5.4　分式方程 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 5.4　分式方程 暑假巩固 一、用待定系数法确定字母的取值范围 1.关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A.m＞3 B.m≥﹣3 C.m＞﹣3且m≠﹣2 D.m≤﹣3 2.分式方程=0解的情况是（　　） A.有解，x=1 B.有解，x=5 C.有解，x=4 D.无解 3.若有理数m满足+2=0，则下列对m的值估计正确的是（　　） A.﹣2＜m＜﹣1 B.﹣1＜m＜0 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2 4.若关于x的方程的解不大于8，则m的取值范围是　   　． 5.若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　 　． 6.阅读下列材料，解答问题：若关于x的方程的根大于0，求a的取值范围． 解：去分母，得x﹣a=﹣（x﹣2），解得， ∵x＞0，∴＞0，∴a＞﹣2． 又∵x﹣2≠0，即x≠2，∴≠2，a≠2， ∴a的取值范围是a＞﹣2且a≠2． 问题：若方程的根是负数，试求a的取值范围． 7.已知关于x的方程+1=无解，求a的值． 二、分式方程的增根 1.若关于x的方程没有增根，则m的值不可能是（　　） A.3 B.2 C.1 D.﹣1 2.下列判断正确的是（　　） A.解分式必定产生增根 B.若分式方程的根是零，则必定是增根 C.解分式方程必须验根 D.x=3是方程的根 3.从3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（　　）. A. B.3 C.﹣3 D.﹣ 4.关于x的方程无解，则k的值为　    　． 5.若关于x的方程+=有增根，则k的值为　    　． 6.解关于x的方程时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值． 7.若关于x的分式方程-1=无解，求m的值. 三、其他（利润）问题 1.某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 2.某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50 000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价．若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（　　） A. B. C. D. 3.“五一”节即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%．那么乙种商品单价是（　　） A.2元 B.2.5元 C.3元 D.5元 4.某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　       ． 5.小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　       ． 6.为响应“足球进校园”的号召，某校到商场购买甲、乙两种足球，购买甲种足球共花费1 600元，乙种足球共花费1 200元．已知甲种足球的单价是乙种足球单价的2倍，且购买甲种足球的数量比乙种足球少10个． （1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示表中相关的量； （2）列方程求乙种足球的单价． 7.某市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2 000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同. （1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？ （2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2 000件物品，需筹集资金多少元？ 四、工程问题 1.某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　） A.甲乙合作了4天 B.甲先做了4天 C.甲先做了工程的 D.甲乙合作了工程的 2.某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各为多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均亩产量为1.5x万千克．根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 3.某加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（　　） A. B. C. D. 4.甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同．已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意列方程　　        ． 5.某工厂原计划生产7 200顶帐篷，后来有一个地区突然发生地震，要求工厂生产的帐篷比原计划多20%，并且需提前4天完成任务．已知实际生产时每天比原计划多生产720顶帐篷，设实际每天生产x顶帐篷，根据题意可列方程为　　             ． 6.小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同． （1）求小王平均每分钟清点图书的本数； （2）周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3 600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？ 7.某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成720千克脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克． （1）周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克？ （2）得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的脐橙还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 五、行程问题 1.小樱要到距家1 200米的学校上学，一天，小樱出发10分钟后，小樱的爸爸立即去追赶小樱，且在距离学校200米的地方相遇．已知爸爸比小樱的速度快100米/分，求小樱的速度．若设小樱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. +10 D. 2.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.其中父亲的骑行速度大于儿子的速度，且相较于同向行驶，反向行驶时相遇的频率增大11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（　　） A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v 3.某市实现列车升级，并且升级后列车从A地到B地的行驶路程比原路程缩短25千米，实现升级后列车的行驶速度是原来速度的倍，从A地到B地的行驶时间缩短了1小时．若列车升级前绿皮车从A地到B地的行驶路程为175千米，则列车升级后的速度为（　　） A.45千米/小时 B.60千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时 4.A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为                     . 5.一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度． 设船在静水中的速度为x千米/时，则可列出方程为                   . 6.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？ 7.A地到B地的距离约为210 km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A地去B地，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B地，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍． （1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答） （2）当小刘出发时，求小张离B地还有多远？ 六、分式方程的一般解法 1.解分式方程的步骤中错误的是（　　） A.方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1） B.方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）=6 C.解这个整式方程，得x=1 D.原方程的解为x=1 2.将分式方程去分母，整理后可得（　　） A.5x﹣1=0 B.5x+3=0 C.2x2+3x+1=0 D.2x2﹣3x﹣1=0 3.解分式方程，可知方程（　　） A.解为x=7 B.解为x=8 C.解为x=15 D.无解 4.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣3和，且点A，B到原点的距离相等，则x=　      ． 5.分式方程的解是　　　　　. 6.设A=，B=，当x为何值时，A与B的值相等? 7.解方程： （1）； （2）． 七、用换元法解分式方程 1.知实数x满足，则的值为（　　） A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.2或﹣1 2.用换元法解分式方程时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A.3y2﹣y+1=0 B.3y2﹣y﹣1=0 C.y2﹣y+1=0 D.y2+y﹣3=0 3.已知方程，若设x2+3x=y，则原方程可化为（　　） A.y2﹣20y=8 B.y2﹣20=8 C.y﹣20=8y D.y2﹣20=8y 4.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程　        　． 5.用换元法解方程+=，设=y，则原方程可化为　　     ． 6.阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 7.先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0， 因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1， ∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1）， 解得x=， 检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面， ∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1， 此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 北师大版八年级下册 5.4　分式方程 暑假巩固（参考答案） 一、用待定系数法确定字母的取值范围 1.关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A.m＞3 B.m≥﹣3 C.m＞﹣3且m≠﹣2 D.m≤﹣3 【答案】C 【解析】方程两边都乘（x+1），得2x﹣m=3（x+1），解得x=﹣m﹣3， ﹣m﹣3≠﹣1，解得m≠﹣2， 由方程的解是负数，得﹣m﹣3＜0，解得m＞﹣3， ∴m的取值范围为m＞﹣3且m≠﹣2. 故选：C. 2.分式方程=0解的情况是（　　） A.有解，x=1 B.有解，x=5 C.有解，x=4 D.无解 【答案】C 【解析】方程两边都乘（x+5）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+5）=0， 化简，得2x=8， 解得x=4， 经检验，x=4是原分式方程的解. 故选：C. 3.若有理数m满足+2=0，则下列对m的值估计正确的是（　　） A.﹣2＜m＜﹣1 B.﹣1＜m＜0 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2 【答案】A 【解析】∵有理数m满足+2=0，∴=﹣2，∴m是负数，并且比﹣1小，∴B，C，D错误，A正确. 故选：A. 4.若关于x的方程的解不大于8，则m的取值范围是　   　． 【答案】m≥﹣18且m≠0 【解析】去分母，得2﹣x﹣m=2x﹣4，解得x=， 由题意得解得m≥﹣18且m≠0， 则m的取值范围是m≥﹣18且m≠0. 5.若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　 　． 【答案】m＜6且m≠2 【解析】+=3，方程两边同乘（x﹣2），得x+m﹣2m=3x﹣6， 解得x=， ∵≠2，∴m≠2， 由题意得＞0，解得m＜6， ∴实数m的取值范围为m＜6且m≠2. 6.阅读下列材料，解答问题：若关于x的方程的根大于0，求a的取值范围． 解：去分母，得x﹣a=﹣（x﹣2），解得， ∵x＞0，∴＞0，∴a＞﹣2． 又∵x﹣2≠0，即x≠2，∴≠2，a≠2， ∴a的取值范围是a＞﹣2且a≠2． 问题：若方程的根是负数，试求a的取值范围． 【答案】解：去分母，得（x﹣1）（x+1）+（2﹣x）（x﹣2）=2x+a，解得x=， ∵x＜0，∴＜0，∴a＜﹣5． 又∵（x﹣2）（x+1）≠0，即x≠2且x≠﹣1， ∴≠2，且≠﹣1，解得a≠﹣1且a≠﹣7． ∴a的取值范围是a＜﹣5且a≠﹣7． 7.已知关于x的方程+1=无解，求a的值． 【答案】解：去分母，得3﹣2x+x﹣3=ax+12， 整理得（a+1）x=﹣12． 当整式方程无解时，a+1=0，即a=﹣1， 当分式方程无解时，即x=3，则a=﹣5， 所以当a=﹣1或﹣5时，原方程无解． 二、分式方程的增根 1.若关于x的方程没有增根，则m的值不可能是（　　） A.3 B.2 C.1 D.﹣1 【答案】B 【解析】将分式方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0， 把x=1代入m﹣1﹣x=0，得m-1-1=0，解得m=2． 因为原分式方程没有增根，所以m≠2． 故选：B. 2.下列判断正确的是（　　） A.解分式必定产生增根 B.若分式方程的根是零，则必定是增根 C.解分式方程必须验根 D.x=3是方程的根 【答案】C 【解析】解分式方程可能产生增根，故A错误； 若分式方程的根是零，不一定是增根，故B错误； 解分式方程必须验根，故C正确； x=3是增根，分式方程无解，故D错误. 故选：C. 3.从3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（　　）. A. B.3 C.﹣3 D.﹣ 【答案】C 【解析】解不等式组得 由不等式组无解，得到a≤1， 分式方程去分母，得x+a﹣2=﹣x+3，解得x=， 由a取自于3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，且使得分式方程有整数解，到a=3，﹣1（此时x=3，舍去），1，﹣3， ∵a≤1，∴a=1，﹣3． 则这5个数中所有满足条件的a的值之积为﹣3. 故选：C. 4.关于x的方程无解，则k的值为　    　． 【答案】﹣4或6或1 【解析】去分母得2x+4+kx=3x﹣6，即（k-1）x=-10， 当k=1时，方程化简得4=﹣6，无解，符合题意； 由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2， 把x=2代入整式方程得2(k-1)=-10，即k=﹣4； 把x=﹣2代入整式方程得﹣2(k-1)=-10，即k=6， ∴k的值为-4或6或1. 5.若关于x的方程+=有增根，则k的值为　    　． 【答案】﹣ 【解析】去分母，得x+2+k（x﹣2）=3， 整理得（k+1）x=1+2k， ∵方程有增根，∴最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，∴x=2或x=﹣2， 当x=2时，2（k+1）=1+2k，方程无解； 当x=﹣2时，﹣2（k+1）=1+2k，解得k=﹣. 6.解关于x的方程时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值． 【答案】解：方程去分母，得（k+2）x=﹣3，分以下两种情况： 令x=1，则k+2=﹣3，∴k=﹣5； 令x=﹣2，则﹣2（k+2）=﹣3，∴k=﹣， 综上所述，k的值为﹣5或﹣． 7.若关于x的分式方程-1=无解，求m的值. 【答案】解：去分母，化为整式方程，得2mx+x2-x(x-3)=2(x-3)， 整理得(2m+1)x=-6， 当2m+1=0，即m=时，方程无解； 当2m+1≠0时，x=， 当x=3或x=0时，方程无解， 由=3，得m=， 由=0，无解， 所以当m=或时，原方程无解. 三、其他（利润）问题 1.某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 2.某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50 000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价．若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 3.“五一”节即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%．那么乙种商品单价是（　　） A.2元 B.2.5元 C.3元 D.5元 【答案】B 【解析】设乙商品的单价是y元，则甲商品的单价为（1+20%）y元，依题意得， 解得y=2.5， 经检验，y=2.5是分式方程的解，且符合题意， ∴乙种商品单价是2.5元． 故选：B. 4.某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　       ． 【答案】 5.小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　       ． 【答案】-= 【解析】周三买的牛奶的单价为，周日买的牛奶的单价为，所列方程为-=． 6.为响应“足球进校园”的号召，某校到商场购买甲、乙两种足球，购买甲种足球共花费1 600元，乙种足球共花费1 200元．已知甲种足球的单价是乙种足球单价的2倍，且购买甲种足球的数量比乙种足球少10个． （1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示表中相关的量； （2）列方程求乙种足球的单价． 【答案】解：（1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示表中相关的量. （2）由（1）可得=+10，解得x=40， 经检验，x=40是原方程的根， ∴乙种足球的单价为40元． 7.某市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2 000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同. （1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？ （2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2 000件物品，需筹集资金多少元？ 【答案】解：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元， 根据题意得，解得x=60． 经检验，x=60是原方程的解， x+10=60+10=70． ∴甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元. （2）设甲种物品件数为m，则乙种物品件数为3m， 根据题意得m+3m=2 000，解得m=500， 即甲种物品件数为500，乙种物品件数为1 500，此时需筹集资金70×500+60×1 500=125 000（元）． ∴若该爱心组织按照此需求的比例购买这2 000件物品，需筹集资金125 000元． 四、工程问题 1.某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　） A.甲乙合作了4天 B.甲先做了4天 C.甲先做了工程的 D.甲乙合作了工程的 【答案】A 【解析】∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程， ∴可知在③应填入的内容为甲乙合作了4天. 故选：A. 2.某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各为多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均亩产量为1.5x万千克．根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 3.某加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】A 4.甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同．已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意列方程　　        ． 【答案】 【解析】设甲每天完成x个零件，则乙每天完成（x﹣4）个零件，根据题意得. 5.某工厂原计划生产7 200顶帐篷，后来有一个地区突然发生地震，要求工厂生产的帐篷比原计划多20%，并且需提前4天完成任务．已知实际生产时每天比原计划多生产720顶帐篷，设实际每天生产x顶帐篷，根据题意可列方程为　　             ． 【答案】 6.小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同． （1）求小王平均每分钟清点图书的本数； （2）周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3 600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？ 【答案】解：（1）设小王平均每分钟清点图书x本，则小李平均每分钟清点，图书（x-5）本， 由题意得，解得x=15， 经检验，x=15是原分式方程的解， ∴小王平均每分钟清点图书15本. （2）设小王清点y本图书才能离开， ≤3×60，解得y≥1 800， ∴小王至少清点1 800本图书才能离开． 7.某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成720千克脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克． （1）周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克？ （2）得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的脐橙还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】解：（1）设采摘了x小时，根据题意得6×60×x=720，解得x=2， 故每人每小时包装720÷（6×2）=60（kg）， 每人每小时运送720÷（8×2）=45（kg）， ∴每人每小时运送60 kg、包装45 kg. （2）设负责运送的人数为y，则包装人数为（20﹣y）， 根据题意得，解得y=12， 经检验，y=12是原方程的根， 可知自由分成的两组中，第一组12人，第二组为20﹣12=8（人）． 五、行程问题 1.小樱要到距家1 200米的学校上学，一天，小樱出发10分钟后，小樱的爸爸立即去追赶小樱，且在距离学校200米的地方相遇．已知爸爸比小樱的速度快100米/分，求小樱的速度．若设小樱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. +10 D. 【答案】B 2.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.其中父亲的骑行速度大于儿子的速度，且相较于同向行驶，反向行驶时相遇的频率增大11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（　　） A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v 【答案】B 【解析】设父亲的速度为x，则两人同向行驶时，相遇所用的时间为， 反向行驶时，相遇所用的时间为， 由题可知同向行驶的相遇时间是反向行驶相遇时间的11倍， 可得方程=11×，解得x=1.2v， 经检验，x=1.2v是所列分式方程的解，所以父亲的速度为1.2v. 故选：B. 3.某市实现列车升级，并且升级后列车从A地到B地的行驶路程比原路程缩短25千米，实现升级后列车的行驶速度是原来速度的倍，从A地到B地的行驶时间缩短了1小时．若列车升级前绿皮车从A地到B地的行驶路程为175千米，则列车升级后的速度为（　　） A.45千米/小时 B.60千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时 【答案】D 【解析】设列车原来的行驶速度是x千米/小时，则升级后的速度为x千米/小时， 根据题意得，解得x=70， 经检验，x=70是原方程的解， 则x=×70=100，∴列车升级后的速度为100千米/小时． 故选：D. 4.A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为                     . 【答案】 5.一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度． 设船在静水中的速度为x千米/时，则可列出方程为                   . 【答案】 6.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？ 【答案】解：设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步， 根据题意得，解得x=30． 经检验，x=30是原方程的解． ∴小红每消耗1千卡能量需要行走30步. 7.A地到B地的距离约为210 km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A地去B地，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B地，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍． （1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答） （2）当小刘出发时，求小张离B地还有多远？ 【答案】解：（1）设大货车速度为x km/h，则小轿车的速度为1.5x km/h， 根据题意得﹣=1，解得x=70， 经检验，x=70是原分式方程的解， ∴1.5x=105． ∴大货车速度为70 km/h，则小轿车的速度为105 km/h． （2）210﹣70×1=140（km）． ∴当小刘出发时，小张离B地还有140 km． 六、分式方程的一般解法 1.解分式方程的步骤中错误的是（　　） A.方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1） B.方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）=6 C.解这个整式方程，得x=1 D.原方程的解为x=1 【答案】D 【解析】分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），故A正确； 方程两边乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）=6，故B正确； 解得x=1，故C正确； 经检验，x=1是增根，分式方程无解，故D错误． 故选：D. 2.将分式方程去分母，整理后可得（　　） A.5x﹣1=0 B.5x+3=0 C.2x2+3x+1=0 D.2x2﹣3x﹣1=0 【答案】D 【解析】去分母，得2x（x+1）﹣2x=3x+1，整理得2x2﹣3x﹣1=0． 故选：D. 3.解分式方程，可知方程（　　） A.解为x=7 B.解为x=8 C.解为x=15 D.无解 【答案】D 【解析】两边同乘以(x-7)，得x-8+1=8(x-7)，解得x=7， 检验：把x=7代入x-7，得x-7=0，所以原方程无解. 故选：D. 4.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣3和，且点A，B到原点的距离相等，则x=　      ． 【答案】2.5 【解析】根据题意得﹣3+=0， 去分母得﹣6+3x+1﹣x=0， 解得，x=2.5， 经检验，x=2.5是分式方程的解． 5.分式方程的解是　　　　　. 【答案】x=-2 【解析】，去分母，得2x-1=x-3，解得x=-2. 经检验，x=-2是原方程的解. 6.设A=，B=，当x为何值时，A与B的值相等? 【答案】解：当A=B时，即=， 方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得x(x+1)=3+(x+1)(x-1)， x2+x=3+x2-1， x=2. 检验：当x=2时，(x+1)(x-1)=3≠0，∴x=2是分式方程的根， 因此，当x=2时，A=B. 7.解方程： （1）； （2）． 【答案】解：（1）去分母，得x﹣5=2x﹣5， 解得x=0， 经检验，x=0是分式方程的解. （2）去分母，得8+x2﹣1=x2+4x+3， 移项、合并同类项，得4x=4， 解得x=1， 经检验，x=1是增根，分式方程无解． 七、用换元法解分式方程 1.知实数x满足，则的值为（　　） A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.2或﹣1 【答案】A 【解析】设x+=a，方程变形为a2﹣a﹣2=0， 分解因式，得（a﹣2）（a+1）=0， 解得a=2或a=﹣1，则x+=2或﹣1． 当x+=﹣1时，无解； 当x+时，解得x=1，经检验，x=1是分式方程的解， 综上所述，x+. 故选：A. 2.用换元法解分式方程时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A.3y2﹣y+1=0 B.3y2﹣y﹣1=0 C.y2﹣y+1=0 D.y2+y﹣3=0 【答案】D 【解析】﹣+1=0， 设=y，则原方程化为y﹣+1=0， 去分母，得y2+y﹣3=0. 故选：D. 3.已知方程，若设x2+3x=y，则原方程可化为（　　） A.y2﹣20y=8 B.y2﹣20=8 C.y﹣20=8y D.y2﹣20=8y 【答案】D 【解析】∵设x2+3x=y，∴原方程可化为y﹣=8，整理得y2﹣20=8y． 故选：D. 4.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程　        　． 【答案】y2﹣3y﹣2=0 【解析】根据题意得y﹣=3，去分母得y2﹣3y﹣2=0． 5.用换元法解方程+=，设=y，则原方程可化为　　     ． 【答案】3y+= 6.阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 【答案】解：（1）解是x1=c，x2=， 经检验，c和是原方程的解. （2）原方程可化为x-1+，根据题意得x-1=a-1或x﹣1=， ∴x1=a，x2=1+=． 7.先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0， 因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1， ∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1）， 解得x=， 检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面， ∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1， 此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 【答案】解：x2++x+=0， （x+）2+x+﹣2=0， 设x+=a，则原方程化为a2+a﹣2=0， 解得a=﹣2或a=1， 当a=﹣2时，x+=﹣2，x2+2x+1=0， 解得x=﹣1， 经检验x=﹣1是原方程的解； 当a=1时，x+=1，x2﹣x+1=0， 此方程无解； 综上所述，原方程的解为x=﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $$