《四边形》复习检测卷-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（湘教版）

书 《四边形》复习检测卷 ◆数理报社试题研究中心 （答题时长１２０分钟，满分１２０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分） 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　１．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （　　） ２．已知一个多边形的每个外角都等于６０°，则该多边形的边数 是 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ３．如图１，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点Ｅ在线段ＢＣ的延长线 上，若∠ＤＣＥ＝１３２°，则∠Ａ＝ （　　） Ａ．３８° Ｂ．４８° Ｃ．５８° Ｄ．６６° ４．如图２，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＡＥＦＧ都是矩形．若∠ＢＡＧ＝ ２０°，则∠ＤＧＦ等于 （　　） Ａ．７０° Ｂ．６０° Ｃ．８０° Ｄ．４５° ５．如图 ３，菱形 ＡＢＣＯ的顶点 Ｏ，Ａ的坐标分别为（０，０），（２， 槡２３），点Ｃ在ｘ轴的正半轴上，则点Ｂ的坐标为 （　　） Ａ．（４，槡２３） Ｂ．（槡４３，槡２３） Ｃ．（６，槡２３） Ｄ．（槡６３，槡２３） ６．如图４，Ｐ为ＡＢ上任意一点，分别以ＡＰ，ＰＢ为边在ＡＢ同侧作 正方形ＡＰＣＤ，正方形ＰＢＥＦ，设∠ＣＢＥ＝α，则∠ＡＦＰ为 （　　） Ａ．２α Ｂ．９０°－α Ｃ．４５°＋α Ｄ．９０°－１２α ７．如图５，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝ ８，过点Ｏ作ＯＭ⊥ＡＣ，交ＢＣ于点Ｍ，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＢＤ，垂足为Ｎ， 则ＯＭ＋ＭＮ的值为 （　　） Ａ．２４５ Ｂ． １６ ５ Ｃ． １２ ５ Ｄ． ６ ５ ８．如图６，在△ＡＢＣ中，延长ＢＣ至Ｄ，使得ＣＤ＝１２ＢＣ，过ＡＣ中 点Ｅ作ＥＦ∥ＣＤ（点Ｆ位于点Ｅ右侧），且ＥＦ＝２ＣＤ，连接ＤＦ．若ＡＢ ＝８，则ＤＦ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．２３ Ｄ．３２ ９．如图７，Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＤＣＢ，其中∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ ＝４，Ｍ为ＢＣ的中点，ＥＦ过点Ｍ分别交ＡＣ，ＢＤ于点Ｅ，Ｆ，连接ＢＥ， ＣＦ，则下列结论错误的是 （　　） Ａ．四边形ＢＥＣＦ为平行四边形 Ｂ．当ＢＦ＝３．５时，四边形ＢＥＣＦ为矩形 Ｃ．当ＢＦ＝２．５时，四边形ＢＥＣＦ为菱形 Ｄ．四边形ＢＥＣＦ不可能为正方形 １０．如图８，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ的长为４，ＡＢ＝槡５，Ｍ为菱 形ＡＢＣＤ外的一个动点，且ＢＭ⊥ＤＭ，Ｎ为ＭＤ的中点，连接ＣＮ，则 在Ｍ运动的过程中，ＣＮ长度的最大值为 （　　） 槡Ａ．１＋ ２ Ｂ．槡 ３＋１ ２ Ｃ．１ Ｄ．２ 二、填空题（本题共８小题，每小题３分，共２４分） １１．如图９，点Ａ，Ｂ在直线ｌ上，Ｄ为直线ｌ外一点，连接ＡＤ，分别 以点Ｂ，Ｄ为圆心，ＡＤ，ＡＢ的长为半径画弧，两弧交于点Ｃ，连接ＣＤ， ＢＣ，则四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的理由是 ． １２．如图１０，菱形ＡＢＣＤ中，已知∠ＢＡＤ＝７０°，则∠ＢＡＣ的度数 为 ． １３．如图１１，将边长相等的正方形和正六边形瓷砖平铺在地面 上，则∠１＝ ． １４．如图１２，在ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝４，点Ｅ，Ｆ分别是ＢＤ，ＣＤ的中 点，则ＥＦ＝ ． １５．在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，∠ＡＤＣ＝１２０°，则 ＡＣ的长为 ． １６．如图１３，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｂ＝７０°，∠Ｃ＝ ４０°，ＤＥ∥ＡＢ交ＢＣ于点Ｅ．若ＡＤ＝５ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，则ＣＤ的长 是 ｃｍ． １７．第２４届国际数学家大会会标的设计基础是１７００多年前中 国古代数学家赵爽制作的“弦图”．如图１４，在由四个全等的直角三 角形（△ＤＡＥ，△ＡＢＦ，△ＢＣＧ，△ＣＤＨ）和中间一个小正方形 ＥＦＧＨ 拼成的大正方形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＦ＞∠ＢＡＦ，连接 ＢＥ．若正方形 ＥＦＧＨ与正方形ＡＢＣＤ的面积之比为１∶ｎ，且有ＡＦ·ＢＦ＝ＥＦ２，则ｎ 的值为 ． １８．如图１５，矩形纸片ＡＢＣＤ中，ＣＤ＝１，点Ｅ在ＡＢ上，将△ＢＣＥ 沿ＣＥ翻折，若点Ｂ的对应点Ｂ′落在ＡＤ上，∠Ｂ′ＣＥ＝２２．５°，则ＢＥ ＋ＢＣ的值为 ． 三、解答题 １９．（６分）如图１６，△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于某一点成中心对称， 某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到 △ＡＢＣ和线段 ＢＣ的对应 线段Ｂ′Ｃ′，请你帮该同学找到对称中心Ｏ，并补全△Ａ′Ｂ′Ｃ′． ２０．（６分）如图１７，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，对角线ＡＣ，ＢＤ 交于点Ｏ，∠ＡＤＢ＝９０°，点Ｅ是ＡＢ边上一点，ＡＥ＝ＤＥ，连接ＯＥ．求 证：ＯＥ＝１２ＡＤ． ! ! " # $ % & ' ( ) * + , - . / 0 " 1 $ % & 2 ( ) 3 + , - . / ! " # $ ! % ! " # $ % ! & ! " & ' % $ # ! ' " % ! ( ) * ! # +% ' " $ " ! ( ! ) " $ ( , - ! % ! * $ " ! ' # % ! ' $ , " # % ! + ! , $ " - , % ! . " ! % $ ! - ! " $ % ! %. ! %% % ! %& " ' # ! $ % " # $ % ! ! %' ! %( ! # % ' / " & $ ! %) "! # $ !! % ! % " !! "! ! %* ! " ( # $ % ! %+ 书 ２１．（８分）如图１８，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ边的中点，ＡＥ平分 ∠ＢＡＣ，连接ＢＥ交ＡＣ于点Ｆ，∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ，连接ＤＥ．已知ＡＢ＝ ９，ＢＣ＝１１，ＤＥ＝２． （１）求证：ＡＥ⊥ＢＦ； （２）求△ＡＢＣ的周长． ２２．（８分）如图１９，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＣ是对角线． （１）实践与操作：利用尺规作线段 ＡＣ的垂直平分线，垂足为点 Ｏ，交边ＡＤ于点Ｅ，交边ＢＣ于点Ｆ（要求：尺规作图并保留作图痕迹， 不写作法，标明字母）； （２）猜想与证明：试猜想线段 ＡＥ与 ＣＦ的数量关系，并加以证 明． ２３．（９分）如图２０，在△ＡＦＣ中，∠ＦＡＣ＝４５°，ＦＥ⊥ＡＣ于点Ｅ， 在 ＥＦ上取一点Ｂ，连接ＡＢ，ＢＣ，使得ＡＢ＝ＦＣ，过点Ａ作ＡＤ⊥ＡＦ， 且ＡＤ＝ＢＣ，连接ＣＤ．求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ２４．（９分）如图２１，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，过点Ｄ作ＤＥ⊥ ＡＢ于点Ｅ，点Ｆ在边ＣＤ上，ＣＦ＝ＡＥ，连接ＡＦ，ＢＦ． （１）求证：四边形ＢＦＤＥ是矩形； （２）若ＡＦ是∠ＤＡＢ的平分线，ＣＦ＝６，ＢＦ＝８，求ＤＣ的长． ２５．（１０分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个 学生持有两张宽为６ｃｍ，足够长的长方形纸条，探究两张纸条叠放 在一起时重叠部分的形状和面积．如图２２－① 所示，一张纸条水平 放置不动，另一张纸条与它成４５°的角，将该纸条从右往左平移． （１）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状； （２）当重叠部分为如图２２－②所示的四边形ＡＢＣＤ时， ①求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形； ②求菱形ＡＢＣＤ的面积． ２６．（１０分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为 “等补四边形”． （１）下列选项中一定是“等补四边形”的是 ． Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 Ｃ．正方形 Ｄ．菱形 （２）如图２３－① ，在边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＣＤ边上 一动点（Ｅ不与Ｃ，Ｄ重合），ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，过Ｆ作ＦＨ⊥ＡＥ交ＢＣ 于点Ｈ． ①试判断四边形ＡＦＨＢ是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图２３－② ，连接ＥＨ，求△ＣＥＨ的周长． ! ! " # $ % & ' ( ) * + , - . / 0 " 1 $ % & 2 ( ) 3 + , - . / ! !" ! " # $ % & ! !# ! # " & ! $% # % & ! $ " & !'# % $ "& !'# % $ "& " # ! &' & " % # $ ! ! &( )*! " ! # " $ ! $$ & !"#$%& !" '( 书 《直角三角形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．３０°或１５０°；　４．Ｂ；　５．Ａ；　６．Ｄ． ７．解：（１）当点Ｐ是边ＡＣ的中点时，△ＰＢＣ的面积为△ＡＢＣ 面积的一半．所以ｔ＝８． （２）根据题意，得 ＡＰ＝ｔｃｍ．则 ＰＣ＝（１６－ｔ）ｃｍ．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝１２ｃｍ．在 Ｒｔ△ＰＣＢ中，由勾股定理，得ＰＣ２＋ＢＣ２＝ＰＢ２，即（１６－ｔ）２＋１２２ ＝ｔ２．解得ｔ＝１２．５．所以当ｔ的值为１２．５时，ＡＰ＝ＰＢ． ８．Ｂ；　９．２；　１０．１３ｍ． １１．解：过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，图略．因为∠ＢＡＣ＝６０°， 所以∠ＡＣＥ＝３０°．所以ＡＥ＝ １２ＡＣ＝２米．根据勾股定理，得 ＣＥ＝ ＡＣ２－ＡＥ槡 ２ ＝ 槡２３米．因为∠ＢＣＡ＝７５°，所以∠ＢＣＥ＝ ∠ＢＣＡ－∠ＡＣＥ＝４５°．所以∠Ｂ＝４５°．所以ＢＥ＝ＣＥ＝ 槡２３米． 根据勾股定理，得ＢＣ＝ ＢＥ２＋ＣＥ槡 ２ ＝ 槡２６米．所以ＡＢ＋ＢＣ＝ ＡＥ＋ＢＥ＋ＢＣ＝（２＋ 槡２３＋ 槡２６）米． 答：电线杆未折断时的高度为（２＋ 槡２３＋ 槡２６）米． １２．①②③；　１３．Ａ． １４．证明：因为 ＤＥ⊥ ＡＢ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠Ｅ＝∠ＤＦＣ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＢＤＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因为ＢＤ＝ＣＤ，ＢＥ＝ＣＦ，所以 Ｒｔ△ＢＤＥ≌ Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）．所以 ＤＥ ＝ＤＦ．所以 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ． 《直角三角形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ 二、１１．４；　１２．直角；　１３．槡５５２；　１４．ｘ ２＋３２ ＝（９－ｘ）２； １５．４５；　１６．９；　１７．５ｃｍ；　１８．槡５或槡１３． 三、１９．解：因为ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＢＣ＝２０，所以 ＢＤ＝ ＤＣ＝ １２ＢＣ＝１０．因为ＡＢ＝２６，ＡＤ＝２４，所以 ＡＢ ２ ＝ＡＤ２＋ ＢＤ２，所以ＡＤ⊥ＢＣ．所以ＡＣ＝ＡＢ＝２６． ２０．证明：如图１，连接ＤＭ，ＭＥ． 因为ＣＤ，ＢＥ分别是 ＡＢ，ＡＣ边上的 高，Ｍ是 ＢＣ的中点，所以 ＤＭ ＝ １ ２ＢＣ，ＭＥ＝ １ ２ＢＣ，所以 ＤＭ ＝ ＭＥ．又因为 Ｎ为 ＤＥ的中点，所以 ＭＮ⊥ＤＥ． ２１．证明：过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ ＢＧ， ＤＫ⊥ＡＣ，ＤＭ⊥ＢＥ，垂足分别为点 Ｎ，Ｋ，Ｍ，图略．因为 ＢＤ，ＣＤ 分别平分∠ＥＢＡ，∠ＥＣＡ，所以 ＤＭ ＝ＤＮ＝ＤＫ．所以 ＡＤ平分 ∠ＧＡＣ． ２２．证明：因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，所以∠ＢＥＤ＝∠ＣＤＦ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＢＥＤ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因为ＢＤ＝ＣＦ，ＢＥ＝ＣＤ，所以 Ｒｔ△ＢＥＤ≌Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）．所以∠Ｂ＝∠Ｃ．所以ＡＢ＝ＡＣ． ２３．解：（１）１１＋ 槡３５，１７； （２）如图２，连接ＡＣ．△ＡＤＣ是直角三角形，△ＡＢＣ是等腰三 角形．理由如下： 由勾股定理，得ＡＣ＝ ３２＋４槡 ２ ＝５． 因为ＢＣ＝５，所以△ＡＢＣ是等腰三角形． 因为ＡＤ＝槡５，ＣＤ＝ 槡２５，所以ＡＤ２＋ＣＤ２ ＝ＡＣ２． 所以△ＡＤＣ是直角三角形． ２４．解：（１）因为 △ＡＢＣ是直角三角形，所以 ＡＢ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝１０． （２）由折叠的性质知 ＡＥ＝ＢＥ＝ １２ＡＢ＝５，ＡＤ＝ＢＤ， ∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°．设 ＣＤ＝ｘ，则 ＢＤ＝ＡＤ＝８－ｘ，在 Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＢＤ２ ＝ＣＤ２＋ＢＣ２，即（８－ｘ）２＝ｘ２＋３６，解得ｘ＝ ７ ４，即ＣＤ＝ ７ ４，所以ＢＤ＝８－ ７ ４ ＝ ２５ ４．在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＤＥ＝ ＢＤ２－ＢＥ槡 ２ (＝ ２５)４ ２ －５槡 ２ ＝１５４． ２５．解：（１）设旗杆的高度为ｘ米，则绳子的长度为（ｘ＋１．５） 米，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得ｘ２＋６２＝（ｘ＋１．５）２，解得ｘ＝ １１．２５，故旗杆的高度为１１．２５米． （２）由题意及（１）可知，ＢＤ＝ＢＣ＝１１．２５米，ＤＥ＝６．７５ 米．在Ｒｔ△ＢＤＥ中，由勾股定理得ＢＥ２＋６．７５２ ＝１１．２５２，解得 ＢＥ＝９，所以ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝１１．２５－９＝２．２５（米），所以ＤＦ ＝ＥＣ＝２．２５米．故绳结离地面２．２５米． ２６．解：（１）设等边三角形的边长为ａ，因为ａ２＋ａ２＝２ａ２，即 两边的平方和等于第三边平方的２倍，所以等边三角形一定是 “奇异勾股三角形”，所以①正确． 设等腰直角三角形的直角边的长为 ｍ，则斜边长为槡２ｍ，因 为ｍ２＋ｍ２≠２（槡２ｍ）２，ｍ２＋（槡２ｍ）２≠２ｍ２，所以等腰直角三 角形不是“奇异勾股三角形”，所以②不正确． 因为（槡２）２＋（槡６）２＝８＝２×２２，所以三边长分别为槡２，２， 槡６的三角形是“奇异勾股三角形”，所以③正确． 故说法正确的是①③． （２）设第三边的长为ｘ（ｘ＞０），当１２＋（槡７）２＝２ｘ２时，ｘ＝ ２，当１２＋ｘ２ ＝２×（槡７）２时，ｘ＝槡１３． 所以第三边的长为２或槡１３． （３）由题意可知ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２，ａ２＋ｃ２ ＝２ｂ２， 所以ｂ＝槡２ａ，ｃ＝槡３ａ，所以Ｒｔ△ＡＢＣ的周长为ａ＋槡２ａ＋槡３ａ． 《四边形》专项练习 １．Ｂ；　２．９；　３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．Ｄ；　６．Ｂ． ７．解：∠Ｂ与∠Ｆ相等．理由如下： 因为△ＡＢＣ与△ＤＥＣ关于点 Ｃ成中心对称，所以 ∠Ｂ＝ ∠ＤＥＣ．因为ＡＦ∥ＢＥ，所以∠Ｆ＝∠ＤＥＣ．所以∠Ｂ＝∠Ｆ． ８．Ｂ；　９．４；　１０．槡３３；　１１．Ｃ． １２．证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ的中点，所以ＤＢ＝ＤＣ， ＡＤ⊥ＢＣ．所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为点Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ ＤＥ．在△ＡＥＦ和△ＤＥＢ中，因为ＡＥ＝ＤＥ，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＢ，ＥＦ ＝ＥＢ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＤＥＢ（ＳＡＳ）．所以 ＡＦ＝ＤＢ，∠ＡＦＥ＝ ∠ＤＢＥ．所以ＡＦ＝ＤＣ，ＡＦ∥ＤＢ．所以四边形ＡＤＣＦ是平行四边 形．因为∠ＡＤＣ＝９０°，所以四边形ＡＤＣＦ是矩形． １３．Ｃ；　１４．Ｄ；　１５．Ｃ；　１６．２４；　１７．Ｂ；　１８．Ｃ． 《四边形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ 二、１１．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １２．３５°；　１３．１５０°；　１４．２；　１５．槡３；　１６．７；　１７．３；　１８．２． 三、１９．图略． ２０．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以点Ｏ为ＢＤ 的中点．因为ＡＥ＝ＤＥ，所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＡＤＥ．因为 ∠ＡＤＢ＝ ９０°，所以∠ＤＡＥ＋∠ＡＢＤ＝９０°，∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ＝９０°．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＥ．所以ＤＥ＝ＢＥ＝ＡＥ．所以ＯＥ＝ １２ＡＤ． ２１．（１）证明：因为∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ，所以ＡＢ＝ＡＦ． 因为ＡＥ平分∠ＢＡＣ，所以ＡＥ⊥ＢＦ． （２）解：因为ＡＢ＝ＡＦ＝９，ＡＥ⊥ＢＦ，所以ＢＥ＝ＥＦ．因为点 Ｄ是ＢＣ边的中点，所以ＤＥ是△ＢＣＦ的中位线，所以ＣＦ＝２ＤＥ ＝４，所以ＡＣ＝ＡＦ＋ＣＦ＝９＋４＝１３，所以△ＡＢＣ的周长为ＡＢ ＋ＢＣ＋ＡＣ＝９＋１１＋１３＝３３． ２２．解：（１）如图３所示，ＥＦ 即为所求． （２）ＡＥ＝ＣＦ．证明如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＥＡＯ ＝∠ＦＣＯ，∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ． 因为ＥＦ是ＡＣ的垂直平分线， 所以 ＡＯ ＝ ＣＯ．在 △ＡＯＥ和 △ＣＯＦ中， ∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ { ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＡＳ），所以ＡＥ＝ＣＦ． ２３．证明：因为ＦＥ⊥ＡＣ，所以∠ＦＥＡ＝∠ＦＥＣ＝９０°．因为 ∠ＦＡＣ＝４５°，所以∠ＡＦＥ＝９０°－∠ＦＡＣ＝４５°＝∠ＦＡＣ，所以 ＡＥ＝ＥＦ．在Ｒｔ△ＡＥＢ和Ｒｔ△ＦＥＣ中，因为ＡＢ＝ＦＣ，ＡＥ＝ＦＥ， 所以Ｒｔ△ＡＥＢ≌Ｒｔ△ＦＥＣ（ＨＬ），所以ＢＥ＝ＣＥ，所以∠ＢＣＥ＝ ４５°．因为 ＡＤ⊥ ＡＦ，所以 ∠ＦＡＤ＝９０°，所以 ∠ＣＡＤ＝９０°－ ∠ＦＡＣ＝４５°＝∠ＢＣＥ，所以ＢＣ∥ＡＤ．又ＢＣ＝ＡＤ，所以四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形． ２４．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＣＤ∥ＡＢ，ＣＤ＝ＡＢ， 因为ＣＦ＝ＡＥ，所以ＤＦ＝ＢＥ， 因为ＤＦ∥ＢＥ，所以四边形ＢＦＤＥ是平行四边形． 因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＤＥＢ＝９０°， 所以平行四边形ＢＦＤＥ是矩形． （２）解：由（１）可知，四边形ＢＦＤＥ是矩形， 所以∠ＢＦＤ＝９０°，所以∠ＢＦＣ＝９０°， 所以ＢＣ＝ ＢＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝１０． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＤ＝ＢＣ＝１０，ＡＢ∥ＤＣ，所以∠ＢＡＦ＝∠ＤＦＡ， 因为ＡＦ是∠ＤＡＢ的平分线， 所以∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＤＦＡ， 所以ＤＦ＝ＤＡ＝１０，所以ＤＣ＝ＤＦ＋ＣＦ＝１０＋６＝１６． ２５．（１）解：在平移过程中，重叠部分的形状分别为等腰直 角三角形、直角梯形、菱形、五边形．如图４所示． （２）①证明：分别过Ｂ，Ｄ作ＢＥ⊥ＣＤ于 点Ｅ，ＤＦ⊥ＣＢ于点Ｆ，如图５， 所以∠ＢＥＣ＝∠ＤＦＣ＝９０°． 因为两纸条等宽，所以 ＢＥ＝ＤＦ＝６ ｃｍ．因为∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＦ＝４５°，所以ＢＣ＝ ＣＤ＝ 槡６２ｃｍ． 因为两纸条都是长方形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ∥ＡＤ，所以四边 形ＡＢＣＤ是平行四边形． 又因为ＢＣ＝ＤＣ，所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ②解：由①得ＣＤ＝ 槡６２ｃｍ，因为ＢＥ＝６ｃｍ， 所以Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ＣＤ×ＢＥ＝ 槡６２×６＝ 槡３６２（ｃｍ２）． ２６．解：（１）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方 形的邻边相等且对角互补，所以正方形一定是“等补四边形”． 故答案为Ｃ． （２）①四边形ＡＦＨＢ是“等补四边形”．理由： 如图６，连接ＣＦ． 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以 ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＡＢＤ ＝∠ＣＢＤ ＝ ４５°． 又因为 ＢＦ ＝ＢＦ，所以 △ＡＢＦ≌ △ＣＢＦ（ＳＡＳ）， 所以ＡＦ＝ＣＦ，∠ＢＡＦ＝∠ＢＣＦ． 因为ＨＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＨ＝∠ＡＢＨ＝９０°， 所以∠ＢＡＦ＋∠ＢＨＦ＝１８０°． 因为∠ＢＨＦ＋∠ＦＨＣ＝１８０°，所以∠ＦＨＣ＝∠ＢＡＦ， 所以∠ＦＨＣ＝∠ＦＣＨ，所以ＦＨ＝ＦＣ，所以ＡＦ＝ＦＨ， 所以四边形ＡＦＨＢ是“等补四边形”． ②如图７，连接 ＡＨ，由 ① 知，ＡＦ＝ ＦＨ，∠ＡＦＨ＝９０°，所以 △ＡＦＨ为等腰直 角三角形，所以∠ＨＡＦ＝４５°． 将 △ＡＢＨ绕点 Ａ逆时针旋转到 △ＡＤＬ的位置，点 Ｈ的对应点为 Ｌ，则 ＡＬ ＝ＡＨ，ＬＤ ＝ＢＨ，则 ∠ＬＡＥ＝∠ＬＡＤ＋ ∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＨ＝９０°－∠ＨＡＦ ＝４５°＝∠ＨＡＦ． 因为ＡＨ＝ＡＬ，ＡＥ＝ＡＥ，所以△ＡＬＥ ≌△ＡＨＥ（ＳＡＳ），所以 ＨＥ＝ＬＥ＝ＬＤ＋ＤＥ＝ＢＨ＋ＤＥ，则 △ＣＨＥ的周长为ＨＥ＋ＣＨ＋ＣＥ＝ＢＨ＋ＤＥ＋ＣＨ＋ＣＥ＝ＢＣ＋ ＣＤ＝２ａ． 《图形与坐标》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．（－３，－１）；　４．Ｄ． ５．解：（１）建立平面直角坐标系如图８所示： （２）保安室（－４，－１）； （３）便利店的位置如图８． ６．解：（１）Ａ（１，３），Ｂ（－１，２），Ｃ（２，０）； （２）作图略，Ａ１（１，－３），Ｂ１（－１，－２），Ｃ１（２，０）； （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝３×３－ １ ２ ×２×３－ １ ２ ×１×３－ １ ２ ×２×１ ＝ ７２． ７．解：（１）画△Ａ′Ｂ′Ｃ′图略，点Ｃ′的坐标为（５，－２）； ! " # $ !" ! ! ! " # $ % & ' # ! ' $ ! " ! # ! # $ ' & ( ) $%! ! $ $%! !"#$%&'()*)+ !"#$%(),+ $%!$%! !"#$%-+ !"#$%./+ $ ! # ! % & ) ' !*# & ) $' ! & !*# & ) $ ' ! ' + ! ( 012 34 567 , - ( 89: ! !