD=3m 题号1234567 H∥AC,下H∥BD.因为AC⊥b.所以∠FF■90°，在 1.B:2x-2且x≠0：3.D:4.C:5B: m△EHF中，由勾股定理，得EF=EP+FF=区em =2g1a5:l320号 18.(1)因为AC=AD,∠C40=70°，所以∠AC=∠ACD 9)2)-2-2 1以-2：4-3或-9或-号 =子180-∠CD)=5因为四边形ABCD是平行四边形， w高e 所以乙ABC=∠ADC=55" 三5.(=-子2：= (2)因为四边形ABCD是平行边形.所以0A=C,0B 11,(1)原式=4-6因为a-6=2,以原式=2 16.(1)原式=-2a-6因为2-g≠0，且3-a0,所以 O0.因为AE=CF.BG=DH.所以OA-AE=C-CF,OB-BG (2)原式=子2因为=2或-2时，原分式无意义.所以 :a2且a≠3.所以4=D或1.当4=0时，原式=-6：当a=} =OD-DH.即OE=OF.0G=OH所以四边形FGFH是平行四 边形 年=4.当=4时.原式=分 1时.原式=-8 19.(1)因为AB∥CD,所以∠E4F=∠CD.由对打顶角相等 ,当a=厅-2时， 12.-1. 2)原式=2+ 得∠AEF=∠CED.又因为AE。CE,所以△AEFS △CED队ASA).所以AF=CD,所以四边形AFCD是平行四边形 13.(1)x=-13:(2)无解 (2)过点C作CW⊥AB于点M,图路.以∠CMA=∠CMB 14.C:15.m<5且m3 16.(1)设A客房的中价是x元.利B答房的中价是(：-8即)元 17,设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，利燃油车 =90°，因为An∥GD.LDCB·135°，所以∠B■180°-∠DCB 根u您，有的0四0-阅得=30m 平询公甲的加站费为(x+0,8)元 =45°，所以∠BCM■45°■∠R.所以C=BM.在ABCW中， 由勾股定理，得C+B=C2,即2C=6d.解得CM=4万 经检验，本=0是原分式方程的根，且符合题意， 因为∠B4C■60.所以∠ACM■90°-∠B4C■30°，以AG 所以x-80=220. 经检龄，*=0,2是原分式方程的根.且符合脑商 2LM.由勾股定理，得CM=√AC-证=尽AM=4反.锦得AM 答：A客房的单价是300元，B客房的中价是220元 答：这款电动汽车平均询公里的克电费为0.2元 (2)设相住A客房m间，利图住B客房(30-网)间， 18.(1)A与B五为"和整分式" -5以4C=2w8 3 根型意.得m多子(30-m, 因为4+8=号： 1-2 x-2 《平行四边形》复习检测题 【30m+220(30-m)≤7600 所以A与君互为“和整分式”，“和毕氧表=3 解得10金m612.5 2c+0=+-, 因为m是整数.所以m。0.1,2,所以有3种租住方案： 题号12345678 ①租生A客房10间，租生B客房20间： 签常DCBCD BCA ②祖住A客房11间，祖生B客房19间： 式”，且“和整值"k3,所以32+2x-8+G3(x+2》(无-2) 二、9.两组对边分相等的四边形是平行四边形 3租生A客房12同.租住B客房18间 3x2-12.所以G3x2-12-32-2x+8■-2-4.所以D 10.1cm或5m11.12:12.115":132: 《分式与分式方程》复习自测题 云+2：-2万=2一因为分式D的值为正数数4，所以2 =2r-4 2 14.1或3或13. 三、15.由题意，得∠CDE=∠F=110°，AB∥CD,AD= x=1或2-x=2.解得x=1或0.又因为x为正整数，所以x= DE,所以∠ADC=180-∠BAD=120,∠DAE=∠DFA所以 题号12345678 1.所以1的值是2 ∠ADE=360°-∠ADC-∠CDE=30.所以∠DAE= 9.(1)设原计划每天生产x辆，则第天后每天生产 案BCBBADBA 1.5r辆 2 -(1802-∠ADE)m25