2.4 一元二次方程根与系数的关系课件 2024-2025学年湘教版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 九年级数学上（XJ） *2.4 一元二次方程根与系数的关系 在此添加关键字 顶部“开始”面板中可以对字体、字号、颜色、行距等进行修改。 复习导入，温故而知新 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.当△> 0，△= 0，△< 0根的情况如何？ △ > 0 时,方程有两个不相等的实数根. △= 0 时,方程有两个相等的实数根. △< 0 时,方程无实数根. 想一想：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的值由系数a、b、c 来决定，除此之外根与系数还有什么关系呢？（引出课题） 2.一元二次方程的求根公式是什么？ ax2+bx+c=0(a≠0) 新课导入 A、3秒钟？ 不可能！数太大不好解方程。 B、我看一眼就已经有答案了。 如果一元二次方程x2 - 2015x +1024 = 0的两个根表示x1 、x2 ，请用3秒写出方程的两根之和、两根之积。 1.填写表格，寻找规律。（书上P46） 一元二次方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2 x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2-5x-6=0 1 -3 -4 0 2 2 0 -1 -4 -6 5 6 x2+px+q=0 / / -p q 合作交流，探索新知 2.细心观察，得出规律。 若方程 x2+px+q=0 的两个实数根x1 、x2有以下规律： x1+x2= -p . x1 ·x2=q. （一）由已知到未知，培养数学思维 对于一元二次方程: 2x2 - 3 x+1=0 的根与系数有什么关系？ （提示：和前面的方程有何不同？我们应该如何处理？） 2x2 - 3 x+1= 0 化未知为已知的数学经典思想之一：“化归”思想 当b2-4ac≥0，对于更具有一般性的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根与系数有什么关系？ （二）由特殊到一般，培养理性思维 ax2+bx+c=0 证明：当b2-4ac≥0，设 x1 、 x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。 （三）由感性到理性，分清特殊到一般 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 当b2-4ac≥0，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 注意 满足上述关系的隐形条件 ①a≠0 ②b2-4ac≥0. 归纳总结 解:(2)整理，得7x2 -x -13=0 ； x1 + x2 = ; x1 · x2 = . 1.不解方程，用韦达定理求下列方程的两根之和、两根之积. 自主练习，巩固新知 （2）7x2 - 5 = x + 8. （1）2x2 -3x + 1 = 0； 解:(1) x1 + x2 = ; x1 · x2 = . 例题: 注意事项 ①用韦达定理，要先把方程化为一般形式。 ②计算时，要明确a、b、c。 则 x1 + x2 = ; x1 · x2 = . 如果一元二次方程x2 - 2015x +1024 = 0 的两个根表示x1 、x2 ，请用3秒写出方程的两根之和、两根之积。 2015 1024 b= -2015 c=1024. 解：设方程 3x2-18x+m = 0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 2.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 还有其他方法求出m 的值吗？ 所以：x1 + x2=1+x2= 6， 即： x2 = 5 . 解得： m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 解：根据根与系数的关系可知： 3.（对接中考)已知方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2， 且x1 >x2。 不解方程，求下列各式.（1）平方和；（2）倒数和。 变式训练: 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 由根与系数的关系，得 总结常见的求值（举一反三）: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 同学们，本节课有什么收获？ 学习回顾，总结升华 1.关于x的方程 x2+ 2（m-2)x + m2 + 4 = 0有两个实数根为 x1、x2 ，且这两个实数根的平方和比两个积大21，求m的值. 2.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0. （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值. 课后作业，拓展提升 谢谢您的聆听 THANK $$