第16章 分式&复习自测题&复习检测题-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（华东师大版）

书 考 点 解 密 考点１：分式的概念 例１　若分式 １ｘ＋１有意义，则ｘ的取值范围是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．ｘ≠－１ Ｂ．ｘ≠０ Ｃ．ｘ≠１ Ｄ．ｘ≠２ 解：由题意，得ｘ＋１≠０．解得ｘ≠－１．故选Ａ． ●专项练习 １．下列式子：－５ｘ， １ａ＋ｂ， １ ２ａ ２－１２ｂ ２， ３ １０ｍ， ２ π 中， 分式有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ２．要使分式 ｘ＋槡 ２ｘ 有意义，则 ｘ的取值范围是 ． 例２　若分式ｘ－１３ｘ＋１的值为０，则ｘ的值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．－１ Ｄ．－３ 解：由题意，得ｘ－１＝０，且３ｘ＋１≠０．解得ｘ＝１． 故选Ａ． ●专项练习 ３．下列分式的值，可以为０的是 （　　） Ａ．ｘ ２＋１ ｘ－１ Ｂ． ｘ＋１ ｘ２－１ Ｃ．ｘ ２＋２ｘ＋１ ｘ＋１ Ｄ． ｘ＋１ ｘ－１ 考点２：分式的基本性质 例３　若ｘ，ｙ的值均扩大到原来的３倍，则下列分式 的值一定保持不变的是 （　　） Ａ．２＋ｘｘ－ｙ Ｂ． ２ｙ ｘ２ Ｃ．２ｙ ３ ３ｘ Ｄ． ２ｙ ｘ－ｙ 解：由分式的基本性质可知选项 Ａ，Ｂ，Ｃ均不成立． 故选Ｄ． ●专项练习 ４．根据分式的基本性质，分式 －ｘｘ－ｙ可变形为 （　　） Ａ． ｘ－ｘ－ｙ Ｂ． ｘ ｘ＋ｙ Ｃ． ｘｙ－ｘ Ｄ．－ －ｘ ｘ＋ｙ ５．下列各选项中，从左到右的变形正确的是 （　　） Ａ．ａｂ ＝ ａｃ ｂｃ Ｂ．－ａ－ｂａ＋ｂ ＝－１ Ｃ．０．５ａ＋ｂ０．２ａ－０．３ｂ＝ ５ａ＋ｂ ２ａ－３ｂ Ｄ． ｍ－ｍ－ｎ＝－ ｍ ｍ－ｎ 考点３：分式的约分、通分 例４　计算：ａ ２－５ａ ａ－５ ＝ （　　） Ａ．ａ－５ Ｂ．ａ＋５ Ｃ．５ Ｄ．ａ 解：原式 ＝ａ（ａ－５）ａ－５ ＝ａ．故选Ｄ． ●专项练习 ６．下列分式中，是最简分式的是 （　　） Ａ．ｘｙ ４ｘ２ Ｂ．ａ ２＋ｂ２ ａ＋ｂ Ｃ．２－ｘ ４－ｘ２ Ｄ． ３－ｘ ｘ２－６ｘ＋９ ７．分式 １ ｘ２ｙ ， ３ｙ ２ｘ３ ， ２＋ｘ ３ｘｙ２ 的最简公分母是 （　　） Ａ．６ｘ３ｙ２ Ｂ．３ｘｙ Ｃ．６ｘ６ｙ６ Ｄ．ｘ３ｙ３ ８．把 ｙ ４ｘ２ ， ５ ６ｘｙ通分，则 ｙ ４ｘ２ ＝ ， ５６ｘｙ＝ ． ９．约分： （１）３ａ ２ｂ ６ａｂ２ｃ ；　（２）２（ｘ－ｙ） ３ ｙ－ｘ ． 考点４：分式的运算 例５　化简：（４ｍ＋５ｍ＋１＋ｍ－１）÷ ｍ＋２ ｍ＋１． 解：原式＝［４ｍ＋５ｍ＋１＋ （ｍ－１）（ｍ＋１） ｍ＋１ ］· ｍ＋１ ｍ＋２ ＝ｍ ２＋４ｍ＋４ ｍ＋１ · ｍ＋１ ｍ＋２ ＝（ｍ＋２） ２ ｍ＋１ · ｍ＋１ ｍ＋２ ＝ｍ＋２． ●专项练习 １０．计算： （１）５ｘ＋３ｙ ｘ２－ｙ２ － ２ｘ ｘ２－ｙ２ ； （２）（ ａａ－ｂ－ ２ｂ ａ－ｂ）· ａｂ ａ－２ｂ÷（ １ ａ＋ １ ｂ）． １１．先化简，再求值： （１）如果ａ－ｂ＝２，求代数式（ａ ２＋ｂ２ ａ －２ｂ）· ａ ａ－ｂ 的值． （２）（ ｘｘ－２－１）÷ ｘ２－４ ｘ２－４ｘ＋４ ，并从 －２，２，４中选一 个合适的数作为ｘ的值代入求值． 考点５：分式方程及其应用 例６　解分式方程：２ｘ＋１ｘ＋３ ＝ １ ｘ＋３＋１． 解：方程两边都乘（ｘ＋３），得２ｘ＋１＝１＋ｘ＋３．解 得ｘ＝３．经检验，ｘ＝３是原分式方程的根． ●专项练习 １２．已知关于ｘ的方程 ａ２ａ－ｘ＝ １ ３的解是ｘ＝１，则 ａ的值是 ． １３．解分式方程： （１） ６ｘ－２＝ ４ ｘ＋３； （２） ２ ａ２＋ａ ＋ １ ａ２－ａ ＝ ４ ａ２－１ ． （下转第８版                                                             ） 书 知 识 回 顾 １．分式的概念 一般地，用Ａ，Ｂ表示两个整式，Ａ÷Ｂ可以表示成 ＡＢ 的形式．如果 Ｂ中含有字母，且 Ｂ≠ ０，那么称 ＡＢ为 ．其中 Ａ叫做分式的 ，Ｂ叫做分式的 ． 分式有无意义的条件：对于分式 Ａ Ｂ，当 时， 分式有意义；当 时，分式无意义． 分式的值为０的条件：当 时，分式 的值为０． ２．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个 的整式，分式的值不变． 用式子表示为： Ａ Ｂ ＝ Ａ·Ｃ Ｂ·Ｃ， Ａ Ｂ ＝ Ａ÷Ｃ Ｂ÷Ｃ（Ｃ是不等 于０的整式）． ３．分式的约分与通分 （１）分式的约分：根据分式的 ，把分式的分 子与分母的 约去． （２）最简分式：分子与分母没有 的分式． （３）分式的通分：根据分式的 ，把几个 的分式分别化成与原来的分式 的 的分式． （４）最简公分母：各分母所有因式的 的积． ４．分式的运算 （１）分式的乘法法则：两个分式相乘，用 作 为积的分子， 作为积的分母． （２）分 式 的 除 法 法 则：两 个 分 式 相 除，把 后，与被除式相乘． （３）分式的乘方：分式乘方要把 分别乘方． （４）分式的加减法法则：同分母的分式相加减， 不变， 相加减；异分母的分式相加减， 先 ，变为 ，然后再加减． ５．分式方程 （１）概念：分母中含有 的方程叫做分式方程． （２）解分式方程的基本思想：将分式方程化为整式 方程． 解分式方程的步骤： ①方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为 ； ②解这个整式方程； ③检验，即将整式方程的解代入 ，看原方 程中分式的分母的值是否为０．若是０，则此解为原方程 的增根，若不是０，则此解为原方程的解； ④写出此方程的解． （３）分式方程的应用：侧重于用分式列代数式表示 数量关系和寻找相等关系列方程，并且最后要进行“双 验根”． ６．零指数幂与负整数指数幂 （１）ａ０ ＝ （ａ≠０）． （２）ａ－ｎ ＝ （ａ≠０，ｎ是正整数）． （３）科学记数法：用科学记数法表示一个数就是把 一个数写成ａ×１０ｎ的形式，其中 ≤｜ａ｜＜ （ｎ 为整数）． 温馨提示：①当表示一个绝对值大于１０的数时，ｎ为 正整数，且ｎ的值等于这个数的整数部分的位数减去１． ②当表示一个绝对值小于１的数时，ｎ为负整数，且 ｎ的绝对值等于这个数的第一个非零数前面的零的个数 （包括小数点前面的零）． ! !" # $ ! ! " # $ ! " # $ ! 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列式子是分式的是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．ｘ２ Ｂ． ｘ ｘ＋１ Ｃ．ｘ＋ｙ Ｄ． ｘ π ２．要使分式 ２１－ｘ有意义，则ｘ应满足 （　　） Ａ．ｘ＞１ Ｂ．ｘ＜１ Ｃ．ｘ≠１ Ｄ．ｘ＝１ ３．若４－☆ｘ－２表示的是一个最简分式，则☆可以是 （　　） Ａ．４ Ｂ．ｘ Ｃ．２ｘ Ｄ．ｘ２ ４．计算２－２＋（π－２）０的结果是 （　　） Ａ．－３ Ｂ．１ Ｃ．５４ Ｄ．５ ５．一项工程，甲单独完成需 ｍ小时，若与乙合作 ２０小时可完成，则乙单独完成需要的时间是 （　　） Ａ．２０ｍｍ－２０小时 Ｂ． ２０ｍ ｍ＋２０小时 Ｃ．ｍ－２０２０ｍ 小时 Ｄ． ｍ＋２０ ２０ｍ 小时 ６．若分式方程 ３ｘｘ－１＝２－ ｍｘ ｘ－１有增根，则ｍ的值是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．－３ ７．若ｘ为正整数，则表示（ｘ＋ ２ｘｘ－１）÷ ｘ２＋２ｘ＋１ ｘ－１ 的 值的点落在如图所示的区域 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ ８．已知ａ≠－１，ｂ≠－１，设Ｍ＝ ａａ＋１＋ ｂ ｂ＋１，Ｎ＝ １ ａ＋１＋ １ ｂ＋１，结论Ⅰ：当ａｂ＝１时，Ｍ＝Ｎ；结论Ⅱ：当 ａ＋ｂ＝０时，Ｍ·Ｎ≤０，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正 确的是 （　　） Ａ．Ⅰ和Ⅱ都对 Ｂ．Ⅰ和Ⅱ都不对 Ｃ．Ⅰ不对，Ⅱ对 Ｄ．Ⅰ对，Ⅱ不对 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．分式 １ ６ｘ２ｙ 和 ３ ４ｘｙ２ 的最简公分母是 ． １０．人体中枢神经系统中约含有１千亿个神经元，某 种神经元的直径约为０．００００５２ｍ．将０．００００５２用科学 记数法表示为 ． １１．已知Ｐ＝ ２ａ ａ２－ｂ２ － １ａ＋ｂ（ａ≠±ｂ）．若点（ａ，ｂ） 在一次函数ｙ＝ｘ－２的图象上，则Ｐ的值是 ． １２．现有甲、乙、丙三种糖混合而成的什锦糖５０千 克，其中各种糖的千克数和单价如下表： 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 ２０ １０ ２０ 单价（元 ／千克） １５ ２０ ２５ 商店以糖的平均价（平均价 ＝混合糖的总价格÷混 合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单 价每千克提高１元，则需再加入丙种糖 千克． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（９分）计算： （１）ｘ－１ ｘ２－１ ÷ ｘ＋１ ｘ２＋２ｘ＋１ ； （２） ２ ｍ２＋ｍ － ｍ＋２ ｍ２＋２ｍ＋１ ； （３）（ａ＋２＋１ａ）÷（ａ－ １ ａ）． １４．（１２分）解下列分式方程： （１） ２ｘ－２＝ ３ ｘ； （２） １ｘ－１＋１＝ ３ ２ｘ－２； （３） ３ ｘ２－９ － ｘ３－ｘ＝１． １５．（８分）在数学课上，老师给出了这样一道题： 计算： １６ ｍ２－１６ ＋ ２４－ｍ． 以下是小明同学的计算过程． 解：原式 ＝ １６ （ｍ－４）（ｍ＋４）－ ２ ｍ－４ ① ＝ １６ （ｍ－４）（ｍ＋４）－ ２（ｍ＋４） （ｍ－４）（ｍ＋４） ② ＝ １６－２ｍ＋８ （ｍ－４）（ｍ＋４）． ③ （１）以上过程中，第 步是进行分式的通分， 通分的依据是 ； （２）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成 本题后续解题过程；若不正确，请指出哪一步出现错误， 并写出正确的解题过程． １６．（１１分）老师在黑板上书写了一个代数式的正确 计算结果，随后用字母Ａ代替了原代数式的一部分如下： Ａ·（－ ｘ ２－１ ｘ２－２ｘ＋１ ）÷ ｘｘ＋１＝ ｘ＋１ ｘ－１． （１）求被字母Ａ代替的代数式，并将其化简； （２）原代数式的值能等于 －１吗？请说明理由． １７．（１２分）为丰富同学们的课余生活，培养同学们 的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、 畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校 准备采购Ａ，Ｂ两种奖品．这两种奖品在甲、乙两个商场的 标价相同，Ａ奖品的单价与 Ｂ奖品的单价和为３５元，买 １０份Ａ奖品和２０份Ｂ奖品一共需４５０元． （１）求Ａ奖品和Ｂ奖品的单价分别是多少？ （２）甲、乙两个商场举办让利活动：甲商场所有商品 以相同折扣打折销售，乙商场买一份Ａ奖品送一份 Ｂ奖 品．采购时发现在甲商场用２００元买的 Ｂ奖品数量比用 ２００元买的Ａ奖品数量的２倍还多５件． ①甲商场的商品打几折？ ②若学校准备采购ｍ件Ａ奖品和ｎ件Ｂ奖品，当ｍ， ｎ满足什么数量关系时，在甲、乙两个商场所花费用一 样                                                                                                                                                                   ． !" ! #$%"& '()*+, "#$"%-. ! " # $ &'("# ')*# ")'# ")+# ,),#' 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列方程中，是分式方程的是 （　　） Ａ．ｘ－１３ ＝１ Ｂ．２ｘ－５＝３ｘ Ｃ．ｘ２－１＝０ Ｄ．ｘ＋１ｘ ＝２ ２．若分式ｘ ２－ｘ ｘ２－１ 的值为０，则ｘ的值是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．１或０ Ｄ．０或 －１ ３．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡 丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启 示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自 己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚 所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的 苞荫直径约为０．０００００８４ｍ，将数据０．０００００８４用科学 记数法表示为８．４×１０ｎ，则ｎ的值是 （　　） Ａ．６ Ｂ．－７ Ｃ．－５ Ｄ．－６ ４．已知ｘ＝１是方程 ｍ２－ｘ－ １ ｘ－２＝３的解，则实数 ｍ的值是 （　　） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－４ Ｄ．４ ５．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，但不 可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式 中，是“和谐分式”的是 （　　） Ａ．ｘ ２－ｙ２ ｘ－ｙ Ｂ． ｘ＋ｙ ｘ２－ｘｙ＋ｙ２ Ｃ．４ｘ＋２ｙ ｘ２－４ｙ２ Ｄ．ｘ ２－２ｘｙ＋ｙ２ ２ｘ－２ｙ ６．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小 张开车从家到单位有两条路线可选择，路线ａ为全程２５千 米的普通道路，路线ｂ包含快速通道，全程２１千米，走路线 ｂ比路线ａ平均速度提高４０％，时间节省２０分钟，求走路 线ａ和路线ｂ的平均速度分别是多少？设走路线ａ的平均 速度是ｘ千米 ／时，根据题意，可列方程为 （　　） Ａ．２５ｘ－ ２１ （１＋４０％）ｘ＝２０ Ｂ．２５ｘ－ ２１ （１＋４０％）ｘ＝ ２０ ６０ Ｃ． ２１ （１＋４０％）ｘ－ ２５ ｘ ＝２０ Ｄ． ２１ （１＋４０％）ｘ－ ２５ ｘ ＝ ２０ ６０ ７．如果ａ２＋３ａ＋１＝０，则代数式（ａ ２＋９ ａ ＋６）· ２ａ２ ａ＋３的值是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．２ ８．若整数 ａ使关于 ｘ的一元一次不等式组 ２ｘ－７≥ｘ－８， ａ－６ｘ ４ ＞－ { ２ 有且只有３个整数解，且使关于ｙ的分 式方程 ａ ｙ－３＋ ３ ３－ｙ＝－１的解满足ｙ＜７，则所有满足条 件的整数ａ的和是 （　　） Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．１０ Ｄ．７ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．已知分式 ２ａａ＋ｂ＝５．若把 ａ，ｂ的值都扩大到原来 的５倍，则此时分式的值是 ． １０．代数式 ５２ｘ－１与代数式 ３ ｘ的值相等，则 ｘ＝ ． １１．在一块ｂ公顷的稻田上插秧，如果１０个人插秧， 要用ｍ天完成；如果一台插秧机工作，要比１０个人插秧 提前３天完成，则一台插秧机的工作效率是一个人工作 效率的 倍． １２．若关于ｘ的分式方程 ｘｘ－３＝１＋ ｍｘ－２ ９－ｘ２ 无解，则 ｍ的值是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１２分）解下列分式方程： （１） ４ｘｘ－２－１＝ ３ ２－ｘ； （２） ２ｘ２ｘ＋１－ １ ｘ－２＝１； （３）ｘ＋１ｘ－１－ ４ ｘ２－１ ＝１． １４．（１０分）先化简，再求值： （１）（ａ＋２＋ ５２－ａ）· ２ａ－４ ３－ａ，其中ａ为满足０≤ａ≤ ３的整数； （２）ａ－２ａ＋１÷（ ３ ａ＋１－ａ＋１），其中ａ＝（槡７－２） ０． １５．（８分）２０２３年，我国已成为全球最大的电动汽车 市场，电动汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面 较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某 款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比 燃油车平均每公里的加油费少０．８元．若充电费和加油 费均为３００元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的５ 倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． １６．（１０分）如果两个分式Ｍ与Ｎ的和为正整数ｋ，则 称Ｍ与Ｎ互为“和整分式”，常数ｋ称为“和整值”．如分 式Ｍ ＝ ｘｘ＋１，Ｎ＝ １ ｘ＋１，Ｍ＋Ｎ＝ ｘ＋１ ｘ＋１＝１，则Ｍ与Ｎ 互为“和整分式”，“和整值”ｋ＝１． （１）已知分式Ａ＝ｘ－７ｘ－２，Ｂ＝ ２ｘ＋１ ｘ－２，判断Ａ与Ｂ是 否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出 “和整值”ｋ． （２）已知分式Ｃ＝３ｘ－４ｘ－２，Ｄ＝ Ｇ ｘ２－４ ，Ｃ与 Ｄ互为 “和整分式”，且“和整值”ｋ＝３．若ｘ为正整数，分式Ｄ的 值为正整数ｔ，求ｔ的值． １７．（１２分）某汽车制造厂接到两项都为生产 ３６０辆汽车的任务． （１）在完成第一项任务时，生产的第一天按原计划 的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的 １．５倍进行，结果提前３天完成任务，问完成第一项任务 实际需要多少天？ （２）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种 不同的生产方案（其中ａ≠ｂ）： 甲方案：计划１８０辆按每天生产 ａ辆完成，剩下的 １８０辆按每天生产ｂ辆完成，完成生产任务所需的时间为 ｔ１天． 乙方案：完成生产任务所需的时间为ｔ２天，其中一半 时间每天生产ａ辆，另一半时间每天生产ｂ辆． 请比较ｔ１，ｔ２的大小，并说明理由                                                                                                                                                                     ． ! ! " # $ !" ! #$%"& '()*+, "#$"%-. 书 ４４期２版 ２０．３数据的离散程度 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．２；　４．（１）４，（２）＞． ５．教练应该选择甲选手参加射击比赛．理由如下： 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ甲 ＝ ８＋８＋７＋８＋９ ５ ＝８（环）， 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２甲 ＝ （８－８）２×３＋（７－８）２＋（９－８）２ ５ ＝０．４； 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ乙 ＝ ５＋９＋７＋１０＋９ ５ ＝８（环）， 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２乙 ＝ （５－８）２＋（７－８）２＋（９－８）２×２＋（１０－８）２ ５ ＝３．２． 因为甲、乙的平均成绩相同，但甲成绩的方差小于乙成绩的 方差，所以教练应该选择甲选手参加射击比赛． 专题　数据的分析 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．８７． ４．（１）表格第一行填入７，８；第二行从左到右依次填入８，８． （２）李雷射击成绩的方差为：１１０×［２×（５－７） ２＋（６－７）２＋ ３×（７－７）２＋３×（８－７）２＋（９－７）２］＝１．６； 林涛射击成绩的方差为： １ １０×［（３－７） ２＋（４－７）２＋（５－ ７）２＋（６－７）２＋３×（８－７）２＋２×（９－７）２＋（１０－７）２］＝ ５． （３）李雷的射击成绩更好．理由如下： 李雷和林涛的射击成绩的平均数一样，但是李雷的方差更 小，波动更小，成绩更稳定（答案不惟一，合理即可）． ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ 二、１３．甲；　１４．９．５分；　１５．平均数；　１６．－３或７或１３４． 三、１７．李大爷这３天的平均步数是：１３ ×（６２００＋５５００＋ ７２００）＝６３００（步）． １８．本学期王刚的数学总成绩为：８５×１＋９０×２＋９５×２１＋２＋２ ＝９１（分）． 因为９１＞９０，总成绩大于９０分为优秀，所以本学期王刚的 数学成绩是优秀． １９．（１）８次，８．５次． （２）乙成绩的平均数为：５＋６＋８＋９＋１０＋１０６ ＝８（次）， 方差为： １ ６ ×［（５－８） ２＋（６－８）２＋（８－８）２＋（９－８）２ ＋２×（１０－８）２］＝１１３． 因为１＜１１３，所以甲引体向上的成绩更稳定． ２０．（１）根据题意，得 １１５×（５×３＋２×８＋１×７＋４×４＋ ３×９）＝５．４（万元）． 答：这个公司平均每人所创年利润是５．４万元． （２）Ｄ部门的员工不能获奖．理由如下： 获奖人数为：１５×４０％ ＝６（名）． 个人所创年利润由高到低分别为：Ｅ部门３名，Ｂ部门２名，Ｃ 部门１名，共６名．所以Ｄ部门的员工不能获奖． ２１．（１）ａ＝ １５ ×（７＋１０＋１０＋７．５＋８）＝８．５． 把甲班成绩按从小到大的顺序排列，最中间的数是８．５，则ｂ ＝８．５． 乙班成绩中１０分出现的次数最多，则ｃ＝１０． ｄ＝ １５ ×［（８．５－８．５） ２×２＋（７．５－８．５）２＋（８－８．５）２ ＋（１０－８．５）２］＝０．７． （２）从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定（答 案不惟一，合理即可）． （３）因为乙班成绩的中位数是 ８分，所以小明的成绩是 ８分．所以小明是５号选手． ２２．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５－２－１ ＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、５千元、 ６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２＋６×４ ＋７×２＋８×１）＝６（千元），方差为：１１０×［（４－６） ２＋２×（５ －６）２＋４×（６－６）２＋２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６，所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于６千元的 有７名，所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 以ｎ的最小值为：７－３＝４． 所以当这４名员工工资低于６千元，且是较高工资时，这 ４名员工的工资和取得最大值． 所以这４名员工的工资分别为４千元、４千元、５千元、５千元． 所以这４名员工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５＝１８（千 元）． 复习专号参考答案 《分式》专项练习 １．Ｂ；　２．ｘ≥－２且ｘ≠０；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．Ｂ；　６．Ｂ； ７．Ａ；　８．３ｙ ２ １２ｘ２ｙ ， １０ｘ １２ｘ２ｙ ． ９．（１）ａ２ｂｃ；　（２）－２（ｘ－ｙ） ２． １０．（１） ３ｘ－ｙ；　（２） ａ２ｂ２ ａ２－ｂ２ ． １１．（１）原式 ＝ａ－ｂ．因为ａ－ｂ＝２，所以原式 ＝２． （２）原式 ＝ ２ｘ＋２．因为ｘ＝２或 －２时，原分式无意义，所以 ｘ＝４．当ｘ＝４时，原式 ＝ １３． １２．－１． １３．（１）ｘ＝－１３；　（２）无解． １４．Ｃ；　１５．ｍ＜５且ｍ≠３． １６．（１）设Ａ客房的单价是ｘ元，则Ｂ客房的单价是（ｘ－８０） 元． 根据题意，得 ６０００ ｘ ＝ ４４００ ｘ－８０．解得ｘ＝３００． 经检验，ｘ＝３００是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ－８０＝２２０． 答：Ａ客房的单价是３００元，Ｂ客房的单价是２２０元． （２）设租住Ａ客房ｍ间，则租住Ｂ客房（３０－ｍ）间． 根据题意，得 ｍ≥ １２（３０－ｍ）， ３００ｍ＋２２０（３０－ｍ）≤７６００ { ． 解得１０≤ｍ≤１２．５． 因为ｍ是整数，所以ｍ＝１０，１１，１２．所以有３种租住方案： ①租住Ａ客房１０间，租住Ｂ客房２０间； ②租住Ａ客房１１间，租住Ｂ客房１９间； ③租住Ａ客房１２间，租住Ｂ客房１８间． １７．Ｂ． １８．（１）－１；　（２）８ｍ ４ ｎ５ ． 《分式》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ａ 二、９．１２ｘ２ｙ２；　１０．５．２×１０－５；　１１．１２；　１２．１２．５． 三、１３．（１）１；　（２） ２－ｍ ２ ｍ３＋２ｍ２＋ｍ ；　（３）ａ＋１ａ－１． １４．（１）ｘ＝６；　（２）ｘ＝ ３２；　（３）ｘ＝－４． １５．（１）②，分式的基本性质． （２）不正确，第③步出现错误．正确的解题过程如下： 原式 ＝ １６ （ｍ－４）（ｍ＋４）－ ２ ｍ－４＝ １６ （ｍ－４）（ｍ＋４）－ ２（ｍ＋４） （ｍ－４）（ｍ＋４） ＝ １６－２ｍ－８ （ｍ－４）（ｍ＋４） ＝ －２（ｍ－４） （ｍ＋４）（ｍ－４） ＝ － ２ｍ＋４． １６．（１）被字母 Ａ代替的代数式为：ｘ＋１ｘ－１· ｘ ｘ＋１÷ （－ ｘ ２－１ ｘ２－２ｘ＋１ ）＝ ｘｘ－１·［－ （ｘ－１）２ （ｘ＋１）（ｘ－１）］＝－ ｘ ｘ＋１． （２）原代数式的值不能等于 －１．理由如下： 当原代数式的值等于 －１时，ｘ＋１ｘ－１＝－１．解得ｘ＝０．经检验，ｘ ＝０是该分式方程的根．要使代数式 － ｘｘ＋１·（－ ｘ２－１ ｘ２－２ｘ＋１ ）÷ ｘ ｘ＋１有意义，则ｘ－１≠０，ｘ≠０且ｘ＋１≠０．解得ｘ≠１，０，－１．所 以原代数式的值不能等于 －１． １７．（１）设Ａ奖品的单价是ｘ元，Ｂ奖品的单价是ｙ元． 根据题意，得 ｘ＋ｙ＝３５， １０ｘ＋２０ｙ＝４５０{ ．解得 ｘ＝２５， ｙ＝１０{ ． 答：Ａ奖品的单价是２５元，Ｂ奖品的单价是１０元． （２）①设甲商场的商品打ａ折． 根据题意，得 ２００ １０×ａ１０ －２× ２００ ２５× ａ１０ ＝５．解得ａ＝８． 经检验，ａ＝８是原分式方程的解，且符合题意． 答：甲商场的商品打８折． ②根据题意，得２５×０．８ｍ＋１０×０．８ｎ＝２５ｍ＋１０（ｎ－ｍ）． 解得５ｍ＝２ｎ．所以当５ｍ＝２ｎ时，在甲、乙两个商场所花费用一 样． 《分式》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．５；　１０．３；　１１．１０ｍｍ－３；　１２．－３或 － １６ ３或 － ２ ３． 三、１３．（１）ｘ＝－５３；　（２）ｘ＝ １ ３；　（３）无解． １４．（１）原式 ＝－２ａ－６．因为２－ａ≠０，且３－ａ≠０，所以 ａ≠２且ａ≠３．所以ａ＝０或１．当ａ＝０时，原式 ＝－６；当ａ＝ １时，原式 ＝－８． （２）原式 ＝－ １２＋ａ．当 ａ＝（槡７－２） ０ ＝１时，原式 ＝ － １２＋１＝－ １ ３． １５．设这款电动汽车平均每公里的充电费为 ｘ元，则燃油车 平均每公里的加油费为（ｘ＋０．８）元． 根据题意，得 ３００ ｘ ＝５× ３００ ｘ＋０．８．解得ｘ＝０．２． 经检验，ｘ＝０．２是原分式方程的解，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为０．２元． １６．（１）Ａ与Ｂ互为“和整分式”． 因为Ａ＋Ｂ＝ｘ－７ｘ－２＋ ２ｘ＋１ ｘ－２＝ ｘ－７＋２ｘ＋１ ｘ－２ ＝ ３ｘ－６ ｘ－２＝３， 所以Ａ与Ｂ互为“和整分式”，“和整值”ｋ＝３． （２）Ｃ＋Ｄ ＝ ３ｘ－４ｘ－２ ＋ Ｇ ｘ２－４ ＝ （３ｘ－４）（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ－２） ＋ Ｇ （ｘ＋２）（ｘ－２）＝ ３ｘ２＋２ｘ－８＋Ｇ （ｘ＋２）（ｘ－２）．因为 Ｃ与 Ｄ互为“和整分 式”，且“和整值”ｋ＝３，所以３ｘ２＋２ｘ－８＋Ｇ＝３（ｘ＋２）（ｘ－２） ＝３ｘ２－１２．所以Ｇ＝３ｘ２－１２－３ｘ２－２ｘ＋８＝－２ｘ－４．所以Ｄ ＝ －２ｘ－４ （ｘ＋２）（ｘ－２）＝ ２ ２－ｘ．因为分式Ｄ的值为正整数ｔ，所以２－ ｘ＝１或２－ｘ＝２．解得ｘ＝１或０．又因为ｘ为正整数，所以ｘ＝ １．所以ｔ的值是２． １７．（１）设原计划每天生产 ｘ辆，则第一天后每天生产 １．５ｘ辆． 根据题意，得 ３６０ ｘ ＝１＋ ３６０－ｘ １．５ｘ ＋３．解得ｘ＝３６． 经检验，ｘ＝３６是原分式方程的解，且符合题意． 所以 ３６０ ｘ －３＝７． 答：完成第一项任务实际需要７天． （２）ｔ１ ＞ｔ２．理由如下： 甲方案：ｔ１＝ １８０ ａ ＋ １８０ ｂ ＝ １８０（ａ＋ｂ） ａｂ （天）；乙方案：根据题 意，得ａ· ｔ２ ２ ＋ｂ· ｔ２ ２ ＝３６０．解得 ｔ２ ＝ ７２０ ａ＋ｂ．所以 ｔ１－ｔ２ ＝ １８０（ａ＋ｂ） ａｂ － ７２０ ａ＋ｂ＝ １８０（ａ－ｂ）２ ａｂ（ａ＋ｂ）．因为ａ≠ｂ，ａ，ｂ均为正整数， 所以（ａ－ｂ）２＞０，ａｂ（ａ＋ｂ）＞０．所以ｔ１－ｔ２＞０，即ｔ１＞ｔ２． 《函数及其图象》专项练习 １．Ｖ，Ｒ；４３，π；　２．ｘ＞１；　３．－３；　４．Ｂ；　５．８４０； ６．Ｄ；　７．Ｄ；　８．３＜ｍ＜５；　９．１； １０．（北偏东３９°，１７海里）． １１．（１）图略． （２）教学楼（１，０），体育馆（－４，３）． （３）图略． １２．Ｄ；　１３．Ｂ；　１４．Ａ；　１５．１２；　１６．Ｃ；　１７．＞； １８．３；　１９．Ｄ；　２０．ｙ＝４ｘ－５；　２１．Ａ； ２２．３；　２３．ｘ＜３． ２４．（１）设Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价分别为ｘ元、ｙ元                                                                                                                                                                         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