精品解析：广东省阳江市阳春市东风中学2024-2025学年高三下学期模拟预测数学试题

2024-2025学年度阳春市东风中学高中数学模拟测试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集交集的定义进行计算即可． 【详解】解：， 则， 故选C． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键． 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得选项. 【详解】因为命题：，，则是“，”. 故选：C. 3. 已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 将点的坐标代入抛物线方程，求出，即得焦点，利用抛物线的定义，即可求出． 【详解】由点在抛物线上，可得，解得， 即抛物线，焦点坐标，准线方程为． 所以，点 到抛物线 焦点的距离为：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题． 4. 平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆 交于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，得到，再根据二倍角公式，以及诱导公式，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】根据三角函数的定义可得，，， 又， 所以. 故选：B. 5. 甲、乙分别从门不同课程中选修门，且人选修的课程不同，则不同的选法有（ ）种． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理直接求解即可. 【详解】甲从门课程中选择门，有种选法；乙再从甲未选的课程中选择门，有种选法； 根据分步乘法计数原理可得：不同的选法有种. 故选：C. 6. 二项式的展开式中的常数项为 A. －15 B. 20 C. 15 D. －20 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令幂指数为零，可求得，代入展开式通项可求得常数项. 【详解】二项式展开式通项为： 令得： 常数项为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式. 7. 如图，在太极图中，大圆半径是小圆半径的6倍，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，过A作黑色小圆的切线，切点为C，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合投影向量的定义分析求解. 【详解】如图，设大圆、小圆的圆心分别为O，，小圆半径为r，大圆半径为R，则， 因为AC与圆相切，则，所以在上的投影向量为， 又因为，，即， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 8. 若函数，，则对于不同的实数 ，函数的单调区间个数不可能是（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】先令，即可排除A；再将函数化为分段函数，并分段求其导数，得，最后利用分类讨论，通过画出导数的图象判断函数的单调区间的个数，排除法得正确答案. 【详解】由题意，①当时，在上为增函数，只有一个单调区间， ②当时，因为， 所以 所以 ③当时，因为， 所以导数的图象如图所示，其中为图象与轴的交点横坐标， 所以时，，时，，时，， 所以在时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增，所以函数有三个单调区间． ④当时，，所以导数的图象如图所示（其中为时图象与轴交点的横坐标） 所以当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 所以在时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增，时，单调递减；时，单调递增，共有5个单调区间， 由此可得A、C、D不正确. 故选: B． 【点睛】本题主要考查了含绝对值的函数的单调性与单调区间的判定方法，利用导数研究三次函数的单调性及单调区间的求解，准确把握函数的性质与函数的图象、函数的导数之间的关系是解答的关键，正确把握函数性质的研究方法是解答的关键． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一个指数式都可以化成对数式 B. 以10为底的对数是常用对数 C. 对于，实数m的取值范围是 D. 对数式中的底数必须大于0且不等于1 【答案】BCD 【解析】 【详解】负数的指数不能化成对数，例如不能写成对数，故A错误；以10和e为底的对数都是常用对数，故B正确；对数要有意义，则其真数要大于0，即，即，故C正确；根据对数的定义，对数式中的底数必须大于0且不等于0，故D正确． 10. 如图，，，所在的平面均与 所在的平面垂直，且四个三角形边长均为2的等边三角形，下列选项正确的是（ ） A. 是边长为1的正三角形 B. 平面平面 C. 多面体的体积为 D. 多面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，分别取的中点，连接，利用面面垂直的性质可证得是边长为1的正三角形，判断A；若平面平面 ，可得平面 ，显然不正确，可判断B；求得多面体的体积判断C；求得多面体的外接球的表面积判断D. 【详解】对于A，分别取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 由所在的平面与 所在的平面垂直，即平面平面 ， 又平面平面，所以平面 ， 同理可证平面 ，平面 ，可得， 又，所以可得四边形是矩形， 从而可得，所以， 因为 是边长为2的等边三角形，所以是边长为1等边三角形， 所以是边长为1的正三角形，故A正确； 对于B，若平面平面 ，又平面平面 ，平面平面， 则可得平面 ，又显然不垂直于平面 ，故假设错误，故B错误； 对于C，如图所示，几何体可由一个正三棱柱与三个相同的四棱锥空间组合而成， 所以是边长为2的等边三角形，易求得， 由是边长为1的等边三角形，所以可求得四棱锥的高为， 所以几何体的体积为，故C正确； 对于D，设底面的中心为 ，底面 的中心为，也是的中心， 多面体外接球的球心 在直线上，设的长为， 又易得，， 所以，解得，所以外接球的半径， 所以多面体的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，若存在，使得成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】采用数形结合可知，，，然后简单计算可知，，，故可知结果. 【详解】如图： 可知，，，则， 且，所以，即. 因为，所以，. 故选:AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件概率公式即可求解. 【详解】设“甲同学被选出”为事件 ，“乙同学被选出”为事件 ， 则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率． 故答案为：0.6. 13. 在锐角 中，角的对边分别是，若的面积为，则____；____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可求解角 ，利用余弦定理可求解边，利用正弦定理可求解. 【详解】解：由三角形面积可得，所以，因为三角形为锐角三角形，， 由余弦定理可得，所以， 由正弦定理可得，所以. 故答案为：；. 14. 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则 _____. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论． 【详解】， ， ， 令，解得：， 而， 故函数关于点对称， ， ， ，， ， 同理可得，，， ， 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语. （I）根据以上数据完成以下2×2列联表： 会俄语 不会俄语 总计 男 女 总计 30 并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 参考公式：＝ ，其中. 参考数据： 0.40 0.25 0.10 0.010 0.708 1.323 2.706 6.635 （II）若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，则小组中既有男又有女的概率是多少？ （III）若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作，记会俄语的人数为，求的期望. 【答案】（Ⅰ）如下表： 会俄语 不会俄语 总计 男 10 6 16 女 6 8 14 总计 16 14 30 在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关； （Ⅱ）； （Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据以上数据完成 列联表，再假设是否会俄语与性别无关，然后由已知数据可求得k2进行判断． （Ⅱ）从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，有种选法，小组中既有男又有女的选法有种选法，由此能求出小组中既有男又有女的概率． （Ⅲ）会俄语的人数的取值分别为0，1，2．分别求出其概率，由此能求出的分布列和． 【详解】（Ⅰ）如下表： 会俄语 不会俄语 总计 男 10 6 16 女 6 8 14 总计 16 14 30 假设：是否会俄语与性别无关,由已知数据可求得 . 所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关； （Ⅱ）从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，有种选法，小组中既有男又有女的选法 有种选法，∴小组中既有男又有女的概率； （Ⅲ）会俄语的人数的取值分别为0，1，2． 其概率分别为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 . 16. 已知双曲线的方程为． （1）求该双曲线的渐近线和离心率； （2）若直线经过该双曲线的右焦点且斜率为 ，求直线被双曲线截得的弦长． 【答案】（1）, 2； （2）6. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的即得解； （2）由题得直线的方程为，联立直线和双曲线的方程得到韦达定理，即得解. 【小问1详解】 解：由题意知双曲线的方程为， 则，，， 所以该双曲线的渐近线为，离心率为． 【小问2详解】 解：由题得直线的方程为， 联立双曲线及直线的方程，消去得， 可得， 设两交点为，， 则，， 由弦长公式得． 17. 如图，在三棱柱中，平面 ， ， 分别为 ，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点 到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 在三棱柱中，D，E为的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，， 在三角形 中，， 为 中点， ， ，，平面， 平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以 为原点，建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以； 【小问3详解】 设点 到平面的距离为，所以， 故点 到平面的距离. 18. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，是抛物线准线上任意一点，设，. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 【答案】（1）3；（2）. 【解析】 【分析】（1）设出直线 的方程，将其代入抛物线方程，化简得，利用韦达定理以及抛物线方程，将转化为.构造函数，利用导函数求出其最小值； （2）设出点的坐标，表示出向量、，将看成是向量与的夹角.通过韦达定理，逐步代换计算得，则根据向量夹角的范围可知，为锐角或直角，故可得结果.. 【详解】（1）设过抛物线的焦点的直线方程， 由 得， 由韦达定理得： ，， ， 令，， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 时， （2）设， ， 由， 得， 则由韦达定理得： ，， ， 为锐角或直角， 当时，最大，为直角. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，导函数的应用，向量的实际应用，考查了数形结合和转化的思想，属于综合性较强的题. 19. 已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为 ． （1）若数列的通项为，则是否属于 ？ （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围； （3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{an}的通项：若不存在，说明理由． 【答案】（1）属于； （2） ； （3）不存在，理由如下： 由得，所以，即， 所以，从而有， 又，所以，即， 又，所以有， 所以， 假设数列中存在无穷多项依次成等差数列， 不妨设该等差数列的第项为（ 为常数）， 则存在，使得，即， 设， 则， 即， 于是当时， ， 从而有：当时，，即 ， 于是，当时，关于 的不等式有无穷多个解，显然不成立， 因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列． 【解析】 【分析】（1）根据等比数列前项和公式计算，再，并结合不等式放缩即可得答案. （2）由题知，当时，，结合二次函数的性质可得，进而可得，即可解得； （3）转化条件得，即：，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为( 为常数)，则存在，使得，设，作差后可得，即：当时，，进而得关于 的不等式有无穷多个解，显然不成立，即可得解. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以， 所以，即属于 ． （2）设的公差为，因为， 所以（*） 特别的，当时，，即， 由（*）得， 整理得， 因为上述不等式对一切恒成立， 所以必有，解得， 又 ，所以， 于是，即， 所以，即：， （3）不存在，理由略 【点睛】本题考查数列通项公式的求法即应用，数列新定义问题，不等式的应用等综合.考查运算求解能力，综合分析处理问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于理解新的数列定义，利用不等关系得，进而结合反证法求解证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度阳春市东风中学高中数学模拟测试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合，则=（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆 交于，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙分别从门不同课程中选修门，且人选修的课程不同，则不同的选法有（ ）种． A. B. C. D. 6. 二项式的展开式中的常数项为 A. －15 B. 20 C. 15 D. －20 7. 如图，在太极图中，大圆半径是小圆半径的6倍，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，过A作黑色小圆的切线，切点为C，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，，则对于不同的实数 ，函数的单调区间个数不可能是（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一个指数式都可以化成对数式 B. 以10为底的对数是常用对数 C. 对于，实数m的取值范围是 D. 对数式中的底数必须大于0且不等于1 10. 如图，，，所在的平面均与 所在的平面垂直，且四个三角形边长均为2的等边三角形，下列选项正确的是（ ） A. 是边长为1的正三角形 B. 平面平面 C. 多面体的体积为 D. 多面体的外接球的表面积为 11. 已知函数，若存在，使得成立，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______． 13. 在锐角 中，角的对边分别是，若的面积为，则____；____． 14. 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则 _____. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语. （I）根据以上数据完成以下2×2列联表： 会俄语 不会俄语 总计 男 女 总计 30 并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 参考公式：＝ ，其中. 参考数据： 0.40 0.25 0.10 0.010 0.708 1.323 2.706 6.635 （II）若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，则小组中既有男又有女的概率是多少？ （III）若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作，记会俄语的人数为，求的期望. 16. 已知双曲线的方程为． （1）求该双曲线的渐近线和离心率； （2）若直线 经过该双曲线的右焦点且斜率为 ，求直线 被双曲线截得的弦长． 17. 如图，在三棱柱中，平面 ， ， 分别为 ，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点 到平面的距离. 18. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于， 两点，是抛物线准线上任意一点，设，. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 19. 已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为 ． （1）若数列的通项为，则是否属于 ？ （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围； （3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{an}的通项：若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $