第19章 一次函数-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（人教版 广东专用）

书 考 点 解 密 ?考点１：常量与变量 例１　某人要在规定的时间内加工１００个零 件，如果用 ｎ表示工作效率，用 ｔ表示规定的时 间，下列说法正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．数１００和ｎ，ｔ都是常量 Ｂ．数１００和ｎ都是变量 Ｃ．ｎ和ｔ都是变量 Ｄ．数１００和ｔ都是变量 解：Ｃ． ●专项练习 １．球的体积是 Ｖ，球的半径为 Ｒ，则 Ｖ＝ ４ ３πＲ ３，其中 （　　） Ａ．变量是Ｖ，Ｒ；常量是４３，π Ｂ．变量是Ｒ，π；常量是４３ Ｃ．变量是Ｖ，Ｒ，π；常量是４３ Ｄ．变量是Ｖ，Ｒ３；常量是π ?考点２：函数的定义与表示方法 例２　在函数ｙ＝ ｘ－２ｘ＋３中，自变量ｘ的 取值范围是 ． 解析：根据题意，得 －２ｘ＋３≠０．解得ｘ≠ ３ ２． 故填ｘ≠ ３２． ●专项练习 ２．函数ｙ＝ ｘ ｘ－槡 １ 中，自变量ｘ的取值范围 是 ． ３．已知ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－３ｘ－２， 当ｘ每增加１时，ｙ增加 （　　） Ａ．１　 Ｂ．－１　 Ｃ．３　 Ｄ．－３ 例３　如图１，在 △ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝ ３ｃｍ，动点Ｐ从点 Ａ出发，以 槡２ｃｍ／ｓ的速度沿ＡＢ方向运 动到点Ｂ，动点Ｑ同时从点Ａ 出发，以１ｃｍ／ｓ的速度沿折线ＡＣ→ＣＢ方向运 动到点Ｂ．设△ＡＰＱ的面积为ｙ（ｃｍ２），运动时间 为ｘ（ｓ），Ｑ点在ＢＣ上运动时，ｙ与ｘ之间的函数 解析式为 ． 解析：因为 ∠Ｃ ＝ ９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝３ｃｍ，所 以 ＡＢ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡３２ｃｍ，∠Ｂ＝４５°．因为 动点 Ｐ从点 Ａ出发，以 槡２ｃｍ／ｓ的速度沿ＡＢ方向运动到点Ｂ，动点Ｑ同 时从点Ａ出发，以１ｃｍ／ｓ的速度沿折线ＡＣ→ＣＢ 方向运动到点 Ｂ，所以当点 Ｑ在 ＣＢ上运动， △ＡＰＱ存在时，３≤ｘ＜６，点Ｐ与点Ｂ重合．过点 Ｑ作ＱＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，如图２．所以∠ＢＱＤ＝９０° －∠Ｂ＝４５°．所以ＢＤ＝ＱＤ．由题意知ＢＱ＝（６ －ｘ）ｃｍ．所以 ＢＤ２＋ＱＤ２ ＝２ＱＤ２ ＝ＢＱ２．所以 ＱＤ＝槡２２ＢＱ．所以ｙ＝ １ ２× 槡３２× 槡２ ２（６－ｘ）＝ －３２ｘ＋９． 故填ｙ＝－３２ｘ＋９（３≤ｘ＜６）． ●专项练习 ４．一个长方体木箱的长为 ４ｄｍ，宽为 ｘｄｍ（ｘ＜４），高为宽的２倍，则这个长方体的体 积Ｖ（ｄｍ３）与宽ｘ（ｄｍ）之间的函数解析式为 （　　） Ａ．Ｖ＝８ｘ Ｂ．Ｖ＝８ｘ２ Ｃ．Ｖ＝６ｘ＋８ Ｄ．Ｖ＝８ｘ３ ５．农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战 略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为 １０００米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管 道施工ｘ天与铺设管道ｙ米之间的关系如下表： ｘ １ ２ ３ ４ ５ … ｙ ２０ ４０ ６０ ８０ １００ … 若施工 ８天后，则未铺设的管道长度为 米． ?考点３：函数的图象 例４　小方一家上 午９：００开车前往某会 展中心参观，途中汽车 发生故障，原地修车花 了一段时间．车修好后， 他们继续开车赶往会展中心．如图３是他们家出 发后离家的距离ｓ与时刻的函数图象．分析图中 信息，下列说法正确的是 （　　） Ａ．途中修车花了３０ｍｉｎ Ｂ．修车之前的平均速度是５００ｍ／ｍｉｎ Ｃ．车修好后的平均速度是８００ｍ／ｍｉｎ Ｄ．车修好后的平均速度是修车之前平均速 度的１．５倍 解析：由图象可知，途中修车时间是９：１０到 ９：３０，共花了２０ｍｉｎ；修车之前的平均速度是： ６０００÷１０＝６００（ｍ／ｍｉｎ）；车修好后的平均速度 是：（１３２００－６０００）÷８＝９００（ｍ／ｍｉｎ）；９００÷ ６００＝１．５，所以车修好后的平均速度是修车之前 平均速度的１．５倍． 故选Ｄ． ●专项练习 ６．向高为１０的容器（形状如图４） 中注水，注满为止，则水深ｈ与注水量ｖ 的函数关系的大致图象是 （　　） （下转第２６版                                                                                                           ） 书 知 识 回 顾 １．变量与函数 （１）在一个变化过程中，我们称数值发生变 化的量为 ，数值始终不变的量为 ． （２）一般地，在某个变化过程中，有两个变 量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一 个ｙ值，那么我们称ｘ是 ，ｙ是ｘ的函 数． （３）表示函数的方法一般有： 、 和 ． ２．正比例函数 （１）若两个变量ｘ，ｙ之间的关系可以表示成 ｙ＝ｋｘ（ｋ是常数，ｋ≠０），则称ｙ是ｘ的 函数． （２）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象是经 过点（０， ），（１， ）的一条直线． （３）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）图象的性质： 当ｋ＞０时，ｙ随ｘ值的增大而 ，图 象经过第 象限； 当ｋ＜０时，ｙ随ｘ值的增大而 ，图 象经过第 象限． ３．一次函数 （１）若两个变量ｘ，ｙ之间的关系可以表示成 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠０）的形式，则称ｙ是 ｘ的 函数．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常 数，ｋ≠ ０）的图象是经过点（０， ）， （ ，０）的一条直线． （２）一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）图象的性 质： ①当 ｋ＞０，ｂ＞０时，ｙ随 ｘ值的增大而 ，图象经过第 、二、三象限； ②当ｋ＞０，ｂ＜０时，ｙ随 ｘ值的增大而 ，图象经过第 、三、四象限； ③当ｋ＜０，ｂ＞０时 ，ｙ随 ｘ值的增大而 ，图象经过第 、二、四象限； ④当ｋ＜０，ｂ＜０时，ｙ随 ｘ值的增大而 ，图象经过第 、三、四象限． ４．一次函数与方程、不等式 （１）一次函数与一元一次方程的关系 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）经过点（ｍ，ｎ），则关 于ｘ的一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝ｎ（ｋ≠０）的解为 ｘ＝ｍ． （２）一次函数与一元一次不等式的关系 ①ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象在ｘ轴上方时 ｙ＞０； ｙ＝ ｋｘ＋ｂ的图象在 ｘ轴下方时  ． ②ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ１的图象在ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ２图象 的上方时ｙ１ ＞ｙ２； ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ１的图象在ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ２图象的 下方时 ． （３）一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数， ｋ≠０）本身就是一个二元一次方程，直线ｙ＝ｋｘ ＋ｂ（ｋ≠０）上有无数个点，每个点的横、纵坐标 都满足二元一次方程ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠ ０），因此二元一次方程的解也就有无数个．因此 确定两条相应直线交点的坐标就是解方程组 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１， ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２ { ． !" ! " # $ ! " # $ % ! ! !"## & $ " % ! " ! # !"#$! '$% ! !# "&& ' &&& ($&&($!& ($#& ($#) %& ! * ( ) !& * ( ) !& * ( ) !& * ( ) !& * + , - . ! !" #$% 书 （上接第２５版） ?考点４：正比例函数的图象与性质 例５　已知正比例函数ｙ＝ｍｘ｜ｍ＋１｜，则ｍ的 值是 ． 解析：根据题意，得｜ｍ＋１｜＝１，ｍ≠０．解 得ｍ＝－２． 故填 －２． 例６　已知函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｋ为常数）的 函数值ｙ随ｘ值的增大而减小，那么这个函数图 象可能经过的点是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（０．５，１） Ｂ．（２，１） Ｃ．（－２，４） Ｄ．（－２，－２） 解析：因为函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｋ为常数）的 函数值ｙ随ｘ值的增大而减小，所以ｙ＝ｋｘ（ｋ≠ ０，ｋ为常数）的图象经过第二、四象限．所以这个 函数图象可能经过的点是（－２，４）． 故选Ｃ． ●专项练习 ７．下列函数中，是正比例函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝－２ｘ＋１ Ｂ．ｙ＝－１２ｘ Ｃ．ｙ＝２ｘ２ Ｄ．ｙ＝１ｘ ８．正比例函数ｙ＝１３ｘ的图象大致是 （　　） ９．正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＜０），当１≤ｘ≤３ 时，函数 ｙ的最大值和最小值之差为４，则 ｋ＝ ． ?考点５：一次函数的图象与性质 例７　已知一次函数ｙ＝ ｋｘ＋ｂ的图象如图５所示，则ｋ， ｂ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ＞０，ｂ＞０ Ｂ．ｋ＞０，ｂ＜０ Ｃ．ｋ＜０，ｂ＞０ Ｄ．ｋ＜０，ｂ＜０ 解析：由图可知该一次函数图象经过第一、 三、四象限．所以ｋ＞０，ｂ＜０． 故选Ｂ． ●专项练习 １０．关于一次函数ｙ＝－２ｘ＋４，下列说法不 正确的是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．图象不经过第三象限 Ｂ．ｙ随着ｘ的增大而减小 Ｃ．图象与ｘ轴交于（－２，０） Ｄ．图象与ｙ轴交于（０，４） １１．已知一次函数ｙ＝６ｘ＋ｔ的图象经过点 （－２，ａ），（－４，ｂ），则ａ ｂ（填“＞”“＜” 或“＝”）． １２．若一次函数ｙ＝２ｘ－１的图象向上平移 ２个单位长度后经过（１，ｔ），则ｔ＝ ． ?考点６：求一次函数的解析式 例８　 在平面直角坐标系中，有 Ａ（０，３）， Ｂ（１，０）两点，将线段 ＡＢ沿一定方向平移，设平 移后Ａ点的对应点为 Ａ′（２，５），Ｂ点的对应点为 Ｂ′，则直线Ｂ′Ｂ的解析式为 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ－１ Ｂ．ｙ＝－３ｘ＋１１ Ｃ．ｙ＝ｘ＋３ Ｄ．ｙ＝－３ｘ＋３ 解析：因为点 Ａ（０，３）平移后的对应点为 Ａ′（２，５），所以点 Ｂ（１，０）平移后的对应点为 Ｂ′（３，２）．设直线Ｂ′Ｂ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把 Ｂ（１，０），Ｂ′（３，２）代入，得 ｋ＋ｂ＝０， ３ｋ＋ｂ＝２{ ．解得 ｋ＝１， ｂ＝－１{ ．所以直线Ｂ′Ｂ的解析式为ｙ＝ｘ－１． 故选Ａ． ●专项练习 １３．若一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象与直线 ｙ ＝－ｘ＋１平行，且过点（８，２），则此一次函数的 解析式为 （　　） Ａ．ｙ＝－ｘ－２ Ｂ．ｙ＝－ｘ－６ Ｃ．ｙ＝－ｘ－１ Ｄ．ｙ＝－ｘ＋１０ １４．在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ中，当ｘ＝１时， ｙ＝－１；当ｘ＝２时，ｙ＝３，则ｙ与ｘ的函数解析 式是 ． ?考点７：一次函数与方程（组）、不等式 例９　 在同一平面直角坐标系中，直线 ｙ ＝－ｘ＋３与ｙ＝２ｘ＋ｍ相交于点Ｐ（４，ｎ），则关 于ｘ，ｙ的方程组 ｘ＋ｙ－３＝０， ２ｘ－ｙ＋ｍ＝{ ０的解是（　　） Ａ． ｘ＝－１， ｙ＝{ ７ Ｂ． ｘ＝１， ｙ＝{ ４ Ｃ． ｘ＝４， ｙ＝－{ １ Ｄ． ｘ＝７， ｙ＝－{ １ 解析：把Ｐ（４，ｎ）代入ｙ＝－ｘ＋３，得ｎ＝－１． 所以点Ｐ的坐标是（４，－１）．因为直线ｙ＝－ｘ＋３ 与ｙ＝２ｘ＋ｍ相交于点Ｐ（４，－１），所以关于ｘ，ｙ 的方程组 ｘ＋ｙ－３＝０， ２ｘ－ｙ＋ｍ＝{ ０的解是 ｘ＝４， ｙ＝－１{ ． 故选Ｃ． ●专项练习 １５．已知直线ｙ＝－３ｘ与ｙ＝ｋｘ＋２相交于 点Ｐ（ｍ，３），则关于ｘ的方程ｋｘ＋２＝－３ｘ的解 是 （　　） Ａ．ｘ＝－１ Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝３ １６．如图６，在平面直 角坐标系中，已知直线 ｙ ＝ａｘ＋ｂ和直线ｙ＝ｋｘ交 于点 Ｐ（１，２）．若关于 ｘ，ｙ 的 二 元 一 次 方 程 组 ｙ＝ｋｘ，{ｙ＝ａｘ＋ｂ的 解 为 ｘ＝ｍ， ｙ＝ｎ{ ，则ｍ＋ｎ＝ ． １７．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＜０）的图象过点 （１，０），则不等式ｋ（ｘ－２）＋ｂ＞０的解集是 （　　） Ａ．ｘ＞１ Ｂ．ｘ＜２ Ｃ．ｘ＜３ Ｄ．ｘ＜－１ ?考点８：一次函数的应用 例１０　“双减”政策颁布后，各校重视了延 时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力 度．某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍 和羽毛球拍共３００套进行销售，它们的进价和售 价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 ／（元 ／套） ａ ５５ 羽毛球拍 ／（元 ／套） ｂ ５０ 已知购进２套乒乓球拍和１套羽毛球拍需花 费１２０元，购进４套乒乓球拍和３套羽毛球拍需 花费２７０元． （１）求出ａ，ｂ的值； （２）该体育用品商店根据以往销售经验，决 定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的 １ ３， 若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能 获利最大？最大利润是多少？ 解：（１）由题意，得 ２ａ＋ｂ＝１２０， ４ａ＋３ｂ＝２７０{ ． 解得 ａ＝４５， ｂ＝３０{ ． （２）设购进乒乓球拍ｘ套，羽毛球拍（３００－ ｘ）套．总利润为ｙ元． 根据题意，得ｘ≥ １３（３００－ｘ）．解得ｘ≥７５． 根据题意，得 ｙ＝（５５－４５）ｘ＋（５０－ ３０）（３００－ｘ）＝－１０ｘ＋６０００． 因为 －１０＜０，所以ｙ随ｘ的增大而减小． 所以当ｘ＝７５时，ｙ最大，且最大值为：－１０ ×７５＋６０００＝５２５０．此时３００－ｘ＝２２５． 答：购进乒乓球拍７５套，羽毛球拍２２５套，获 利最大，最大利润为５２５０元． ●专项练习 １８．甲经营了某种品牌小电器生意，采购 ２台Ａ种品牌小电器和３台Ｂ种品牌小电器，共需 要９０元；采购３台Ａ种品牌小电器和１台Ｂ种品 牌小电器，共需要６５元．销售一台Ａ种品牌小电器 获利３元，销售一台Ｂ种品牌小电器获利４元． （１）求购买１台Ａ种品牌小电器和１台Ｂ种 品牌小电器各需要多少元； （２）甲用不小于２７５０元，但不超过２８５０元 的资金一次性购进 Ａ，Ｂ两种品牌小电器共 １５０台，求购进Ａ种品牌小电器数量的取值范围； （３）在（２）的条件下，所购进的Ａ，Ｂ两种品 牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于 ５６５元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计 算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多 少？ （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                                                                                                                         ） !" ! " # $ !# ! ! " " # #$%"&' #$(" ) ! # " # ! #$("&' ! $ " # ! " # ! " # ! " # ! % & ' ( ! ! ! ! ! ! ! ! 书 《勾股定理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．５；　１０．真；　１１．３－槡５；　１２．２０；　１３．直角； １４．２或 槡２７． 三、１５．根据题意，得５２＋（ｘ－２）２＝（ｘ＋１）２．解得ｘ＝１４３． １６．△ＡＢＤ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ＝ ２，由勾股定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝８．因为ＡＢ２＋ＢＤ２＝８＋ ２２ ＝１２，ＡＤ２ ＝１２，即ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２，所以△ＡＢＤ是直角三 角形． １７．因为ＭＮ⊥ＡＢ，所以∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ＝９０°．所以ＢＮ２ ＝ＢＭ２－ＭＮ２，ＡＮ２ ＝ＡＭ２－ＭＮ２．所以 ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＭ２－ ＢＭ２．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＡＭ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２－ＢＭ２．因为ＡＭ是中线，所以ＢＭ＝ＣＭ．所以ＡＮ２ －ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １８．（１）△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝１６０２＋１２０２ ＝４００００，ＡＢ２ ＝２００２ ＝ ４００００，即ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＢＣ是直角三角形． （２）甲方案所修的水渠较短．理由如下： 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＨ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ，所以ＣＨ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝９６ｍ．因为ＡＣ＋ＢＣ＝２８０ｍ，ＣＨ＋ＡＢ＝２９６ｍ，即ＡＣ＋ＢＣ ＜ＣＨ＋ＡＢ，所以甲方案所修的水渠较短． １９．（１）因为 ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，所以 ａ＝ｃ，ｂ＞ｃ．因为 △ＡＢＣ是“类勾股三角形”，所以ａｃ＋ａ２＝ｂ２，即ｃ２＋ａ２＝ｂ２．所 以△ＡＢＣ是等腰直角三角形．所以∠Ａ＝４５°． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．由题意，得ＡＤ＝ＣＤ＝ ＢＣ＝ａ．所以ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｃ－ａ．因为ＣＧ⊥ＡＢ，所以ＤＧ＝ ＢＧ＝ １２（ｃ－ａ）．所以ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ＝ａ＋ １ ２（ｃ－ａ）＝ １ ２（ａ ＋ｃ）．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ２ ＝ＡＣ２－ＡＧ２＝ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２． 在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＣＧ２＝ＢＣ２－ＢＧ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．所以ｂ２ －［１２（ａ＋ｃ）］ ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．整理，得ｂ２＝ａｃ＋ａ２． 所以△ＡＢＣ是“类勾股三角形”． 《平行四边形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．３；　４．２０；　５．Ｂ；　６．Ｃ． ７．连接ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ＝ＣＤ．因 为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形．所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ．所以四边形ＡＣＦＥ是平行 四边形． ８．Ｄ；　９．Ｄ；　１０．Ｃ； 槡　１１．２２；　１２．２；　１３．２５°． １４．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ＦＤ，所 以ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即 ＡＦ＝ＤＣ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＥＣ中， ＡＦ＝ＤＣ， ∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝∠ＥＣＤ． 所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠ＢＦＣ＝∠ＥＣＦ．所以 ＥＣ∥ＢＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．因为∠ＣＥＦ＝９０°， 所以四边形ＢＣＥＦ是矩形． １５．Ｄ；　１６．（１）６，（２）６． １７．（１）因为 △ＡＯＥ≌ △ＤＯＣ，所以 ＯＡ＝ＯＤ，ＡＥ＝ＣＤ， ∠Ｅ＝∠ＤＣＯ．所以ＣＤ∥ＡＢ．因为点Ａ为ＢＥ的中点，所以ＡＥ＝ ＡＢ．所以ＣＤ＝ＡＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．因为ＯＤ＝ １ ２ＤＣ，ＯＤ＝ １ ２ＡＤ，所以ＡＤ＝ＤＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是 菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ＝６．因为菱形ＡＢＣＤ的面积等于 槡１８３，所以 ＡＢ边上的高ＣＦ＝ 槡１８３÷６＝ 槡３３．因为∠Ｅ＝３０°，所以ＥＣ＝ ２ＣＦ＝ 槡６３． １８．（１）因为ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ．因为ＯＥ＝ ＯＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＣＦ⊥ＡＥ，ＯＥ⊥ＯＡ，所以ＢＦ＝ＯＢ ＝３，∠ＡＯＥ＝９０°．所以Ｒｔ△ＡＦＢ≌Ｒｔ△ＡＯＢ（ＨＬ）．所以ＡＦ＝ ＯＡ．因为ＢＥ＝５，所以ＥＦ＝ ＢＥ２－ＢＦ槡 ２ ＝４，ＯＥ＝ＯＢ＋ＢＥ ＝８．在Ｒｔ△ＡＯＥ中，根据勾股定理，得ＯＡ２＋ＯＥ２＝ＡＥ２，即（ＡＥ －４）２＋８２＝ＡＥ２．解得ＡＥ＝１０．因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，所以 ＡＤ＝ＡＥ＝１０． １９．Ｂ． ２０．因为ＢＧＢＥ＝ ３ ４，所以设ＢＧ＝３ｘ，则ＢＥ＝４ｘ．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以∠Ｂ＝９０°．所以ＥＧ＝ ＢＧ２＋ＢＥ槡 ２＝５ｘ． 因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＧ＝ＥＧ＝５ｘ．所以ＡＢ＝ＡＧ ＋ＢＧ＝８ｘ． （１）因为正方形ＡＢＣＤ的边长为４，所以８ｘ＝４．解得 ｘ＝ １ ２．所以ＢＧ＝３ｘ＝ ３ ２． （２）连接ＡＦ，ＥＦ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝８ｘ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝ ４ｘ．因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＦ＝ＥＦ．所以ＡＤ２＋ＤＦ２ ＝ＣＥ２＋ＣＦ２，即（８ｘ）２＋ＤＦ２＝（４ｘ）２＋（８ｘ－ＤＦ）２．解得ＤＦ ＝ｘ．所以ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝７ｘ．所以ＤＦＣＦ＝ １ ７． ２１．Ｂ． ２２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝ＡＢ＝４．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以四边形ＥＣＤＢ是平行四边形．所以 ＢＥ＝ＣＤ＝４．因为２ＢＯ＝４，所以ＢＯ＝２．所以ＯＥ＝ＢＥ－ＢＯ ＝２． （２）由（１）得ＯＢ＝ＯＥ＝２．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以∠ＣＥＯ＝ ∠ＦＢＯ，∠ＥＣＯ＝∠ＢＦＯ．所以△ＣＯＥ≌△ＦＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＯＣ ＝ＯＦ．所以四边形 ＢＣＥＦ是平行四边形．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，ＣＦ⊥ ＣＤ，所以ＣＦ⊥ＯＢ．所以四边形ＢＣＥＦ是菱形．因为ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ ＝ＣＤ，所以ＢＥ＝ＣＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是正方形． 《平行四边形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．８；　１０．７０°；　１１．答案不惟一，如ＤＦ＝ＢＥ； １２．１６；　１３．槡５－１；　１４．０．５或４．５． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．所以 ∠ＤＡＦ＝∠ＢＣＥ．因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＣＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以△ＡＤＦ≌△ＣＢＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＦ＝ ＣＥ． １６．取 ＢＣ的中点 Ｈ，连接 ＥＨ，ＦＨ，图略．因为 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＣＤ的中点，所以ＥＨ＝ １２ＡＣ＝２ｃｍ，ＦＨ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ， ＥＨ∥ ＡＣ，ＦＨ∥ ＢＤ．因为 ＡＣ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＥＨＦ＝９０°．在 Ｒｔ△ＥＨＦ中，由勾股定理，得ＥＦ＝ ＥＨ２＋ＦＨ槡 ２ ＝槡１３ｃｍ． １７．（１）因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ ＝ＢＣ．因为四边形ＡＦＣＧ是矩形，所以ＣＧ∥ＡＦ．所以∠ＣＤＯ＝ ∠ＡＢＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＡＯ．所以△ＣＯＤ≌△ＡＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＣＤ ＝ＡＢ．所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ＤＢ．因为ＡＤ ＝ＡＢ，所以△ＡＤＢ为等边三角形．所以∠ＤＢＡ＝６０°．因为ＣＤ∥ ＡＢ，所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＡ＝６０°． １８．（１）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠ＥＦＤ＝∠ＯＣＤ．在△ＯＤＣ和 △ＥＤＦ中， ∠ＯＣＤ＝∠ＥＦＤ， ＤＣ＝ＤＦ， ∠ＣＤＯ＝∠ＦＤＥ { ， 所以△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）． （２）四边形ＯＣＥＦ是正方形．证明如下： 因为△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ，所以ＯＤ＝ＥＤ．因为ＤＦ＝ＤＣ，所以 四边形ＯＣＥＦ是平行四边形．因为ＯＤ＝ＤＣ，所以ＥＤ＝ＤＣ，ＯＥ ＝ＣＦ．所以四边形 ＯＣＥＦ是矩形．因为 ∠ＢＥＣ＝４５°，所以 ∠ＤＣＥ＝４５°．所以∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＤＥＣ－∠ＤＣＥ＝９０°．所 以ＯＥ⊥ＣＦ．所以四边形ＯＣＥＦ是正方形． １９．作∠ＧＡＨ＝１２０°，交ＢＧ的延长线于点Ｈ，作ＡＴ⊥ＢＨ于 点Ｔ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＡＤ．因为∠ＢＡＤ ＝１２０°，所以∠ＧＡＨ＋∠ＧＡＢ＝∠ＢＡＤ＋∠ＧＡＢ，即 ∠ＢＡＨ＝ ∠ＤＡＧ．由对顶角相等，得∠ＡＦＤ＝∠ＢＦＧ．因为∠ＢＧＤ＝１２０°， 所以１８０°－∠ＡＦＤ－∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＢＦＧ－∠ＢＧＤ，即∠ＡＤＦ ＝∠ＧＢＦ．所以△ＨＡＢ≌△ＧＡＤ（ＡＳＡ）．所以ＡＨ＝ＡＧ＝５，ＢＨ ＝ＤＧ．因为ＡＴ⊥ＢＨ，所以ＧＨ＝２ＴＨ，∠ＨＡＴ＝６０°．所以∠Ｈ＝ ３０°．所以 ＡＴ＝ １２ＡＨ＝ ５ ２．根据勾股定理，得 ＴＨ＝ＴＧ＝ ＡＨ２－ＡＴ槡 ２ ＝ 槡 ５３ ２．所以ＧＨ＝ 槡５３．所以ＤＧ＝ＢＨ＝ＢＧ＋ＧＨ ＝２＋ 槡５３． 《平行四边形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ 二、９．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １０．３；　１１．答案不惟一，如ＡＣ，ＢＤ互相平分；　１２．１５°； １３．槡１９２ ；　１４．６或 槡４３． 三、１５．因为平行四边形ＡＢＣＤ与平行四边形 ＣＤＥＦ的周长 相等，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ＝ＤＥ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ．因为 ∠ＢＡＤ＝６０°，∠Ｆ＝１１０°，所以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝１２０°， ∠ＣＤＥ＝∠Ｆ＝１１０°．所以∠ＡＤＥ＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＤＥ＝ １３０°．所以∠ＤＡＥ＝ １２（１８０°－∠ＡＤＥ）＝２５°． １６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＢＣ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＥＣ．所以 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为ＡＣ＝ＥＦ，所以四边形ＡＥＣＦ是 矩形． １７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ为矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ．由折叠的性质，得 ∠ＨＡＦ ＝ １２∠ＤＡＣ ＝ １ ２∠ＢＣＡ＝∠ＭＣＥ．所以ＡＦ∥ＣＥ． （２）３０．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝９０°．又ＡＦ ∥ＣＥ，所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为∠ＢＡＣ＝３０°，所以 ∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＢＡＣ＝６０°．所以∠ＭＣＥ＝３０°．所以ＡＥ＝ＣＥ． 所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点 Ｏ是 ＢＤ的中 点，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＯ＝ＤＯ．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ．在△ＢＯＥ和 △ＤＯＦ中， ∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ， ＢＯ＝ＤＯ， ∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ { ， 所以△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（ＡＳＡ）．所以 ＤＦ＝ＢＥ．所以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （２）过点Ｄ作ＤＮ⊥ＥＣ于点Ｎ，图略．因为ＤＥ＝ＤＣ＝６， ＤＮ⊥ＥＣ，ＣＥ＝４，所以ＥＮ＝ＣＮ＝２．所以ＤＮ＝ ＤＣ２－ＣＮ槡 ２ ＝ 槡４２．因为∠ＤＢＣ＝４５°，ＤＮ⊥ＢＣ，所以∠ＢＤＮ＝∠ＤＢＣ＝ ４５°．所以ＢＮ＝ＤＮ＝ 槡４２．所以ＢＥ＝ＢＮ－ＥＮ＝ 槡４２－２．因为 ＳＢＥＤＦ ＝ＢＥ·ＤＮ＝ＤＥ·ＰＧ，所以ＰＧ＝ ＢＥ·ＤＮ ＤＥ ＝ １６－ 槡４２ ３ ． １９．（１）取ＯＣ的中点Ｍ，连接ＤＭ．因为四边形ＡＢＣＤ是正方 形，所以 ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＢＡＯ ＝∠ＤＣＭ ＝４５°．所以 ∠ＣＥＯ＝∠ＡＢＯ．因为Ｄ为ＣＥ的中点，Ｍ为ＯＣ的中点，所以ＯＥ ＝２ＭＤ，ＤＭ∥ ＯＥ．所以 ∠ＣＤＭ ＝∠ＣＥＯ．所以 ∠ＡＢＯ ＝ ∠ＣＤＭ．在△ＡＢＯ和△ＣＤＭ中， ∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ { ， 所以△ＡＢＯ ≌△ＣＤＭ（ＡＳＡ）．所以ＯＢ＝ＭＤ．所以ＯＥ＝２ＯＢ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＥＢＧ＝９０°，ＢＥ＝ＢＧ．所以∠ＢＥＣ＋∠ＥＢＣ ＝９０°，∠ＡＢＥ＋∠ＧＢＨ＝９０°．由（１）得∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＥ．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为ＧＨ⊥ＡＢ，所以∠ＢＨＧ＝９０°．所以△ＢＥＣ ≌△ＢＧＨ（ＡＡＳ）．所以ＢＣ＝ＢＨ．所以ＡＢ＝ＢＨ． 《一次函数》专项练习 １．Ａ；　２．ｘ＞１；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．８４０；　６．Ｄ；　７．Ｂ； ８．Ａ；　９．－２；　１０．Ｃ；　１１．＞；　１２．３；　１３．Ｄ； １４．ｙ＝４ｘ－５；　１５．Ａ；　１６．３；　１７．Ｃ． １８．（１）设 Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价分别为 ｘ元、 ｙ元．根据题意，得 ２ｘ＋３ｙ＝９０， ３ｘ＋ｙ＝６５{ ．解得 ｘ＝１５， ｙ＝２０{ ． 答：Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台进价分别为１５元、２０元． （２）设购进Ａ种品牌小电器 ａ台，则购进 Ｂ种品牌小电器 （１５０－ａ）台．根据题意，得２７５０≤１５ａ＋２０（１５０－ａ）≤２８５０． 解得３０≤ａ≤５０． 答：购进Ａ种品牌小电器数量的取值范围为３０≤ａ≤５０． （３）设获利ｗ元．根据题意，得ｗ＝３ａ＋４（１５０－ａ）＝－ａ ＋６００．因为所购进的Ａ，Ｂ两种品牌小电器全部销售完后获得的 总利润不少于５６５元，所以－ａ＋６００≥５６５．解得ａ≤３５．所以３０ ≤ａ≤３５．所以甲合理的采购方案有６种，方案一：购进Ａ种品牌 小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台；方案二：购进Ａ种品牌小电 器３１台，Ｂ种品牌小电器１１９台；方案三：购进 Ａ种品牌小电器 ３２台，Ｂ种品牌小电器 １１８台；方案四：购进 Ａ种品牌小电器 ３３台，Ｂ种品牌小电器 １１７台；方案五：购进 Ａ种品牌小电器 ３４台，Ｂ种品牌小电器 １１６台；方案六：购进 Ａ种品牌小电器 ３５台，Ｂ种品牌小电器１１５台．因为 －１＜０，所以ｗ随ａ的增大而减 小．所以当ａ＝３０时，获利最大，最大利润为：－３０＋６００＝５７０元． 答：购进Ａ种品牌小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台，获得 的利润最大，最大利润是５７０元． 《一次函数》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ 二、９．日期；　１０．±２；　１１． ｘ＝２， ｙ＝４{ ；　１２．４２                                                                                                                                                                                         ； ! 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