第17章 勾股定理&复习自测题&复习检测题-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（人教版 广东专用）

书 ３９期２版 ２０．１数据的集中趋势 ２０．１．１平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．５；　４．１４． ５．（１）丙将被录用． （２）略． 能力提高　６．６，７． ２０．１．２中位数与众数 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．５；　５．６． ６．（１）Ａ品种玉米５块试验田产量的平均数为８７ｋｇ，中位数 为８５ｋｇ，众数为８５ｋｇ；Ｂ品种玉米５块试验田产量的平均数为 ８７ｋｇ，中位数为９０ｋｇ，众数为９０ｋｇ． （２）应该选择Ｂ品种玉米推广种植．理由略． ７．（１）４吨，４吨； （２）所调查家庭８月份用水量的平均数为４．５吨； （３）这个小区８月份的总用水量约为２７００吨． ８．（１）八年级 １班成绩的平均数、中位数分别为 ９０分、 ９０分；八年级２班成绩的众数为１００分．填表略． （２）八年级２班的竞赛成绩更优秀．理由略． 能力提高　９．１４６． ３９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ 二、９．８分；　１０．２１元；　１１．１７；　１２．５；　１３．１； １４．５或９． 三、１５．这１０名学生所在家庭平均月使用塑料袋：１１０×（６５ ＋７０＋８５＋７５＋８５＋７９＋７４＋９１＋８１＋９５）＝８０（只）．中位 数是８０只，众数是８５只． １６．（１）乙将获得冠军． （２）甲将获得冠军． １７．（１）７，７．５，５０％； （２）参加此次测试活动成绩合格的学生约有１０８０名． （３）八年级学生掌握垃圾分类知识较好．理由略． １８．（１）当日的利润ｙ关于当日需求量ｎ的函数解析式为 ｙ ＝ １０ｎ－８０（０≤ｎ＜１６）， ８０（ｎ≥１６）{ ． （２）①１７，１５．　②应购进１７枝．理由略． 附加题　１．（１）２０万元，１７万元， ２２万元； （２）基本销售额应定为２２万元． 理由略． ２．（１）３月份体育测试成绩为 Ｃ 等级的同学的平均成绩为７５．８分． （２）强化训练后该班同学平均成 绩所提高的分数为５．８分． ４０期评估卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１１．２２；　１２．９．１；　１３．５８；　１４．４．５；　１５．６． 三、１６．ｍｎ的值为９． １７．甲的平均成绩为：８５×７＋９０×３７＋３ ＝８６．５（分）； 乙的平均成绩为： ９２×７＋８２×３ ７＋３ ＝８９（分）． 因为８６．５＜８９，所以乙将被录取． １８．（１）１１，７９，７８．８； （２）１１＋４＝１５（人）＜１８人，人数不超． ７９×１１＋５２．３×４＝１０７８．２（ｋｇ）＜１１００ｋｇ，总重不超． 所以这队运动员和这４位女士能一起安全地搭乘这部电梯． 四、１９．何亮的成绩更稳定．理由略． ２０．（１）８，７２； （２）小明的说法错误．理由略． （３）获奖的学生约有６６０名． ２１．（１）①８，８，１．５６； ②应该给九年级颁奖． （２）九年级的获奖率高． 五、２２．（１）ａ＝６，ｂ＝４．７，ｃ＝４．７５． （２）略． （３）略． ２３．（１）１４４．乙车间 ４月份工资 为５千元的有：１０－５－２－１＝ ２（名）．补图略． （２）略． （３）这４名员工的工资和的最大 值为１８千元． 复习专号 《二次根式》专项练习 １．Ｃ；　２．ｘ≥ ５２；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５ 槡．－ －ｙ； ６．Ｃ；　７．Ａ；　８．Ａ． ９．（１）０；　（２）９－ 槡３２２；　（３）槡６２；　（４）－４３＋ 槡６５． １０．因为ｘ＋ｙ＝槡２，ｘｙ＝１－槡２，所以 （１）（ｘ＋１）（ｙ＋１）＝ｘｙ＋ｘ＋ｙ＋１＝１－槡２＋槡２＋１＝２． （２）ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝（ｘ＋ｙ）２－３ｘｙ＝（槡２）２－３（１－槡２）＝ 槡３２－１． １１．Ａ；　１２．Ｃ；　１３．ｘ＜－１０－ 槡５５；　１４． ｘ＝－１， ｙ＝槡３＋１２ { ． 《二次根式》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ 二、９．槡５５；　１０．答案不惟一，如 ｘ－槡 ２；　１１．＜； １２．槡６２；　１３．－５－ 槡３３；　１４．槡２２＋２或槡２＋４． 三、１５．（１）０；　（２） 槡３２１０；　（３） ７ ３． １６．根据题意，得３ｘ－１０＝２，２ｘ＋ｙ－５＝ｘ－３ｙ＋１１．解得 ｘ＝４，ｙ＝３．所以ｘ，ｙ平方和的算术平方根为： ｘ２＋ｙ槡 ２ ＝５． １７．根据数轴，得ａ＜０，ａ＋ｃ＜０，ｃ－ｂ＜０，ｂ－ａ＞０．所以 原式 ＝－ａ＋ａ＋ｃ＋ｂ－ｃ－（ｂ－ａ）＝ａ． １８．（１）因为（－槡３）２＝３，（－４）２＝１６，（－ 槡２２）２＝８，所 以 －槡３＞－ 槡２２＞－４．所以ｍａｘ｛－槡３，－４，－ 槡２２｝＝－槡３． （２）因为槡１２＝ 槡２３，槡 １ ３ ＝ 槡３ ３，－ ４ 槡３ ＝－ 槡４３３，所以 Ｍ｛槡１２，槡 １ ３，－ ４ 槡３ ｝＝ 槡２３＋槡 ３ ３ － 槡４３ ３ ３ ＝ 槡３ ３． １９．（１）两个正方形的面积之和为：ａ２＋ｂ２＝１２＋（槡２）２＝ ３． （２）根据题意，得 ∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＦ＝４５°．所以 ∠ＡＣＦ＝ ∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＦ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２ ＝ １０，ＣＦ２ ＝ＣＥ２＋ＥＦ２ ＝６．所以ＡＦ＝ ＡＣ２＋ＣＦ槡 ２ ＝４． （３）因为ａｍ－ｂｎ＝槡３，ａｎ＋ｂｍ＝槡５，所以（ａｍ－ｂｎ）２＝ ３①，（ａｎ＋ｂｍ）２＝５②．① ＋②，得ａ２ｍ２＋ｂ２ｎ２－２ａｂｍｎ＋ａ２ｎ２ ＋ｂ２ｍ２＋２ａｂｍｎ＝（ａ２＋ｂ２）（ｍ２＋ｎ２）＝８．根据题意，得ａ２＋ ｂ２ ＝２，１２（ｍ＋ｎ） ２＝３．所以４＋２ｍｎ＝６．解得ｍｎ＝１．所以 Ｓ△ＡＣＦ ＝ １ ２ ×槡２ｍ×槡２ｎ＝１． 《二次根式》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．３；　１０．槡２３；　１１．－２≤ｘ≤０；　１２．６８； １３． 槡２４ １３；　１４．５－ 槡２６或 －５－ 槡２６． 三、１５．（１）槡ａ２；　（２） 槡１６５ ３ ；　（３）５． １６．原式 槡＝－ ｘｙ．当ｘ＝ ３ ２，ｙ＝２７时，原式 ＝－ 槡９２ ２． １７．（１）槡４５，槡５； （２）长方体盒子的底面边长为：槡４５－槡２５＝ 槡２５≈２×２．２４ ≈４．５（ｃｍ），体积为：槡２５× 槡２５×槡５＝ 槡２０５≈２０×２．２４＝ ４４．８（ｃｍ３）． １８．（１）因为ｘ＝２－槡３，ｙ＝２＋槡３，所以ｘ＋ｙ＝２－槡３＋ ２＋槡３＝４，ｘｙ＝（２－槡３）（２＋槡３）＝４－３＝１． （２）ｘ２＋ｙ２－３ｘｙ＝（ｘ＋ｙ）２－５ｘｙ＝４２－５×１＝１１． （３）因为 －２＜－槡３＜－１，所以０＜２－槡３＜１．因为ｘ的 小数部分是ａ，所以ａ＝２－槡３．因为３＜２＋槡３＜４，ｙ的整数部 分是ｂ，所以ｂ＝３．所以ａｘ－ｂｙ＝（２－槡３）（２－槡３）－３（２＋槡３） ＝４－ 槡４３＋３－６－ 槡３３＝１－ 槡７３． １９．（１）槡３２－４＝ （槡３２－４）（槡３２＋４） 槡３２＋４ ＝ ２ 槡３２＋４ ， 槡２３－槡１０＝ （槡２３－槡１０）（槡２３＋槡１０） 槡２３＋槡１０ ＝ ２ 槡２３＋槡１０ ． 因为 槡３２＞ 槡２３，４＞槡１０，所以 槡３２＋４＞ 槡２３＋槡１０． 所以 槡３２－４＜ 槡２３－槡１０． （２）由１－ｘ≥０，１＋ｘ≥０，ｘ≥０，得０≤ｘ≤１． ｙ＝ １槡 －ｘ＋ （ １槡 槡＋ｘ－ ｘ）（ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ） １槡 槡＋ｘ＋ ｘ ＝ １槡 －ｘ＋ １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ ． 当ｘ＝０时， １槡 槡＋ｘ＋ ｘ有最小值，则 １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ 有最大 值１，此时 １槡 －ｘ有最大值１，所以ｙ的最大值为２； 当ｘ＝１时， １槡 槡＋ｘ＋ ｘ有最大值，则 １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ 有最小 值槡２－１，此时 １槡 －ｘ有最小值０，所以ｙ的最小值为槡２－１． 《勾股定理》专项练习 １．Ｂ；　２．８． ３．连接ＢＥ，图略．由尺规作图可知ＭＮ为ＡＢ的垂直平分线． 因为ＣＥ＝ １３ＡＥ＝１，所以ＡＥ＝３．所以ＡＣ＝ＡＥ＋ＣＥ＝４，ＢＥ ＝ＡＥ＝３．在Ｒｔ△ＥＣＢ中，由勾股定理，得ＢＣ＝ ＢＥ２－ＣＥ槡 ２＝ 槡２２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２６． ４．Ｄ． ５．在△ＡＣＤ中，ＡＣ２ ＝２５，ＣＤ２ ＝１，ＡＤ２ ＝２６．因为ＡＣ２＋ ＣＤ２＝ＡＤ２，所以△ＡＣＤ是直角三角形，且∠Ｃ＝９０°．因为ＢＤ＝ ４，ＣＤ＝１，所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５．在Ｒｔ△ＡＣＢ中，由勾股定理， 得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡５２． ６．１０． ７．（１）在Ｒｔ△ＭＮＢ中，ＢＮ＝ ＢＭ２－ＭＮ槡 ２ ＝４５ｍ．所以 ＡＮ＝ＡＢ－ＢＮ＝８０ｍ．在Ｒｔ△ＡＭＮ中，ＡＭ＝ ＡＮ２＋ＭＮ槡 ２ ＝ １００ｍ．所以供水点Ｍ到喷泉Ａ，Ｂ需要铺设的管道总长为：ＡＭ＋ ＢＭ＝１７５ｍ． （２）因为ＡＢ＝１２５ｍ，ＡＭ＝１００ｍ，ＢＭ＝７５ｍ，所以ＡＢ２＝ ＢＭ２＋ＡＭ２．所以△ＡＢＭ是直角三角形，且 ∠ＡＭＢ＝９０°．所以 ＢＭ⊥ＡＣ．所以喷泉Ｂ到小路ＡＣ的最短距离是７５ｍ． ８．（１）逆命题是：有两个锐角的三角形是直角三角形． 原命题是真命题，逆命题是假命题． （２）逆命题是：全等三角形的对应边和对应边上的中线相等． 原命题是假命题，逆命题是真命题． 《勾股定理》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ 二、９．１５；　１０．９０；　１１．２；　１２．１５；　１３．４； １４．１５或１８． 三、１５．（１）逆命题是：若△ＡＢＣ是直角三角形，则∠Ｃ＝９０°． 原命题是真命题，逆命题是假命题． （２）逆命题是：矩形的两条对角线相等． 原命题是假命题，逆命题是真命题． １６．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２ ＝ＡＤ２－ＡＢ２ ＝４５．在 △ＢＣＤ中， ＢＣ２＋ＣＤ２＝４５．所以ＢＣ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２．所以∠ＢＣＤ＝９０°，即 ＢＣ⊥ＣＤ．所以该车符合安全标准． １７．因为ＡＢ⊥ＡＤ，所以∠ＢＡＣ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ １７米，ＡＢ＝８米，由勾股定理，得ＡＣ＝ ＢＣ２－ＡＢ槡 ２ ＝１５米．所 以ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＝３５米．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＤ２＋ＡＢ槡 ２ ＝槡１２８９≈３６米． 答：钢丝绳ＢＤ的长度约为３６米． １８．如图，将长方体沿侧面展开，当动 点Ｑ在第５秒拦截动点Ｐ时，Ｃ１Ｐ＝５．所 以ＣＰ＝ＣＣ１－Ｃ１Ｐ＝６．因为ＡＣ＝ＡＢ＋ ＢＣ＝８，所以ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＣＰ槡 ２＝１０．所 以点Ｑ的速度为：１０５ ＝２（单位 ／秒）． 答：动点Ｑ的速度至少应设定为２单位 ／秒． １９．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＢＤ＝ＡＤ＝ 槡２３．因为ＢＣ２＋ＢＤ２ ＝１２＋（槡２３）２＝１３＝ＣＤ２，所以∠ＣＢＤ ＝９０°． （２）过点Ｃ作 ＣＦ⊥ ＡＢ交 ＡＢ的延长线于点 Ｆ，图略，则 ∠ＢＦＣ＝９０°．由题意，得ＣＦ＝槡３２．所以ＢＦ＝ ＢＣ ２－ＣＦ槡 ２ ＝ １ ２．因为 ＤＥ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＤＥＢ＝９０°．因为 ＤＥ＝槡３，ＢＤ＝ 槡２３，所以ＢＥ＝ ＢＤ２－ＤＥ槡 ２ ＝３．所以ＥＦ＝ＢＥ＋ＢＦ＝ ７ ２． 在Ｒｔ△ＣＥＦ中，由勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝槡１３                                                                                                                                                                                         ． !" ! " # $ !"#$%&'( !"#$%&'()* !")*%&+, +"#,%&-./0 ! " # # 1 $!%" ! 2 " 2 ( 3 书 《勾股定理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．５；　１０．真；　１１．３－槡５；　１２．２０；　１３．直角； １４．２或 槡２７． 三、１５．根据题意，得５２＋（ｘ－２）２＝（ｘ＋１）２．解得ｘ＝１４３． １６．△ＡＢＤ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ＝ ２，由勾股定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝８．因为ＡＢ２＋ＢＤ２＝８＋ ２２ ＝１２，ＡＤ２ ＝１２，即ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２，所以△ＡＢＤ是直角三 角形． １７．因为ＭＮ⊥ＡＢ，所以∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ＝９０°．所以ＢＮ２ ＝ＢＭ２－ＭＮ２，ＡＮ２ ＝ＡＭ２－ＭＮ２．所以 ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＭ２－ ＢＭ２．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＡＭ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２－ＢＭ２．因为ＡＭ是中线，所以ＢＭ＝ＣＭ．所以ＡＮ２ －ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １８．（１）△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝１６０２＋１２０２ ＝４００００，ＡＢ２ ＝２００２ ＝ ４００００，即ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＢＣ是直角三角形． （２）甲方案所修的水渠较短．理由如下： 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＨ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ，所以ＣＨ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝９６ｍ．因为ＡＣ＋ＢＣ＝２８０ｍ，ＣＨ＋ＡＢ＝２９６ｍ，即ＡＣ＋ＢＣ ＜ＣＨ＋ＡＢ，所以甲方案所修的水渠较短． １９．（１）因为 ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，所以 ａ＝ｃ，ｂ＞ｃ．因为 △ＡＢＣ是“类勾股三角形”，所以ａｃ＋ａ２＝ｂ２，即ｃ２＋ａ２＝ｂ２．所 以△ＡＢＣ是等腰直角三角形．所以∠Ａ＝４５°． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．由题意，得ＡＤ＝ＣＤ＝ ＢＣ＝ａ．所以ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｃ－ａ．因为ＣＧ⊥ＡＢ，所以ＤＧ＝ ＢＧ＝ １２（ｃ－ａ）．所以ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ＝ａ＋ １ ２（ｃ－ａ）＝ １ ２（ａ ＋ｃ）．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ２ ＝ＡＣ２－ＡＧ２＝ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２． 在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＣＧ２＝ＢＣ２－ＢＧ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．所以ｂ２ －［１２（ａ＋ｃ）］ ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．整理，得ｂ２＝ａｃ＋ａ２． 所以△ＡＢＣ是“类勾股三角形”． 《平行四边形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．３；　４．２０；　５．Ｂ；　６．Ｃ． ７．连接ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ＝ＣＤ．因 为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形．所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ．所以四边形ＡＣＦＥ是平行 四边形． ８．Ｄ；　９．Ｄ；　１０．Ｃ； 槡　１１．２２；　１２．２；　１３．２５°． １４．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ＦＤ，所 以ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即 ＡＦ＝ＤＣ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＥＣ中， ＡＦ＝ＤＣ， ∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝∠ＥＣＤ． 所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠ＢＦＣ＝∠ＥＣＦ．所以 ＥＣ∥ＢＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．因为∠ＣＥＦ＝９０°， 所以四边形ＢＣＥＦ是矩形． １５．Ｄ；　１６．（１）６，（２）６． １７．（１）因为 △ＡＯＥ≌ △ＤＯＣ，所以 ＯＡ＝ＯＤ，ＡＥ＝ＣＤ， ∠Ｅ＝∠ＤＣＯ．所以ＣＤ∥ＡＢ．因为点Ａ为ＢＥ的中点，所以ＡＥ＝ ＡＢ．所以ＣＤ＝ＡＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．因为ＯＤ＝ １ ２ＤＣ，ＯＤ＝ １ ２ＡＤ，所以ＡＤ＝ＤＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是 菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ＝６．因为菱形ＡＢＣＤ的面积等于 槡１８３，所以 ＡＢ边上的高ＣＦ＝ 槡１８３÷６＝ 槡３３．因为∠Ｅ＝３０°，所以ＥＣ＝ ２ＣＦ＝ 槡６３． １８．（１）因为ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ．因为ＯＥ＝ ＯＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＣＦ⊥ＡＥ，ＯＥ⊥ＯＡ，所以ＢＦ＝ＯＢ ＝３，∠ＡＯＥ＝９０°．所以Ｒｔ△ＡＦＢ≌Ｒｔ△ＡＯＢ（ＨＬ）．所以ＡＦ＝ ＯＡ．因为ＢＥ＝５，所以ＥＦ＝ ＢＥ２－ＢＦ槡 ２ ＝４，ＯＥ＝ＯＢ＋ＢＥ ＝８．在Ｒｔ△ＡＯＥ中，根据勾股定理，得ＯＡ２＋ＯＥ２＝ＡＥ２，即（ＡＥ －４）２＋８２＝ＡＥ２．解得ＡＥ＝１０．因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，所以 ＡＤ＝ＡＥ＝１０． １９．Ｂ． ２０．因为ＢＧＢＥ＝ ３ ４，所以设ＢＧ＝３ｘ，则ＢＥ＝４ｘ．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以∠Ｂ＝９０°．所以ＥＧ＝ ＢＧ２＋ＢＥ槡 ２＝５ｘ． 因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＧ＝ＥＧ＝５ｘ．所以ＡＢ＝ＡＧ ＋ＢＧ＝８ｘ． （１）因为正方形ＡＢＣＤ的边长为４，所以８ｘ＝４．解得 ｘ＝ １ ２．所以ＢＧ＝３ｘ＝ ３ ２． （２）连接ＡＦ，ＥＦ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝８ｘ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝ ４ｘ．因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＦ＝ＥＦ．所以ＡＤ２＋ＤＦ２ ＝ＣＥ２＋ＣＦ２，即（８ｘ）２＋ＤＦ２＝（４ｘ）２＋（８ｘ－ＤＦ）２．解得ＤＦ ＝ｘ．所以ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝７ｘ．所以ＤＦＣＦ＝ １ ７． ２１．Ｂ． ２２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝ＡＢ＝４．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以四边形ＥＣＤＢ是平行四边形．所以 ＢＥ＝ＣＤ＝４．因为２ＢＯ＝４，所以ＢＯ＝２．所以ＯＥ＝ＢＥ－ＢＯ ＝２． （２）由（１）得ＯＢ＝ＯＥ＝２．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以∠ＣＥＯ＝ ∠ＦＢＯ，∠ＥＣＯ＝∠ＢＦＯ．所以△ＣＯＥ≌△ＦＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＯＣ ＝ＯＦ．所以四边形 ＢＣＥＦ是平行四边形．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，ＣＦ⊥ ＣＤ，所以ＣＦ⊥ＯＢ．所以四边形ＢＣＥＦ是菱形．因为ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ ＝ＣＤ，所以ＢＥ＝ＣＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是正方形． 《平行四边形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．８；　１０．７０°；　１１．答案不惟一，如ＤＦ＝ＢＥ； １２．１６；　１３．槡５－１；　１４．０．５或４．５． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．所以 ∠ＤＡＦ＝∠ＢＣＥ．因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＣＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以△ＡＤＦ≌△ＣＢＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＦ＝ ＣＥ． １６．取 ＢＣ的中点 Ｈ，连接 ＥＨ，ＦＨ，图略．因为 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＣＤ的中点，所以ＥＨ＝ １２ＡＣ＝２ｃｍ，ＦＨ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ， ＥＨ∥ ＡＣ，ＦＨ∥ ＢＤ．因为 ＡＣ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＥＨＦ＝９０°．在 Ｒｔ△ＥＨＦ中，由勾股定理，得ＥＦ＝ ＥＨ２＋ＦＨ槡 ２ ＝槡１３ｃｍ． １７．（１）因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ ＝ＢＣ．因为四边形ＡＦＣＧ是矩形，所以ＣＧ∥ＡＦ．所以∠ＣＤＯ＝ ∠ＡＢＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＡＯ．所以△ＣＯＤ≌△ＡＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＣＤ ＝ＡＢ．所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ＤＢ．因为ＡＤ ＝ＡＢ，所以△ＡＤＢ为等边三角形．所以∠ＤＢＡ＝６０°．因为ＣＤ∥ ＡＢ，所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＡ＝６０°． １８．（１）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠ＥＦＤ＝∠ＯＣＤ．在△ＯＤＣ和 △ＥＤＦ中， ∠ＯＣＤ＝∠ＥＦＤ， ＤＣ＝ＤＦ， ∠ＣＤＯ＝∠ＦＤＥ { ， 所以△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）． （２）四边形ＯＣＥＦ是正方形．证明如下： 因为△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ，所以ＯＤ＝ＥＤ．因为ＤＦ＝ＤＣ，所以 四边形ＯＣＥＦ是平行四边形．因为ＯＤ＝ＤＣ，所以ＥＤ＝ＤＣ，ＯＥ ＝ＣＦ．所以四边形 ＯＣＥＦ是矩形．因为 ∠ＢＥＣ＝４５°，所以 ∠ＤＣＥ＝４５°．所以∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＤＥＣ－∠ＤＣＥ＝９０°．所 以ＯＥ⊥ＣＦ．所以四边形ＯＣＥＦ是正方形． １９．作∠ＧＡＨ＝１２０°，交ＢＧ的延长线于点Ｈ，作ＡＴ⊥ＢＨ于 点Ｔ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＡＤ．因为∠ＢＡＤ ＝１２０°，所以∠ＧＡＨ＋∠ＧＡＢ＝∠ＢＡＤ＋∠ＧＡＢ，即 ∠ＢＡＨ＝ ∠ＤＡＧ．由对顶角相等，得∠ＡＦＤ＝∠ＢＦＧ．因为∠ＢＧＤ＝１２０°， 所以１８０°－∠ＡＦＤ－∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＢＦＧ－∠ＢＧＤ，即∠ＡＤＦ ＝∠ＧＢＦ．所以△ＨＡＢ≌△ＧＡＤ（ＡＳＡ）．所以ＡＨ＝ＡＧ＝５，ＢＨ ＝ＤＧ．因为ＡＴ⊥ＢＨ，所以ＧＨ＝２ＴＨ，∠ＨＡＴ＝６０°．所以∠Ｈ＝ ３０°．所以 ＡＴ＝ １２ＡＨ＝ ５ ２．根据勾股定理，得 ＴＨ＝ＴＧ＝ ＡＨ２－ＡＴ槡 ２ ＝ 槡 ５３ ２．所以ＧＨ＝ 槡５３．所以ＤＧ＝ＢＨ＝ＢＧ＋ＧＨ ＝２＋ 槡５３． 《平行四边形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ 二、９．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １０．３；　１１．答案不惟一，如ＡＣ，ＢＤ互相平分；　１２．１５°； １３．槡１９２ ；　１４．６或 槡４３． 三、１５．因为平行四边形ＡＢＣＤ与平行四边形 ＣＤＥＦ的周长 相等，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ＝ＤＥ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ．因为 ∠ＢＡＤ＝６０°，∠Ｆ＝１１０°，所以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝１２０°， ∠ＣＤＥ＝∠Ｆ＝１１０°．所以∠ＡＤＥ＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＤＥ＝ １３０°．所以∠ＤＡＥ＝ １２（１８０°－∠ＡＤＥ）＝２５°． １６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＢＣ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＥＣ．所以 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为ＡＣ＝ＥＦ，所以四边形ＡＥＣＦ是 矩形． １７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ为矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ．由折叠的性质，得 ∠ＨＡＦ ＝ １２∠ＤＡＣ ＝ １ ２∠ＢＣＡ＝∠ＭＣＥ．所以ＡＦ∥ＣＥ． （２）３０．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝９０°．又ＡＦ ∥ＣＥ，所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为∠ＢＡＣ＝３０°，所以 ∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＢＡＣ＝６０°．所以∠ＭＣＥ＝３０°．所以ＡＥ＝ＣＥ． 所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点 Ｏ是 ＢＤ的中 点，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＯ＝ＤＯ．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ．在△ＢＯＥ和 △ＤＯＦ中， ∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ， ＢＯ＝ＤＯ， ∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ { ， 所以△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（ＡＳＡ）．所以 ＤＦ＝ＢＥ．所以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （２）过点Ｄ作ＤＮ⊥ＥＣ于点Ｎ，图略．因为ＤＥ＝ＤＣ＝６， ＤＮ⊥ＥＣ，ＣＥ＝４，所以ＥＮ＝ＣＮ＝２．所以ＤＮ＝ ＤＣ２－ＣＮ槡 ２ ＝ 槡４２．因为∠ＤＢＣ＝４５°，ＤＮ⊥ＢＣ，所以∠ＢＤＮ＝∠ＤＢＣ＝ ４５°．所以ＢＮ＝ＤＮ＝ 槡４２．所以ＢＥ＝ＢＮ－ＥＮ＝ 槡４２－２．因为 ＳＢＥＤＦ ＝ＢＥ·ＤＮ＝ＤＥ·ＰＧ，所以ＰＧ＝ ＢＥ·ＤＮ ＤＥ ＝ １６－ 槡４２ ３ ． １９．（１）取ＯＣ的中点Ｍ，连接ＤＭ．因为四边形ＡＢＣＤ是正方 形，所以 ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＢＡＯ ＝∠ＤＣＭ ＝４５°．所以 ∠ＣＥＯ＝∠ＡＢＯ．因为Ｄ为ＣＥ的中点，Ｍ为ＯＣ的中点，所以ＯＥ ＝２ＭＤ，ＤＭ∥ ＯＥ．所以 ∠ＣＤＭ ＝∠ＣＥＯ．所以 ∠ＡＢＯ ＝ ∠ＣＤＭ．在△ＡＢＯ和△ＣＤＭ中， ∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ { ， 所以△ＡＢＯ ≌△ＣＤＭ（ＡＳＡ）．所以ＯＢ＝ＭＤ．所以ＯＥ＝２ＯＢ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＥＢＧ＝９０°，ＢＥ＝ＢＧ．所以∠ＢＥＣ＋∠ＥＢＣ ＝９０°，∠ＡＢＥ＋∠ＧＢＨ＝９０°．由（１）得∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＥ．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为ＧＨ⊥ＡＢ，所以∠ＢＨＧ＝９０°．所以△ＢＥＣ ≌△ＢＧＨ（ＡＡＳ）．所以ＢＣ＝ＢＨ．所以ＡＢ＝ＢＨ． 《一次函数》专项练习 １．Ａ；　２．ｘ＞１；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．８４０；　６．Ｄ；　７．Ｂ； ８．Ａ；　９．－２；　１０．Ｃ；　１１．＞；　１２．３；　１３．Ｄ； １４．ｙ＝４ｘ－５；　１５．Ａ；　１６．３；　１７．Ｃ． １８．（１）设 Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价分别为 ｘ元、 ｙ元．根据题意，得 ２ｘ＋３ｙ＝９０， ３ｘ＋ｙ＝６５{ ．解得 ｘ＝１５， ｙ＝２０{ ． 答：Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台进价分别为１５元、２０元． （２）设购进Ａ种品牌小电器 ａ台，则购进 Ｂ种品牌小电器 （１５０－ａ）台．根据题意，得２７５０≤１５ａ＋２０（１５０－ａ）≤２８５０． 解得３０≤ａ≤５０． 答：购进Ａ种品牌小电器数量的取值范围为３０≤ａ≤５０． （３）设获利ｗ元．根据题意，得ｗ＝３ａ＋４（１５０－ａ）＝－ａ ＋６００．因为所购进的Ａ，Ｂ两种品牌小电器全部销售完后获得的 总利润不少于５６５元，所以－ａ＋６００≥５６５．解得ａ≤３５．所以３０ ≤ａ≤３５．所以甲合理的采购方案有６种，方案一：购进Ａ种品牌 小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台；方案二：购进Ａ种品牌小电 器３１台，Ｂ种品牌小电器１１９台；方案三：购进 Ａ种品牌小电器 ３２台，Ｂ种品牌小电器 １１８台；方案四：购进 Ａ种品牌小电器 ３３台，Ｂ种品牌小电器 １１７台；方案五：购进 Ａ种品牌小电器 ３４台，Ｂ种品牌小电器 １１６台；方案六：购进 Ａ种品牌小电器 ３５台，Ｂ种品牌小电器１１５台．因为 －１＜０，所以ｗ随ａ的增大而减 小．所以当ａ＝３０时，获利最大，最大利润为：－３０＋６００＝５７０元． 答：购进Ａ种品牌小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台，获得 的利润最大，最大利润是５７０元． 《一次函数》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ 二、９．日期；　１０．±２；　１１． ｘ＝２， ｙ＝４{ ；　１２．４２                                                                                                                                                                                         ； ! " # $ !" 书 考 点 解 密 ?考点１：勾股定理 例１　 如图 １，Ａ（８，０）， Ｃ（－２，０），以点Ａ为圆心，ＡＣ 长为半径画弧，交 ｙ轴正半 轴于点Ｂ，则点Ｂ的坐标为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（０，５） Ｂ．（５，０） Ｃ．（６，０） Ｄ．（０，６） 解析：根据题意，得ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＯＡ＝８． 在Ｒｔ△ＡＢＯ中，ＯＢ＝ ＡＢ２－ＯＡ槡 ２ ＝６． 所以Ｂ（０，６）． 故选Ｄ． ●专项练习 １．如图２，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°．若ＡＢ ＝９ｃｍ，则正方形ＡＣＤＥ和正方形ＢＣＧＦ的面积 差为 （　　） Ａ．９０ｃｍ２ Ｂ．８１ｃｍ２ Ｃ．１００ｃｍ２ Ｄ．无法确定 ２．勾股定理被记载于我国古代的数学著作 《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股 定理，创制了一幅如图３－①所示的“弦图”，后 人称之为“赵爽弦图”．图３－② 由弦图变化得 到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记 图中正方形ＡＢＣＤ，正方形ＥＦＧＨ，正方形ＭＮＸＴ 的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，若Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝２４，则 正方形ＥＦＧＨ的面积为 ． ３．如图 ４，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，分别以Ａ， Ｂ为圆心，大于１２ＡＢ的长为 半径作弧，两弧相交于点Ｍ， Ｎ，直线 ＭＮ分别交 ＡＢ，ＡＣ 于点Ｄ，Ｅ．若ＣＥ＝１３ＡＥ＝１，求ＡＢ的长． ?考点２：勾股定理的逆定理 例２　已知Ｍ，Ｎ是线段 ＡＢ上的两点，ＡＭ ＝ＭＮ＝２，ＮＢ＝１，以点Ａ为圆心，ＡＮ长为半径 画弧；再以点Ｂ为圆心，ＢＭ长为半径画弧，两弧 交于点Ｃ，则△ＡＢＣ一定是 （　　） Ａ．直角三角形 Ｂ．等腰直角三角形 Ｃ．锐角三角形 Ｄ．钝角三角形 解析：如图５．因为ＡＭ ＝ＭＮ＝２，ＮＢ＝１，所以 ＡＮ＝ＡＭ＋ＭＮ＝４，ＢＭ＝ ＮＢ＋ＭＮ＝３，ＡＢ＝ＡＭ＋ ＭＮ＋ＮＢ＝５．由题意，得ＡＣ＝ＡＮ＝４，ＢＣ＝ ＢＭ ＝３．因为ＡＣ２＋ＢＣ２＝２５，ＡＢ２＝２５，即ＡＣ２ ＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＢＣ一定是直角三角形． 故选Ａ． ●专项练习 ４．下面各组数中，是勾股数的是 （　　） Ａ．１，槡２，槡３ Ｂ．３ ２，４２，５２ Ｃ．１，３，２ Ｄ．５，１２，１３ ５．如图６，在 △ＡＢＣ中，ＡＣ ＝５，Ｄ为ＢＣ边上一点，且ＣＤ＝ １，ＡＤ＝槡２６，ＢＤ＝４，求ＡＢ的 长． ?考点３：勾股定理的应用 例３　 一艘船由 Ａ港沿北 偏东６０°方向航行３０ｋｍ至Ｂ港，然后再沿北偏 西３０°方向航行４０ｋｍ至Ｃ港，则Ａ，Ｃ两港之间 的距离为 ｋｍ． 解析：根据题意画图如图 ７，其中∠ＤＡＢ＝６０°，∠ＦＢＣ＝ ３０°．所以 ∠ＡＢＥ ＝６０°．所以 ∠ＡＢＣ ＝ １８０° － ∠ＡＢＥ － ∠ＦＢＣ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ＡＢ＝３０ｋｍ，ＢＣ＝４０ｋｍ，由勾 股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ ５０ｋｍ． 故填５０． ●专项练习 ６．如图８，圆柱形玻璃杯的杯高为９ｃｍ，底 面周长为１６ｃｍ，在杯内壁离杯底４ｃｍ的点Ａ处 有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上， 它在离杯上沿１ｃｍ，且与蜂蜜相对的点Ｂ处，则 蚂蚁从外壁Ｂ处到内壁Ａ处所走的最短距离为 ｃｍ（杯壁厚度不计）． ７．如图９，某小区有两个喷泉 Ａ，Ｂ，两个喷 泉的距离长为１２５ｍ．现要为喷泉铺设供水管道 ＡＭ，ＢＭ，供水点Ｍ在小路ＡＣ上，供水点Ｍ到ＡＢ 的距离ＭＮ的长为６０ｍ，ＢＭ的长为７５ｍ． （１）求供水点Ｍ到喷泉Ａ，Ｂ需要铺设的管道 总长； （２）求喷泉Ｂ到小路ＡＣ的最短距离． ?考点４：互逆命题与互逆定理 例４　下列命题的逆命题是假命题的是 （　　） Ａ．在同一个三角形中，等边对等角 Ｂ．两直线平行，同位角相等 Ｃ．两直线平行，内错角相等 Ｄ．全等三角形的对应角相等 解：Ｄ． ●专项练习 ８．写出下列命题的逆命题，并判断原命题 和逆命题的真假． （１）直角三角形有两个锐角； （２）有一条边和这条边上的中线对应相等 的两个三角形全等． （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                      ） 书 知 识 回 顾 １．勾股定理 如果直角三角形两条直角边长分别为 ａ， ｂ，斜边长为ｃ，那么 ＝ｃ２． 在运用勾股定理时，要注意如下三点： （１）注意勾股定理的使用条件：只对直角 三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三 角形； （２）注意分清斜边和直角边，避免盲目代 入公式致错； （３）注意勾股定理公式的变形：在直角三 角形中，已知任意两边，可求第三边．即ｃ２ ＝ａ２ ＋ｂ２，ａ２ ＝ｃ２－ｂ２，ｂ２ ＝ｃ２－ａ２． ２．勾股定理的逆定理 如果 三 角 形 的 三 边 长 ａ，ｂ，ｃ满 足 ，那么这个三角形是直角三角形． 利用这一判别方法时，要注意如下四点： （１）这一方法与勾股定理的题设和结论正 好相反，值得注意的是，在这一方法的描述中， 不能带有“斜边”“直角边”字样； （２）有了这一方法可以实现“数”“形”的 转化； （３）要判别一个三角形是否是直角三角 形，先确定最长边 ｃ，再验证 ｃ２与 ａ２＋ｂ２的关 系，如果 ，那么这个三角形就是直角三 角形，否则就不是； （４）学会识别勾股数：能够成为直角三角 形三条边长的三个正整数叫做勾股数． ３．应用 （１）勾股定理的应用主要有： ①已知直角三角形的两边，求第三边； ②已知直角三角形的一边，求另两边的关 系； ③用于说明含有平方关系的式子； ④用于作长为槡ｎ（ｎ为正整数）的线段； ⑤求几何体表面两点间的最短路程是一 类比较常见的数学问题，解答这类问题，通常将 几何体表面 ，把立体图形转化为 ，利用勾股定理及其他知识加以 解答． （２）勾股定理的逆定理的应用主要有： ①判别某三角形是否为直角三角形； ②说明两条线段垂直． ４．互逆命题与互逆定理 （１）原命题与逆命题 在两个命题中，如果一个命题的题设和结 论分别是另一个命题的 和 ， 那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一 个叫做原命题，那么另一个叫做它的 命题． （２）定理与逆定理 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明 是 ，那么它也是一个 ，这两个 定理称为互逆定理，其中一个称为另一个的逆 定理． ! " # $ ! ! " #$ % & ! ! ! " ' ( $ ) * + , ' % - * + ! # ' % $ ) ! $ ! % $ * % + ' ! & ' % ' % $ ) , . / ! ' % / - . ) 0 + 1 * , ' 2 ! " ! ( ( , / ! " " ) $ $)! ()! ! * ! !" #$% 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．若直角三角形的两条直角边长分别为１ 和２，则斜边长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 槡 槡Ａ．５ Ｂ．５ Ｃ．３ Ｄ．３ ２．如图１，以Ｒｔ△ＡＢＣ的三边为边分别向外 作正方形，它们的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３．若 Ｓ３ ＝ ２５，则Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３的值为 （　　） Ａ．３０ Ｂ．３５ Ｃ．４０ Ｄ．５０ ３．在△ＡＢＣ中，若∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°，则 （　　） Ａ．ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ Ｂ．ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２ Ｃ．ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ＢＣ２ Ｄ．ＢＣ２ ＝ＡＢ２＋ＡＣ２ ４．如图２所示的是一个长方体笔筒，底面的 长、宽分别为８ｃｍ和６ｃｍ，高为１０ｃｍ，将一支长 为１８ｃｍ的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔 筒外的长度最少为 （　　） Ａ．（ 槡１８－１０２）ｃｍ Ｂ．１０ｃｍ 槡Ｃ．１０２ｃｍ Ｄ．８ｃｍ ５．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝ ６，则ＡＣ边上的高ＢＤ的长是 （　　） Ａ．４ Ｂ．４．４ Ｃ．４．８ Ｄ．５ ６．在 △ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边分别 记为ａ，ｂ，ｃ，下列条件中，不能判定 △ＡＢＣ是直 角三角形的是 （　　） Ａ．ａ２ ＝ｂ２－ｃ２ Ｂ．ａ∶ｂ∶ｃ＝ 槡１∶３∶２ Ｃ．∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝３∶４∶５ Ｄ．∠Ａ－∠Ｂ＝∠Ｃ ７．如图４是楼梯的示意图，楼梯的宽是３ｍ， ＡＣ＝５ｍ，ＡＢ＝１３ｍ．若在楼梯上铺设防滑材 料，则所需防滑材料的面积至少是 （　　） Ａ．３９ｍ２ Ｂ．５１ｍ２ Ｃ．９０ｍ２ Ｄ．１０４ｍ２ ８．如图５是由一系列直角三角形组成的螺 旋，则第９５个直角三角形的面积Ｓ９５是 （　　） 槡Ａ． ９５ Ｂ．９５ Ｃ．槡 ９５ ２ Ｄ． ９５ ２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．有一组勾股数，其中的两个分别是８和 １７，则第三个数是 ． １０．如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，以 点Ａ为圆心，ＡＣ长为半径画弧，交ＡＢ于点Ｄ．若 ＢＤ＝２，则∠ＡＣＢ＝ °． １１．把一个直角三角形的两条直角边都扩大 到原来的 ２倍，那么斜边将扩大到原来的 倍． １２．如图７，将长为１２ｃｍ的弹性绳放置在直 线ｌ上，固定端点Ａ和Ｂ，然后把中点Ｃ竖直向上 拉升４．５ｃｍ至点 Ｄ，则拉长后弹性绳的长为 ｃｍ． １３．如图８，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＞ ＡＣ，斜边ＢＣ的垂直平分线交ＡＢ边于点Ｅ，交ＢＣ 边于点Ｄ．若ＡＣ＝３，ＢＣ＝ 槡３ １０，则ＡＥ的长是 ． １４．如图９，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ⊥ ＣＢ，ＡＣ＝ １５，ＡＢ＝２５，点Ｄ为斜边ＡＢ上的一个动点，连接 ＣＤ．在点Ｄ的运动过程中，当△ＡＣＤ是以ＡＣ为 腰的等腰三角形时，ＡＤ的长为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（６分）写出下列命题的逆命题，并判断 原命题和逆命题的真假． （１）若∠Ｃ＝９０°，则△ＡＢＣ是直角三角形； （２）两条对角线相等的四边形是矩形． １６．（８分）图１０是某品牌婴儿车的简化结 构示意图．根据安全标准需满足 ＢＣ⊥ ＣＤ，现测 得ＡＢ＝ＣＤ＝６ｄｍ，ＢＣ＝３ｄｍ，ＡＤ＝９ｄｍ，其 中ＡＢ与ＢＤ之间由一个固定为９０°的零件连接 （即∠ＡＢＤ＝９０°），请通过计算说明该车是否符 合安全标准． １７．（８分）塔吊是建筑工地上最常用的一种 起重设备，又名“塔式起重机”，用来吊施工用的 钢筋、木楞、混凝土、钢管等施工的原材料．如图 １１是塔吊示意图，线段 ＢＣ，ＢＤ表示钢丝绳，ＡＤ 表示起重臂，ＡＢ⊥ ＡＤ，综合与实践小组向工人 了解到如下信息：ＡＢ＝８米，ＢＣ＝１７米，ＣＤ＝ ２０米．求钢丝绳ＢＤ的长度（结果精确到整数位， 参考数值：槡１２８９≈３６）． １８．（１０分）如图１２，在棱长分别为５，３，１１ 的长方体模型中，动点Ｐ从顶点Ｃ１出发，以１个 单位 ／秒的速度在长方体外部沿Ｃ１→Ｃ向下匀 速运动，同时动点Ｑ从顶点 Ａ出发，在长方体外 部侧面上匀速运动，若要使动点Ｑ在第５秒时恰 好拦截动点Ｐ，则动点Ｑ的速度至少应设定为多 少？ １９．（１２分）如图１３，在四边形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，ＡＤ＝ 槡２３，ＤＥ＝槡３， ＢＣ＝１，ＣＤ＝槡１３． （１）求证：∠ＣＢＤ＝９０°； （２）若点Ｃ到ＡＢ的距离是槡３２，求ＣＥ的长                                                                                                                                                                         ． ! ! " # $ ! ! ! " # ! " ! # ! $ % & $ & # & " ! % $ ' ! % ! #$ $ ! ( ' % ! $ ! ' % # ! % ' ( # ! & ! ## % # !' # ! ' % # # ! # ' # % # ) ## $ ' ! #" * ! ' + " # " ( " $ " ! " " & # & " & $ & ! & ' " ' # # # # # # # " % & % " " $ ! ' ! ) ! #* " $ ! ' ! ( , $ ! " ' !"#$%& !"#!$ '( )* %+,-*. 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图１，直角三角形中边长 ｘ为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 槡 槡Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．５ 　　　Ｄ．７ ２．Ｄ是△ＡＢＣ中ＢＣ边上的一点，若 ＡＣ２－ ＣＤ２ ＝ＡＤ２，则ＡＤ是 （　　） Ａ．ＢＣ边上的中线 Ｂ．∠ＢＡＣ的平分线 Ｃ．ＢＣ边上的高线 Ｄ．ＡＣ边上的高线 ３．如图２，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝８， ＢＣ＝６，分别以点Ａ，Ｂ为圆心，以ＡＢ长为半径画 弧，两弧相交于点 Ｄ，连接 ＡＤ，ＢＤ，则 △ＡＢＤ的 周长是 （　　） Ａ．１８ Ｂ．２４ 槡Ｃ．１２３ Ｄ．３０ ４．下列四组数中，是勾股数的是 （　　） 槡Ａ．２，槡２，２ Ｂ．４，５，６ Ｃ．０．４，０．３，０．５ Ｄ．７，２４，２５ ５．如图３，一扇卷闸门用一块宽５０ｃｍ，长 １２０ｃｍ的长方形木板撑住，用这块木板最多可 将这扇卷闸门撑起 （　　） Ａ．１３０ｃｍ Ｂ．１２０ｃｍ Ｃ．７０ｃｍ Ｄ．５０ｃｍ ６．如图４，在长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡２５ｃｍ， ＡＤ＝１０ｃｍ，将此长方形折叠，使点Ｄ与点Ｂ重 合，折痕为ＥＦ，则△ＡＢＥ的面积是 （　　） 槡Ａ．２５ｃｍ ２ Ｂ．６ｃｍ２ 槡Ｃ．４５ｃｍ ２ 槡Ｄ．８５ｃｍ ２ ７．如图５，学校在校园围墙边缘开垦一块四 边形菜地ＡＢＣＤ，测得ＡＢ＝９ｍ，ＢＣ＝１２ｍ，ＣＤ＝ ８ｍ，ＡＤ＝１７ｍ，且∠ＡＢＣ＝９０°，这块菜地的面 积是 （　　） Ａ．４８ｍ２ Ｂ．１１４ｍ２ Ｃ．１２２ｍ２ Ｄ．１５８ｍ２ ８．如图６，长方体的长为１５， 宽为１０，高为２０，点Ｂ到点Ｃ的距 离为５．一只蚂蚁如果要沿着长 方体的表面从点 Ａ爬到点 Ｂ，需 要爬行的最短距离是 （　　） 槡Ａ．５ ２９ Ｂ．２５ 槡Ｃ．１０５＋５ Ｄ．３５ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图７，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ ＝９０°，以ＢＣ和ＡＣ为边向两边分 别作正方形，面积分别为Ｓ１和Ｓ２． 已知Ｓ１－Ｓ２ ＝２５，则 ＡＢ的长为 ． １０．命题“如果一个梯形的两条对角线相 等，那么这个梯形是等腰梯形”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． １１．如图８，在３×２的正方形网格中，每个小 正方形的边长是１，点 Ａ，Ｂ，Ｃ均为格点，以点 Ａ 为圆心，ＡＢ长为半径作弧交网格线于点 Ｄ，则 ＣＤ的长是 ． １２．如图９，小冰想用一条彩带缠绕圆柱 ４ 圈，正好从Ａ点绕到正上方的 Ｂ点．已知圆柱底 面周长是 ３ｍ，高为 １６ｍ，则所需彩带最短是 ｍ． １３．如图１０，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝ ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，斜边上的高ＣＤ＝ｈ，以ａ＋ｂ， ｈ，ｃ＋ｈ的长为三边构造的三角形是 三 角形（按角分类）． １４．如图１１，已知边长为２的等边△ＡＢＣ中， 分别以点Ａ，Ｃ为圆心，ｍ长为半径作弧，两弧交 于点Ｄ，连接ＢＤ．若ＢＤ的长为 槡２３，则ｍ的值是 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（６分）已知△ＡＢＣ的三边长分别为５，ｘ －２，ｘ＋１，若该三角形是以ｘ＋１为斜边的直角 三角形，求ｘ的值． １６．（８分）如图１２，已知ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＣ＝ＢＣ ＝ＢＤ＝２，ＡＤ＝ 槡２３，请问△ＡＢＤ是直角三角形 吗？并说明理由． １７．（８分）如图１３，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°， ＡＭ是中线，ＭＮ⊥ＡＢ，垂足为点 Ｎ．求证：ＡＮ２－ ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １８．（１０分）如图１４，Ａ，Ｂ两块试验田相距 ２００ｍ，Ｃ为水源地，ＡＣ＝１６０ｍ，ＢＣ＝１２０ｍ，为 了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地Ｃ直接修筑两条水渠分别 到Ａ，Ｂ两块试验田； 乙方案：过点Ｃ作 ＡＢ的垂线，垂足为点 Ｈ， 先从水源地Ｃ修筑一条水渠到ＡＢ所在直线上的 点Ｈ处，再从点Ｈ分别向Ａ，Ｂ两块试验田进行修 筑． （１）请判断△ＡＢＣ的形状（要求写出推理过 程）； （２）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较 短？请通过计算说明． １９．（１２分）定义：在△ＡＢＣ中，若ＢＣ＝ａ， ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，且ａ，ｂ，ｃ满足ａｃ＋ａ２＝ｂ２，则称 这个三角形是“类勾股三角形”．请根据以上定 义解答下列问题： （１）如图１５－①，若等腰三角形ＡＢＣ是“类 勾股三角形”，其中ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，请求∠Ａ 的度数； （２）如图１５－②，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ边上 一点，且ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＣ．求证：△ＡＢＣ是“类勾股 三角形”                                                                                                                                                                           ． ! " # $ ! ! !! " ! " # $ % # ! ! $ ! % ! " # & "' $& $' ! # ! " # $ & ' #! ! & $ # ! " ! ( ! " # ( $ ( " ! ) ! " # $ ! * ! " ! $$ ! " # ! $' ! " # $ ) * + , ! $& "! # # ! " ! " $ ! $! - . ! " # ! $# ! " # / !"# ! $" ! " # $ !"#$%& !"#!$ '( )* %+,-*.