第17章 函数及其图象&复习自测题&复习检测题-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（华东师大版）

书 考 点 解 密 考点１：常量与变量 　　　　　 　　　　　 　　　　　例１ 某人要在规定时间内加工１００个零件，如果 用ｎ表示工作效率，用ｔ表示规定时间，下列说法正确的 是 （　　） Ａ．数１００和ｎ，ｔ都是常量 Ｂ．数１００和ｎ都是变量 Ｃ．ｎ和ｔ都是变量 Ｄ．数１００和ｔ都是变量 解：选Ｃ． ●专项练习 １．球的体积是Ｖ，半径是Ｒ，则Ｖ＝４３πＲ ３，其中变量 是 ，常量是 ． 考点２：函数的定义与表示方法 例２　在函数ｙ＝ ｘ－２ｘ＋３中，自变量ｘ的取值范围 是 ． 解：由题意，得－２ｘ＋３≠０．解得ｘ≠ ３２．故填ｘ≠ ３ ２． ●专项练习 ２．函数 ｙ＝ ｘ ｘ－槡 １ 中，自变量 ｘ的取值范围是 ． ３．已知ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－３ｘ－２，每当ｘ增 加１时，ｙ增加 ． 例３　如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝ ３ｃｍ，动点Ｐ从点Ａ出发，以槡２ｃｍ／ｓ的速度沿ＡＢ方向运 动到点Ｂ，动点 Ｑ同时从点 Ａ出 发，以１ｃｍ／ｓ的速度沿折线 ＡＣ →ＣＢ方向运动到点Ｂ．设△ＡＰＱ 的面积为 ｙ（ｃｍ２），运动时间为 ｘ（ｓ），点Ｑ在ＢＣ上运动时，ｙ与ｘ 之间的函数表达式为 ． 解：因为∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ ＢＣ ＝ ３ ｃｍ， 所 以 ＡＢ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡３２ｃｍ，∠Ｂ ＝４５°．因为动点 Ｐ从点 Ａ出 发，以槡２ｃｍ／ｓ的速度沿ＡＢ方 向运动到点Ｂ，动点Ｑ同时从点Ａ出发，以１ｃｍ／ｓ的速度 沿折线ＡＣ→ＣＢ方向运动到点Ｂ，所以当点Ｑ在ＣＢ上运 动，△ＡＰＱ存在时，３≤ｘ＜６，点Ｐ与点Ｂ重合．过点Ｑ作 ＱＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，如图２．所以∠ＢＱＤ＝９０°－∠Ｂ＝４５°． 所以ＢＤ＝ＱＤ．由题意，得ＢＱ＝（６－ｘ）ｃｍ．由勾股定理， 得ＱＤ＝槡２２ＢＱ＝ 槡２ ２（１６－ｘ）．所以ｙ＝ １ ２ＡＢ·ＱＤ＝ －３２ｘ＋９．故填ｙ＝－ ３ ２ｘ＋９（３≤ｘ＜６）． ●专项练习 ４．一个长方体木箱的长为４ｄｍ，宽为ｘｄｍ（ｘ＜４）， 高为宽的２倍，则这个长方体的体积Ｖ（ｄｍ３）与宽ｘ（ｄｍ） 之间的函数表达式为 （　　） Ａ．Ｖ＝８ｘ Ｂ．Ｖ＝８ｘ２ Ｃ．Ｖ＝６ｘ＋８ Ｄ．Ｖ＝８ｘ３ ５．农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要 组成部分，我县某村要铺设一条全长为１０００米的“雨污 分流”管道，现在工程队铺设管道施工ｘ天与铺设管道ｙ 米之间的关系如下表： ｘ １ ２ ３ ４ ５ … ｙ ２０ ４０ ６０ ８０ １００ … 若施工８天后，则未铺设的管道长度为 米． 考点３：平面直角坐标系 例４　在平面直角坐标系中，点Ｐ（－１，ｍ２＋１）位于 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 解：因为ｍ２＋１＞０，所以点Ｐ（－１，ｍ２＋１）在第二 象限．故选Ｂ． ●专项练习 ６．若点Ｐ（ｘ，ｙ）的坐标满足ｘｙ＝０，则点Ｐ（　　） Ａ．在ｘ轴上 Ｂ．在ｙ轴上 Ｃ．是坐标原点 Ｄ．在ｘ轴上或在ｙ轴上 ７．设点Ｐ（ｘ，ｙ）在第四象限，且｜ｘ｜＝５，｜ｙ｜＝２， 则点Ｐ的坐标是 （　　） Ａ．（－５，２） Ｂ．（５，２） Ｃ．（－５，－２） Ｄ．（５，－２） ８．若点Ｐ（１－１３ｍ，ｍ－５）在第三象限，则ｍ的取值 范围是 ． ９．在平面直角坐标系中，已知点Ｐ（ａ，１）与点 Ｑ（２， ｂ）关于ｘ轴对称，则ａ＋ｂ＝ ． 例５　如图３是利用平面直角坐标系画出的天安门 附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正 北方向为ｘ轴、ｙ轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标是 （－１，－１），表示本仁殿的点的坐标是（２，－２），则表示 中海福商店的点的坐标是 ． （下转第７版                                                                                   ） 书 知 识 回 顾 １．变量与函数 （１）在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量 为 ，数值始终不变的量为 ． （２）一般地，在某个变化过程中，有两个变量 ｘ和 ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我 们称ｘ是 ，ｙ是ｘ的函数． （３）表示函数关系的方法一般有： 、 和 ． ２．平面直角坐标系 （１）在平面上，两条原点 、互相 且 具有相同单位长度的数轴组成平面直角坐标系．其中， 水平的数轴叫做 ｘ轴或 轴，通常取向 的方向为正方向；铅直的数轴叫做ｙ轴或 轴，通 常取向 的方向为正方向．两坐标轴的交点 Ｏ叫 做 ． （２）点的坐标：对于平面内任意一点Ｐ，过点Ｐ分别 向ｘ轴、ｙ轴作垂线，垂足在ｘ轴、ｙ轴上对应的数ａ，ｂ分别 叫做点 Ｐ的横坐标、纵坐标，有序实数对（ ， ）叫做点Ｐ的坐标． （３）①若点Ｐ（ｘ，ｙ）在ｘ轴上，则ｙ＝０；②若点Ｐ（ｘ， ｙ）在ｙ轴上，则ｘ＝０；③若点Ｐ（ｘ，ｙ）在第一、三象限的 角平分线上，则ｘ＝ｙ；④若点Ｐ（ｘ，ｙ）在第二、四象限的 角平分线上，则ｘ＝－ｙ；⑤点Ｐ（ｘ，ｙ）关于ｘ轴的对称点 为 Ｐ′（ｘ，－ｙ）；⑥ 点 Ｐ（ｘ，ｙ）关于 ｙ轴的对称点为 Ｐ′（－ｘ，ｙ）；⑦ 点 Ｐ（ｘ，ｙ）关 于 原 点 的 对 称 点 为 Ｐ′（－ｘ，－ｙ）． ３．正比例函数 （１）若两个变量 ｘ，ｙ之间的关系可以表示成 ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０），则称ｙ是ｘ的 函数． （２）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象是经过点（０， ），（１， ）的一条直线． （３）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的性质：当ｋ＞０时， ｙ随ｘ的增大而 ，图象经过第 象限；当ｋ ＜０时，ｙ随ｘ的增大而 ，图象经过第 象限． ４．一次函数 （１）若两个变量ｘ，ｙ之间的关系可以表示成ｙ＝ｋｘ ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠ ０）的形式，则称 ｙ是 ｘ的 函数．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠ ０）的图象是经过点（０， ），（ ，０）的一 条直线． （２）一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的性质 ①当ｋ＞０，ｂ＞０时，ｙ随ｘ的增大而 ，图象 经过第 、二、三象限；②当ｋ＞０，ｂ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而 ，图象经过第 、三、四象限； ③当ｋ＜０，ｂ＞０时，ｙ随ｘ的增大而 ，图象经过 第 、二、四象限；④当ｋ＜０，ｂ＜０时，ｙ随ｘ的增 大而 ，图象经过第 、三、四象限． ５．一次函数与方程、不等式 （１）一次函数与一元一次方程的关系 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与ｘ轴交点的横坐标，就是 一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０（ｋ≠０）的解．求直线ｙ＝ｋｘ＋ ｂ与ｘ轴的交点时，可令ｙ＝０，得到方程ｋｘ＋ｂ＝０，解得 ｘ＝－ｂｋ，则直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ交ｘ轴于（－ ｂ ｋ，０）． （２）一次函数与一元一次不等式的关系 ①ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象在ｘ轴上方 ｙ＞０； ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象在ｘ轴下方 ． ②ｙ１ ＝ｋ１ｘ＋ｂ１的图象在ｙ２ ＝ｋ２ｘ＋ｂ２的图象上方 ｙ１ ＞ｙ２； ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ１的图象在ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ２的图象下方 ． （３）一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的表达式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）本身就是一个 二元一次方程，直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）上有无数个点，每 个点的横、纵坐标都满足二元一次方程 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠ ０），因此二元一次方程的解也就有无数个．因此确定两 条相应直线交点的坐标就是解方程组 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１， ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２ { ． ６．反比例函数 （１）一般地，形如ｙ＝ （ｋ是常数，ｋ≠０）的 函数叫做反比例函数，其中自变量的取值范围是 的一切实数． （２）反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ是常数，ｋ≠０）的图象和 性质 形状 ｋ的符号 图象 位置 性质 双 曲 线 ｋ＞０ 在 象限内 在每一象限 内，ｙ的 值 随ｘ值的增 大而 ． ｋ＜０ 在 象限内 在每一象限 内，ｙ的 值 随ｘ值的增 大而 ． （３）如右图，在反比例函数 的图象上任取一点 Ａ，过点 Ａ分 别作ｘ轴、ｙ轴的垂线，垂足分别 为点 Ｂ，Ｃ，则与坐标轴围成的矩 形ＡＢＯＣ的面积为｜ｋ｜． ! " # $ ! ! " ! " # $ % & " ! ! !" #$% ' & ( ) % ! ! *"(# + ) & , ! " 书 （上接第６版） 解：如图４，建立平面直角坐标系，表示中福海商店 的点的坐标是（－４，－３）．故填（－４，－３）． ●专项练习 １０．如图５，渔船Ａ与港口Ｂ相距１７海里，我们用有序 数对（南偏西３９°，１７海里）来描述渔船Ａ相对港口Ｂ的位 置，则港口Ｂ相对渔船Ａ的位置可描述为 ． １１．如图６是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍 楼的位置是（３，４），艺术楼的位置是（－３，１）． （１）根据上述坐标，建立适当的平面直角坐标系； （２）根据你建立的平面直角坐标系，分别写出教学 楼、体育馆的位置； （３）若学校行政楼的位置是（－１，－１），餐厅的位置 是（２，－４），请在你建立的平面直角坐标系中标出它们 的位置． 考点４：函数的图象 例 ６　 小方一家上午 ９：００开车前往某会展中心 参观，途中汽车发生故障， 原地修车花了一段时间．车 修好后，他们继续开车赶往 会展中心．如图７是他们家 出发后离家的距离ｓ与时刻的函数图象．分析图中信息， 下列说法正确的是 （　　） Ａ．途中修车花了３０ｍｉｎ Ｂ．修车之前的平均速度是５００ｍ／ｍｉｎ Ｃ．车修好后的平均速度是８００ｍ／ｍｉｎ Ｄ．车修好后的平均速度是修车之前平均速度的 １．５倍 解：由图象可知，途中修车时间是９：１０到９：３０，共花 了２０ｍｉｎ；修车之前的平均速度是：６０００÷１０＝ ６００（ｍ／ｍｉｎ）；车修好后的平均速度是：（１３２００－６０００） ÷８＝９００（ｍ／ｍｉｎ）；９００÷６００＝１．５，所以车修好后的平 均速度是修车之前平均速度的１．５倍．故选Ｄ． ●专项练习 １２．向高为１０的容器（形状如图８）中 注水，注满为止，则水深ｈ与注水量ｖ的函 数关系的大致图象是 （　　） 考点５：正比例函数的图象和性质 例７　已知正比例函数 ｙ＝ｍｘ｜ｍ＋１｜，则 ｍ的值是 ． 解：由题意，得｜ｍ＋１｜＝１，ｍ≠０．解得ｍ＝－２．故 填 －２． 例８　已知函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｋ为常数）的函数值 ｙ随ｘ值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点 是 （　　） Ａ．（０．５，１） Ｂ．（２，１） Ｃ．（－２，４） Ｄ．（－２，－２） 解：由题意，得ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｋ为常数）的图象经过 第二、四象限．所以这个函数图象可能经过的点是 （－２，４）．故选Ｃ． ●专项练习 １３．下列函数中，是正比例函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝－２ｘ＋１ Ｂ．ｙ＝－１２ｘ Ｃ．ｙ＝２ｘ２ Ｄ．ｙ＝ １ｘ １４．正比例函数ｙ＝ １３ｘ的图象大致是 （　　） １５．对于正比例函数ｙ＝３ｘ，当２≤ｘ≤４时，函数ｙ 的最大值是 ． 考点６：一次函数的图象和性质 例９　已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的 图象如图９所示，则ｋ，ｂ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ＞０，ｂ＞０ Ｂ．ｋ＞０，ｂ＜０ Ｃ．ｋ＜０，ｂ＞０ Ｄ．ｋ＜０，ｂ＜０ 解：由图可知该一次函数的图象经过第一、三、四象 限．所以ｋ＞０，ｂ＜０．故选Ｂ． ●专项练习 １６．关于一次函数ｙ＝－２ｘ＋４，下列说法不正确的 是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．图象不经过第三象限 Ｂ．ｙ随ｘ的增大而减小 Ｃ．图象与ｘ轴交于点（－２，０） Ｄ．图象与ｙ轴交于点（０，４） １７．已知一次函数ｙ＝６ｘ＋ｔ的图象经过点（－２，ａ）， （－４，ｂ），则ａ ｂ（填“＞”“＜”或“＝”）． １８．若一次函数ｙ＝２ｘ－１的图象向上平移２个单位 长度后经过（１，ｔ），则ｔ＝ ． 考点７：求一次函数的表达式 例１０　在平面直角坐标系中，有Ａ（０，３），Ｂ（１，０）两 点，将线段ＡＢ沿一定方向平移，设平移后点Ａ的对应点 为Ａ′（２，５），点Ｂ的对应点为Ｂ′，则直线Ｂ′Ｂ的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ－１ Ｂ．ｙ＝－３ｘ＋１１ Ｃ．ｙ＝ｘ＋３ Ｄ．ｙ＝－３ｘ＋３ 解：由题意，得点 Ｂ（１，０）平移后的对应点为 Ｂ′（３， ２）．设直线Ｂ′Ｂ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把Ｂ（１，０），Ｂ′（３， ２）代入，得 ｋ＋ｂ＝０， ３ｋ＋ｂ＝２{ ．解得 ｋ＝１， ｂ＝－１{ ．所以直线Ｂ′Ｂ的 表达式为ｙ＝ｘ－１．故选Ａ． ●专项练习 １９．若一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象与直线ｙ＝－ｘ＋１ 平行，且过点（８，２），则此一次函数的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝－ｘ－２ Ｂ．ｙ＝－ｘ－６ Ｃ．ｙ＝－ｘ－１ Ｄ．ｙ＝－ｘ＋１０ ２０．在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ中，当ｘ＝１时，ｙ＝－１； 当ｘ＝２时，ｙ＝３，则ｙ与ｘ的函数表达式是 ． 考点８：一次函数与方程（组）、不等式 例１１　在同一平面直角坐标系中，直线ｙ＝－ｘ＋３ 与 ｙ＝２ｘ＋ｍ相交于点Ｐ（４，ｎ），则关于ｘ，ｙ的二元一次 方程组 ｘ＋ｙ－３＝０， ２ｘ－ｙ＋ｍ＝{ ０的解是 （　　） Ａ． ｘ＝－１， ｙ＝{ ７ Ｂ． ｘ＝１， ｙ＝{ ４ Ｃ． ｘ＝４， ｙ＝－{ １ Ｄ． ｘ＝７， ｙ＝－{ １ 解：把Ｐ（４，ｎ）代入ｙ＝－ｘ＋３，得ｎ＝－１．所以点Ｐ 的坐标是（４，－１）．所以关于 ｘ，ｙ的二元一次方程组 ｘ＋ｙ－３＝０， ２ｘ－ｙ＋ｍ＝{ ０的解是 ｘ＝４， ｙ＝－１{ ．故选Ｃ． ●专项练习 ２１．已知直线ｙ＝－３ｘ与ｙ＝ｋｘ＋２相交于点Ｐ（ｍ， ３），则关于ｘ的方程ｋｘ＋２＝－３ｘ的解是 （　　） Ａ．ｘ＝－１ Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝３ ２２．如图１０，在平面直角坐标 系中，已知直线ｙ＝ａｘ＋ｂ和直线 ｙ＝ｋｘ交于点Ｐ（１，２）．若关于ｘ，ｙ 的二元一次方程组 ｙ＝ｋｘ，{ｙ＝ａｘ＋ｂ的 解 为 ｘ＝ｍ， ｙ＝ｎ{ ，则 ｍ ＋ ｎ ＝ ． ２３．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＜０）的图象过点（１，０）， 则不等式ｋ（ｘ－２）＋ｂ＞０的解集是 ． 考点９：一次函数的应用 例１２　“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务， 并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商 店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共３００套进行 销售，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 ／（元 ／套） ａ ５５ 羽毛球拍 ／（元 ／套） ｂ ５０ 已知购进 ２套乒乓球拍和 １套羽毛球拍需花费 １２０元，购进 ４套乒乓球拍和 ３套羽毛球拍需花费 ２７０元． （１）求ａ，ｂ的值； （２）该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进 乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的 １ ３，若这批体育用 品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润 是多少？ 解：（１）由题意，得 ２ａ＋ｂ＝１２０， ４ａ＋３ｂ＝２７０{ ．解得 ａ＝４５， ｂ＝３０{ ． （２）设购进乒乓球拍ｘ套，羽毛球拍（３００－ｘ）套，总 利润为ｙ元．根据题意，得ｘ≥ １３（３００－ｘ）．解得ｘ≥７５． 根据题意，得ｙ＝（５５－４５）ｘ＋（５０－３０）（３００－ｘ）＝ －１０ｘ＋６０００．因为 －１０＜０，所以ｙ随ｘ的增大而减小． 所以当ｘ＝７５时，ｙ最大，最大值为：－１０×７５＋６０００＝ ５２５０．此时３００－ｘ＝２２５． 答：购进乒乓球拍７５套，羽毛球拍２２５套，获利最大， 最大利润是５２５０元． ●专项练习 ２４．甲经营了某种品牌小电器生意，采购２台Ａ种品 牌小电器和３台Ｂ种品牌小电器，共需要９０元；采购３台 Ａ种品牌小电器和１台Ｂ种品牌小电器，共需要６５元．销 售一台Ａ种品牌小电器获利３元，销售一台Ｂ种品牌小电 器获利４元． （１）求Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价各多少元； （２）甲用不小于２７５０元，但不超过２８５０元的资金 一次性购进Ａ，Ｂ两种品牌小电器共１５０台，求购进 Ａ种 品牌小电器数量的取值范围； （３）在（２）的条件下，所购进的 Ａ，Ｂ两种品牌小电 器全部销售完获得的总利润不少于５６５元，请说明甲合 理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润 最大，最大利润是多少？ 考点１０：反比例函数 例１３　已知函数ｙ＝ｘｍ２－５是反比例函数，则ｍ的值 是 ． （下转第８版                                                                                                                                                                                         ） ! ! 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' 89: ;<: =>: ?@A 7 B ! % CDEFC &() ! $" *++ ' +++ #"++#"$+ #""+ #"", GH ! , ' % $+ ( ' % $+ ( ' % $+ ( ' % $+ ( - . / 0 # $ % $)*#+, ! # $ % * # $ $)-#+, $)*# . ! $+ # $ % # $ % # $ % # $ % - . / 0 $ $ $ $ $ $ $ $ 书 （上接第７版） 解：由题意，得ｍ２－５＝－１．解得ｍ＝±２．故填 ±２． ●专项练习 ２５．下列函数中，ｙ是ｘ的反比例函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝－ｘ Ｂ．ｙ＝－２ｘ Ｃ．ｙ＝１－１ｘ Ｄ．ｙ＝ｘ ２－２ｘ＋１ 例１４　关于反比例函数ｙ＝３ｘ，下列结论正确的是 （　　） Ａ．图象在第二、四象限 Ｂ．图象与坐标轴有公共点 Ｃ．在每一个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小 Ｄ．若经过点（ａ，ａ＋２），则ａ＝１ 解：反比例函数ｙ＝３ｘ的图象在第一、三象限；与坐 标轴没有交点；在每一个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小；当 经过点（ａ，ａ＋２）时，ａ（ａ＋２）＝３，解得 ａ＝１或 ａ＝ －３，故Ａ，Ｂ，Ｄ选项错误．故选Ｃ． ●专项练习 ２６．已知反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象在每个 象限内ｙ随ｘ的增大而增大，且当１≤ｘ≤３时，函数ｙ的 最大值和最小值之差为４，则ｋ的值是 ． 例１５　如图１１，正比例函数 ｙ１ ＝ １ ２ｘ和反比例函数 ｙ２ ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）的图象交于点 Ａ（ｍ， ２）． （１）求反比例函数的表达 式； （２）将直线ＯＡ向上平移３个单位后，与ｙ轴交于点 Ｂ，与ｙ２ ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）的图象交于点Ｃ，点Ｃ的横坐标是 ２，连结ＡＢ，ＡＣ，求△ＡＢＣ的面积． 解：（１）把Ａ（ｍ，２）代入ｙ１＝ １ ２ｘ，得 １ ２ｍ＝２．解得 ｍ＝４．所以Ａ（４，２）．把Ａ（４，２）代入ｙ２＝ ｋ ｘ，得 ｋ ４ ＝２． 解得ｋ＝８．所以反比例函数的表达式为ｙ２ ＝ ８ ｘ． （２）如图１１，过点Ｃ作ＣＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，交ＡＢ于点 Ｎ．将直线ＯＡ向上平移３个单位后，其函数表达式为ｙ＝ １ ２ｘ＋３．当ｘ＝０时，ｙ＝３，所以Ｂ（０，３）．设直线ＡＢ的函 数表达式为ｙ＝ｍｘ＋３．把Ａ（４，２）代入，得４ｍ＋３＝２． 解得ｍ＝－１４．所以直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝－ １ ４ｘ ＋３．对于ｙ＝８ｘ，当ｘ＝２时，ｙ＝４．所以ＣＭ＝４．对于 ｙ＝－１４ｘ＋３，当ｘ＝２时，ｙ＝ ５ ２．所以ＭＮ＝ ５ ２．所以 ＣＮ＝ＣＭ－ＭＮ＝３２．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＣＮ·（ｘＡ－ｘＢ）＝ ３． ●专项练习 ２７．如图１２，在平面直角坐标 系中，一次函数 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ（ｋ１，ｂ 为常数，且ｋ１≠０）与反比例函数 ｙ＝ ｋ２ ｘ（ｋ２为常数，且ｋ２≠０）的图 象交于点Ａ（ｍ，６），Ｂ（４，－３）． （１）求反比例函数和一次函数的表达式； （２）当 ｋ２ ｘ ＞ｋ１ｘ＋ｂ＞０时，直接写出自变量ｘ的取 值范围； （３）已知一次函数ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ的图象与ｘ轴交于点 Ｃ，点Ｐ在ｘ轴上，若△ＰＡＣ的面积为９，求点Ｐ的坐标． （专项练习答案参见第１５～１８版） 书 （上接第２９版） 考点５：综合分析数据解决问题 例５　某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中 各选出１０名学生参加环保知识竞赛（满分１００分），并对 成绩进行整理分析，得到如图２所示的折线统计图： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 ８５．５ ｍ ８７ 八年级参赛学生成绩 ８５．５ ８５ ｎ 根据以上信息，回答下列问题： （１）填空：ｍ＝ ，ｎ＝ ； （２）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为ｓ２１，ｓ ２ ２， 则ｓ２１ ｓ ２ ２（填“＞”“＜”或“＝”）； （３）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学 生的成绩较好． 解：（１）七年级参赛学生成绩中 ８０分的最多，有 ３个，所以众数ｍ＝８０；将八年级参赛学生成绩按从小到 大的顺序排列为：７６，７７，８５，８５，８５，８７，８７，８８，８８，９７，所 以中位数ｎ＝ １２（８５＋８７）＝８６． 故填８０，８６． （２）七年级参赛学生成绩的方差为：ｓ２１ ＝ １ １０［（７４－ ８５．５）２＋３×（８０－８５．５）２＋（８６－８５．５）２＋２×（８８－ ８５．５）２＋（８９－８５．５）２＋（９１－８５．５）２＋（９９－８５．５）２］ ＝４６．０５； 八年级参赛学生成绩的方差为：ｓ２２ ＝ １ １０［（７６－ ８５．５）２＋（７７－８５．５）２＋３×（８５－８５．５）２＋２×（８７－ ８５．５）２＋２×（８８－８５．５）２＋（９７－８５．５）２］＝３１．２５． 所以ｓ２１ ＞ｓ ２ ２． 故填 ＞． （３）因为平均数相同，七年级的中位数较大，所以七 年级的成绩较好． ●专项练习 １２．某校组织了“航天梦·中国梦”知识竞赛，每小 题１０分，满分１００分，现从七、八年级学生中各随机抽取 了５０人的成绩进行统计，绘制了如图３所示的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （１）将下表补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ８０．８ ７０ 八年级 ８０ １２０ （２）若成绩在９０分以上（含９０分）为优秀，七、八年 级共有１２００名学生，请估计七、八年级在本次知识竞赛 中成绩为优秀的学生人数； （３）你认为七、八年级哪个年级学生的知识竞赛成 绩更好，请说明理由． （全文完，专项练习答案参见第１５～１８版） 书 （上接第３版） 例７　关于ｘ的分式方程ｘ＋ｍｘ－２＋ １ ２－ｘ＝３有增根， 则ｍ＝ ． 解：方程两边都乘（ｘ－２），得ｘ＋ｍ－１＝３（ｘ－２）． 解得ｘ＝ｍ＋５２ ．因为分式方程有增根，所以ｘ－２＝０．解 得ｘ＝２．所以ｍ＋５２ ＝２．解得ｍ＝－１．故填 －１． ●专项练习 １４．若分式方程２＋１－ｋｘｘ－２＝ １ ２－ｘ无解，则ｋ的值是 （　　） Ａ．±１Ｂ．２ Ｃ．１或２Ｄ．－１或２ １５．已知关于ｘ的分式方程ｍ－３ｘ＋２＝１的解是负数， 则ｍ的取值范围是 ． 例８　随着中国网民规模突破１０亿，博物馆美育不 断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使 “伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划 制作３０００个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实 际平均每天完成的数量是原计划的１．５倍，结果提前５ 天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？ 解：设原计划平均每天制作ｘ个摆件． 根据题意，得 ３０００ ｘ － ３０００ １．５ｘ＝５． 解得ｘ＝２００． 经检验，ｘ＝２００是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每天制作２００个摆件． ●专项练习 １６．某旅行社５月１日租住某景区Ａ，Ｂ两种客房一 天，下面是有关信息：用６０００元租到Ａ客房的数量与用 ４４００元租到Ｂ客房的数量相等．已知Ａ客房的单价比Ｂ 客房的单价多８０元． （１）求Ａ，Ｂ两种客房的单价； （２）若租住Ａ，Ｂ两种客房共３０间，Ａ客房的数量不 低于Ｂ客房数量的 １２，且所花总费用不高于７６００元，则 有哪几种租住方案？ 考点６：零指数幂与负整数指数幂 例９　如果ａ＝－３－２，ｂ＝（－１３） －２，ｃ＝（－１２） ０， 则ａ，ｂ，ｃ三数的大小为 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．ａ＜ｃ＜ｂ Ｂ．ｃ＜ｂ＜ａ Ｃ．ｃ＜ａ＜ｂ Ｄ．ｂ＜ｃ＜ａ 解：ａ＝－３－２＝－１９，ｂ＝（－ １ ３） －２＝９，ｃ＝（－１２） ０ ＝１．因为 －１９ ＜１＜９，所以ａ＜ｃ＜ｂ．故选Ａ． ●专项练习 １７．宇宙线是来自宇宙空间的高能粒子，携带着宇 宙起源、天体演化等方面的重要科学信息．２０２４年，由中 国科学院高能物理研究所牵头的“拉索”国际合作组宣 布，首次找到能量高于１亿亿电子伏特的宇宙线的起源 天体．数据“１亿亿电子伏特”用科学记数法表示为 （　　） Ａ．１×１０８电子伏特 Ｂ．１×１０１６电子伏特 Ｃ．１×１０－８电子伏特 Ｄ．１×１０－１６电子伏特 １８．计算： （１）－２２＋（２０２５－π）０＋（１２） －１； （２）（２ｍ２ｎ－３）３（－ｍｎ－２）－２． （全文完，专项练习答案参见第１５～１８版） ! " # $ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ % & ' ! !" ! ( $ & ) # * ' ! !! !" #$% &$' ()*+,-./0123456 01+7 ## #$ $% %& ## $! #% #### #' $$ #' #% #( #( #( %% %) #) #' ! " * & ( ) % # $ ' !'' $( $' #( #' %( %' !' ! " 8$'(),-./01 9:456 ;$'(),-./<= >:456 #'7 &'+ $'7 "'+ %'7 "'+ )'7 !'+ !''7 !'+ ?@ <1+7 "( "' !( !' ( ' "" & ) & !& )' %' #' $' !'' ! * 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列函数中，是一次函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝－１２ｘ ２＋５ｘ Ｂ．ｙ＝－６ｘ Ｃ．ｙ＝３ｘ＋５ Ｄ．ｙ＝ ｘ＋槡 １ ２．已知一次函数ｙ＝ａｘ＋２的图象与ｘ轴的交点坐 标为（３，０），则一元一次方程ａｘ＋２＝０的解为 （　　） Ａ．ｘ＝ａ Ｂ．ｘ＝０ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝３ ３．已知点Ａ（ｍ－１，ｍ＋４）在ｙ轴上，则ｍ的值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．４ Ｄ．－４ ４．若把直线ｙ＝２ｘ＋３向上平移４个单位长度，得到 图象对应的函数表达式是 （　　） Ａ．ｙ＝２ｘ＋９ Ｂ．ｙ＝２ｘ＋７ Ｃ．ｙ＝２ｘ－３ Ｄ．ｙ＝２ｘ ５．已知点（－３，ｙ１），（１，ｙ２）都在直线ｙ＝ｋｘ（ｋ是常 数，且ｋ＜０）上，则ｙ１与ｙ２的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＝ｙ２ Ｃ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｄ．无法确定 ６．一块长为５ｍ，宽为２ｍ的长方形木板，现要在长 边上截去长为ｘｍ的一部分（如图１），则剩余木板的面 积ｙ（ｍ２）与ｘ（ｍ）（０≤ｘ＜５）的函数关系式为（　　） Ａ．ｙ＝２ｘ Ｂ．ｙ＝５ｘ Ｃ．ｙ＝１０－２ｘ Ｄ．ｙ＝１０－ｘ ７．已知一次函数ｙ＝ｍｘ－２，ｙ的值随ｘ值的增大而 减小，则点Ｐ（－ｍ＋１，ｍ）所在的象限为 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ８．如图２，在平面直角坐标系中，已知点 Ｂ（２，０），等 边△ＯＡＢ的顶点Ａ在反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象上，则ｋ 的值是 （　　） 槡 槡Ａ．－ ３ Ｂ．３ 槡 槡Ｃ．－２３ Ｄ．２３ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．夏天马上到了，进入５月份后，温度（Ｔ）随着日期 的变化而逐渐升高，在这个过程中，自变量是 ． １０．若函数ｙ＝ｘ＋ｍ２－４是关于ｘ的正比例函数，则 ｍ的值为 ． １１．已知直线ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１与直线ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２的交 点坐标为（２，４），则关于 ｘ，ｙ的二元一次方程组 ｋ１ｘ＋ｂ１－ｙ＝０， ｋ２ｘ＋ｂ２－ｙ＝ { ０的解是 ． １２．为了预防“流感”，某学 校对教室采用药熏消毒法进行 消毒，已知药物燃烧时，室内每 立方米空气中的含药量 ｙ（ｍｇ） 与时间ｘ（ｍｉｎ）成正比例，药物燃 烧完后，ｙ与ｘ成反比例（如图３）．现测得药物８ｍｉｎ燃 毕，此时室内空气中每立方米的含药量为６ｍｇ．研究表 明，当空气中每立方米的含药量不低于３ｍｇ才有效，那 么此次消毒的有效时间是 ｍｉｎ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）已知ｙ与ｘ成正比例，当ｘ＝－２时，ｙ＝４． （１）求ｙ与ｘ之间的函数表达式； （２）若点（ａ，－２）在这个函数的图象上，求ａ的值． １４．（１０分）如图４，过点（０，－２）的直线ｌ１：ｙ１ ＝ｋｘ ＋ｂ（ｋ≠０）与直线ｌ２：ｙ２ ＝ｘ＋１交于点Ｐ（２，ｍ）． （１）根据图象直接写出当ｙ１＜ｙ２时，ｘ的取值范围； （２）求点Ｐ的坐标和直线ｌ１的函数表达式． １５．（１０分）如图５，一次函数ｙ＝ｍｘ＋ｎ（ｍ≠０，ｍ， ｎ是常数）与反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）在第二象限的图 象交于Ａ（－１，ａ），Ｂ两点，与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ｃ，Ｄ， 且ＯＣ＝ＯＤ＝３． （１）求反比例函数的表达式； （２）连结ＯＡ，求△ＡＯＣ的面积． １６．（１２分）如图 ６，在平面直角坐标系中，已知 Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（ｂ，ａ），Ｄ（０，ａ），其中ａ，ｂ满足｜ａ－ ５ ２｜＋（ｂ－４） ２ ＝０，连结ＡＤ，ＢＣ，ＣＤ． （１）求点Ｃ，Ｄ的坐标； （２）连结ＡＣ，ＢＤ，两直线交于点Ｐ，求点Ｐ的坐标． １７．（１２分）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的 速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时 ３０ｍｉｎ，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与 慢车相遇，已知慢车的速度为７０ｋｍ／ｈ．两车之间的距离 ｙ（ｋｍ）与慢车行驶的时间ｘ（ｈ）的函数图象如图７所示． （１）请解释图中点Ａ的实际意义； （２）求出图中线段ＡＢ所表示的函数关系式； （３）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲 地行驶，求到达甲地还需多长时间                                                                                                                                                                     ． !" ! #$%"& '()*+, "#$"%-. # & ' & ! & ! " ! " # $ % ! ' % ( & %!&)" ! &*+" ! , ! - %!.& !!/ , 0 "'1 & ' " $ ! ( ! & % ( ) * + 2" , ! ' & 2' , ' , " - % ! 0 ! # ! & ( ) $ * % ! ! " # $ 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 　　　　　　 　　　　　 　　　　　１．下列四幅图中，不是函数图象的是 （　　） ２．在关系式ｙ＝－１３ｘ＋２中，当ｙ＝－２时，自变量 ｘ的值是 （　　） Ａ．８３ Ｂ．－４ Ｃ．－１２ Ｄ．１２ ３．已知反比例函数ｙ＝３－ｍｘ 的图象位于第一、三象 限，则ｍ的值可以是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ４．若一次函数ｙ＝ｋｘ＋３（ｋ为常数，且ｋ≠０）的图 象经过点（－２，０），则关于ｘ的方程ｋ（ｘ－５）＋３＝０的 解是 （　　） Ａ．ｘ＝－５ Ｂ．ｘ＝－３ Ｃ．ｘ＝３ Ｄ．ｘ＝５ ５．已知点Ａ（４，ａ－５）与点Ｂ（ｂ－１，－３）关于ｙ轴 对称，则ａｂ的值是 （　　） Ａ．－６ Ｂ．－８ Ｃ．１８ Ｄ．－ １ ８ ６．如图１，一次函数ｙ＝４３ｘ－４的图象与ｘ轴、ｙ轴 分别交于点Ａ，Ｂ，过点Ａ作直线ｌ将△ＡＢＯ分成周长相等 的两部分，则直线ｌ的函数表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝ １３ｘ－２ Ｂ．ｙ＝ ２ ３ｘ－２ Ｃ．ｙ＝ｘ－３ Ｄ．ｙ＝ｘ－２ ７．如图２，在四边形ＯＡＢＣ中，点Ａ在ｘ轴正半轴上， ∠Ｂ＝９０°，ＢＣ∥ ｘ轴，Ｄ为边 ＡＢ的中点，双曲线 ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）经过Ｃ，Ｄ两点．若△ＢＣＤ的面积是３，则ｋ的 值是 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１２ ８．甲、乙两车分别从 Ａ，Ｂ两 地沿同一路线同时出发，相向而 行，以各自速度匀速行驶，甲车行 驶到Ｂ地停止，乙车行驶到Ａ地停 止，甲车比乙车先到达目的地．设 甲、乙两车之间的距离为 ｙ（ｋｍ），乙车行驶的时间为 ｘ（ｈ），ｙ与ｘ之间的函数图象如图３所示，下列说法不正 确的是 （　　） Ａ．甲车行驶的速度是１００ｋｍ／ｈ Ｂ．乙车行驶的速度是６０ｋｍ／ｈ Ｃ．直线ＣＤ的函数表达式是ｙ＝６０ｘ Ｄ．ａ＝４．５ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．若方程ｘ－２＝０的解也是直线ｙ＝（２ｋ－１）ｘ＋ １０与ｘ轴的交点的横坐标，则ｋ的值为 ． １０．已知二元一次方程组 ｙ－２ｘ＋３＝０， ２ｙ＋３ｘ－６＝{ ０的解是 ｘ＝１２７， ｙ＝ ３７ { ，则直线ｙ＝２ｘ－３与ｙ＝－３２ｘ＋３的交点Ｐ的 坐标是 ． １１．已知一次函数ｙ＝２ｘ＋ｂ的图象经过第一、三、四 象限，则函数ｙ＝ｂｘ－ｂ的图象不经过第 象限． １２．某市为提倡节约用水， 自今年１月１日起调整居民用 水价格，图４中ｌ１，ｌ２分别表示 去年、今年水费 ｙ（元）与用水 量ｘ（ｍ３）之间的函数关系，小 雨家去年的用水量为１３０ｍ３．若今年的用水量与去年相 同，水费将比去年多 元． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）已知反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图象经过点 Ａ（２，３）． （１）求这个反比例函数的表达式； （２）请你判断Ｂ（－１，－６），Ｃ（－３，２）是否在这个反 比例函数的图象上，并说明理由． １４．（８分）在平面直角坐标系中，直线ｌ１与ｙ＝２ｘ－ ３平行，且经过点（０，５），将直线ｌ１向上平移３个单位，得 到直线ｌ２． （１）求这两条直线的函数表达式； （２）如果直线 ｌ２与 ｘ轴、ｙ轴分别交于点 Ａ，Ｂ，求 △ＡＯＢ的面积． １５．（１０分）如图５，一次函数ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ（ｋ１≠０）的 图象与反比例函数ｙ２ ＝ ｋ２ ｘ的图象交于点Ａ（－４，－２）， Ｂ（２，ｍ）． （１）求一次函数和反比例函数的表达式； （２）当ｘ为何值时，ｙ１ ＜ｙ２，请直接写出ｘ的取值范 围． １６．（１２分）某校后勤处每周周日均会对学校教室进 行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化的图 象如图６所示，消毒效果ｙ（效力）与时间 ｘ（分钟）呈现 三段函数图象，其中ＯＢ段为渐消毒阶段，ＢＣ段为深消毒 阶段，ＣＤ段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段． 请根据图中信息，解答下列问题： （１）第３分钟时消毒效果为 效力； （２）求深消毒阶段和降消毒阶段中ｙ与ｘ之间的函 数表达式； （３）若消毒效果持续２８分钟达到４效力及以上，即 可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ １７．（１４分）如图７，已知直线ｌ１：ｙ＝２ｘ与直线ｌ２：ｙ ＝－ｘ＋ｂ交于点Ａ（ｍ，ｎ），点Ａ到ｘ轴的距离为２，且在第 一象限，直线ｌ２与ｘ轴交于点Ｂ，与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求直线ｌ２的函数表达式； （２）过ｘ轴上点（２，０）作平行于ｙ轴的直线，分别与 直线ｌ１，ｌ２交于点Ｍ，Ｎ． ①求线段ＭＮ的长度； ②将△ＡＯＢ沿着直线ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）折叠，当点Ａ落 在直线ＭＮ上时，求ｋ的值                                                                                                                                                                     ． ! 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"# "0/ "2/ 30/ 1%/ + " + 0 * $ % * & ! ! # $!$%# "/ ./ * ) ( & 2 . !&'(# ! 2 ! 3 * + " + 0 % & ( $ ! 书 ４４期２版 ２０．３数据的离散程度 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．２；　４．（１）４，（２）＞． ５．教练应该选择甲选手参加射击比赛．理由如下： 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ甲 ＝ ８＋８＋７＋８＋９ ５ ＝８（环）， 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２甲 ＝ （８－８）２×３＋（７－８）２＋（９－８）２ ５ ＝０．４； 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ乙 ＝ ５＋９＋７＋１０＋９ ５ ＝８（环）， 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２乙 ＝ （５－８）２＋（７－８）２＋（９－８）２×２＋（１０－８）２ ５ ＝３．２． 因为甲、乙的平均成绩相同，但甲成绩的方差小于乙成绩的 方差，所以教练应该选择甲选手参加射击比赛． 专题　数据的分析 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．８７． ４．（１）表格第一行填入７，８；第二行从左到右依次填入８，８． （２）李雷射击成绩的方差为：１１０×［２×（５－７） ２＋（６－７）２＋ ３×（７－７）２＋３×（８－７）２＋（９－７）２］＝１．６； 林涛射击成绩的方差为： １ １０×［（３－７） ２＋（４－７）２＋（５－ ７）２＋（６－７）２＋３×（８－７）２＋２×（９－７）２＋（１０－７）２］＝ ５． （３）李雷的射击成绩更好．理由如下： 李雷和林涛的射击成绩的平均数一样，但是李雷的方差更 小，波动更小，成绩更稳定（答案不惟一，合理即可）． ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ 二、１３．甲；　１４．９．５分；　１５．平均数；　１６．－３或７或１３４． 三、１７．李大爷这３天的平均步数是：１３ ×（６２００＋５５００＋ ７２００）＝６３００（步）． １８．本学期王刚的数学总成绩为：８５×１＋９０×２＋９５×２１＋２＋２ ＝９１（分）． 因为９１＞９０，总成绩大于９０分为优秀，所以本学期王刚的 数学成绩是优秀． １９．（１）８次，８．５次． （２）乙成绩的平均数为：５＋６＋８＋９＋１０＋１０６ ＝８（次）， 方差为： １ ６ ×［（５－８） ２＋（６－８）２＋（８－８）２＋（９－８）２ ＋２×（１０－８）２］＝１１３． 因为１＜１１３，所以甲引体向上的成绩更稳定． ２０．（１）根据题意，得 １１５×（５×３＋２×８＋１×７＋４×４＋ ３×９）＝５．４（万元）． 答：这个公司平均每人所创年利润是５．４万元． （２）Ｄ部门的员工不能获奖．理由如下： 获奖人数为：１５×４０％ ＝６（名）． 个人所创年利润由高到低分别为：Ｅ部门３名，Ｂ部门２名，Ｃ 部门１名，共６名．所以Ｄ部门的员工不能获奖． ２１．（１）ａ＝ １５ ×（７＋１０＋１０＋７．５＋８）＝８．５． 把甲班成绩按从小到大的顺序排列，最中间的数是８．５，则ｂ ＝８．５． 乙班成绩中１０分出现的次数最多，则ｃ＝１０． ｄ＝ １５ ×［（８．５－８．５） ２×２＋（７．５－８．５）２＋（８－８．５）２ ＋（１０－８．５）２］＝０．７． （２）从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定（答 案不惟一，合理即可）． （３）因为乙班成绩的中位数是 ８分，所以小明的成绩是 ８分．所以小明是５号选手． ２２．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５－２－１ ＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、５千元、 ６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２＋６×４ ＋７×２＋８×１）＝６（千元），方差为：１１０×［（４－６） ２＋２×（５ －６）２＋４×（６－６）２＋２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６，所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于６千元的 有７名，所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 以ｎ的最小值为：７－３＝４． 所以当这４名员工工资低于６千元，且是较高工资时，这 ４名员工的工资和取得最大值． 所以这４名员工的工资分别为４千元、４千元、５千元、５千元． 所以这４名员工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５＝１８（千 元）． 复习专号参考答案 《分式》专项练习 １．Ｂ；　２．ｘ≥－２且ｘ≠０；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．Ｂ；　６．Ｂ； ７．Ａ；　８．３ｙ ２ １２ｘ２ｙ ， １０ｘ １２ｘ２ｙ ． ９．（１）ａ２ｂｃ；　（２）－２（ｘ－ｙ） ２． １０．（１） ３ｘ－ｙ；　（２） ａ２ｂ２ ａ２－ｂ２ ． １１．（１）原式 ＝ａ－ｂ．因为ａ－ｂ＝２，所以原式 ＝２． （２）原式 ＝ ２ｘ＋２．因为ｘ＝２或 －２时，原分式无意义，所以 ｘ＝４．当ｘ＝４时，原式 ＝ １３． １２．－１． １３．（１）ｘ＝－１３；　（２）无解． １４．Ｃ；　１５．ｍ＜５且ｍ≠３． １６．（１）设Ａ客房的单价是ｘ元，则Ｂ客房的单价是（ｘ－８０） 元． 根据题意，得 ６０００ ｘ ＝ ４４００ ｘ－８０．解得ｘ＝３００． 经检验，ｘ＝３００是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ－８０＝２２０． 答：Ａ客房的单价是３００元，Ｂ客房的单价是２２０元． （２）设租住Ａ客房ｍ间，则租住Ｂ客房（３０－ｍ）间． 根据题意，得 ｍ≥ １２（３０－ｍ）， ３００ｍ＋２２０（３０－ｍ）≤７６００ { ． 解得１０≤ｍ≤１２．５． 因为ｍ是整数，所以ｍ＝１０，１１，１２．所以有３种租住方案： ①租住Ａ客房１０间，租住Ｂ客房２０间； ②租住Ａ客房１１间，租住Ｂ客房１９间； ③租住Ａ客房１２间，租住Ｂ客房１８间． １７．Ｂ． １８．（１）－１；　（２）８ｍ ４ ｎ５ ． 《分式》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ａ 二、９．１２ｘ２ｙ２；　１０．５．２×１０－５；　１１．１２；　１２．１２．５． 三、１３．（１）１；　（２） ２－ｍ ２ ｍ３＋２ｍ２＋ｍ ；　（３）ａ＋１ａ－１． １４．（１）ｘ＝６；　（２）ｘ＝ ３２；　（３）ｘ＝－４． １５．（１）②，分式的基本性质． （２）不正确，第③步出现错误．正确的解题过程如下： 原式 ＝ １６ （ｍ－４）（ｍ＋４）－ ２ ｍ－４＝ １６ （ｍ－４）（ｍ＋４）－ ２（ｍ＋４） （ｍ－４）（ｍ＋４） ＝ １６－２ｍ－８ （ｍ－４）（ｍ＋４） ＝ －２（ｍ－４） （ｍ＋４）（ｍ－４） ＝ － ２ｍ＋４． １６．（１）被字母 Ａ代替的代数式为：ｘ＋１ｘ－１· ｘ ｘ＋１÷ （－ ｘ ２－１ ｘ２－２ｘ＋１ ）＝ ｘｘ－１·［－ （ｘ－１）２ （ｘ＋１）（ｘ－１）］＝－ ｘ ｘ＋１． （２）原代数式的值不能等于 －１．理由如下： 当原代数式的值等于 －１时，ｘ＋１ｘ－１＝－１．解得ｘ＝０．经检验，ｘ ＝０是该分式方程的根．要使代数式 － ｘｘ＋１·（－ ｘ２－１ ｘ２－２ｘ＋１ ）÷ ｘ ｘ＋１有意义，则ｘ－１≠０，ｘ≠０且ｘ＋１≠０．解得ｘ≠１，０，－１．所 以原代数式的值不能等于 －１． １７．（１）设Ａ奖品的单价是ｘ元，Ｂ奖品的单价是ｙ元． 根据题意，得 ｘ＋ｙ＝３５， １０ｘ＋２０ｙ＝４５０{ ．解得 ｘ＝２５， ｙ＝１０{ ． 答：Ａ奖品的单价是２５元，Ｂ奖品的单价是１０元． （２）①设甲商场的商品打ａ折． 根据题意，得 ２００ １０×ａ１０ －２× ２００ ２５× ａ１０ ＝５．解得ａ＝８． 经检验，ａ＝８是原分式方程的解，且符合题意． 答：甲商场的商品打８折． ②根据题意，得２５×０．８ｍ＋１０×０．８ｎ＝２５ｍ＋１０（ｎ－ｍ）． 解得５ｍ＝２ｎ．所以当５ｍ＝２ｎ时，在甲、乙两个商场所花费用一 样． 《分式》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．５；　１０．３；　１１．１０ｍｍ－３；　１２．－３或 － １６ ３或 － ２ ３． 三、１３．（１）ｘ＝－５３；　（２）ｘ＝ １ ３；　（３）无解． １４．（１）原式 ＝－２ａ－６．因为２－ａ≠０，且３－ａ≠０，所以 ａ≠２且ａ≠３．所以ａ＝０或１．当ａ＝０时，原式 ＝－６；当ａ＝ １时，原式 ＝－８． （２）原式 ＝－ １２＋ａ．当 ａ＝（槡７－２） ０ ＝１时，原式 ＝ － １２＋１＝－ １ ３． １５．设这款电动汽车平均每公里的充电费为 ｘ元，则燃油车 平均每公里的加油费为（ｘ＋０．８）元． 根据题意，得 ３００ ｘ ＝５× ３００ ｘ＋０．８．解得ｘ＝０．２． 经检验，ｘ＝０．２是原分式方程的解，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为０．２元． １６．（１）Ａ与Ｂ互为“和整分式”． 因为Ａ＋Ｂ＝ｘ－７ｘ－２＋ ２ｘ＋１ ｘ－２＝ ｘ－７＋２ｘ＋１ ｘ－２ ＝ ３ｘ－６ ｘ－２＝３， 所以Ａ与Ｂ互为“和整分式”，“和整值”ｋ＝３． （２）Ｃ＋Ｄ ＝ ３ｘ－４ｘ－２ ＋ Ｇ ｘ２－４ ＝ （３ｘ－４）（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ－２） ＋ Ｇ （ｘ＋２）（ｘ－２）＝ ３ｘ２＋２ｘ－８＋Ｇ （ｘ＋２）（ｘ－２）．因为 Ｃ与 Ｄ互为“和整分 式”，且“和整值”ｋ＝３，所以３ｘ２＋２ｘ－８＋Ｇ＝３（ｘ＋２）（ｘ－２） ＝３ｘ２－１２．所以Ｇ＝３ｘ２－１２－３ｘ２－２ｘ＋８＝－２ｘ－４．所以Ｄ ＝ －２ｘ－４ （ｘ＋２）（ｘ－２）＝ ２ ２－ｘ．因为分式Ｄ的值为正整数ｔ，所以２－ ｘ＝１或２－ｘ＝２．解得ｘ＝１或０．又因为ｘ为正整数，所以ｘ＝ １．所以ｔ的值是２． １７．（１）设原计划每天生产 ｘ辆，则第一天后每天生产 １．５ｘ辆． 根据题意，得 ３６０ ｘ ＝１＋ ３６０－ｘ １．５ｘ ＋３．解得ｘ＝３６． 经检验，ｘ＝３６是原分式方程的解，且符合题意． 所以 ３６０ ｘ －３＝７． 答：完成第一项任务实际需要７天． （２）ｔ１ ＞ｔ２．理由如下： 甲方案：ｔ１＝ １８０ ａ ＋ １８０ ｂ ＝ １８０（ａ＋ｂ） ａｂ （天）；乙方案：根据题 意，得ａ· ｔ２ ２ ＋ｂ· ｔ２ ２ ＝３６０．解得 ｔ２ ＝ ７２０ ａ＋ｂ．所以 ｔ１－ｔ２ ＝ １８０（ａ＋ｂ） ａｂ － ７２０ ａ＋ｂ＝ １８０（ａ－ｂ）２ ａｂ（ａ＋ｂ）．因为ａ≠ｂ，ａ，ｂ均为正整数， 所以（ａ－ｂ）２＞０，ａｂ（ａ＋ｂ）＞０．所以ｔ１－ｔ２＞０，即ｔ１＞ｔ２． 《函数及其图象》专项练习 １．Ｖ，Ｒ；４３，π；　２．ｘ＞１；　３．－３；　４．Ｂ；　５．８４０； ６．Ｄ；　７．Ｄ；　８．３＜ｍ＜５；　９．１； １０．（北偏东３９°，１７海里）． １１．（１）图略． （２）教学楼（１，０），体育馆（－４，３）． （３）图略． １２．Ｄ；　１３．Ｂ；　１４．Ａ；　１５．１２；　１６．Ｃ；　１７．＞； １８．３；　１９．Ｄ；　２０．ｙ＝４ｘ－５；　２１．Ａ； ２２．３；　２３．ｘ＜３． ２４．（１）设Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价分别为ｘ元、ｙ元                                                                                                                                                                                         ． !" ! " # $ ! " # $ !" 书 根据题意，得 ２ｘ＋３ｙ＝９０， ３ｘ＋ｙ＝６５{ ．解得 ｘ＝１５， ｙ＝２０{ ． 答：Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价分别为１５元、２０元． （２）设购进Ａ种品牌小电器 ａ台，则购进 Ｂ种品牌小电器 （１５０－ａ）台． 根据题意，得２７５０≤１５ａ＋２０（１５０－ａ）≤２８５０． 解得３０≤ａ≤５０． 答：购进Ａ种品牌小电器数量的取值范围为３０≤ａ≤５０． （３）设获利ｗ元．根据题意，得ｗ＝３ａ＋４（１５０－ａ）＝－ａ ＋６００．根据题意，得 －ａ＋６００≥５６５．解得ａ≤３５．所以３０≤ａ ≤３５．所以甲合理的采购方案有６种，方案一：购进Ａ种品牌小电 器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台；方案二：购进Ａ种品牌小电器３１ 台，Ｂ种品牌小电器１１９台；方案三：购进Ａ种品牌小电器３２台， Ｂ种品牌小电器１１８台；方案四：购进Ａ种品牌小电器３３台，Ｂ种 品牌小电器１１７台；方案五：购进Ａ种品牌小电器３４台，Ｂ种品牌小 电器１１６台；方案六：购进Ａ种品牌小电器３５台，Ｂ种品牌小电器１１５ 台．因为 －１＜０，所以ｗ随ａ的增大而减小．所以当ａ＝３０时，获利 最大，最大利润是：－３０＋６００＝５７０元． 答：购进Ａ种品牌小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台获得 的利润最大，最大利润是５７０元． ２５．Ｂ；　２６．－６． ２７．（１）把Ｂ（４，－３）代入ｙ＝ ｋ２ ｘ，得ｋ２ ＝－１２．所以反比 例函数的表达式为ｙ＝－１２ｘ．把Ａ（ｍ，６）代入ｙ＝－ １２ ｘ，得ｍ＝ －２．所以Ａ（－２，６）．把Ａ（－２，６），Ｂ（４，－３）代入ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ， 得 －２ｋ１＋ｂ＝６， ４ｋ１＋ｂ＝－３ { ．解得 ｋ１ ＝－ ３ ２， ｂ＝３ { ． 所以一次函数的表达式为 ｙ＝－３２ｘ＋３． （２）由函数图象，得当 ｋ２ ｘ ＞ｋ１ｘ＋ｂ＞０时，自变量ｘ的取值 范围是 －２＜ｘ＜０． （３）对于ｙ＝－３２ｘ＋３，当ｙ＝０时，ｘ＝２．所以Ｃ（２，０）．设 Ｐ（ｐ，０），则ＰＣ＝｜ｐ－２｜．因为△ＰＡＣ的面积为９，所以 １２ ×｜ｐ －２｜×６＝９．解得ｐ＝５或 －１．所以Ｐ（５，０）或Ｐ（－１，０）． 《函数及其图象》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ 二、９．日期；　１０．±２；　１１． ｘ＝２， ｙ＝４{ ；　１２．１２． 三、１３．（１）设ｙ＝ｋｘ．把ｘ＝－２，ｙ＝４代入，得 －２ｋ＝４．解 得ｋ＝－２．所以ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝－２ｘ． （２）根据题意，得 －２ａ＝－２．解得ａ＝１． １４．（１）由函数图象，得当ｙ１＜ｙ２时，ｘ的取值范围是ｘ＜２． （２）把Ｐ（２，ｍ）代入ｙ＝ｘ＋１，得ｍ＝３．所以Ｐ（２，３）．把 （０，－２），Ｐ（２，３）代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ｂ＝－２， ２ｋ＋ｂ＝３{ ．解得 ｋ＝ ５２， ｂ＝－２ { ． 所以直线ｌ１的函数表达式为ｙ＝ ５ ２ｘ－２． １５．（１）由题意，得Ｃ（－３，０），Ｄ（０，３）．将其代入 ｙ＝ｍｘ＋ ｎ，得 －３ｍ＋ｎ＝０， ｎ＝３{ ． 解得 ｍ＝１， ｎ＝３{ ．所以一次函数的表达式是 ｙ ＝ｘ＋３．当ｘ＝－１时，ｙ＝２．所以Ａ（－１，２）．把Ａ（－１，２）代入 ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝－２．所以反比例函数的表达式是ｙ＝－ ２ ｘ． （２）Ｓ△ＡＯＣ ＝ １ ２ＯＣ·ｙＡ ＝３． １６．（１）因为｜ａ－５２｜＋（ｂ－４） ２＝０，所以ａ＝５２，ｂ＝４． 所以点Ｃ的坐标是（４，５２），点Ｄ的坐标是（０， ５ ２）． （２）设直线ＡＣ的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把 Ａ（－１，０）， Ｃ（４，５２）代入，得 －ｋ＋ｂ＝０， ４ｋ＋ｂ＝ ５２ { ．解得 ｘ＝ １ ２， ｙ＝ １２ { ．所以直线 ＡＣ 的函数表达式为ｙ＝ １２ｘ＋ １ ２．设直线ＢＤ的函数表达式为ｙ＝ ｍｘ＋ｎ．把 Ｂ（３，０），Ｄ（０， ５２）代入，得 ３ｍ＋ｎ＝０， ｎ＝ ５２ { ． 解得 ｍ＝－５６， ｎ＝ ５２ { ． 所以直线ＢＤ的函数表达式为ｙ＝－５６ｘ＋５２．解 ｙ＝ １２ｘ＋ １ ２， ｙ＝－５６ｘ＋ ５ ２ { ，得 ｘ＝ ３ ２， ｙ＝ ５４ { ．所以点Ｐ的坐标为（３２，５４）． １７．（１）点Ａ的实际意义是：出发３小时，快车到达乙地，此 时快车与慢车相距１２０ｋｍ． （２）因为点Ｂ的横坐标为：３＋３０６０＝３．５，点Ｂ的纵坐标为： １２０－３０６０×７０＝８５，所以点Ｂ的坐标为（３．５，８５）．设线段ＡＢ所 表示的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将Ａ（３，１２０），Ｂ（３．５，８５）代入， 得 ３ｋ＋ｂ＝１２０， ３．５ｋ＋ｂ＝８５{ ．解得 ｋ＝－７０， ｂ＝３３０{ ．所以线段 ＡＢ所表示的函数 关系式为ｙ＝－７０ｘ＋３３０（３≤ｘ≤３．５）． （３）快车从返回到遇见慢车所用的时间为：４－３．５＝ ０．５（ｈ）．所以快车从乙地返回甲地时的速度为：８５÷０．５－７０＝ １００（ｋｍ／ｈ）．所以４×７０÷１００＝２．８（ｈ）． 答：到达甲地还需２．８ｈ． 《函数及其图象》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ 二、９．－２；　１０．（１２７， ３ ７）；　１１．三；　１２．１５０． 三、１３．（１）将Ａ（２，３）代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝６．所以这个反比 例函数的表达式为ｙ＝ ６ｘ． （２）Ｂ（－１，－６）在这个反比例函数的图象上，Ｃ（－３，２）不 在这个反比例函数的图象上．理由如下： 当ｘ＝－１时，ｙ＝－６，所以Ｂ（－１，－６）在这个反比例函数 的图象上；当ｘ＝－３时，ｙ＝－２≠２，所以Ｃ（－３，２）不在这个反 比例函数的图象上． １４．（１）设直线ｌ１的函数表达式是 ｙ＝２ｘ＋ｂ．把（０，５）代 入，得ｂ＝５．所以直线ｌ１的函数表达式是ｙ＝２ｘ＋５．因为直线 ｌ１向上平移３个单位得到直线ｌ２，所以直线ｌ２的函数表达式是ｙ ＝２ｘ＋８． （２）对于ｙ＝２ｘ＋８，令ｙ＝０，则２ｘ＋８＝０．解得ｘ＝－４． 所以Ａ（－４，０）．所以ＯＡ＝４．令ｘ＝０，则ｙ＝８．所以Ｂ（０，８）． 所以ＯＢ＝８．所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＯＡ·ＯＢ＝１６． １５．（１）把Ａ（－４，－２）代入ｙ２＝ ｋ２ ｘ，得ｋ２＝８．所以反比 例函数的表达式为ｙ２＝ ８ ｘ．把Ｂ（２，ｍ）代入ｙ２＝ ８ ｘ，得ｍ＝４． 所以Ｂ（２，４）．把 Ａ（－４，－２），Ｂ（２，４）代入 ｙ１ ＝ｋ１ｘ＋ｂ，得 －４ｋ１＋ｂ＝－２， ２ｋ１＋ｂ＝４ { ． 解得 ｋ１ ＝１， ｂ＝２{ ．所以一次函数的表达式为 ｙ１ ＝ｘ＋２． （２）由题意，得当ｙ１＜ｙ２时，ｘ的取值范围是ｘ＜－４或０＜ ｘ＜２． １６．（１）０．９． （２）设ＢＣ段的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把（１０，３）和（３０， ６）代入，得 １０ｋ＋ｂ＝３， ３０ｋ＋ｂ＝６{ ．解得 ｋ＝ ３２０， ｂ＝ ３２ { ．所以ＢＣ段的函数表达 式为ｙ＝３２０ｘ＋ ３ ２（１０≤ｘ≤３０）．设ＣＤ段的函数表达式为ｙ＝ ｍ ｘ．把（３０，６）代入，得ｍ＝１８０．所以ＣＤ段的函数表达式为ｙ＝ １８０ ｘ（ｘ≥３０）． （３）把ｙ＝４代入ｙ＝ ３２０ｘ＋ ３ ２，得ｘ＝ ５０ ３；把ｙ＝４代入 ｙ＝１８０ｘ，得ｘ＝４５．因为４５－ ５０ ３ ＝ ８５ ３ ＞２８，所以本次消毒有效． １７．（１）根据题意，得Ａ（ｍ，２）．将Ａ（ｍ，２）代入ｙ＝２ｘ，得２ｍ ＝２．解得ｍ＝１．所以Ａ（１，２）．将Ａ（１，２）代入 ｙ＝－ｘ＋ｂ，得 －１＋ｂ＝２．解得ｂ＝３．所以ｌ２的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋３． （２）①将ｘ＝２代入ｙ＝２ｘ，得ｙ＝４．所以Ｍ（２，４）．将ｘ＝ ２代入ｙ＝－ｘ＋３，得ｙ＝１．所以Ｎ（２，１）．所以ＭＮ＝４－１＝３． ②设翻折后点Ａ落在点Ｆ处，连结ＡＦ，交ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）于 点Ｐ，连结ＯＦ，图略．由折叠的性质，得ＯＡ＝ＯＦ，点Ｐ为ＡＦ的中 点．设点Ｆ的坐标为（２，ｔ）．因为Ａ（１，２），ＯＡ２ ＝ＯＦ２，所以１２＋ ２２ ＝２２＋ｔ２．解得ｔ＝±１． 当ｔ＝１时，点Ｆ的坐标为（２，１），点Ｐ的坐标为（３２， ３ ２）． 因为点Ｐ（３２， ３ ２）在直线ｙ＝ｋｘ上，所以 ３ ２ｋ＝ ３ ２．解得ｋ＝１． 当ｔ＝－１时，点Ｆ的坐标为（２，－１），点Ｐ的坐标为（３２， １ ２）．因为点Ｐ（ ３ ２， １ ２）在直线ｙ＝ｋｘ上，所以 ３ ２ｋ＝ １ ２．解得 ｋ＝ １３． 综上所述，ｋ的值是１或 １３． 《平行四边形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．５０；　５．３； ６．４８；　７．Ｂ；　８．Ｃ． ９．连结ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ＝ＣＤ．因 为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形．所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ．所以四边形ＡＣＦＥ是平行 四边形． 《平行四边形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ａ 二、９．４０°；　１０．①②；　１１．４； １２．（０，－６）或（０，－２）或（０，６）． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所 以∠ＡＥＢ＝∠ＥＢＣ．因为Ｅ为ＡＤ的中点，所以ＡＤ＝２ＡＥ．因为 ＡＤ＝２ＡＢ，所以ＡＥ＝ＡＢ．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ．所以∠ＡＢＥ＝ ∠ＥＢＣ，即ＢＥ平分∠ＡＢＣ． １４．因为ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边 形．所以ＡＤ∥ＢＣ．因为ＤＥ＝ＢＦ．所以四边形ＤＥＢＦ是平行四边 形．所以ＢＥ＝ＤＦ． １５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＯＡ＝ ＯＣ，ＢＣ＝ＡＤ＝３．所以 ∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＡＥ＝ ＣＦ，ＯＥ＝ＯＦ．所以ＥＦ＝２ＯＦ＝２．６．所以四边形ＢＣＦＥ的周长 为：ＥＦ＋ＣＦ＋ＢＣ＋ＢＥ＝ＥＦ＋ＡＥ＋ＢＣ＋ＢＥ＝ＥＦ＋ＢＣ＋ＡＢ ＝９．６． １６．（１）因为ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＤ＝７０°，所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ ＝ １２（１８０°－∠ＣＡＤ）＝５５°．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝５５°． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ，ＯＢ－ＢＧ ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ．所以四边形ＥＧＦＨ是平行四 边形． １７．（１）因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＥＤＣ＝∠ＥＦＡ，∠ＥＣＤ＝ ∠ＥＡＦ．在△ＥＣＤ和△ＥＡＦ中，因为∠ＥＣＤ＝∠ＥＡＦ，∠ＥＤＣ＝ ∠ＥＦＡ，ＤＥ＝ＦＥ，所以△ＥＣＤ≌△ＥＡＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＣＤ＝ ＡＦ．又因为ＣＤ∥ＡＦ，所以四边形ＡＦＣＤ是平行四边形． （２）因为ＢＣ＝２４５ＣＥ＝２４，所以ＣＥ＝５．因为四边形ＡＦＣＤ 是平行四边形，所以ＡＦ＝ＣＤ＝１４，ＡＣ＝２ＣＥ＝１０．因为ＢＣ⊥ ＡＣ，所以∠ＡＣＢ＝９０°．由勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ ２６．所以ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ＝１２． 《平行四边形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １０．１ｃｍ或５ｃｍ；　１１．槡３；　１２．１或３或１３． 三、１３．因为四边形ＡＣＦＤ是平行四边形，所以ＡＣ∥ＤＦ，ＡＣ ＝ＤＦ．因为ＡＢ＝ＦＥ，所以ＡＣ－ＡＢ＝ＤＦ－ＦＥ，即ＢＣ＝ＤＥ．所 以四边形ＢＣＥＤ是平行四边形． １４．由题意，得∠ＣＤＥ＝∠Ｆ＝１１０°，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＤＥ．所 以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝１２０°，∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ．所以∠ＡＤＥ ＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＤＥ＝１３０°．所以 ∠ＤＡＥ＝ １２（１８０°－ ∠ＡＤＥ）＝２５°． １５．因为 ＯＥ＝ＯＢ，所以 ∠ＯＢＥ＝∠ＯＥＢ．因为 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＯＥＢ，所以∠ＯＢＥ＝∠ＡＤＢ．所以ＡＤ∥ＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＣ，所 以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．所以ＯＢ＝ＯＤ．因为ＯＥ＝ＯＢ，所 以ＯＥ＝ＯＤ．所以 ∠ＯＥＤ＝∠ＯＤＥ．因为 ∠ＯＢＣ＋∠ＯＥＢ＋ ∠ＯＥＤ＋∠ＯＤＥ＝１８０°，即２（∠ＯＥＢ＋∠ＯＥＤ）＝１８０°，所以 ∠ＤＥＢ＝９０°．所以ＤＥ⊥ＢＥ． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ ＝ＡＤ＝１２．所以 ∠ＤＡＦ＝∠ＡＦＢ．因为 ＡＦ平分 ∠ＢＡＤ，所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ．所以∠ＡＦＢ＝∠ＢＡＦ．所以ＢＦ＝ＡＢ＝８．所以 ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝４                                                                                                                                                                                         ．