第16章 二次根式&第17章 勾股定理-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（人教版 云南专用）

数理极 专题复习 3 第十六章 二次根式 8化简：(1) 36 2)万-万 3 Q云南郑吴佳 9.计算： 知识回质 (4)商的算术平方根：√6 a 1二次根式的有关概念 ≥0.b>0) ①8x6-3 (1)定义：形如 的式子叫做二次 3.二次根式的运算 (2)25(2-万)+27÷5 根式 (1)二次根式的加减：可以先将二次根式 10.已知x=3-5,y=2+5,x的整数部 注意：被开方数a只能是正数或0，即a≥0.化成 二次根式，再将 5 分是a,y的整数部分是b,求ax-by的值. (2)最简二次根式：①被开方数不含 二次根式进行合并.合并时，仅合并」 1山，综合实践活动课上，老师给出一个结论： :②被开方数中不含能 不变 ,满足这两个条件的二 (2)二次根式的乘法：a·石= 对于任意两个正数a,b,若a>b,则a>瓜.请 次根式叫做最简二次根式 (a≥0.b≥0). 运用这个结论解决下问题： 2.二次根式的性质 (3)二次根式的除法： (1)试比较-35与-55的大小： (1)非负性：a(a≥0)是一个 B (2)试比较5+1与2+2的大小 并且a也是（常说后具有双重非负0，b>0). 。考点5：二次根式的应用 性) (4)二次根式的加，减，乘，除混合运算 例5山西剪纸是最 小结：常见的具有非负性的数：a(a≥ 注意：(1)合并同类二次根式与合并同类 古老的汉族民间艺术之一， 0),1al,a2. 项类似，被开方数不同的二次根式不能合并 被誉为流淌在刀尖上的舞 (2)两个重要性质： (2)二次根式运算的最后结果应化为 蹈如图1，剪纸作为一种 ①(a)2=a( (3)二次根式的混合运算顺序为先乘除， 楼空艺术，在视觉上给人以 ②=lal= (a≥0)， 后加减，有括号的先算括号用面的，实数的各种 透空的感觉和艺术享受.张萌现用一张长方形彩 (a<0). 运算定律也同样适用于二次根式的混合运算 纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案.若长方形 小结：若√云>a,则a<0. (4)在二次根式的运算中，经常会出现分母 彩纸的长为45cm,宽为26cm,且长方形彩纸 (3)积的算术平方根：√品= 中含有二次根式的计算需要运用分式的基本性 的面积是正方形彩纸面积的I0倍，则正方形 ≥0.b≥0). 质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化 彩纸的面积为 em. 解析：因为长方形彩纸的长为45cm,宽为 考点解图 ÷考点3：最简二次根式 例3下列二次根式中，是最简二次根式的26©m,所以长方形彩纸的面积为：45×26= 。考点1：二次根式有意义的条件 是 ）242(cm2).因为长方形彩纸的面积是正方形彩 例1若二次根式a-5有意义，则a的取 A.⑧ 纸面积的√0倍，所以正方形彩纸的面积为： 值范围是」 解析：因为二次根式√a-5有意义，所以a C.√ D.星+9 24+而.24,5(cm -5≥0.解得a≥5. 解析：选项A中的被开方数含有能开得尽方 放城245 故填a≥5. 的因数；选项B中的被开方数是分数：选项C中 ●专项练习 的被开方数含有能开得尽方的因式：选项D中的 ●专项练习 1.若二次根式，2x-8在实数范围内有意被开方数不含能开得尽方的因式，也不含分母 12.已知一个等腰三角形的周长为127，其 义，则x的取值范围是 故选D. 中一边长为2万，则这个等楼三角形的腰长为 2.已知xy都是实数，且y=√/2x-3+ ●专项练习 ( 3-2x+2,求x,y的值。 在，瓜厚万 A.2万 B.57 C.2万或5万 D.无法确定 ◆考点2：二次根式的性质与化简 中，是最简二次根式的是 13.有一块矩形木板 例2已知√2x-1+1y-41=0,则xy= 6.若最简二次根式√/2a+3与23-2a可ABCD,甲采用如图2的方 以合并，则a的值为 式，将木板的长AD增加 解析：因为/2x-1+y-41=0,√/2x-1 。考点4：二次根式的运算 2,5cm,宽AB增加7，万em, ≥0.1y-41≥0，所以2x-1=0,y-4=0. 得到一个面积为192cm2的 解得=宁=4所以y:2 例4计算(5+4)(4-5)的结果为 正方形AEFG 图2 故填2. (1)求AD的长： 解析：原式=4-(5)2=16-15=1. (2)求变动后面积共增加了多少： ●专项练习 故填1 (3)乙想从矩形木板ABCD中截出长为 3.化简(-6)2的结果为 ●专项练习 2em、宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出几根 A.-6B.6 C.-36 D.36 7.与式子反×5+√20÷5的值最接近的这样的木条？ 4.已知a>3,化简a-√m2-6a+9的结整数是 ( (专项练习参考答案见第15~18版，后同) 果为 A.3 B.4 C.5 D.6 (本章综合测评卷见第7~8版) 专题复习 数理报 △ABC的形状，并说用理由， 第十比章 勾股定理 。考点3：勾股定理的应用 例3如图5.从宠 Q广东陈浩跃 物帐篷的顶部A向地面 拉一根绳子AD以固定 知识回厨 考点解密 帐篷，AB垂直于地面， 1,勾股定理 ◆考点1：勾股定理 帐篷一边AC=5m,绳 如果直角三角形的两条直角边长分别为 例1如图1，在 长AD=2m,AD与地宜的夹角∠D=45°，则点 a,b,斜边长为c,那么 =2 RI△ABC中，∠BAC= D与帐篷底部点C之间的距离DC为() 在运用勾股定理时，要注意如下三点： 90°，AB=9.AC=6,将 A.2 m B.(2-1)m (1)注意勾股定理的使用条件：只对直角 △ABC沿DE折叠，使点B C.(5-2)m D.(2-5)m 三角形适用，而不适用于锐角三角形和纯角三 B列好落在AC边的中 解析：因为AB L BD,所以∠ABD=90 角形： 点F处，则BD的长为」 又因为∠D=45°，所以∠DAB=90°- (2)注意分清斜边和直角边，避免自目代 解析：由折叠的性质，得DF=BD. ∠D=45°， 入公式致错： 因为F是AC边的中点，AC=6,所以AF= 所以AB=BD (3)注意勾股定理公式的变形：在直角三 24c=3 在R1△ABD中，根据勾股定理，得AB2+ 角形中，已知任意两边，可求第三边，即。2=a2 +,a2=c2-b,b=c2-a2 R△ADF中，根据勾股定理，得AD+BD=AD,即2BD2=2. AF=DF(9-BD)+32=BD 解得BD=反m.所以AB=巨m 2.勾股定理的逆定理 解得BD=5. 在R△ABC中，根据勾股定理，得BC= 如果三角形的三边长a,b.c满足 故填5. ,那么这个三角形是直角三角形 AC AB I m. ●专项练习 利用这一判别方法时，要注意如下四点： 所以DC=BD-BC=(2-I)m 1.如图2，在R1△ABC (1)这一方法与勾股定理的题设和结论正 中，∠ACB=90°，以△ABC 故选B. 好相反，值得注意的是，在这一方法的描述中， 的三边为边，分别向外作正 ●专项练习 不能带有“斜边”“直角边”字样： 方形，它们的面积分别为S, 5.如图6，厂房屋顶人字架（等腰三角形） (2)有了这一方法可以实现“数”“形”的 S2,S,若S2=1,S3=4,则 的跨度BC=10m,∠B=30°，则中柱AD(D为 转化： S,的值是 底边中点)的长为 (3)要判别一个三角形是否是直角三角 A.4 B.5 C.6 D.3 形，先确定最长边c,再验证2与：2+b2的关 2.在△ABC中，AB=10,AC=/40,BC边 系，如果 ,那么这个三角形是直角三角 上的高AD=6,则一边BC的长为 30 形，否则不是： 4.10 B.8 10m 图6 (4)学会识别勾股数：能够成为直角三角 C.6或10 D.8或10 6.如图7，在桌面上放置一个正方体，正方 形三条边长的三个正整数叫做勾股数， ◆考点2：勾股定理的逆定理 体的棱长为2cm,点B为一条棱的中点，妈蚁在 3.应用 例2如图3，在四边形 正方体的表面爬行，从点A爬到点B的最短路 (1)勾股定理的应用主要有： ABCD中，AD∥BC,点E是CD 程是 cm. ①已知直角三角形的一边，求另两边的关 边上的点，连接AE,BE.若AE 7.如图8，某小区有两个喷 系 =3,BE=4,AB=5,则下列名 泉A,B,两个喷泉的距离长为 ②用于说明含有平方关系的式子： 角中，一定与∠DAE互余的是 125m.现要为喷泉铺设供水管 ③用于作长为m(n为正整数)的线段： () 图3 道AM,BM,供水点M在小路AC ④求几何体表面两点间的最短路程是一 A.∠BAE B.∠ABE 上，供水点M到AB的距离MW 类比较常见的数学问题，解答这类问题，通常将 C.∠CBE D.∠CEB 解析：因为AE=3,BE=4,AB=5,所以 的长为60m,BM的长为75m 几何体表面 ,把立体图形转化为 AE BE AB. (I)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管 ,利用勾股定理及其他知识加圆 所以∠AEB=90° 道总长： 解答 所以∠EAB+∠EBA=90 (2)求喷泉B到小路AC的最短距离。 (2)勾股定理的逆定理的应用主要有： 因为AD∥BC,所以∠DAB+∠ABC ◆考点4：互逆命题与互逆定理 ①判别三角形是否为直角三角形： 180 例4下列命题的逆命题是假命题的是 2说明两条线段垂直. 所以∠DAE+∠CBE=90°，即∠DAE与 4.互逆命题与互逆定理 ∠CBE互余 A.在同一个三角形中，等边对等角 (1》原命题与递命题 故选C B.两直线平行，同位角相等 在两个命题中，如果一个命题的题设和结 ●专项练习 C.两直线平行，内错角相等 论分别是另一个命题的」 和 3.下列各组数据中，能构成直角三角形的 D,全等三角形的对应角相等 那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中 是 解：D. 个叫做原命题，那么另一个叫做它的】 A.545 B.6.7,8 ●专项练习 命题 C2,3,4 D.3,3,32 8.写出下列命题的逆命题，并判断原命题 (2)定理与逆定理 4.如图4，每个小正方形 和逆命题的真假。 股地，如果一个定理的逆命题经过证明 的边长都是1， (1)直角三角形有两个锐角： 是 ,那么它也是一个 ,称这两 (1)线段AB的长为 (2)有一条边和这条边上的中线对应相等 个定理互为逆定理，其中一个称为另一个的逆 ,AC的长为 ； 的两个三角形全等 定理 (2)连接BC,试判断 (本章综合测评卷见第9~10版】数理极 参考答案 15 《二次根式》专项练习 2)-(3胥-38)=-6万-6+6万= 26(1)方法一：图形的面积为：2×6+ L.x≥4 64-石=0.稀得a=2.脚原题中“■”表示的数是2 b+:方法二图形的面职为：a+小： 2由圈意，得代3≥0解得x=之所以y 13-2x≥0. 27.(1)因为4-23=(a-5)2=2-25a+3,ab+2.所以ab+e=2+a6+.整理，得 √2×号-3+√3-2×号+22 a为整数，所以a2+3=4.25a=23.都得a=1. 3+62=c2 (2)因为a+56=(/0-2)2=(√02- (2)因为CN=,BN=b.△BCN的周长为2.所圆 3.B:4.3:5.15:6.5:7.B: 2√20+(2)2=I2-45,所以a=12.6=-4.所以ubBC=2-CN-BN=2-:-6.在B△BCN中，由勾股 8)吾.(23+3 =12×(-4)=-48. 定理.得BC=BP+CW2,肉(2--b)2=2+.整 (3)√8+27-7=W(7+1)-万=万+1 理，得ab-2(a+)=-2.因为AC=BD=2,所以AN 9.(1)23:(2)-15. =2-4.DN■2-k所以长方形AEDN的面积为：AN 10.因为1<3<4，听以1<3<2，-2<-3< DN=(2-a)(2-b)=4+ab-2(a+6)=2. -1.所以1<3-3<2,3<2+万<4.所以3-3 《勾股定理》专项练习 27,(1)在B△ADP中，由勾股定理，得PA= 的整数部分是1,2+3的整数部分是3，即a=1,=3, 1.B;2.C;3.D. D+P疗=4，而km所以P村村民沿公路PA到达 所以r-by=3-3-3(2+3)=-3-43 4.(1)10.2: 火车站，比原来少走：PD+DA-PA=(16-410)km (2)图路.△ABC是直角三角形.理由如下： (2)在R△ADF中，由勾股定理，得DF= 11.(1)因为(35)2■45，(53)2■75,45<75，所 以35<53.所以-35>-53. 由勾段定弹，得BC2=8.因为AB=√10，AC=2, √AF一D小=9km根据驱意，得BA■BP■BD+ 以AC+BC2=AB,所以△ABC为直角三角形 PD.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BP+DA=BA,即 (2)(5+1)1■6+25，(2+2)2=6+42.因 BD+12■(BD+4)2解得BD=16km.当点F在线 为(25)2=20.(42)2=32.20<32.所以25<42. 段BD上时.BF=BD-DF=7km:当点F在线DC上 所以6+25<6+4,2.所以5+1<2+2 7.(1)在R1△MNB中，BN=√Bf-N=45m. 时，BF=BD+DF=25km 12.B. 所以AV=AB-BY=80m在R△AN中，AM= 综上所述，BF的长是7km或25km, 13.(1)正方形AFG的边长为：√192=8,3(cm), √AW+N=100m所以供水点M到喷泉A,B需要 《平行四边形》专项练习 因为将木板的长AD增加2，万m,得到正方形AEFG,所：铺设的管过总长为：AM+BM=175m 1.A:2.4;3.3;4.40:5.C 以AD=83-2,3=63(cm). (2)因为AB=125m,AM=100m,BM=75m,所 以AB=BM+Ar,所以△ABM是直角三角形.且 6.因为∠D=∠DCE,所以AD∥BC.又因为AD= (2)因为AB=83-7了=√3(m),所以矩形木板 ∠AMB=90°，所以M⊥AC.所以喷泉B到小路AC的 BG,所以四边形ABCD是平行四边形 ABCD的面积为：6,3×3■18(cm2).所以变动后面积 最短距离是75m. 7.(I)因为BC∥AD.所以∠CBE=∠DFE,因为E 共增加了：5方c一Sen=192-18=174(m2) 8.(1)逆命题是：有两个说角的三角形是直角三角 是线段CD的中点，所以CE=DE在△BEC和△FED 3因为15c疗<2，y ■33,5<33<6. 形 r∠CBE=∠DFE, 原命题是真命圆，逆命题是假命题， 次 ∠BEC=∠FED,所以△BEC≌△FED(AAS).所 所以从矩形木板ABCD中截出长为2em,宽为L.5m的 (2)逆命题足：全等三角形的对应边和对应边上的中 CE■DE. 矩形木条，最多能战出5根这样的木条， 线相等 以BE=下E所以四边形BDFC是平行四边形 《二次根式》综合测评卷 原命题是假命题，逆命题是真命题， (2)因为四边形BDFC是平行四边形，所以DF= BG=13.因为BG∥AD,∠ABG=90,所以∠A=180 《勾股定理》综合测评卷 -∠ABC=90°.因为BD=BC.BC=13.所以BD=13 题号1234567891012131415 在△ABD中，根据钩段定理，得AB=√BD-AD= 答案DAABD DDB ADB BB C A 题号12345678910111231415 12.所以SsC=DF·AB=1S6 二、16.-2,2：17.315：1810；19.6,2 答常CDC D BBC D ADAAC CC 8.60°，5. 三、20.6. 二、16.对角线互相平分的四边形是平行四边形： 9.因为四边形ABCD是矩形所以∠A■∠B■90° 21.原式=2m-3当m=2-1时，原式=-2 17.25:18.24:19.25. AD=BC,AB=CD.因为EF⊥CE,所以∠CEF=90 三，20.在R△ACB中，由勾股定理，得AB= 所以∠AEF+∠BEC▣∠AEF+∠AFE▣9O.所以 ∠BEC=∠AFE.又因为EF=CE,所以△AEF≌ 2.该底边上的高为：2×业=43(cm。 √BC+AC=41.因为BM=BC=40.AN=AC=9, △BCE(AAS).所以AE=BC.所以AB=AE+BE=BC 23 所以MN=BM+AN-AB=8 +2.因为矩形ABCD的周长为16，所以AB+BC=8,即 23.因为16<17<25，所以16<17<25， 21.图略. BC+2+BC=8.解得BC=3. 4<7<5.因为7的整数部分是“，小数部分是， 22.根据题意，得∠ACB=90°.当AG=25m时，根 10.D:1i.D. 所以a=4.6=√17-4.所以2ab-b2=2×4×(√17 据勾股定理，得BC=√AB-AC=5可，因为T> 12.(1)设MF交BC于点G.因为EF⊥BC,所阅 -4)-(/17-4)2=16/17-65 26×,所以在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达 ∠MGB=90°，所以∠B+∠BWG=90,又因为∠B= 24.(1)因为1x-81+分-5+(：-32)2▣0,25m高的墙头去救授被困人员. ∠FN,所以∠AMN=180°-∠BMG-∠FMN=180 -∠BMG-∠B=90.又因为∠BAC=∠EDF=90° 所以x-8=0,y-5=0,:-√32=0.解得x=22 23.连接EC.图略.因为BD=CD.ED⊥BC,所以EB 所以四边形AMND是矩形.所C以AM=DN. y■5，am42 =EC所以BD+ED=EC.因为E子+AC=BD + (2》能构成三角形 ED,所以E+AC=EC.所以∠A=90P.所以△ABC (2)与∠F相等的角为∠BMF,∠EMA,∠C ∠MNB. 因为x+y-:=22+5-42▣5-22>0，所 是直角三角形 24.(1)因为AB⊥BC.所以∠B=90°.在Rt△ABC 13.B:14.A:15.C 以x+y>云所以以x,y:为边能构成三角形，这个三角 16.(1)因为△AOE≌△D0OC,所以OA=OD.AE= 形的周长为：22+42+5■62+5 中，由勾股定厘，得AC=√AB+BC=15km CD,∠E=∠DCO.所以CD∥AB.因为点A为BE的中 答：无人机飞行路径AC的长为15km 25.()厄-}万=25-5= 点，所以AE=AB.所以CD=AB所以四边形ABCD是平 (2)因为GD=8km,AD=17km,AG=15km,所以 (2)燕祺的说法正确理由如下： AT=CD+AC.所以∠ACD=90°所以S也EIm= 行四边形因为0D=DC.0D=子D,所以AD= =-6后-m+6=25-6- 5aw+Sam=AB:BG+CCD=4km2 DC,所以四边形ABCD是菱形 (2)过点A作AF⊥BC于点F,略.所以∠AFB= 25.连接AD,图路.因为DE⊥AB,所以乙AED= +6=3.因为4级=43，所以x能与零合并，所以 90°.因为BC=6,Sm=18,3,所以AF=33,因为 试礼的说法正确 ∠D:0在△D相△4D中份 ”所四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=6.在H△ABF中， 由勾股定理，得BF=√AB一AF=3.所以CF=BC- R△ABC中，由勾段定理，AB=√AC+BC=5.所以 BF=3=BF.又因为A为BE的中点，所以EC=2AF= 62-6+62=26 BF=AB-AE=2.在△BDE中，由勾股定理，得BD= 65. (2)设■”处的数字为a,则腺式=(“√分 BE+nE,即(4-CD)2=2+Cm.解得cD=号 17.B. 18.(1)四边形BPC0为平行四边形，理由如下：