《直角三角形》复习指导-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（湘教版）

书 １．直角三角形的性质 （１）直角三角形的两个锐角 ． （２）直角三角形斜边上的 等于斜 边的 ． （３）在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的 ． （４）在直角三角形中，如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ． （５）直角三角形两直角边ａ，ｂ的平方和，等 于斜边ｃ的平方．用字母表示为： ．（勾 股定理） 在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注 意如下三点： ①注意勾股定理的使用条件：只对直角三角 形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； ②注意分清斜边和直角边，避免盲目代入 公式致错； ③注意勾股定理公式的变形：在直角三角 形中，已知任意两边，可求第三边．即 ｃ２ ＝ａ２＋ ｂ２，ａ２ ＝ｃ２ －ｂ２，ｂ２ ＝ｃ２ －ａ２，进而有 ｃ＝ ａ２＋ｂ槡 ２，ａ＝ ｃ２－ｂ槡 ２，ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２．这些都 是勾股定理的常见表达式． ２．直角三角形的判定 （１）有两个角 的三角形是直角三 角形． （２）如果三角形的三边长 ａ，ｂ，ｃ有下面关 系：ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２，那么这个三角形是 ． （勾股定理的逆定理） 利用这一判定方法，要注意如下四点： ①这一方法与勾股定理的条件和结论正好 相反，值得注意的是，在这一方法的描述中，不能 带有“斜边”、“直角边”字样； ②这一方法可以实现“数”与“形”的转化； ③要判定一个三角形是否是直角三角形， 先确定最长边，即斜边ｃ，再验证ｃ２与ａ２＋ｂ２的 ； ④学会识别勾股数：满足条件 ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２ 的三个正整数叫作勾股数，常见的勾股数有 ， ， 等． ３．勾股定理的应用 （１）已知直角三角形的两边，求第三边； （２）已知直角三角形的一边，求另两边的关系； （３）用于说明含有平方关系的式子的关系； （４）用于作长为槡ｎ（ｎ为正整数）的线段； （５）借助勾股定理来构造方程，解决实际问题； （６）判定某三角形是否为直角三角形； （７）说明两条线段垂直． 运用勾股定理解题要注意联系方程思想与 转化思想．求几何体表面两点间的最短路程是一 类比较常见的数学问题，解答这类问题，通常将 几何体表面 ，把立体图形转化为 ，利用勾股定理及其他知识加以 解答． ４．直角三角形全等的判定 （１）斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形 ．（可以简写成“ 、 ”或“ ”）． （２）ＳＳＳ，ＳＡＳ，ＡＳＡ，ＡＡＳ对于直角三角形全 等的判定同样适合． ５．角平分线的性质与判定 （１）性质：角平分线上的点 ． （２） 在这个角的平分线上． 书 考点１：直角三角形的性质 例 １　 如图 １，已知 ∠ＡＯＢ＝６０°，点 Ｐ在边 ＯＡ 上，ＯＰ＝１２，点Ｍ，Ｎ在边ＯＢ 上，ＰＭ ＝ＰＮ．若ＭＮ＝２，则 ＯＭ ＝ ． 解析：本题主要考查了含 ３０°角的直角三角形的性质、等腰三角形的“三线 合一”． 如图１，过点Ｐ作ＰＤ⊥ＯＢ于点Ｄ． 在Ｒｔ△ＯＰＤ中，∠ＡＯＢ＝６０°，所以∠ＯＰＤ ＝３０°．所以ＯＤ＝１２ＯＰ＝６． 因为ＰＭ＝ＰＮ，ＰＤ⊥ＭＮ，ＭＮ＝２，所以ＭＤ ＝ＮＤ＝１２ＭＮ＝１． 所以ＯＭ ＝ＯＤ－ＭＤ＝５．故填５． 　　　　　　　　　　　　　　　例 ２ 如 图 ２， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ为斜边 ＡＢ 上的中线，若ＣＤ＝２，则ＡＢ ＝ ． 解析：因为 ∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是斜边 ＡＢ上 的中线，ＣＤ＝２，所以ＡＢ＝２ＣＤ＝４．故填４． ●专项练习 １．如图３，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ⊥ＢＤ，Ｄ为垂 足，∠Ｃ＝５５°，则∠ＡＢＣ的度数是 （　　） Ａ．３５° Ｂ．５５° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ２．如图４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ ＝３，以点Ｃ为圆心，ＣＡ为半径的圆与ＡＢ交于点 Ｄ，若点Ｄ恰好为线段ＡＢ的中点，则ＡＢ的长度为 （　　） Ａ．３２ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．９ ３．已知△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ是ＡＣ边上 的高，ＡＣ＝２ＢＤ，则∠ＢＡＣ＝ ． 考点２：直角三角形的判定 例 ３　 在 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝２２．５°，∠Ｂ＝ ６７．５°，则△ＡＢＣ为 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．钝角三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．无法确定 解析：根据“有两个角互余的三角形是直角 三角形”即可解答． 因为∠Ａ＝２２．５°，∠Ｂ＝６７．５°，所以∠Ａ＋ ∠Ｂ＝９０°，所以△ＡＢＣ为直角三角形．故选Ｃ． ●专项练习 ４．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝１８°，∠Ｂ＝４∠Ａ，则 △ＡＢＣ是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰三角形 考点３：勾股定理 例 ４　 如图 ５，Ａ（８，０）， Ｃ（－２，０），以点Ａ为圆心，ＡＣ 长为半径画弧，交ｙ轴正半轴 于点Ｂ，则点Ｂ的坐标为 （　　） Ａ．（０，５） Ｂ．（５，０） Ｃ．（６，０） Ｄ．（０，６） 解析：根据题意，得ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＯＡ＝８． 在Ｒｔ△ＡＢＯ中，ＯＢ＝ ＡＢ２－ＯＡ槡 ２ ＝６． 所以Ｂ（０，６）． 故选Ｄ． ●专项练习 ５．如图 ６，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ ＝ ９０°， 以 Ｒｔ△ＡＢＣ的三边为边向外作 正方形，其面积分别为 Ｓ１， Ｓ２，Ｓ３，且Ｓ１ ＝６，Ｓ２ ＝２０，则 Ｓ３ ＝ （　　） 槡 槡Ａ．２６ Ｂ． ２６ Ｃ．１４ Ｄ． １４ ６．如图７，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ平 分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，ＤＥ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｅ， 已知ＣＥ＝３，ＣＤ＝４，则ＡＤ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．４３ Ｄ．４５ ７．如图８，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ ＝２０ｃｍ，ＡＣ＝１６ｃｍ，点Ｐ从点Ａ出发，以每秒 １ｃｍ的速度向点Ｃ运动，连接ＰＢ，设运动时间为 ｔ秒（ｔ＞０）． （１）当△ＰＢＣ的面积为△ＡＢＣ面积的一半 时，求ｔ的值； （２）当ｔ为何值时，ＡＰ＝ＰＢ？ 考点４：勾股定理的逆定理 例 ５　 如图 ９，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ｃｍ，ＡＤ ＝ ３ｃｍ，ＢＣ ＝ ７ ｃｍ，ＣＤ ＝ ６ｃｍ，且∠Ａ＝９０°，则四边形 ＡＢＣＤ的面积为 ． 解析：连接ＢＤ，利用勾股定理求出ＢＤ的长， 再根据勾股定理的逆定理得出∠ＢＤＣ＝９０°，即 可得出答案． （下转第４版                                                                                                         ） ! " # $ ! ! ! ! " # $ % & ' "#! ! $ ( # ' ) ! * + , ! % , * - ' ! & . + %, - / ! ' 0 $ 0 ! 0 & ) + - ! " ) 1 + * - ! ( ! ) - ) & + ) * - + ! * ! !" #$% 书 （上接第３０版） 　　　　　　　　　　　　　　　解析：把点（－１，４）代入一次函数ｙ＝ｋｘ－ ｋ，得－ｋ－ｋ＝４．解得ｋ＝－２．所以ｙ＝－２ｘ＋２， ｙ随ｘ增大而减小，故选项Ａ，Ｂ都不符合题意；当 ｘ＝１时，ｙ＝０，所以该直线过点（１，０），故选项Ｃ 符合题意；当ｘ＝０时，ｙ＝２，该直线与坐标轴围 成的三角形面积为： １ ２×１×２＝１，故选项Ｄ不 符合题意．故选Ｃ． ●专项练习 ７．点Ｐ（ａ，ｂ）在函数ｙ＝４ｘ＋３的图象上，则 代数式８ａ－２ｂ＋１的值等于 （　　） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．７ Ｄ．－６ ８．如图４，是函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ 的图象，则函数ｙ＝－ｋｂｘ＋ｋ的 大致图象是 （　　） ９．一次函数ｙ＝３ｘ＋２的图象沿ｙ轴向下平 移５个单位后与ｙ轴的交点坐标是 ． 考点６：求一次函数的表达式 例７　如图５，与图中直线ｙ ＝－ｘ＋１关于ｘ轴对称的直线 的函数表达式是 ． 解析：设直线ｙ＝－ｘ＋１关 于ｘ轴对称的直线的函数表达 式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ．所以直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ经过点（０， － １） 和 （１，０）． 所 以 ｂ＝－１， ｋ＋ｂ＝０{ ．解 得 ｂ＝－１， ｋ＝１{ ． 所以直线ｙ＝－ｘ＋１关于ｘ轴对称的直 线的函数表达式是ｙ＝ｘ－１．故填ｙ＝ｘ－１． ●专项练习 １０．在平面直角坐标系中，一次函数 ｙ＝ｋｘ ＋ｂ的图象与直线 ｙ＝２ｘ平行，且经过点 Ａ（０， ６），则一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝２ｘ－３ Ｂ．ｙ＝２ｘ＋６ Ｃ．ｙ＝－２ｘ－３ Ｄ．ｙ＝－２ｘ－６ １１．如图 ６，已知直线 ｌ１：ｙ＝ －２ｘ＋４与坐标轴分别交于Ａ，Ｂ两 点，那么过原点Ｏ且将△ＡＯＢ的面 积平分的直线ｌ２的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝１２ｘ Ｂ．ｙ＝ｘ Ｃ．ｙ＝３２ｘ Ｄ．ｙ＝２ｘ 考点７：一次函数的应用 例８　如图７，直线ｙ＝２ｘ 与ｙ＝ｋｘ＋ｂ相交于点 Ｐ（ｍ， ２），则关于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝２ 的解是 （　　） Ａ．ｘ＝１２ Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝４ 解析：因为直线ｙ＝２ｘ与ｙ＝ｋｘ＋ｂ相交于 点Ｐ（ｍ，２），所以２ｍ＝２．解得ｍ＝１．所以关于 ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝２的解是ｘ＝１．故选Ｂ． ●专项练习 １２．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图 象如图８所示，则关于ｘ的方程ｋｘ ＋ｂ＝０的解为 （　　） Ａ．ｘ＝０ Ｂ．ｘ＝３ Ｃ．ｘ＝－２ Ｄ．ｘ＝－３ １３．在平面直角坐标系中，一 次函数ｙ＝ｋｘ和ｙ＝ｍｘ＋ｎ的图 象如图９所示，则关于ｘ的一元一 次不等式（ｋ－ｍ）ｘ＜ｎ的解集是 ． １４．某校积极响应国家号召， 为落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备 购买１００Ｌ和２４０Ｌ两种型号的垃圾箱若干套． 若购买８套１００Ｌ垃圾箱和５套２４０Ｌ垃圾箱，共 需７２００元；若购买４套１００Ｌ垃圾箱和６套２４０ Ｌ垃圾箱，共需６４００元． （１）每套１００Ｌ垃圾箱和每套２４０Ｌ垃圾箱各多 少元？ （２）学校决定购买１００Ｌ垃圾箱和２４０Ｌ垃 圾箱共２０套，且２４０Ｌ垃圾箱的数量不少于１００ Ｌ垃圾箱数量的１４，求购买这２０套垃圾箱的最少 费用． （本章复习检测卷见第１３～１４版                                                                                     ） 书 （上接第３版） 如图９，连接ＢＤ． 因为∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝２ｃｍ，ＡＤ＝３ｃｍ，所 以ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝槡１３ｃｍ． 因为ＢＣ＝７ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，所以 ＢＤ２＋ ＣＤ２ ＝ＢＣ２，所以∠ＢＤＣ＝９０°． 所以四边形 ＡＢＣＤ的面积为：Ｓ△ＤＢＣ ＋Ｓ△ＡＢＤ ＝１２ＤＢ·ＣＤ＋ １ ２ＡＢ·ＡＤ＝（３＋ 槡３ １３）ｃｍ ２． 故填（３＋ 槡３ １３）ｃｍ ２． ●专项练习 ８．已知三角形的三边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，且 ａ ＋ｂ＝１０，ａｂ＝１８，ｃ＝８，则该三角形的形状是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形 ９．设ｘ＞０，若以ｘ＋１，ｘ＋２，ｘ＋３为边长的 三角形是直角三角形，则ｘ的值为 ． 考点５：勾股定理的应用 例６　《九章算术》是我国古代数学 名著，书中有下列问题：“今有户高多于 广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、 广各几何？”其意思为：今有一门，高比 宽多６尺８寸，门对角线距离恰好为１丈． 问门高、宽各是多少？（１丈 ＝１０尺，１尺 ＝ １０寸）如图１０，设门高ＡＢ为ｘ尺，根据题 意，可列方程为 ． 解析：此题考查勾股定理的应用． 根据题意，得门的宽为（ｘ－６．８）尺，ＡＣ＝１ 丈 ＝１０尺． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得 ＢＣ２＋ＡＢ２ ＝ＡＣ２，即（ｘ－６．８）２＋ｘ２ ＝１０２． 故填（ｘ－６．８）２＋ｘ２ ＝１０２． ●专项练习 １０．如图１１，小红想用一条彩带 缠绕圆柱４圈，正好从Ａ点绕到正上 方的Ｂ点．已知圆柱底面周长是３ｍ， 高为 ５ｍ，则所需彩带最短是 ． １１．如图１２，是斜坡ＡＣ上一根 电线杆拦腰断成ＡＢ和ＢＣ两段的 平面图，现测得 ＡＣ＝４米，ＡＢ⊥ ＡＤ于点Ａ，∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＢＣＡ＝ ７５°，试求电线杆未折断时的高度 （结果保留根号）． 考点６：直角三角形全等的判定 例７　如图１３，点 Ｅ，Ｆ在线段 ＢＤ上，ＡＦ⊥ ＢＤ，ＣＥ⊥ ＢＤ，ＡＤ ＝ ＣＢ，ＤＥ＝ＢＦ．求证：∠Ａ＝∠Ｃ． 解析：本题考查了直角三角形 全等的性质和判定． 证明：因为ＡＦ⊥ＢＤ，ＣＥ⊥ＢＤ， 所以∠ＡＦＤ＝∠ＣＥＢ＝９０°． 因为ＤＥ＝ＢＦ，所以ＤＥ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ， 即ＤＦ＝ＢＥ． 在Ｒｔ△ＡＤＦ和Ｒｔ△ＣＢＥ中，因为ＡＤ＝ＣＢ， ＤＦ＝ＢＥ，所以Ｒｔ△ＡＤＦ≌Ｒｔ△ＣＢＥ（ＨＬ）． 所以∠Ａ＝∠Ｃ． ●专项练习 １２．如图１４，已知ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ ⊥ＡＤ，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，则下列 条件中，可以判定 Ｒｔ△ＡＢＥ≌ Ｒｔ△ＤＣＦ的是 （填序号）． ①ＡＢ＝ＤＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ； ②ＡＢ＝ＤＣ，ＡＢ∥ＣＤ； ③ＡＢ＝ＤＣ，ＢＥ＝ＣＦ； ④ＡＢ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＣＦ． 考点７：角平分线的性质与判定 例８　 如图１５，在 △ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ 交ＢＣ于点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为 点Ｅ．若ＢＣ＝４，ＤＥ＝１．６，则 ＢＤ的长为 ． 解析：本题考查了角平分线的性质：角的平 分线上的点到角的两边的距离相等． 因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，∠Ｃ＝９０°， ＤＥ＝１．６， 所以ＣＤ＝ＤＥ＝１．６． 所以ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝２．４．故填２．４． ●专项练习 １３．如图１６，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＧ平 分∠ＡＢＣ，交ＡＣ于点Ｇ．若ＣＧ＝１，Ｐ为ＡＢ上一 动点，则ＧＰ的最小值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．１２ Ｃ．２ Ｄ．无法确定 １４．如图１７，ＤＥ⊥ ＡＢ交 ＡＢ的延长线于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，若 ＢＤ＝ＣＤ，ＢＥ＝ＣＦ，求 证：ＡＤ平分∠ＢＡＣ． （专项练习答案参见第１５～１８版） （本章复习检测卷见第７～８版                                                                                                 ） ! " # $ ! ! " #$ % ! !" $ " ! !! ! " $ ! !# # ! !$ ! # & ' " $ ! !% # ! ' & " $ ! !& # ! & " $ " ( $ ) ! ! !' ! ' $ # & " ! !( % * + % * + % * + % * + ) * + , % ! * ! + +,-%.! ! & % * + ! % %$ * " / ! + ! ' % 0 ( * # +,#% +,1%.2 + ! ( % $ -# * + ! . % # * % + ! / 书 《直角三角形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．３０°或１５０°；　４．Ｂ；　５．Ａ；　６．Ｄ． ７．解：（１）当点Ｐ是边ＡＣ的中点时，△ＰＢＣ的面积为△ＡＢＣ 面积的一半．所以ｔ＝８． （２）根据题意，得 ＡＰ＝ｔｃｍ．则 ＰＣ＝（１６－ｔ）ｃｍ．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝１２ｃｍ．在 Ｒｔ△ＰＣＢ中，由勾股定理，得ＰＣ２＋ＢＣ２＝ＰＢ２，即（１６－ｔ）２＋１２２ ＝ｔ２．解得ｔ＝１２．５．所以当ｔ的值为１２．５时，ＡＰ＝ＰＢ． ８．Ｂ；　９．２；　１０．１３ｍ． １１．解：过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，图略．因为∠ＢＡＣ＝６０°， 所以∠ＡＣＥ＝３０°．所以ＡＥ＝ １２ＡＣ＝２米．根据勾股定理，得 ＣＥ＝ ＡＣ２－ＡＥ槡 ２ ＝ 槡２３米．因为∠ＢＣＡ＝７５°，所以∠ＢＣＥ＝ ∠ＢＣＡ－∠ＡＣＥ＝４５°．所以∠Ｂ＝４５°．所以ＢＥ＝ＣＥ＝ 槡２３米． 根据勾股定理，得ＢＣ＝ ＢＥ２＋ＣＥ槡 ２ ＝ 槡２６米．所以ＡＢ＋ＢＣ＝ ＡＥ＋ＢＥ＋ＢＣ＝（２＋ 槡２３＋ 槡２６）米． 答：电线杆未折断时的高度为（２＋ 槡２３＋ 槡２６）米． １２．①②③；　１３．Ａ． １４．证明：因为 ＤＥ⊥ ＡＢ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠Ｅ＝∠ＤＦＣ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＢＤＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因为ＢＤ＝ＣＤ，ＢＥ＝ＣＦ，所以 Ｒｔ△ＢＤＥ≌ Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）．所以 ＤＥ ＝ＤＦ．所以 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ． 《直角三角形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ 二、１１．４；　１２．直角；　１３．槡５５２；　１４．ｘ ２＋３２ ＝（９－ｘ）２； １５．４５；　１６．９；　１７．５ｃｍ；　１８．槡５或槡１３． 三、１９．解：因为ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＢＣ＝２０，所以 ＢＤ＝ ＤＣ＝ １２ＢＣ＝１０．因为ＡＢ＝２６，ＡＤ＝２４，所以 ＡＢ ２ ＝ＡＤ２＋ ＢＤ２，所以ＡＤ⊥ＢＣ．所以ＡＣ＝ＡＢ＝２６． ２０．证明：如图１，连接ＤＭ，ＭＥ． 因为ＣＤ，ＢＥ分别是 ＡＢ，ＡＣ边上的 高，Ｍ是 ＢＣ的中点，所以 ＤＭ ＝ １ ２ＢＣ，ＭＥ＝ １ ２ＢＣ，所以 ＤＭ ＝ ＭＥ．又因为 Ｎ为 ＤＥ的中点，所以 ＭＮ⊥ＤＥ． ２１．证明：过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ ＢＧ， ＤＫ⊥ＡＣ，ＤＭ⊥ＢＥ，垂足分别为点 Ｎ，Ｋ，Ｍ，图略．因为 ＢＤ，ＣＤ 分别平分∠ＥＢＡ，∠ＥＣＡ，所以 ＤＭ ＝ＤＮ＝ＤＫ．所以 ＡＤ平分 ∠ＧＡＣ． ２２．证明：因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，所以∠ＢＥＤ＝∠ＣＤＦ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＢＥＤ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因为ＢＤ＝ＣＦ，ＢＥ＝ＣＤ，所以 Ｒｔ△ＢＥＤ≌Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）．所以∠Ｂ＝∠Ｃ．所以ＡＢ＝ＡＣ． ２３．解：（１）１１＋ 槡３５，１７； （２）如图２，连接ＡＣ．△ＡＤＣ是直角三角形，△ＡＢＣ是等腰三 角形．理由如下： 由勾股定理，得ＡＣ＝ ３２＋４槡 ２ ＝５． 因为ＢＣ＝５，所以△ＡＢＣ是等腰三角形． 因为ＡＤ＝槡５，ＣＤ＝ 槡２５，所以ＡＤ２＋ＣＤ２ ＝ＡＣ２． 所以△ＡＤＣ是直角三角形． ２４．解：（１）因为 △ＡＢＣ是直角三角形，所以 ＡＢ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝１０． （２）由折叠的性质知 ＡＥ＝ＢＥ＝ １２ＡＢ＝５，ＡＤ＝ＢＤ， ∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°．设 ＣＤ＝ｘ，则 ＢＤ＝ＡＤ＝８－ｘ，在 Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＢＤ２ ＝ＣＤ２＋ＢＣ２，即（８－ｘ）２＝ｘ２＋３６，解得ｘ＝ ７ ４，即ＣＤ＝ ７ ４，所以ＢＤ＝８－ ７ ４ ＝ ２５ ４．在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＤＥ＝ ＢＤ２－ＢＥ槡 ２ (＝ ２５)４ ２ －５槡 ２ ＝１５４． ２５．解：（１）设旗杆的高度为ｘ米，则绳子的长度为（ｘ＋１．５） 米，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得ｘ２＋６２＝（ｘ＋１．５）２，解得ｘ＝ １１．２５，故旗杆的高度为１１．２５米． （２）由题意及（１）可知，ＢＤ＝ＢＣ＝１１．２５米，ＤＥ＝６．７５ 米．在Ｒｔ△ＢＤＥ中，由勾股定理得ＢＥ２＋６．７５２ ＝１１．２５２，解得 ＢＥ＝９，所以ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝１１．２５－９＝２．２５（米），所以ＤＦ ＝ＥＣ＝２．２５米．故绳结离地面２．２５米． ２６．解：（１）设等边三角形的边长为ａ，因为ａ２＋ａ２＝２ａ２，即 两边的平方和等于第三边平方的２倍，所以等边三角形一定是 “奇异勾股三角形”，所以①正确． 设等腰直角三角形的直角边的长为 ｍ，则斜边长为槡２ｍ，因 为ｍ２＋ｍ２≠２（槡２ｍ）２，ｍ２＋（槡２ｍ）２≠２ｍ２，所以等腰直角三 角形不是“奇异勾股三角形”，所以②不正确． 因为（槡２）２＋（槡６）２＝８＝２×２２，所以三边长分别为槡２，２， 槡６的三角形是“奇异勾股三角形”，所以③正确． 故说法正确的是①③． （２）设第三边的长为ｘ（ｘ＞０），当１２＋（槡７）２＝２ｘ２时，ｘ＝ ２，当１２＋ｘ２ ＝２×（槡７）２时，ｘ＝槡１３． 所以第三边的长为２或槡１３． （３）由题意可知ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２，ａ２＋ｃ２ ＝２ｂ２， 所以ｂ＝槡２ａ，ｃ＝槡３ａ，所以Ｒｔ△ＡＢＣ的周长为ａ＋槡２ａ＋槡３ａ． 《四边形》专项练习 １．Ｂ；　２．９；　３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．Ｄ；　６．Ｂ． ７．解：∠Ｂ与∠Ｆ相等．理由如下： 因为△ＡＢＣ与△ＤＥＣ关于点 Ｃ成中心对称，所以 ∠Ｂ＝ ∠ＤＥＣ．因为ＡＦ∥ＢＥ，所以∠Ｆ＝∠ＤＥＣ．所以∠Ｂ＝∠Ｆ． ８．Ｂ；　９．４；　１０．槡３３；　１１．Ｃ． １２．证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ的中点，所以ＤＢ＝ＤＣ， ＡＤ⊥ＢＣ．所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为点Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ ＤＥ．在△ＡＥＦ和△ＤＥＢ中，因为ＡＥ＝ＤＥ，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＢ，ＥＦ ＝ＥＢ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＤＥＢ（ＳＡＳ）．所以 ＡＦ＝ＤＢ，∠ＡＦＥ＝ ∠ＤＢＥ．所以ＡＦ＝ＤＣ，ＡＦ∥ＤＢ．所以四边形ＡＤＣＦ是平行四边 形．因为∠ＡＤＣ＝９０°，所以四边形ＡＤＣＦ是矩形． １３．Ｃ；　１４．Ｄ；　１５．Ｃ；　１６．２４；　１７．Ｂ；　１８．Ｃ． 《四边形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ 二、１１．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １２．３５°；　１３．１５０°；　１４．２；　１５．槡３；　１６．７；　１７．３；　１８．２． 三、１９．图略． ２０．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以点Ｏ为ＢＤ 的中点．因为ＡＥ＝ＤＥ，所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＡＤＥ．因为 ∠ＡＤＢ＝ ９０°，所以∠ＤＡＥ＋∠ＡＢＤ＝９０°，∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ＝９０°．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＥ．所以ＤＥ＝ＢＥ＝ＡＥ．所以ＯＥ＝ １２ＡＤ． ２１．（１）证明：因为∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ，所以ＡＢ＝ＡＦ． 因为ＡＥ平分∠ＢＡＣ，所以ＡＥ⊥ＢＦ． （２）解：因为ＡＢ＝ＡＦ＝９，ＡＥ⊥ＢＦ，所以ＢＥ＝ＥＦ．因为点 Ｄ是ＢＣ边的中点，所以ＤＥ是△ＢＣＦ的中位线，所以ＣＦ＝２ＤＥ ＝４，所以ＡＣ＝ＡＦ＋ＣＦ＝９＋４＝１３，所以△ＡＢＣ的周长为ＡＢ ＋ＢＣ＋ＡＣ＝９＋１１＋１３＝３３． ２２．解：（１）如图３所示，ＥＦ 即为所求． （２）ＡＥ＝ＣＦ．证明如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＥＡＯ ＝∠ＦＣＯ，∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ． 因为ＥＦ是ＡＣ的垂直平分线， 所以 ＡＯ ＝ ＣＯ．在 △ＡＯＥ和 △ＣＯＦ中， ∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ { ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＡＳ），所以ＡＥ＝ＣＦ． ２３．证明：因为ＦＥ⊥ＡＣ，所以∠ＦＥＡ＝∠ＦＥＣ＝９０°．因为 ∠ＦＡＣ＝４５°，所以∠ＡＦＥ＝９０°－∠ＦＡＣ＝４５°＝∠ＦＡＣ，所以 ＡＥ＝ＥＦ．在Ｒｔ△ＡＥＢ和Ｒｔ△ＦＥＣ中，因为ＡＢ＝ＦＣ，ＡＥ＝ＦＥ， 所以Ｒｔ△ＡＥＢ≌Ｒｔ△ＦＥＣ（ＨＬ），所以ＢＥ＝ＣＥ，所以∠ＢＣＥ＝ ４５°．因为 ＡＤ⊥ ＡＦ，所以 ∠ＦＡＤ＝９０°，所以 ∠ＣＡＤ＝９０°－ ∠ＦＡＣ＝４５°＝∠ＢＣＥ，所以ＢＣ∥ＡＤ．又ＢＣ＝ＡＤ，所以四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形． ２４．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＣＤ∥ＡＢ，ＣＤ＝ＡＢ， 因为ＣＦ＝ＡＥ，所以ＤＦ＝ＢＥ， 因为ＤＦ∥ＢＥ，所以四边形ＢＦＤＥ是平行四边形． 因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＤＥＢ＝９０°， 所以平行四边形ＢＦＤＥ是矩形． （２）解：由（１）可知，四边形ＢＦＤＥ是矩形， 所以∠ＢＦＤ＝９０°，所以∠ＢＦＣ＝９０°， 所以ＢＣ＝ ＢＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝１０． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＤ＝ＢＣ＝１０，ＡＢ∥ＤＣ，所以∠ＢＡＦ＝∠ＤＦＡ， 因为ＡＦ是∠ＤＡＢ的平分线， 所以∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＤＦＡ， 所以ＤＦ＝ＤＡ＝１０，所以ＤＣ＝ＤＦ＋ＣＦ＝１０＋６＝１６． ２５．（１）解：在平移过程中，重叠部分的形状分别为等腰直 角三角形、直角梯形、菱形、五边形．如图４所示． （２）①证明：分别过Ｂ，Ｄ作ＢＥ⊥ＣＤ于 点Ｅ，ＤＦ⊥ＣＢ于点Ｆ，如图５， 所以∠ＢＥＣ＝∠ＤＦＣ＝９０°． 因为两纸条等宽，所以 ＢＥ＝ＤＦ＝６ ｃｍ．因为∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＦ＝４５°，所以ＢＣ＝ ＣＤ＝ 槡６２ｃｍ． 因为两纸条都是长方形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ∥ＡＤ，所以四边 形ＡＢＣＤ是平行四边形． 又因为ＢＣ＝ＤＣ，所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ②解：由①得ＣＤ＝ 槡６２ｃｍ，因为ＢＥ＝６ｃｍ， 所以Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ＣＤ×ＢＥ＝ 槡６２×６＝ 槡３６２（ｃｍ２）． ２６．解：（１）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方 形的邻边相等且对角互补，所以正方形一定是“等补四边形”． 故答案为Ｃ． （２）①四边形ＡＦＨＢ是“等补四边形”．理由： 如图６，连接ＣＦ． 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以 ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＡＢＤ ＝∠ＣＢＤ ＝ ４５°． 又因为 ＢＦ ＝ＢＦ，所以 △ＡＢＦ≌ △ＣＢＦ（ＳＡＳ）， 所以ＡＦ＝ＣＦ，∠ＢＡＦ＝∠ＢＣＦ． 因为ＨＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＨ＝∠ＡＢＨ＝９０°， 所以∠ＢＡＦ＋∠ＢＨＦ＝１８０°． 因为∠ＢＨＦ＋∠ＦＨＣ＝１８０°，所以∠ＦＨＣ＝∠ＢＡＦ， 所以∠ＦＨＣ＝∠ＦＣＨ，所以ＦＨ＝ＦＣ，所以ＡＦ＝ＦＨ， 所以四边形ＡＦＨＢ是“等补四边形”． ②如图７，连接 ＡＨ，由 ① 知，ＡＦ＝ ＦＨ，∠ＡＦＨ＝９０°，所以 △ＡＦＨ为等腰直 角三角形，所以∠ＨＡＦ＝４５°． 将 △ＡＢＨ绕点 Ａ逆时针旋转到 △ＡＤＬ的位置，点 Ｈ的对应点为 Ｌ，则 ＡＬ ＝ＡＨ，ＬＤ ＝ＢＨ，则 ∠ＬＡＥ＝∠ＬＡＤ＋ ∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＨ＝９０°－∠ＨＡＦ ＝４５°＝∠ＨＡＦ． 因为ＡＨ＝ＡＬ，ＡＥ＝ＡＥ，所以△ＡＬＥ ≌△ＡＨＥ（ＳＡＳ），所以 ＨＥ＝ＬＥ＝ＬＤ＋ＤＥ＝ＢＨ＋ＤＥ，则 △ＣＨＥ的周长为ＨＥ＋ＣＨ＋ＣＥ＝ＢＨ＋ＤＥ＋ＣＨ＋ＣＥ＝ＢＣ＋ ＣＤ＝２ａ． 《图形与坐标》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．（－３，－１）；　４．Ｄ． ５．解：（１）建立平面直角坐标系如图８所示： （２）保安室（－４，－１）； （３）便利店的位置如图８． ６．解：（１）Ａ（１，３），Ｂ（－１，２），Ｃ（２，０）； （２）作图略，Ａ１（１，－３），Ｂ１（－１，－２），Ｃ１（２，０）； （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝３×３－ １ ２ ×２×３－ １ ２ ×１×３－ １ ２ ×２×１ ＝ ７２． ７．解：（１）画△Ａ′Ｂ′Ｃ′图略，点Ｃ′的坐标为（５，－２）； ! " # $ !" ! ! ! " # $ % & ' # ! ' $ ! " ! # ! # $ ' & ( ) $%! ! $ $%! !"#$%&'()*)+ !"#$%(),+ $%!$%! !"#$%-+ !"#$%./+ $ ! # ! % & ) ' !*# & ) $' ! & !*# & ) $ ' ! ' + ! ( 012 34 567 , - ( 89: ! !