第18章 平行四边形-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（人教版 广东专用）

书 《勾股定理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．５；　１０．真；　１１．３－槡５；　１２．２０；　１３．直角； １４．２或 槡２７． 三、１５．根据题意，得５２＋（ｘ－２）２＝（ｘ＋１）２．解得ｘ＝１４３． １６．△ＡＢＤ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ＝ ２，由勾股定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝８．因为ＡＢ２＋ＢＤ２＝８＋ ２２ ＝１２，ＡＤ２ ＝１２，即ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２，所以△ＡＢＤ是直角三 角形． １７．因为ＭＮ⊥ＡＢ，所以∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ＝９０°．所以ＢＮ２ ＝ＢＭ２－ＭＮ２，ＡＮ２ ＝ＡＭ２－ＭＮ２．所以 ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＭ２－ ＢＭ２．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＡＭ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２－ＢＭ２．因为ＡＭ是中线，所以ＢＭ＝ＣＭ．所以ＡＮ２ －ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １８．（１）△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝１６０２＋１２０２ ＝４００００，ＡＢ２ ＝２００２ ＝ ４００００，即ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＢＣ是直角三角形． （２）甲方案所修的水渠较短．理由如下： 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＨ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ，所以ＣＨ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝９６ｍ．因为ＡＣ＋ＢＣ＝２８０ｍ，ＣＨ＋ＡＢ＝２９６ｍ，即ＡＣ＋ＢＣ ＜ＣＨ＋ＡＢ，所以甲方案所修的水渠较短． １９．（１）因为 ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，所以 ａ＝ｃ，ｂ＞ｃ．因为 △ＡＢＣ是“类勾股三角形”，所以ａｃ＋ａ２＝ｂ２，即ｃ２＋ａ２＝ｂ２．所 以△ＡＢＣ是等腰直角三角形．所以∠Ａ＝４５°． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．由题意，得ＡＤ＝ＣＤ＝ ＢＣ＝ａ．所以ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｃ－ａ．因为ＣＧ⊥ＡＢ，所以ＤＧ＝ ＢＧ＝ １２（ｃ－ａ）．所以ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ＝ａ＋ １ ２（ｃ－ａ）＝ １ ２（ａ ＋ｃ）．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ２ ＝ＡＣ２－ＡＧ２＝ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２． 在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＣＧ２＝ＢＣ２－ＢＧ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．所以ｂ２ －［１２（ａ＋ｃ）］ ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．整理，得ｂ２＝ａｃ＋ａ２． 所以△ＡＢＣ是“类勾股三角形”． 《平行四边形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．３；　４．２０；　５．Ｂ；　６．Ｃ． ７．连接ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ＝ＣＤ．因 为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形．所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ．所以四边形ＡＣＦＥ是平行 四边形． ８．Ｄ；　９．Ｄ；　１０．Ｃ； 槡　１１．２２；　１２．２；　１３．２５°． １４．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ＦＤ，所 以ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即 ＡＦ＝ＤＣ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＥＣ中， ＡＦ＝ＤＣ， ∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝∠ＥＣＤ． 所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠ＢＦＣ＝∠ＥＣＦ．所以 ＥＣ∥ＢＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．因为∠ＣＥＦ＝９０°， 所以四边形ＢＣＥＦ是矩形． １５．Ｄ；　１６．（１）６，（２）６． １７．（１）因为 △ＡＯＥ≌ △ＤＯＣ，所以 ＯＡ＝ＯＤ，ＡＥ＝ＣＤ， ∠Ｅ＝∠ＤＣＯ．所以ＣＤ∥ＡＢ．因为点Ａ为ＢＥ的中点，所以ＡＥ＝ ＡＢ．所以ＣＤ＝ＡＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．因为ＯＤ＝ １ ２ＤＣ，ＯＤ＝ １ ２ＡＤ，所以ＡＤ＝ＤＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是 菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ＝６．因为菱形ＡＢＣＤ的面积等于 槡１８３，所以 ＡＢ边上的高ＣＦ＝ 槡１８３÷６＝ 槡３３．因为∠Ｅ＝３０°，所以ＥＣ＝ ２ＣＦ＝ 槡６３． １８．（１）因为ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ．因为ＯＥ＝ ＯＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＣＦ⊥ＡＥ，ＯＥ⊥ＯＡ，所以ＢＦ＝ＯＢ ＝３，∠ＡＯＥ＝９０°．所以Ｒｔ△ＡＦＢ≌Ｒｔ△ＡＯＢ（ＨＬ）．所以ＡＦ＝ ＯＡ．因为ＢＥ＝５，所以ＥＦ＝ ＢＥ２－ＢＦ槡 ２ ＝４，ＯＥ＝ＯＢ＋ＢＥ ＝８．在Ｒｔ△ＡＯＥ中，根据勾股定理，得ＯＡ２＋ＯＥ２＝ＡＥ２，即（ＡＥ －４）２＋８２＝ＡＥ２．解得ＡＥ＝１０．因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，所以 ＡＤ＝ＡＥ＝１０． １９．Ｂ． ２０．因为ＢＧＢＥ＝ ３ ４，所以设ＢＧ＝３ｘ，则ＢＥ＝４ｘ．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以∠Ｂ＝９０°．所以ＥＧ＝ ＢＧ２＋ＢＥ槡 ２＝５ｘ． 因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＧ＝ＥＧ＝５ｘ．所以ＡＢ＝ＡＧ ＋ＢＧ＝８ｘ． （１）因为正方形ＡＢＣＤ的边长为４，所以８ｘ＝４．解得 ｘ＝ １ ２．所以ＢＧ＝３ｘ＝ ３ ２． （２）连接ＡＦ，ＥＦ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝８ｘ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝ ４ｘ．因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＦ＝ＥＦ．所以ＡＤ２＋ＤＦ２ ＝ＣＥ２＋ＣＦ２，即（８ｘ）２＋ＤＦ２＝（４ｘ）２＋（８ｘ－ＤＦ）２．解得ＤＦ ＝ｘ．所以ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝７ｘ．所以ＤＦＣＦ＝ １ ７． ２１．Ｂ． ２２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝ＡＢ＝４．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以四边形ＥＣＤＢ是平行四边形．所以 ＢＥ＝ＣＤ＝４．因为２ＢＯ＝４，所以ＢＯ＝２．所以ＯＥ＝ＢＥ－ＢＯ ＝２． （２）由（１）得ＯＢ＝ＯＥ＝２．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以∠ＣＥＯ＝ ∠ＦＢＯ，∠ＥＣＯ＝∠ＢＦＯ．所以△ＣＯＥ≌△ＦＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＯＣ ＝ＯＦ．所以四边形 ＢＣＥＦ是平行四边形．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，ＣＦ⊥ ＣＤ，所以ＣＦ⊥ＯＢ．所以四边形ＢＣＥＦ是菱形．因为ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ ＝ＣＤ，所以ＢＥ＝ＣＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是正方形． 《平行四边形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．８；　１０．７０°；　１１．答案不惟一，如ＤＦ＝ＢＥ； １２．１６；　１３．槡５－１；　１４．０．５或４．５． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．所以 ∠ＤＡＦ＝∠ＢＣＥ．因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＣＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以△ＡＤＦ≌△ＣＢＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＦ＝ ＣＥ． １６．取 ＢＣ的中点 Ｈ，连接 ＥＨ，ＦＨ，图略．因为 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＣＤ的中点，所以ＥＨ＝ １２ＡＣ＝２ｃｍ，ＦＨ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ， ＥＨ∥ ＡＣ，ＦＨ∥ ＢＤ．因为 ＡＣ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＥＨＦ＝９０°．在 Ｒｔ△ＥＨＦ中，由勾股定理，得ＥＦ＝ ＥＨ２＋ＦＨ槡 ２ ＝槡１３ｃｍ． １７．（１）因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ ＝ＢＣ．因为四边形ＡＦＣＧ是矩形，所以ＣＧ∥ＡＦ．所以∠ＣＤＯ＝ ∠ＡＢＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＡＯ．所以△ＣＯＤ≌△ＡＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＣＤ ＝ＡＢ．所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ＤＢ．因为ＡＤ ＝ＡＢ，所以△ＡＤＢ为等边三角形．所以∠ＤＢＡ＝６０°．因为ＣＤ∥ ＡＢ，所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＡ＝６０°． １８．（１）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠ＥＦＤ＝∠ＯＣＤ．在△ＯＤＣ和 △ＥＤＦ中， ∠ＯＣＤ＝∠ＥＦＤ， ＤＣ＝ＤＦ， ∠ＣＤＯ＝∠ＦＤＥ { ， 所以△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）． （２）四边形ＯＣＥＦ是正方形．证明如下： 因为△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ，所以ＯＤ＝ＥＤ．因为ＤＦ＝ＤＣ，所以 四边形ＯＣＥＦ是平行四边形．因为ＯＤ＝ＤＣ，所以ＥＤ＝ＤＣ，ＯＥ ＝ＣＦ．所以四边形 ＯＣＥＦ是矩形．因为 ∠ＢＥＣ＝４５°，所以 ∠ＤＣＥ＝４５°．所以∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＤＥＣ－∠ＤＣＥ＝９０°．所 以ＯＥ⊥ＣＦ．所以四边形ＯＣＥＦ是正方形． １９．作∠ＧＡＨ＝１２０°，交ＢＧ的延长线于点Ｈ，作ＡＴ⊥ＢＨ于 点Ｔ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＡＤ．因为∠ＢＡＤ ＝１２０°，所以∠ＧＡＨ＋∠ＧＡＢ＝∠ＢＡＤ＋∠ＧＡＢ，即 ∠ＢＡＨ＝ ∠ＤＡＧ．由对顶角相等，得∠ＡＦＤ＝∠ＢＦＧ．因为∠ＢＧＤ＝１２０°， 所以１８０°－∠ＡＦＤ－∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＢＦＧ－∠ＢＧＤ，即∠ＡＤＦ ＝∠ＧＢＦ．所以△ＨＡＢ≌△ＧＡＤ（ＡＳＡ）．所以ＡＨ＝ＡＧ＝５，ＢＨ ＝ＤＧ．因为ＡＴ⊥ＢＨ，所以ＧＨ＝２ＴＨ，∠ＨＡＴ＝６０°．所以∠Ｈ＝ ３０°．所以 ＡＴ＝ １２ＡＨ＝ ５ ２．根据勾股定理，得 ＴＨ＝ＴＧ＝ ＡＨ２－ＡＴ槡 ２ ＝ 槡 ５３ ２．所以ＧＨ＝ 槡５３．所以ＤＧ＝ＢＨ＝ＢＧ＋ＧＨ ＝２＋ 槡５３． 《平行四边形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ 二、９．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １０．３；　１１．答案不惟一，如ＡＣ，ＢＤ互相平分；　１２．１５°； １３．槡１９２ ；　１４．６或 槡４３． 三、１５．因为平行四边形ＡＢＣＤ与平行四边形 ＣＤＥＦ的周长 相等，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ＝ＤＥ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ．因为 ∠ＢＡＤ＝６０°，∠Ｆ＝１１０°，所以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝１２０°， ∠ＣＤＥ＝∠Ｆ＝１１０°．所以∠ＡＤＥ＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＤＥ＝ １３０°．所以∠ＤＡＥ＝ １２（１８０°－∠ＡＤＥ）＝２５°． １６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＢＣ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＥＣ．所以 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为ＡＣ＝ＥＦ，所以四边形ＡＥＣＦ是 矩形． １７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ为矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ．由折叠的性质，得 ∠ＨＡＦ ＝ １２∠ＤＡＣ ＝ １ ２∠ＢＣＡ＝∠ＭＣＥ．所以ＡＦ∥ＣＥ． （２）３０．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝９０°．又ＡＦ ∥ＣＥ，所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为∠ＢＡＣ＝３０°，所以 ∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＢＡＣ＝６０°．所以∠ＭＣＥ＝３０°．所以ＡＥ＝ＣＥ． 所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点 Ｏ是 ＢＤ的中 点，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＯ＝ＤＯ．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ．在△ＢＯＥ和 △ＤＯＦ中， ∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ， ＢＯ＝ＤＯ， ∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ { ， 所以△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（ＡＳＡ）．所以 ＤＦ＝ＢＥ．所以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （２）过点Ｄ作ＤＮ⊥ＥＣ于点Ｎ，图略．因为ＤＥ＝ＤＣ＝６， ＤＮ⊥ＥＣ，ＣＥ＝４，所以ＥＮ＝ＣＮ＝２．所以ＤＮ＝ ＤＣ２－ＣＮ槡 ２ ＝ 槡４２．因为∠ＤＢＣ＝４５°，ＤＮ⊥ＢＣ，所以∠ＢＤＮ＝∠ＤＢＣ＝ ４５°．所以ＢＮ＝ＤＮ＝ 槡４２．所以ＢＥ＝ＢＮ－ＥＮ＝ 槡４２－２．因为 ＳＢＥＤＦ ＝ＢＥ·ＤＮ＝ＤＥ·ＰＧ，所以ＰＧ＝ ＢＥ·ＤＮ ＤＥ ＝ １６－ 槡４２ ３ ． １９．（１）取ＯＣ的中点Ｍ，连接ＤＭ．因为四边形ＡＢＣＤ是正方 形，所以 ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＢＡＯ ＝∠ＤＣＭ ＝４５°．所以 ∠ＣＥＯ＝∠ＡＢＯ．因为Ｄ为ＣＥ的中点，Ｍ为ＯＣ的中点，所以ＯＥ ＝２ＭＤ，ＤＭ∥ ＯＥ．所以 ∠ＣＤＭ ＝∠ＣＥＯ．所以 ∠ＡＢＯ ＝ ∠ＣＤＭ．在△ＡＢＯ和△ＣＤＭ中， ∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ { ， 所以△ＡＢＯ ≌△ＣＤＭ（ＡＳＡ）．所以ＯＢ＝ＭＤ．所以ＯＥ＝２ＯＢ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＥＢＧ＝９０°，ＢＥ＝ＢＧ．所以∠ＢＥＣ＋∠ＥＢＣ ＝９０°，∠ＡＢＥ＋∠ＧＢＨ＝９０°．由（１）得∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＥ．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为ＧＨ⊥ＡＢ，所以∠ＢＨＧ＝９０°．所以△ＢＥＣ ≌△ＢＧＨ（ＡＡＳ）．所以ＢＣ＝ＢＨ．所以ＡＢ＝ＢＨ． 《一次函数》专项练习 １．Ａ；　２．ｘ＞１；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．８４０；　６．Ｄ；　７．Ｂ； ８．Ａ；　９．－２；　１０．Ｃ；　１１．＞；　１２．３；　１３．Ｄ； １４．ｙ＝４ｘ－５；　１５．Ａ；　１６．３；　１７．Ｃ． １８．（１）设 Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价分别为 ｘ元、 ｙ元．根据题意，得 ２ｘ＋３ｙ＝９０， ３ｘ＋ｙ＝６５{ ．解得 ｘ＝１５， ｙ＝２０{ ． 答：Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台进价分别为１５元、２０元． （２）设购进Ａ种品牌小电器 ａ台，则购进 Ｂ种品牌小电器 （１５０－ａ）台．根据题意，得２７５０≤１５ａ＋２０（１５０－ａ）≤２８５０． 解得３０≤ａ≤５０． 答：购进Ａ种品牌小电器数量的取值范围为３０≤ａ≤５０． （３）设获利ｗ元．根据题意，得ｗ＝３ａ＋４（１５０－ａ）＝－ａ ＋６００．因为所购进的Ａ，Ｂ两种品牌小电器全部销售完后获得的 总利润不少于５６５元，所以－ａ＋６００≥５６５．解得ａ≤３５．所以３０ ≤ａ≤３５．所以甲合理的采购方案有６种，方案一：购进Ａ种品牌 小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台；方案二：购进Ａ种品牌小电 器３１台，Ｂ种品牌小电器１１９台；方案三：购进 Ａ种品牌小电器 ３２台，Ｂ种品牌小电器 １１８台；方案四：购进 Ａ种品牌小电器 ３３台，Ｂ种品牌小电器 １１７台；方案五：购进 Ａ种品牌小电器 ３４台，Ｂ种品牌小电器 １１６台；方案六：购进 Ａ种品牌小电器 ３５台，Ｂ种品牌小电器１１５台．因为 －１＜０，所以ｗ随ａ的增大而减 小．所以当ａ＝３０时，获利最大，最大利润为：－３０＋６００＝５７０元． 答：购进Ａ种品牌小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台，获得 的利润最大，最大利润是５７０元． 《一次函数》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ 二、９．日期；　１０．±２；　１１． ｘ＝２， ｙ＝４{ ；　１２．４２                                                                                                                                                                                         ； ! " # $ !" 书 考 点 解 密 ?考点１：平行四边形的性质 例１　 如图１，在 ＡＢＣＤ 中，ＢＤ＝ＣＤ，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ， 若 ∠Ｃ ＝７０°，则 ∠ＢＡＥ ＝ °． 解析：因为 ＢＤ＝ＣＤ，∠Ｃ ＝７０°， 所以∠ＤＢＣ＝７０°． 所以∠ＢＤＣ＝１８０°－∠Ｃ－∠ＤＢＣ＝４０°． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＢ∥ＣＤ． 所以∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ＝４０°． 因为ＡＥ⊥ＢＤ， 所以∠ＡＥＢ＝９０°． 所以∠ＢＡＥ＝９０°－∠ＡＢＥ＝５０°． 故填５０． ●专项练习 １．在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＋∠Ｃ＝ １００°，则∠Ｄ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５０° Ｂ．８０° Ｃ．１００° Ｄ．１３０° ２．如图２，ＡＢＣＤ的顶点 坐标分别为 Ａ（１，４），Ｂ（１，１）， Ｃ（５，２），则点Ｄ的坐标为 （　　） Ａ．（５，５） 　　Ｂ．（５，６） Ｃ．（６，６） 　　Ｄ．（５，４） ３．如图３，已知直线 ｌ１∥ ｌ２，点 Ａ在直线 ｌ１ 上，点 Ｂ，Ｃ在直线 ｌ２上，ＡＣ⊥ ｌ２．如果 ＡＢ＝ ５ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，则平行线ｌ１，ｌ２之间的距离是 ｃｍ． ４．如图４，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与 ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＢ⊥ＡＣ，若ＡＢ＝８，ＡＣ＝１２， 则ＢＤ的长是 ． ?考点２：平行四边形的判定 例２　如图５，已知ＥＦ ∥ＡＣ，Ｂ，Ｄ分别是ＡＣ和ＥＦ 上的点，∠ＥＤＣ＝∠ＣＢＥ． 求证：四边形 ＢＣＤＥ是平行 四边形． 证明：因为ＥＦ∥ＡＣ， 所以∠ＥＤＣ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠ＥＤＣ＝∠ＣＢＥ， 所以∠ＣＢＥ＋∠Ｃ＝１８０°． 所以ＥＢ∥ＤＣ． 所以四边形ＢＣＤＥ是平行四边形． ●专项练习 ５．依据所标数据，一定是平行四边形的是 （　　） ６．如图６，已知 ＡＢ∥ ＣＤ，增加下列条件可 以使四边形ＡＢＣＤ成为平行四边形的是（　　） Ａ．∠１＝∠２ Ｂ．ＡＤ＝ＢＣ Ｃ．ＯＡ＝ＯＣ Ｄ．ＡＤ＝ＡＢ ７．如图７，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ边的中点， 连接ＢＤ并延长至点Ｅ，使ＤＥ＝ＢＤ，延长ＢＣ至 点Ｆ，使 ＣＦ＝ＢＣ，连接 ＡＥ，ＥＦ．求证：四边形 ＡＣＦＥ是平行四边形． ?考点３：三角形的中位线定理 例３　如图８，Ａ，Ｂ两点 被池塘隔开，Ａ，Ｂ，Ｃ三点不 共线．设ＡＣ，ＢＣ的中点分别 为Ｍ，Ｎ．若ＭＮ＝３米，则ＡＢ ＝ （　　） Ａ．４米 　 　　Ｂ．６米 Ｃ．８米 　 　　Ｄ．１０米 解析：因为 Ｍ，Ｎ分别是 ＡＣ，ＢＣ的中点，所 以ＡＢ＝２ＭＮ＝６米． 故选Ｂ． ●专项练习 ８．如图９，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＢＣ＝１４，ＢＤ是ＡＣ边上的高， 垂足为Ｄ，点Ｆ在ＢＣ边上，连接 ＡＦ，Ｅ为ＡＦ的中点，连接ＤＥ．若 ＤＥ＝５，则ＢＦ的长是 （　　） Ａ．３ Ｂ．６ Ｃ．５ Ｄ．４ ?考点４：矩形的性质 例４　如图１０，Ｏ是矩形 ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ的中点，Ｅ 为ＡＤ的中点．若ＡＢ＝６，ＢＣ ＝８，则△ＢＯＥ的周长为 （　　） 槡Ａ．１０ Ｂ．８＋２５ 槡Ｃ．８＋２ １３ Ｄ．１４ （下转第１０版                                                                                      ） 书 知 识 回 顾 １．平行四边形的性质 （１）定义：两组对边分别 的四边 形叫做平行四边形． （２）性质： ①平行四边形的对边 ； ②平行四边形的对角 ； ③平行四边形的对角线 ． ２．平行四边形的判定 （１）定义； （２）两组对边分别 的四边形是平 行四边形； （３）两组 分别相等的四边形是平 行四边形； （４）对角线 的四边形是平行 四边形； （５）一组对边 的四边形 是平行四边形． ３．三角形的中位线定理 三角形的中位线 于三角形的第三 边，并且 第三边的一半． ４．矩形的性质 （１）定义：有一个角是 的平行四 边形叫做矩形． （２）性质： ①具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是 ； ③矩形的对角线 ； 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边 的 ． ５．矩形的判定 （１）定义； （２）有三个角是 的四边形是矩形； （３）对角线相等的 是矩形． ６．菱形的性质 （１）定义：有一组邻边 的平行四 边形叫做菱形． （２）性质： ①具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边都 ； ③菱形的两条对角线互相 ，并且 每一条对角线 一组对角； ④菱形的面积等于 （适 用于所有对角线互相垂直的四边形）． ７．菱形的判定 （１）定义； （２）对角线互相 的平行四边形是 菱形； （３）四条边 的四边形是菱形． ８．正方形的性质 （１）定义：有一组邻边 ，并且有一 个角是 的平行四边形叫做正方形． （２）性质：正方形既是矩形又是菱形，因 此，正方形既有 的性质又有 的性质． ９．正方形的判定 （１）定义； （２）先判定四边形为矩形，再判定它也是 菱形； （３）先判定四边形为菱形，再判定它也是 矩形． ! ! " # $ ! !" # $ ! " # $ % ! ! & ! $ % " ' ( ! " ) " ) ! ! % " ! # ! $ ! $ ' % " ! " % *$ # ! % ! " " ' ! % $ ! & ! ' * ! " $ #% ! $ % # * " ! ( " +! , % ! ) ! $ # ' % " ! !* % !!*! '*! % !!*! '*! % % !!*! )*! !**! % % % + , - . 书 （上接第９版） 解析：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝６，ＢＣ ＝８， 所以ＣＤ＝６，ＡＤ＝８，∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ９０°． 因为点Ｏ是ＡＣ的中点，Ｅ为ＡＤ的中点， 所以ＯＥ＝１２ＣＤ＝３，ＡＥ＝ １ ２ＡＤ＝４． 根据勾股定理，得 ＢＥ＝ ＡＢ２＋ＡＥ槡 ２ ＝ 槡２ １３，ＡＣ＝ ＡＢ ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０． 所以ＢＯ＝１２ＡＣ＝５． 所以△ＢＯＥ的周长为：ＢＯ＋ＯＥ＋ＢＥ＝８＋ 槡２ １３． 故选Ｃ． ●专项练习 ９．如图１１，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ 交于点Ｏ，过点Ｏ作ＥＦ⊥ＡＣ交ＡＤ于点Ｅ，交ＢＣ 于点Ｆ．已知ＡＢ＝４，△ＡＯＥ的面积为５，则ＤＥ的 长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 槡Ａ．２ Ｂ．５ 槡Ｃ．６ Ｄ．３ １０．如图１２，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ，ＡＢ＝ＢＯ，ＡＥ平分∠ＢＡＤ交ＢＣ于 点Ｅ，点Ｅ，Ｆ关于ＡＣ对称，连接ＥＦ，则∠ＡＥＦ的 度数为 （　　） Ａ．９０° Ｂ．８５° Ｃ．７５° Ｄ．无法确定 １１．如图１３，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＡＤ＝ ２，点Ｅ在边ＡＤ上，点Ｆ在边ＢＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ， 连接 ＣＥ，ＤＦ，则 ＣＥ＋ＤＦ长度的最小值为 ． ?考点５：直角三角形斜边上中线的性质 例 ５　 如图 １４，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°， ＡＤ，ＡＥ分别是边 ＢＣ上的 中线、高．若ＡＥ＝２，ＡＤ＝ ３，则△ＡＢＣ的面积为 （　　） 　　　　 　　　　 　　　　Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６ 解析：因为ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＡＤ＝３， 所以ＢＣ＝２ＡＤ＝６． 因为ＡＥ是△ＡＢＣ的高， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＡＥ＝６． 故选Ｄ． ●专项练习 １２．在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ＝４，点Ｄ 为ＡＣ的中点，则ＢＤ的长为 ． ?考点６：矩形的判定 例６　如图１５，点Ｍ在 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ上，ＢＭ ＝ ＣＭ，请从以下三个选项中： ①∠１＝∠２；②ＡＭ ＝ＤＭ； ③∠３＝∠４，选择一个合适 的选项作为已知条件，使ＡＢＣＤ为矩形． （１）你添加的条件是 （填序号）； （２）添加条件后，请证明ＡＢＣＤ为矩形． 解：（１）①（或②）； （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＢ∥ＤＣ，ＡＢ＝ＤＣ． 所以∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°． 选择①．证明如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中， ＡＢ＝ＤＣ， ∠１＝∠２， ＢＭ ＝ＣＭ { ， 所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（ＳＡＳ）． 所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°． 所以ＡＢＣＤ为矩形． 选择②．证明如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中， ＡＢ＝ＤＣ， ＡＭ ＝ＤＭ， ＢＭ ＝ＣＭ { ， 所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（ＳＳＳ）． 所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°． 所以ＡＢＣＤ为矩形． ●专项练习 １３．如图１６，平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＯＡ＝ＯＢ，∠ＯＡＤ＝６５°， 则∠ＯＤＣ＝ ． １４．如图１７，已知ＡＢ∥ＤＥ，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ ＦＤ，∠ＣＥＦ＝９０°． （１）求证：△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ； （２）求证：四边形ＢＣＥＦ是矩形． ?考点７：菱形的性质 例７　 如图 １８，菱形 ＡＢＣＤ中，连接 ＡＣ，ＢＤ，若 ∠１＝２０°，则 ∠２的度数 为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° 解析：因为四边形ＡＢＣＤ是菱形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ． 所以∠ＤＣＡ＝∠１＝２０°． 所以∠２＝９０°－∠ＤＣＡ＝７０°． 故选Ｃ． ●专项练习 １５．将两个完全相同的菱形按如图１９方式 放置，若∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＢＥ＝β，则β＝ （　　） Ａ．４５°＋１２α Ｂ．４５°＋ ３ ２α Ｃ．９０°－１２α Ｄ．９０°－ ３ ２α １６．如图２０，已知菱形ＡＢＣＤ的面积等于２４， ＢＤ＝８． （１）ＡＣ＝ ； （２）点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ边 上的点，且ＢＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＡＨ，则ＥＦ＋ＧＨ＝ ． ?考点８：菱形的判定 例８　如图２１，在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，点 Ｅ在ＤＡ的延长线上，连接 ＢＥ，过 点Ｃ作ＣＦ∥ＢＥ交ＡＤ的延长线于 点 Ｆ，连接 ＢＦ，ＣＥ．求证：四边形 ＢＥＣＦ是菱形． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ 边上的中线，所以ＡＤ垂直平分ＢＣ． 所以ＥＢ＝ＥＣ，ＦＢ＝ＦＣ． 因为ＣＦ∥ＢＥ， 所以∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ，∠ＥＢＤ＝∠ＦＣＤ． 在△ＥＢＤ和△ＦＣＤ中， ∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ， ∠ＥＢＤ＝∠ＦＣＤ， ＢＤ＝ＣＤ { ， 所以△ＥＢＤ≌△ＦＣＤ（ＡＡＳ）． 所以ＢＥ＝ＣＦ． 所以ＥＢ＝ＦＢ＝ＦＣ＝ＥＣ． 所以四边形ＢＥＣＦ是菱形． ●专项练习 １７．如图２２，在四边形 ＡＢＣＤ中，Ｏ为边 ＤＡ 上一点，连接 ＣＯ并延长与 ＢＡ的延长线交于点 Ｅ，且点Ａ恰好为ＢＥ的中点，ＯＤ＝１２ＤＣ，△ＡＯＥ ≌△ＤＯＣ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形； （２）若∠Ｅ＝３０°，ＢＣ＝６，菱形ＡＢＣＤ的面 积等于 槡１８３，求ＥＣ的长． １８．如图２３，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＣＤ， ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｏ，点Ｅ是ＤＢ延长线上一点，ＯＥ ＝ＯＤ，ＢＦ⊥ＡＥ于点Ｆ． （１）求证：四边形ＡＥＣＤ是菱形； （２）若ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＯＢ＝３，ＢＥ＝５，求 ＥＦ和ＡＤ的长． （下转第３０版                                                                                                                                                                                         ） ! 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