第16章 二次根式&复习自测题&复习检测题-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（人教版 广东专用）

书 考 点 解 密 ?考点１：二次根式有意义的条件 例１　若二次根式 ５槡 －ｘ有意义，则ｘ的取 值范围是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．ｘ≥０ Ｂ．ｘ＞０ Ｃ．ｘ≤５ Ｄ．ｘ＜５ 解析：根据题意，得５－ｘ≥０．解得ｘ≤５． 故选Ｃ． ●专项练习 １．下列各式中，一定是二次根式的是 （　　） 槡Ａ． －２ Ｂ． ３ 槡３ Ｃ． ａ２＋槡 １ Ｄ． ａ－槡 １ ２．要使二次根式 ２ｘ－槡 ５有意义，则实数 ｘ 的取值范围为 ． ?考点２：二次根式的性质与化简 例２　实数ｍ在数轴上对应点的位置如图１ 所示，化简： （ｍ－２）槡 ２ ＝ ． 解析：根据数轴，得ｍ＜２．所以ｍ－２＜０． 根据二次根式的非负性，得 （ｍ－２）槡 ２ ＝｜ｍ －２｜＝２－ｍ． 故填２－ｍ． ●专项练习 ３．下列值最小的是 （　　） Ａ． （－２）槡 ２ Ｂ．２－１ Ｃ．（－２）０ Ｄ．（槡２） ２ ４．已知ｘ，ｙ两个实数在数轴上的位置如图２ 所示，则化简｜ｙ－ｘ｜＋ （ｘ－ｙ）槡 ２的结果是 （　　） Ａ．２ｘ Ｂ．２ｙ Ｃ．２ｘ－２ｙ Ｄ．２ｙ－２ｘ ５．已知ｘｙ＞０，则化简二次根式ｘ －ｙ ｘ槡 ２ 的 结果是 ． ?考点３：最简二次根式 例３　下列二次根式中，是最简二次根式的 是 （　　） Ａ． 槡 １ ２ 槡Ｂ． １１ 槡Ｃ． ２７ Ｄ． ａ槡 ３ 解析：Ａ选项中的被开方数含有分母；Ｂ选 项中的被开方数不含能开得尽方的因数，也不含 分母；Ｃ，Ｄ选项中的被开方数分别含有能开得尽 方的因数、因式． 故选Ｂ． ●专项练习 ６．下列是最简二次根式的是 （　　） 槡Ａ． １８ Ｂ．槡 １ ５ 槡Ｃ． ２３ Ｄ． ３ 槡２ ７．若最简二次根式ｎ－１２ｎ＋槡 １与最简二次根 式 ４槡ｎ－ｍ相等，则ｍ＋ｎ的值是 （　　） Ａ．８ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．５ ?考点４：二次根式的运算 例４　 计算 槡１２×槡６－槡１８的结果是 ． 解析：原式 ＝ 槡６２－ 槡３２＝ 槡３２． 故填 槡３２． ●专项练习 ８．陈老师在黑板上写了一个式子：（槡３＋ １）□（１－槡３），“□”中的运算符号没有给出，如 果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算 符号可能是 （　　） Ａ．＋或 × Ｂ．×或 ÷ Ｃ．＋或 － Ｄ．－或 ÷ ９．计算： （１）槡１２＋３ １槡 １ ３ －槡４８； （２）（１２） －１－｜１－槡２｜－ １ 槡２ ＋ （－６）槡 ２； （３）槡２７÷槡 ３ ２× 槡２２－ 槡６２； （４）（槡２５－７）（槡２５＋７）－（槡５－３） ２． １０．若ｘ＋ｙ＝槡２，ｘｙ＝１－槡２． （１）求代数式（ｘ＋１）（ｙ＋１）的值； （２）求代数式ｘ２－ｘｙ＋ｙ２的值． ?考点５：二次根式的应用 例５　 已知一个三角形的三边长分别是 槡８ｃｍ，槡１８ｃｍ，槡３２ｃｍ，则此三角形的周长为 （　　） 槡 槡Ａ．９２ｃｍ Ｂ．８２ｃｍ 槡 槡Ｃ．７２ｃｍ Ｄ．６２ｃｍ 解析：根据题意得，此三角形的周长为：槡８＋ 槡１８＋槡３２＝ 槡２２＋ 槡３２＋ 槡４２＝ 槡９２（ｃｍ）． 故选Ａ． ●专项练习 １１．如图 ３，正方形 Ⅰ 的边长为 ａ，面积为 １２；正方形 Ⅱ 的边长为 ｂ，面积为２７，则（ｂ－ａ） ÷槡３的计算结果为 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ 槡Ｃ．３ Ｄ．槡 ３ ３ １２．在△ＡＢＣ中，已知ＡＢ的长是槡３＋槡２，ＢＣ 的长是槡３－槡２，则ＡＣ的长可以是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １３．不等式２ｘ－５＞槡５ｘ的解集是 ． １４． 关 于 ｘ，ｙ的 二 元 一 次 方 程 组 槡３ｘ＋２ｙ＝１， ｘ＋２ｙ＝槡 { ３ 的解为 ． （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                             ） 书 知 识 回 顾 １．二次根式的有关概念 （１）定义：形如 的式子叫做二次 根式． 注意：被开方数ａ只能是正数或０，即ａ≥０． （２）最简二次根式：① 被开方数不含 ；②被开方数中不含能 ．满足这两个条件的二 次根式叫做最简二次根式． ２．二次根式的性质 （１）非负性：槡ａ（ａ≥０）是一个 ， 并且ａ也是 （常说槡ａ具有双重非负 性）． 小结：常见的具有非负性的数：槡ａ（ａ≥ ０），｜ａ｜，ａ２ｎ． （２）两个重要性质： ①（槡ａ） ２ ＝ａ（ ）； ② ａ槡 ２ ＝｜ａ｜＝ （ａ≥０）， （ａ＜０）{ ． 小结：若 ａ槡 ２ ＞ａ，则ａ＜０． （３）积的算术平方根：槡ａｂ＝ （ａ ≥０，ｂ≥０）． （４）商的算术平方根： ａ 槡ｂ ＝ （ａ ≥０，ｂ＞０）． ３．二次根式的运算 （１）二次根式的加减：可以先将二次根式 化成 二次根式，再将 的二次 根式进行合并．合并时，仅合并 ， 不变． （２）二次根式的乘法：槡ａ·槡ｂ＝ （ａ≥０，ｂ≥０）． （３）二次根式的除法：槡 槡 ａ ｂ ＝ （ａ≥ ０，ｂ＞０）． （４）二次根式的加、减、乘、除混合运算． 注意：（１）合并同类二次根式与合并同类 项类似，被开方数不同的二次根式不能合并． （２）二次根式运算的最后结果应化为 ． （３）二次根式的混合运算顺序为：先乘除， 后加减，有括号的先算括号里面的．实数的各种 运算定律也同样适用于二次根式的混合运算． （４）在二次根式的运算中，经常会出现分母 中含有二次根式的计算．需要运用分式的基本性 质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化． ! ! " # $ ! !" #$% ! " ! ! ! " ! " # $% # % " # ! % 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列式子中，是二次根式的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．π Ｂ．１３ 槡 槡Ｃ． －２ Ｄ．３ ２．计算：槡３－ 槡２３＝ （　　） 槡 槡Ａ．３ Ｂ．－ ３ Ｃ．－１ Ｄ．－２ ３．若 ５４槡 ａ是整数，则正整数ａ的最小值是 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ４．方程槡３ｘ＝槡６的解为 （　　） Ａ．ｘ＝槡３２ Ｂ．ｘ＝ 槡２ ２ Ｃ．ｘ＝槡２ Ｄ．ｘ＝ 槡２３ ５．估计槡５×（２－槡 １ ５）的值应在 （　　） Ａ．２到３之间 Ｂ．３到４之间 Ｃ．４到５之间 Ｄ．５到６之间 ６．下列计算中，正确的是 （　　） 槡 槡 槡Ａ．２３×２２＝２６ Ｂ．（槡４２） ２ ＝８ Ｃ． （－５）槡 ２ ＝－５ Ｄ．槡１８÷槡２＝３ ７．矩形相邻两边长为槡２，槡８，则它的周长和 面积分别是 （　　） 槡Ａ． １０，４ Ｂ． 槡２ １０，４ Ｃ．４，槡３２ Ｄ．槡６２，４ ８．已知ｘ＝２－槡３，则代数式（７＋ 槡４３）ｘ ２＋ （２＋槡３）ｘ＋槡３的值是 （　　） 槡 槡Ａ．２＋ ３ Ｂ．２－ ３ 槡Ｃ．４＋２３ Ｄ．４－ 槡２３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．槡５的倒数是 ． １０．已知二次根式满足条件“只含有字母 ｘ， 且当ｘ≥２时有意义”，请写出一个这样的二次 根式： ． １１．比 较 下 列 两 个 数 的 大 小：５ 槡 １ ５ ６ 槡 １ ６（填“＞”或“＜”）． １２．已知ｘ＋ｙ＝ 槡２３，ｘｙ＝槡６，则ｘ ２ｙ＋ｘｙ２ 的值为 ． １３．我们规定，若ａ＋ｂ＝－１，则称ａ与ｂ是 关于１的平衡数，已知４＋ 槡２３与ｍ＋槡３是关于 １的平衡数，那么ｍ＝ ． １４．已知 ａ，ｂ为等腰三角形的两边长，且实 数ａ，ｂ，ｃ满足｜ａ－槡２｜＋ ｂ－槡 ２＝ ｃ－槡 ３＋ ３槡 －ｃ，则这个等腰三角形的周长为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１２分）计算： （１）槡２８－７槡 ４ ７； （２） 槡２ １２× ３ 槡１６ ÷槡５０； （３）（ 槡３ １２－２槡 １ ３ ＋槡４８）÷ 槡４３． １６．（６分）两个最简二次根式３ｘ－１０２ｘ＋ｙ－槡 ５ 和 ｘ－３ｙ＋槡 １１可以合并，求ｘ，ｙ平方和的算术 平方根． １７．（６分）已知实数ａ，ｂ，ｃ在数轴上的位置 如图１所示，化简： ａ槡 ２－｜ａ＋ｃ｜＋ （ｃ－ｂ）槡 ２－ （ｂ－ａ）槡 ２． １８．（８分）对于三个数 ａ，ｂ，ｃ，用 Ｍ｛ａ，ｂ，ｃ｝ 表示这三个数的平均数，用 ｍａｘ｛ａ，ｂ，ｃ｝表示这 三个数中最大的数，如 Ｍ｛１，２，３｝＝１＋２＋３３ ＝２，ｍａｘ｛１，２，３｝＝３． （１）求ｍａｘ｛－槡３，－４，－ 槡２２｝的值； （２）求Ｍ｛槡１２，槡 １ ３，－ ４ 槡３ ｝的值． １９．（１２分）如图２，分别以ａ，ｂ，ｍ，ｎ为边长 作正方形． （１）若ａ＝１，ｂ＝槡２，求图２－①中两个正 方形的面积之和； （２）若ｍ＝槡５，ｎ＝槡３，求图２－②中ＡＦ的 长； （３）已知ｍ＞ｎ且满足ａｍ－ｂｎ＝槡３，ａｎ＋ ｂｍ＝槡５．若图２－①中两个正方形的面积和为 ２，图 ２－② 中四边形 ＡＢＥＦ的面积为 ３，求 △ＡＣＦ的面积                                                                                                                                                                           ． ! " # $ ! ! ! " " # $ % & ' ( ) * + $ * ! ! ! " !" ", ! # !"#$%& !"#!$ '( )* %+,-*. 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．化简（－槡８） ２的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．±８ Ｄ．１６ ２．下列根式中，属于最简二次根式的是 （　　） 槡 槡Ａ． ０．２ Ｂ． ２４ Ｃ．槡 １ ３ 槡Ｄ． １５ ３．若槡５＝ａ，则槡４５等于 （　　） Ａ．２ａ Ｂ．３ａ Ｃ．４ａ Ｄ．９ａ ４．已知槡６３□槡７＝３，能使等式恒成立的运 算符号是 （　　） Ａ．＋ Ｂ．－ Ｃ．× Ｄ．÷ ５．如果实数ｘ，ｙ满足 ｘ２ｙ槡 ３ 槡＝－ｘｙｙ，那么 点（ｘ，ｙ）在 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第一象限或坐标轴上 Ｄ．第二象限或坐标轴上 ６．我们规定运算符号“△”的意义是：当 ａ ＞ｂ时，ａ△ｂ＝ａ＋ｂ；当ａ≤ｂ时，ａ△ｂ＝ａ－ｂ， 其他运算符号的意义不变，计算（槡３△ 槡２）－ （槡２３△ 槡３２）的结果是 （　　） 槡 槡 槡 槡Ａ．－ ３＋４２ Ｂ．－ ３＋２２ 槡 槡Ｃ．－ ３－２２ Ｄ．－槡３－ 槡４２ ７．若实数ａ，ｂ满足 ａ＋４ｂ－槡 ６＋ａ ２＋４ｂ２ ＝４ａｂ，则ａ＋ｂ的值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．３ Ｄ．－３ ８．在一个正方形的内部按 照如图１方式放置大小不同的两 个小正方形，其中较大正方形的 面积为１２，重叠部分的面积为３， 空白部分的面积为 槡２ ３０－６，则 较小正方形的面积为 （　　） Ａ．１１ Ｂ．１０ Ｃ．９ Ｄ．８ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．计算：（槡４８－３槡 １ ３）÷槡３＝ ． １０．当ａ＝－１时，二次根式 １３槡 ＋ａ的值是 ． １１．如果 ｘ２（２＋ｘ槡 ）＝－ｘ· ２槡 ＋ｘ，那么 等式成立的条件是 ． １２．已知Ａ＝２ ２ｘ＋槡 １，Ｂ＝３ ｘ＋槡 ３，Ｃ＝ １０ｘ＋３槡 ｙ，其中Ａ，Ｂ为最简二次根式，且Ａ＋Ｂ ＝Ｃ，则２ｙ－ｘ的值为 ． １３．ＡＢＣＤ的周长为４０厘米，它的两条高 分别为 槡２ １３厘米和 槡３ １３厘米，则它的面积是 平方厘米． １４．已知ａ为实数，且ａ＋ 槡２６与 １ ａ－ 槡２６都 是整数，则ａ的值是 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１２分）计算： （１） ａ２槡 ｂ÷２槡ａｂ； （２）槡３×槡１５＋槡２０＋槡 ５ ９； （３）（槡２－槡３） ２＋槡２４＋６ 槡６ ＋｜２－槡６｜． １６．（６分）先化简，再求值：（６ｘ 槡 ｙ ｘ＋ ３ ｙ ｘｙ槡 ３）－（４ｙ 槡 ｘ ｙ ＋ ３６槡 ｘｙ），其中 ｘ＝ ３ ２，ｙ＝２７． １７．（８分）如图２，从一张面积为８０ｃｍ２的 正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为５ｃｍ２ 的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方 体盒子． （１）原来大正方形的边长为 ｃｍ， 剪掉的四个小正方形的边长为 ｃｍ（结 果用最简二次根式表示）； （２）求这个长方体盒子的底面边长和体积 （结果精确到０．１，参考数据：槡５≈２．２４）． １８．（８分）已知ｘ＝２－槡３，ｙ＝２＋槡３． （１）求ｘ＋ｙ和ｘｙ的值； （２）求ｘ２＋ｙ２－３ｘｙ的值； （３）若ｘ的小数部分是ａ，ｙ的整数部分是ｂ， 求ａｘ－ｂｙ的值． １９．（１０分）在学习二次根式时，有一个方法 叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和 分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中 的根式．分子有理化可以用来比较某些二次根式 的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问 题． 例如：比较槡７－槡６和槡６－槡５的大小，可以 先将它们分子有理化如下： 槡７ － 槡６ ＝ （槡７－槡６）（槡７＋槡６） 槡７＋槡６ ＝ １ 槡７＋槡６ ，槡６－槡５ ＝ （槡６－槡５）（槡６＋槡５） 槡６＋槡５ ＝ １ 槡６＋槡５ ．因为槡７＋槡６＞槡６＋槡５，所以槡７－槡６＜ 槡６－槡５． 再例如：求 ｙ＝ ｘ＋槡 ２－ ｘ－槡 ２的最大 值．做法如下： 解：由ｘ＋２≥０，ｘ－２≥０，可得ｘ≥２．ｙ＝ ｘ＋槡 ２－ ｘ－槡 ２＝ ４ ｘ＋槡 ２＋ ｘ－槡 ２ ．当ｘ＝２ 时，分母 ｘ＋槡 ２＋ ｘ－槡 ２有最小值２．所以ｙ的 最大值是２． 解决下列两题： （１）比较 槡３２－４和 槡２３－槡１０的大小； （２）求ｙ＝ １槡 －ｘ＋ １槡 槡＋ｘ－ｘ的最大值 和最小值                                                                                                                                                                           ． ! ! " # $ !" # ! ! ! " !"#$%& !"#!$ '( )* %+,-*. 书 ３９期２版 ２０．１数据的集中趋势 ２０．１．１平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．５；　４．１４． ５．（１）丙将被录用． （２）略． 能力提高　６．６，７． ２０．１．２中位数与众数 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．５；　５．６． ６．（１）Ａ品种玉米５块试验田产量的平均数为８７ｋｇ，中位数 为８５ｋｇ，众数为８５ｋｇ；Ｂ品种玉米５块试验田产量的平均数为 ８７ｋｇ，中位数为９０ｋｇ，众数为９０ｋｇ． （２）应该选择Ｂ品种玉米推广种植．理由略． ７．（１）４吨，４吨； （２）所调查家庭８月份用水量的平均数为４．５吨； （３）这个小区８月份的总用水量约为２７００吨． ８．（１）八年级 １班成绩的平均数、中位数分别为 ９０分、 ９０分；八年级２班成绩的众数为１００分．填表略． （２）八年级２班的竞赛成绩更优秀．理由略． 能力提高　９．１４６． ３９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ 二、９．８分；　１０．２１元；　１１．１７；　１２．５；　１３．１； １４．５或９． 三、１５．这１０名学生所在家庭平均月使用塑料袋：１１０×（６５ ＋７０＋８５＋７５＋８５＋７９＋７４＋９１＋８１＋９５）＝８０（只）．中位 数是８０只，众数是８５只． １６．（１）乙将获得冠军． （２）甲将获得冠军． １７．（１）７，７．５，５０％； （２）参加此次测试活动成绩合格的学生约有１０８０名． （３）八年级学生掌握垃圾分类知识较好．理由略． １８．（１）当日的利润ｙ关于当日需求量ｎ的函数解析式为 ｙ ＝ １０ｎ－８０（０≤ｎ＜１６）， ８０（ｎ≥１６）{ ． （２）①１７，１５．　②应购进１７枝．理由略． 附加题　１．（１）２０万元，１７万元， ２２万元； （２）基本销售额应定为２２万元． 理由略． ２．（１）３月份体育测试成绩为 Ｃ 等级的同学的平均成绩为７５．８分． （２）强化训练后该班同学平均成 绩所提高的分数为５．８分． ４０期评估卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１１．２２；　１２．９．１；　１３．５８；　１４．４．５；　１５．６． 三、１６．ｍｎ的值为９． １７．甲的平均成绩为：８５×７＋９０×３７＋３ ＝８６．５（分）； 乙的平均成绩为： ９２×７＋８２×３ ７＋３ ＝８９（分）． 因为８６．５＜８９，所以乙将被录取． １８．（１）１１，７９，７８．８； （２）１１＋４＝１５（人）＜１８人，人数不超． ７９×１１＋５２．３×４＝１０７８．２（ｋｇ）＜１１００ｋｇ，总重不超． 所以这队运动员和这４位女士能一起安全地搭乘这部电梯． 四、１９．何亮的成绩更稳定．理由略． ２０．（１）８，７２； （２）小明的说法错误．理由略． （３）获奖的学生约有６６０名． ２１．（１）①８，８，１．５６； ②应该给九年级颁奖． （２）九年级的获奖率高． 五、２２．（１）ａ＝６，ｂ＝４．７，ｃ＝４．７５． （２）略． （３）略． ２３．（１）１４４．乙车间 ４月份工资 为５千元的有：１０－５－２－１＝ ２（名）．补图略． （２）略． （３）这４名员工的工资和的最大 值为１８千元． 复习专号 《二次根式》专项练习 １．Ｃ；　２．ｘ≥ ５２；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５ 槡．－ －ｙ； ６．Ｃ；　７．Ａ；　８．Ａ． ９．（１）０；　（２）９－ 槡３２２；　（３）槡６２；　（４）－４３＋ 槡６５． １０．因为ｘ＋ｙ＝槡２，ｘｙ＝１－槡２，所以 （１）（ｘ＋１）（ｙ＋１）＝ｘｙ＋ｘ＋ｙ＋１＝１－槡２＋槡２＋１＝２． （２）ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝（ｘ＋ｙ）２－３ｘｙ＝（槡２）２－３（１－槡２）＝ 槡３２－１． １１．Ａ；　１２．Ｃ；　１３．ｘ＜－１０－ 槡５５；　１４． ｘ＝－１， ｙ＝槡３＋１２ { ． 《二次根式》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ 二、９．槡５５；　１０．答案不惟一，如 ｘ－槡 ２；　１１．＜； １２．槡６２；　１３．－５－ 槡３３；　１４．槡２２＋２或槡２＋４． 三、１５．（１）０；　（２） 槡３２１０；　（３） ７ ３． １６．根据题意，得３ｘ－１０＝２，２ｘ＋ｙ－５＝ｘ－３ｙ＋１１．解得 ｘ＝４，ｙ＝３．所以ｘ，ｙ平方和的算术平方根为： ｘ２＋ｙ槡 ２ ＝５． １７．根据数轴，得ａ＜０，ａ＋ｃ＜０，ｃ－ｂ＜０，ｂ－ａ＞０．所以 原式 ＝－ａ＋ａ＋ｃ＋ｂ－ｃ－（ｂ－ａ）＝ａ． １８．（１）因为（－槡３）２＝３，（－４）２＝１６，（－ 槡２２）２＝８，所 以 －槡３＞－ 槡２２＞－４．所以ｍａｘ｛－槡３，－４，－ 槡２２｝＝－槡３． （２）因为槡１２＝ 槡２３，槡 １ ３ ＝ 槡３ ３，－ ４ 槡３ ＝－ 槡４３３，所以 Ｍ｛槡１２，槡 １ ３，－ ４ 槡３ ｝＝ 槡２３＋槡 ３ ３ － 槡４３ ３ ３ ＝ 槡３ ３． １９．（１）两个正方形的面积之和为：ａ２＋ｂ２＝１２＋（槡２）２＝ ３． （２）根据题意，得 ∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＦ＝４５°．所以 ∠ＡＣＦ＝ ∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＦ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２ ＝ １０，ＣＦ２ ＝ＣＥ２＋ＥＦ２ ＝６．所以ＡＦ＝ ＡＣ２＋ＣＦ槡 ２ ＝４． （３）因为ａｍ－ｂｎ＝槡３，ａｎ＋ｂｍ＝槡５，所以（ａｍ－ｂｎ）２＝ ３①，（ａｎ＋ｂｍ）２＝５②．① ＋②，得ａ２ｍ２＋ｂ２ｎ２－２ａｂｍｎ＋ａ２ｎ２ ＋ｂ２ｍ２＋２ａｂｍｎ＝（ａ２＋ｂ２）（ｍ２＋ｎ２）＝８．根据题意，得ａ２＋ ｂ２ ＝２，１２（ｍ＋ｎ） ２＝３．所以４＋２ｍｎ＝６．解得ｍｎ＝１．所以 Ｓ△ＡＣＦ ＝ １ ２ ×槡２ｍ×槡２ｎ＝１． 《二次根式》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．３；　１０．槡２３；　１１．－２≤ｘ≤０；　１２．６８； １３． 槡２４ １３；　１４．５－ 槡２６或 －５－ 槡２６． 三、１５．（１）槡ａ２；　（２） 槡１６５ ３ ；　（３）５． １６．原式 槡＝－ ｘｙ．当ｘ＝ ３ ２，ｙ＝２７时，原式 ＝－ 槡９２ ２． １７．（１）槡４５，槡５； （２）长方体盒子的底面边长为：槡４５－槡２５＝ 槡２５≈２×２．２４ ≈４．５（ｃｍ），体积为：槡２５× 槡２５×槡５＝ 槡２０５≈２０×２．２４＝ ４４．８（ｃｍ３）． １８．（１）因为ｘ＝２－槡３，ｙ＝２＋槡３，所以ｘ＋ｙ＝２－槡３＋ ２＋槡３＝４，ｘｙ＝（２－槡３）（２＋槡３）＝４－３＝１． （２）ｘ２＋ｙ２－３ｘｙ＝（ｘ＋ｙ）２－５ｘｙ＝４２－５×１＝１１． （３）因为 －２＜－槡３＜－１，所以０＜２－槡３＜１．因为ｘ的 小数部分是ａ，所以ａ＝２－槡３．因为３＜２＋槡３＜４，ｙ的整数部 分是ｂ，所以ｂ＝３．所以ａｘ－ｂｙ＝（２－槡３）（２－槡３）－３（２＋槡３） ＝４－ 槡４３＋３－６－ 槡３３＝１－ 槡７３． １９．（１）槡３２－４＝ （槡３２－４）（槡３２＋４） 槡３２＋４ ＝ ２ 槡３２＋４ ， 槡２３－槡１０＝ （槡２３－槡１０）（槡２３＋槡１０） 槡２３＋槡１０ ＝ ２ 槡２３＋槡１０ ． 因为 槡３２＞ 槡２３，４＞槡１０，所以 槡３２＋４＞ 槡２３＋槡１０． 所以 槡３２－４＜ 槡２３－槡１０． （２）由１－ｘ≥０，１＋ｘ≥０，ｘ≥０，得０≤ｘ≤１． ｙ＝ １槡 －ｘ＋ （ １槡 槡＋ｘ－ ｘ）（ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ） １槡 槡＋ｘ＋ ｘ ＝ １槡 －ｘ＋ １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ ． 当ｘ＝０时， １槡 槡＋ｘ＋ ｘ有最小值，则 １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ 有最大 值１，此时 １槡 －ｘ有最大值１，所以ｙ的最大值为２； 当ｘ＝１时， １槡 槡＋ｘ＋ ｘ有最大值，则 １ １槡 槡＋ｘ＋ ｘ 有最小 值槡２－１，此时 １槡 －ｘ有最小值０，所以ｙ的最小值为槡２－１． 《勾股定理》专项练习 １．Ｂ；　２．８． ３．连接ＢＥ，图略．由尺规作图可知ＭＮ为ＡＢ的垂直平分线． 因为ＣＥ＝ １３ＡＥ＝１，所以ＡＥ＝３．所以ＡＣ＝ＡＥ＋ＣＥ＝４，ＢＥ ＝ＡＥ＝３．在Ｒｔ△ＥＣＢ中，由勾股定理，得ＢＣ＝ ＢＥ２－ＣＥ槡 ２＝ 槡２２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２６． ４．Ｄ． ５．在△ＡＣＤ中，ＡＣ２ ＝２５，ＣＤ２ ＝１，ＡＤ２ ＝２６．因为ＡＣ２＋ ＣＤ２＝ＡＤ２，所以△ＡＣＤ是直角三角形，且∠Ｃ＝９０°．因为ＢＤ＝ ４，ＣＤ＝１，所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５．在Ｒｔ△ＡＣＢ中，由勾股定理， 得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡５２． ６．１０． ７．（１）在Ｒｔ△ＭＮＢ中，ＢＮ＝ ＢＭ２－ＭＮ槡 ２ ＝４５ｍ．所以 ＡＮ＝ＡＢ－ＢＮ＝８０ｍ．在Ｒｔ△ＡＭＮ中，ＡＭ＝ ＡＮ２＋ＭＮ槡 ２ ＝ １００ｍ．所以供水点Ｍ到喷泉Ａ，Ｂ需要铺设的管道总长为：ＡＭ＋ ＢＭ＝１７５ｍ． （２）因为ＡＢ＝１２５ｍ，ＡＭ＝１００ｍ，ＢＭ＝７５ｍ，所以ＡＢ２＝ ＢＭ２＋ＡＭ２．所以△ＡＢＭ是直角三角形，且 ∠ＡＭＢ＝９０°．所以 ＢＭ⊥ＡＣ．所以喷泉Ｂ到小路ＡＣ的最短距离是７５ｍ． ８．（１）逆命题是：有两个锐角的三角形是直角三角形． 原命题是真命题，逆命题是假命题． （２）逆命题是：全等三角形的对应边和对应边上的中线相等． 原命题是假命题，逆命题是真命题． 《勾股定理》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ 二、９．１５；　１０．９０；　１１．２；　１２．１５；　１３．４； １４．１５或１８． 三、１５．（１）逆命题是：若△ＡＢＣ是直角三角形，则∠Ｃ＝９０°． 原命题是真命题，逆命题是假命题． （２）逆命题是：矩形的两条对角线相等． 原命题是假命题，逆命题是真命题． １６．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２ ＝ＡＤ２－ＡＢ２ ＝４５．在 △ＢＣＤ中， ＢＣ２＋ＣＤ２＝４５．所以ＢＣ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２．所以∠ＢＣＤ＝９０°，即 ＢＣ⊥ＣＤ．所以该车符合安全标准． １７．因为ＡＢ⊥ＡＤ，所以∠ＢＡＣ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ １７米，ＡＢ＝８米，由勾股定理，得ＡＣ＝ ＢＣ２－ＡＢ槡 ２ ＝１５米．所 以ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＝３５米．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＤ２＋ＡＢ槡 ２ ＝槡１２８９≈３６米． 答：钢丝绳ＢＤ的长度约为３６米． １８．如图，将长方体沿侧面展开，当动 点Ｑ在第５秒拦截动点Ｐ时，Ｃ１Ｐ＝５．所 以ＣＰ＝ＣＣ１－Ｃ１Ｐ＝６．因为ＡＣ＝ＡＢ＋ ＢＣ＝８，所以ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＣＰ槡 ２＝１０．所 以点Ｑ的速度为：１０５ ＝２（单位 ／秒）． 答：动点Ｑ的速度至少应设定为２单位 ／秒． １９．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＢＤ＝ＡＤ＝ 槡２３．因为ＢＣ２＋ＢＤ２ ＝１２＋（槡２３）２＝１３＝ＣＤ２，所以∠ＣＢＤ ＝９０°． （２）过点Ｃ作 ＣＦ⊥ ＡＢ交 ＡＢ的延长线于点 Ｆ，图略，则 ∠ＢＦＣ＝９０°．由题意，得ＣＦ＝槡３２．所以ＢＦ＝ ＢＣ ２－ＣＦ槡 ２ ＝ １ ２．因为 ＤＥ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＤＥＢ＝９０°．因为 ＤＥ＝槡３，ＢＤ＝ 槡２３，所以ＢＥ＝ ＢＤ２－ＤＥ槡 ２ ＝３．所以ＥＦ＝ＢＥ＋ＢＦ＝ ７ ２． 在Ｒｔ△ＣＥＦ中，由勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝槡１３                                                                                                                                                                                         ． !" ! 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