第七讲 功、动能定理 讲义 -2026届新高三暑假衔接课

夜市物理 新高三暑假自学衔接课 第七讲 功、动能定理 知识梳理 1.求功方法： （1）恒力F做功：W＝FLcosα.（注意：F为恒力；L为物体对地的位移） （2）变力F做功的求解方法： ①若变力F是位移L的线性函数，则，即：F－L图线下的面积等于功。 ②在曲线运动或往返运动时，滑动摩擦力、空气阻力的功等于力和路程(不是位移)的乘积,即W＝－FfL，式中Ff的大小恒定，L为物体运动的路程。 ③变力F的功率P恒定：W＝Pt。 ④利用动能定理及功能关系等方法根据做功的效果求解．即W合＝ΔEk或W＝E. （3）合力的功W合：W合＝F合Lcosα，F合是恒力；或者W合＝W1＋W2＋…＋Wn，要注意各功的正负。 2.功率的计算 (1)利用P＝求解；主要求解平均功率 (2)利用P＝Fvcosα求解，其中若v为物体运动的平均速度，求得的是物体的平均功率；若v为物体运动的瞬时速度，求得的是物体的瞬时功率。 （3）机车启动 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图像 和 v­t图像 OA 段 过程 分析 v↑⇒F＝↓ ⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变 P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程 分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ 其中F阻不一定是摩擦力 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动，其中F阻不一定是摩擦力 3.动能定理 （1）内容：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化；表达式：W＝ΔEk＝mv－mv。 （2）四类图像所围“面积”的意义 考点分析 1.恒力做功的分析与计算 1．公式：W＝Fl_cos_α。 (1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于恒力做功。 2．功的正负 (1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。 (2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。 (3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。 3．总功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcos α求功，此法要求F合为恒力。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。 典例分析 例1.如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则（　　） A．F对木块做功为 B．F对木块做功为 C．F对子弹做功为 D．F对子弹做功为 例2.有一个软木块静止放在光滑水平面上，一粒高速飞行的子弹（可看作质点）以水平速度打到木块上，子弹穿透木块后飞出，经测量，在子弹刚进入木块到刚穿透本块的过程中，木块相对于地面滑动的距离是子弹相对于木块运动距离的一半，在这个过程中，子弹克服摩擦力所做的功为，子弹对木块所做的功为， 子弹在木块中运动时所受摩擦力恒定，以下各式正确的是（　　） A． B． C． D． 例3.物体在大小为F与水平方向夹角为θ的拉力作用下沿水平向右发生了一段位移，位移大小为l，物体与水平面间的摩擦力大小为f，设此过程拉力对物体做功为W1，摩擦力对物体做功为W2，合力对物体做功为W合，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 例4.一个质量m=150kg的雪橇，受到与水平方向成斜向右上方的拉力F=500N，在水平地面上向右移动的距离L=5m，，雪橇与地面间的滑动摩擦力f=100N。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） (1)拉力所做的功： (2)滑动摩擦力所做的功： (3)力对雪橇做的总功， 例5.如图所示，建筑工地上有一工人背起一块质量为m的砖块，将后背看做斜面，后背与水平面的夹角为θ，工人背起砖块后由静止开始沿水平面做匀加速直线运动，加速度大小为a，砖块与工人之间始终保持相对静止，砖块与工人后背之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则在工人向前运动L距离的过程中，工人对砖块做的功为（　　） A．maL B．maLcosθ C．μmgLcos2θ D． 例6.如图所示，工人将重、装满棉花的包裹沿离地高的水平平台由静止开始从A处推至平台边缘B处，A、B间的距离为；工人对包裹施加恒定的推力，推力大小，推力与水平面的夹角；包裹到达B处时，撤去推力，包裹随即在重力作用下落至水平地面上的C处。若包裹与平台间的动摩擦因数，分别求出作用于包裹的各个力所做的功，以及这些力所做的总功。（忽略空气阻力） 考点分析 2.变力做功的五种计算方法 方法 以例说法 应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ) 微元法 质量为m的木块在水平面内做半径为R的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功W＝F·(－) 平均力法 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做的功W＝·(x2－x1) 图像法 一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0 典例分析 例1.如图所示，半径为的四分之一光滑圆弧竖直固定，最低点放置一质量为的物块，可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力作用下由运动到，力大小恒为。对于该运动过程，下列说法正确的是（　　） A．力做功大小为 B．力做功大小为 C．力的功率先增大后减小 D．克服重力做功的功率先增大后减小 例2.图甲为建造桥梁时使用的穿巷式架桥机，支腿架在桥墩上架桥施工，在走行系统的水平方向作用力下，将桥梁水平推进到预设位置后放下与主体相接。已知桥梁的质量为m，在桥梁水平移动过程中，架桥机对桥梁的水平力F与桥梁的位移x之间的关系如图乙所示，桥梁所受阻力方向与运动方向相反，大小恒为f，重力加速度为g。则桥梁受架桥机水平力F作用过程中，下列说法正确的是（　　） A．桥梁向右做匀加速直线运动 B．力F做的功为 C．阻力做的功为 D．桥梁在处速度最大 例3. 如图甲所示，质量m＝20 kg的物体静止在水平地面上，在水平推力F的作用下开始运动，水平推力（F）随位移（x）变化的图像如图乙所示。已知物体与地面间的动摩擦因数，取重力加速度大小g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列判断正确的是（　　） A．0~10 m内物体先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动 B．物体的位移在0~10 m的过程中，物体运动的时间等于4 s C．物体的位移在0~10 m的过程中，力F对物体所做的功为2000 J D．x＝10 m时，物体的动能为0 例4.大力发展地铁，可以大大减少燃油公交车的使用，减少汽车尾气排放。无锡已经开通地铁1号线和2号线，其中1号线起点堪桥站，终点长广溪站，全长29.42km。若一列地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀加速运动20s，达到最高速度72km/h，再匀速运动80s，接着匀减速运动15s到达乙站停住。设列车在匀加速运动阶段牵引力为1×106N，匀速阶段牵引力的功率为6×103kW，忽略匀减速运动阶段牵引力所做的功。如果燃油公交车运行中做的功与地铁列车从甲站到乙站牵引力做的功相同，则燃油公交车排放气体污染物的质量是（燃油公交车每做1焦耳功排放气体污染物3×10-6g）（   ） A．2.00kg B．2.02kg C．2.04kg D．2.06kg 例5.如图所示，质量为m的物块放在水平转台上，物块与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动。当角速度增至时，转台开始做匀速转动，整个过程物块与转台总是保持相对静止，则（    ） A．在角速度增至过程中，物块所受的摩擦力方向总是指向转轴 B．转台匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为 C．在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是 D．在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是0 考点分析 3.功率的理解与计算 1. 平均功率的计算 (1)利用P=。 (2)利用P=Fvcos α,其中v为物体运动的平均速度,α为F与v的夹角。 2 .瞬时功率的计算 (1)利用公式P=Fvcos α,其中v为t时刻的瞬时速度,α为F与v的夹角。 (2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 (3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 典例分析 例1.杭州宇树科技携旗下机器人H1惊艳亮相2025年央视春晚。十几个人形机器人动作精准流畅，机械臂灵活挥舞着手帕，舞步充满科技感。其中有一个经典的动作是竖直上抛手绢，机械臂顶着手绢竖直向上运动一段距离后，手绢以4m/s的速度离开机械臂，然后在牵引绳的作用下，匀减速上升0.4m后落回。已知手绢的质量是0.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力，在手绢匀减速上升的过程中（　　） A．牵引绳拉力大小为4N B．牵引绳拉力大小为0N C．克服牵引绳拉力的平均功率为8W D．克服牵引绳拉力的平均功率为4W 例2.如图所示，质量m=10kg的箱子静止在光滑水平地面上，现用F=20N与水平方向成θ=60°斜向右上方的拉力拉箱子，箱子由静止开始向右运动。求： (1)箱子运动过程中的加速度； (2)3s内各力做的功； (3)拉力F在3s内做功的平均功率和3s末的瞬时功率。 例3.如图所示，摆球质量为，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小不变，则在此过程中（　　） A．重力的瞬时功率先增大后减小 B．重力的瞬时功率在不断增大 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 例4.如图所示，质量为m=3kg的木块在倾角θ=37°的足够长的斜面上静止开始下滑，且木块与斜面的动摩擦因数为0.5。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；g=10m/s2），求： (1)前4s内重力做的功； (2)前4s内重力的平均功率； (3)4s末重力的瞬时功率。 考点分析 4.机动车启动方式 1. 机车以恒定的功率启动，由于牵引力，，v增大，F减小，阻力f不变，加速度a减小，∴机车做加速度减小的加速运动。当F=f时，a=0，开始做匀速直线运动，速度是。 【常考问题】这一过程牵引力做功：W=Pt（变力做功，t为运动时间） 2. 机车以恒定加速度a启动，由知，当加速度a不变时，发动机牵引力恒定；再由P=v知，一定时， P随v增大而增大，但当P增大到额定功率以后不再增大，设此时速度为v0，此后发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F减小，直至F=f时，a=0，车速达到最大值，此后做匀速直线运动。 典例分析 例1.一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示。已知汽车的质量为m=2000kg，汽车受到的阻力大小恒为车重力的0.1倍，g取10m/s2， 则（　　） A．汽车在前5s内受到的阻力大小为200N B．前5s内的牵引力大小为2000N C．汽车的额定功率为60kW D．汽车的最大速度为20m/s 例2.2023年10月，“空中出租车”在上海试飞成功，完成首秀。质量为m的“空中出租车”在竖直方向的牵引力作用下，从静止开始竖直上升，其运动图像如图所示，0﹣t1为匀加速阶段，t1时刻“空中出租车”达到功率P并保持不变，运动过程中阻力大小恒定。下列说法正确的是（　　） A．整个过程牵引力保持不变 B．0﹣t2过程，牵引力做功为Pt2 C．阻力大小为 D．时刻“空中出租车”的功率为 例3.质量为m=1000kg的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的输出功率为额定功率且恒为P=42kW，且行驶过程中受到的阻力大小一定，汽车能够达到的最大速度为v=42m/s。求： (1)行驶过程中汽车受到的阻力大小； (2)当汽车的车速为时，求汽车的瞬时加速度的大小： (3)若汽车从静止开始以1.1m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？ 例4. “玉兔号”月球车成功抵达月背表面后，研究者对月球车模型的性能进行研究。月球车运动全过程的v-t图如图所示。月球车在t1~18s内以1.41×10-1W的额定功率行驶，在18s末关闭月球车的动力系统，运动过程中月球车受到的阻力大小不变，求月球车 (1)受到的阻力大小（保留2位有效数字）？ (2)质量（精确到1kg）？ (3)前15秒内的位移（保留2位有效数字）？ 考点分析 在于 5.动能定理的理解 1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 2．表达式：W＝ΔEk＝mv22－mv12。 (1)做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中“＝”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号。 (2)动能定理中的“力”指物体受到的所有力，既包括重力、弹力、摩擦力，也包括电场力、磁场力或其他力，功则为合力所做的总功。 典例分析 例1.一小球由如图所示轨道的O点以初速度v0=8m/s水平向左运动，经一段时间后经过轨道高度h处，该点距离地面的高度为h=2.5m，g取10m/s2，忽略小球与轨道之间的摩擦力，则小球达到h处的速度为（　　） A．7m/s B．8m/s C． D． 例2如图所示，运动员将质量为m的足球从水平地面上位置1以速度踢出，足球经过最高点（位置2），落在地面上位置3，位置2距离地面的高度为h，1与2和2与3间的水平距离不等。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．从1到2，足球动能的减少量大于mgh B．从1到2，足球动能的减少量小于mgh C．从1到2，足球的加速度保持不变 D．在位置2，足球的动能等于 例3.如图所示，质量为m=0.5kg的小球，用长为l=1m的轻绳悬挂于O点的正下方P点。小球在水平向右拉力的作用下，在竖直平面内从P点缓慢地移动到Q点，Q点轻绳与竖直方向夹角为。不计空气阻力，g取。求： (1)在此过程中水平拉力对小球做的功W； (2)若小球运动到Q点时撤去水平拉力，小球开始下摆，小球回到P点时，对轻绳的拉力大小为多少？ 例4.如图所示，质量为M的电梯底板上放置一质量为m的物体。钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则（    ）    A．底板对物体的支持力做的功等于 B．物体所受合力做的功等于 C．钢索的拉力做的功等于 D．电梯所受合力做的功等于 例5.质量为m的物体，在水平面上以初速度v0开始滑动，经距离d时，速度减为。物体与水平面各处的动摩擦因数相同，则（　　） A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．克服摩擦力做的功为 C．物体再前进便停止 D．要使物体前进总距离为2d，其初速度应为 考点分析 6.应用动能定理处理多过程问题 1．解题流程 2．注意事项 (1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。 (2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。 (3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。 (4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。典例分析 例1.荡秋千是孩子们喜欢的一项运动。如图所示，秋千由两根长度均为L的细绳悬挂于固定横梁上，质量为m的小孩坐在秋千座椅上，初始时，大人用一水平外力使秋千静止，此时两绳与竖直方向夹角均为。不计秋千的质量，小孩可视为质点。重力加速度为g。 (1)当秋千静止时，求水平外力的大小F。 (2)将秋千从静止释放，秋千自由摆动，若不计空气阻力，求秋千摆到最低点时每根绳子的拉力大小T。 (3)若考虑空气阻力，求秋千从静止释放到停下的过程中空气阻力所做的功。 例2.如图所示，在火星上执行救援任务中，工程师设计了一款应急轨道装置。水平轨道长度，与半径的四分之一竖直光滑圆轨道在底部相切且固定在水平地面上。一质量的物资箱从水平轨道最左端开始，在方向与水平面夹角、大小的恒力作用下，由静止开始沿着水平轨道运动，且整个运动过程中恒力始终存在。已知物资箱与水平轨道表面动摩擦因数，火星表面重力加速度，忽略空气阻力。求： (1)物资箱到达圆轨道底端时对轨道的压力的大小； (2)物资箱从静止开始到第一次落地过程中，距离水平轨道的最大高度。 例3.如图，某游乐场雪滑梯是由动摩擦因数均为μ=0.2的倾斜滑道和水平滑道平滑连接组成。已知倾斜滑道AC的高度H=11m，它与水平地面夹角θ=25°，水平滑道CD长度为L。水平滑道末端有一光滑圆弧形冰坑DE、冰坑DE两点高度相等，冰坑圆弧半径R=90m，R远大于弧长DE。游客从雪滑梯顶部A点无初速度下滑，恰好运动到D点。取重力加速度大小g=10m/s²，sin25°=0.4，cos25°=0.9。 (1)求水平滑道的长度L； (2)若游客以很小的初速度（可忽略）从A点下滑到达E点，求该游客从A点到E点所用的时间t（结果用π表示）。 例4.在极限运动竞技场中，选手通过操控物块完成三个阶段的挑战，分别是极速下滑、障碍滑行和凌空飞跃。现简化运动轨道模型如图所示，在竖直平面内，光滑斜面下端与水平面平滑连接于点，水平面与光滑半圆弧轨道相切于点，点在圆心点正上方，点与圆心等高。一物块（可看作质点）从斜面上A点由静止释放，物块通过半圆弧轨道点且沿水平方向飞出，最后落到水平面上的点处（图中未标出）。已知、两点距离，圆弧轨道半径，斜面上A点距离水平面的高度，、两点距离，重力加速度取。求： (1)物块与水平面间的动摩擦因数； (2)将物块仍从斜面A点上由静止释放，调节半圆弧轨道与点距离，使得物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，则水平面的长度应满足的条件。 巩固练习 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）今年国庆期间深圳龙岗大运城万架无人机表演特别震撼，每架无人机携带着显像屏从地面升空到达表演地点。如图，一架无人机竖直升空过程先从静止做匀加速运动再做匀减速运动至静止，下列说法正确的有（　　） A．显像屏一直处于超重状态 B．无人机对显像屏支持力先做正功后做负功 C．显像屏克服重力做功的功率先增大后减小 D．无人机及显像屏构成系统上升过程机械能守恒 2．（24-25高一下·浙江·期中）巴黎奥运会中国选手郑钦文为中国赢得首枚奥运网球单打金牌。如图为郑钦文将网球水平击出，若不计空气阻力，则网球在空中运动过程中（　　） A．运动时间与击出时速度有关 B．网球拍对网球始终做正功 C．加速度方向跟速度方向始终垂直 D．相等时间内速度变化量相等且方向竖直向下 3．（2025·辽宁·二模）打冰出溜是一种极具东北地方特色的冬季娱乐活动，打冰出溜过程可分为助跑阶段和滑行阶段。若助跑阶段鞋与冰面不打滑，可视为匀加速直线运动；滑行阶段人保持姿势不变，可视为匀减速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．助跑阶段，冰面对人的摩擦力向后 B．助跑阶段，人对冰面做负功 C．滑行阶段，人对冰面的摩擦力向前 D．助跑阶段，人加速运动，若鞋与冰面发生相对滑动，则冰面对人的摩擦力大于人对冰面的摩擦力 4．（2025·广东汕头·二模）在江南水乡，撑篙行舟是一种传统的水上交通方式。如图所示，船夫使用一根竹篙倾斜撑向河底，就能让船夫和小船一起缓慢向右运动离岸。小船缓慢离岸的过程中，竹篙对河底力的作用点不变，对该过程分析正确的是（    ） A．竹篙对河底做正功 B．小船受到的合力向左 C．小船受到船夫的摩擦力向右 D．船夫受到小船的支持力的冲量为零 5．（24-25高三下·贵州·阶段练习）春节期间，处处喜气洋洋，热热闹闹，爆竹和鞭炮的声音驱除了所有的烦恼。如图所示，有一种火炮叫“窜天猴”，深受小孩子欢迎，小孩在燃放“窜天猴”的过程中，被点燃的“窜天猴”先加速上升，然后经历一段无动力飞行后爆炸，不计空气阻力，“窜天猴”在无动力飞行过程中，任意相同的时间内，下列说法正确的是（　　） A．动量变化率相同 B．重力做功相同 C．动能变化相同 D．合力做功的平均功率相同 6．（2025·四川乐山·三模）如图1所示是某款小游戏，物体需要从平台A跳跃到前方更高的平台B上。假设不同的操作方式会使物体的运动轨迹出现如图2所示的两种情况，则由图2可推断出（　　）    A．轨迹甲的起跳速度较大 B．轨迹乙的运动时间较长 C．两条轨迹最高点速度相同 D．两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同 7．（2025·安徽·三模）奥运会女子艺术体操的球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩起舞的过程中，有时会手持球在竖直平面内做圆周运动，这一过程可近似看做半径为L的匀速圆周运动，运动过程中球所受的空气阻力大小恒为f，且f小于球的重力，方向与运动方向相反，当地重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　） A．转到圆心正上方时的最小速度一定是 B．转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力大小相等 C．转动一周的过程中两次经过圆心等高点时，手对球的作用力大小相等 D．转动一周的过程中人对球做功为2πLf 8．（24-25高一下·江苏泰州·期中）某同学将一小石块从高h处以初速度，方向与水平成θ角，斜向上抛出后落于地面上，水平射程为x，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．落地时的动能与抛射角θ的取值有关 B．落地时重力的功率与抛射角θ的取值有关 C．保持其他条件不变，仅将抛射角变为斜向下抛出，小石块的水平射程仍为x D．保持其他条件不变，仅调整初速度为时，小石块的水平射程变为2x 9．（2025·山东日照·二模）如图甲所示为一小女孩在水泥管内踢球的情境，整个过程可简化为图乙。固定的竖直圆形轨道半径为R，圆心为O，轨道上的C点和圆心O点的连线与水平方向的夹角为37°。某次踢球时，小女孩把球从轨道最低点A水平向左踢出，球在第一次经过C点后恰好能通过最高点B，当球第二次到达C点时，恰好离开轨道并落入书包内，接球时书包与直径AB的水平距离为0.2R。已知球从A点刚被踢出时的速度是经过B点时速度的3倍，球的质量为m，球与轨道间的动摩擦因数处处相等，重力加速度为g，球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．球从A到B和从B到A的过程中，摩擦力做功相等 B．球从A到B的过程中，摩擦力做功为2mgR C．球第二次到达C点的速度大小 D．接球时书包离A点的竖直高度为0.8R 二、多选题 10．（24-25高三下·广东·阶段练习）中国选手郑钦文在2024年法国巴黎奥运会网球女子单打比赛中成功夺冠，为国争光。如图，她将质量为m的网球从离地高度为h处以初速度水平击出，第一次落地后反弹的动能为落地前瞬间动能的，忽略空气阻力，重力加速度为g，则网球（　　）    A．从击出到第一次落地的时间为 B．击出点与第一次落地点的距离为 C．第一次落地时重力的瞬时功率为 D．反弹到达最高点的重力势能为 11．（2025·河北·模拟预测）一新款小型电动汽车上市前进行了直线驾驶性能检测，汽车运动的位移（x）与速度的平方（）关系的图像如图所示，当汽车位移为20m时，电动机功率达到额定功率，之后保持额定功率运行。已知汽车质量为1.2t，所受阻力恒定，下列说法正确的是（　　） A．汽车启动后先做匀加速直线运动，加速度大小为 B．汽车运动过程中所受阻力大小为 C．汽车共经12s运动至位移62.5m处 D．汽车运动62.5m的过程中，电动机共做功 12．（2025·河北秦皇岛·一模）跳水比赛时，运动员离水面一定高度处竖直向上跳起，以跳起时为计时起点，记录该运动员的位移一时间图像如图所示，时刻运动到最高点，时刻运动到水面。不计空气阻力，运动员视为质点，运动员所受重力大小为，下列说法正确的是（　　） A． B．和时刻速度大小之比为 C．时刻，运动员所受重力的功率为0 D．时间内，运动员所受重力的平均功率为 三、解答题 13．（2025·北京海淀·一模）如图所示，运动员以一定速度从P点沿水平方向离开平台，恰能从A点与轨道相切进入粗糙圆弧轨道AC，沿圆弧轨道在竖直平面做圆周运动。已知运动员（含装备）质量m=50kg，运动员进入圆弧轨道时的速度大小vA=10m/s，圆弧轨道的半径R=4m，圆弧轨道AB对应的圆心角∠。测得运动员在轨道最低点B时对轨道的压力是其总重力的3.8倍。取重力加速度， ，。将运动员视为质点，忽略空气阻力。求： (1)运动员从P点到A点运动过程所用时间t； (2)运动员在B点时的动能； (3)在圆弧轨道AB段运动过程中，摩擦力对运动员所做的功W。 14．（2025·重庆·三模）2025 除夕夜央视春晚重庆分会场 7 分钟的时间里 ，2025 架无人机在夜空中组成了多种图案， 包括“2025 新春快乐”“你好新重庆”等字样，为全市群众送上新春佳节的祝福。无人机在夜空中实现了精确  编队和动态图案变换，打破传统烟花表演形式。 如图所示， 四轴遥控无人机是首要选择 ，极其方便。 质量 m=2kg 的能够垂直起降的小型遥控无人机，在某段时间里无人机在直角坐标系xOy 所在的平面内运动规律分别为，，水平向右为x 轴正方向 ，竖直向上为y 轴正方向 ，g取 10m/s2。求： (1)该无人机上升到最高点的速度； (2)无人机上升到最高点合外力做的总功。 15．（2025·四川成都·三模）如图所示，水上乐园游戏中游客仅在自身重力及不可伸长的轻绳拉力作用下绕悬点O运动，经最低点B到达绳子与竖直方向成的C点时，游客松手并最终落入水中。已知游客在空中运动到最高点D时的速度大小v=4m/s，游客质量m=50kg，绳长L=5m，游客可视为质点，不计一切阻力，sin37°=0.6，重力加速度大小为g=10m/s2。 (1)游客摆到最低点B时，求绳子对游客拉力T的大小； (2)若D点距水面的竖直高度H=1.25m，求C点到落水点的水平距离x。 轻松学物理 1 学科网（北京）股份有限公司 $$夜市物理 新高三暑假自学衔接课 第七讲 功、动能定理 知识梳理 1.求功方法： （1）恒力F做功：W＝FLcosα.（注意：F为恒力；L为物体对地的位移） （2）变力F做功的求解方法： ①若变力F是位移L的线性函数，则，即：F－L图线下的面积等于功。 ②在曲线运动或往返运动时，滑动摩擦力、空气阻力的功等于力和路程(不是位移)的乘积,即W＝－FfL，式中Ff的大小恒定，L为物体运动的路程。 ③变力F的功率P恒定：W＝Pt。 ④利用动能定理及功能关系等方法根据做功的效果求解．即W合＝ΔEk或W＝E. （3）合力的功W合：W合＝F合Lcosα，F合是恒力；或者W合＝W1＋W2＋…＋Wn，要注意各功的正负。 2.功率的计算 (1)利用P＝求解；主要求解平均功率 (2)利用P＝Fvcosα求解，其中若v为物体运动的平均速度，求得的是物体的平均功率；若v为物体运动的瞬时速度，求得的是物体的瞬时功率。 （3）机车启动 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图像 和 v­t图像 OA 段 过程 分析 v↑⇒F＝↓ ⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变 P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程 分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ 其中F阻不一定是摩擦力 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动，其中F阻不一定是摩擦力 3.动能定理 （1）内容：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化；表达式：W＝ΔEk＝mv－mv。 （2）四类图像所围“面积”的意义 考点分析 1.恒力做功的分析与计算 1．公式：W＝Fl_cos_α。 (1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于恒力做功。 2．功的正负 (1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。 (2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。 (3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。 3．总功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcos α求功，此法要求F合为恒力。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。 典例分析 例1.如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则（　　） A．F对木块做功为 B．F对木块做功为 C．F对子弹做功为 D．F对子弹做功为 【答案】A 【详解】AB．木块的位移为，由 可得F对木块做功为 A正确；B错误； CD．子弹的位移为，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，即 CD错误。 故选A。 例2.有一个软木块静止放在光滑水平面上，一粒高速飞行的子弹（可看作质点）以水平速度打到木块上，子弹穿透木块后飞出，经测量，在子弹刚进入木块到刚穿透本块的过程中，木块相对于地面滑动的距离是子弹相对于木块运动距离的一半，在这个过程中，子弹克服摩擦力所做的功为，子弹对木块所做的功为， 子弹在木块中运动时所受摩擦力恒定，以下各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设木块相对于地面的位移为， 子弹相对于木块的位移为， 子弹相对于地面的位移为， 设子弹和木块之间的相互作用力大小为， 子弹克服摩擦力做的功 子弹对木块做的功 所以 故选A。 例3.物体在大小为F与水平方向夹角为θ的拉力作用下沿水平向右发生了一段位移，位移大小为l，物体与水平面间的摩擦力大小为f，设此过程拉力对物体做功为W1，摩擦力对物体做功为W2，合力对物体做功为W合，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．此过程拉力对物体做功为 ，A错误； B．摩擦力对物体做的功为 ，B错误； CD．合力的功为 C错误，D正确。 故选D。 例4.一个质量m=150kg的雪橇，受到与水平方向成斜向右上方的拉力F=500N，在水平地面上向右移动的距离L=5m，，雪橇与地面间的滑动摩擦力f=100N。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） (1)拉力所做的功： (2)滑动摩擦力所做的功： (3)力对雪橇做的总功， 【答案】(1)2000J (2)-500J (3)1500J 【详解】（1）拉力F做的功为：WF=FLcos37°=500×5×0.8J=2000J （2）摩擦力做的功为：Wf=fLcos180°=100×5×(-1)J=-500J （3）重力和支持力与位移垂直，两个力做功为0，力对雪橇做的总功为：W= WF + Wf+WG+WN=(2000-500+0+0)J=1500J 例5.如图所示，建筑工地上有一工人背起一块质量为m的砖块，将后背看做斜面，后背与水平面的夹角为θ，工人背起砖块后由静止开始沿水平面做匀加速直线运动，加速度大小为a，砖块与工人之间始终保持相对静止，砖块与工人后背之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则在工人向前运动L距离的过程中，工人对砖块做的功为（　　） A．maL B．maLcosθ C．μmgLcos2θ D． 【答案】A 【详解】由牛顿第二定律，砖块受到的合力 方向水平向前，所以人对砖块的作用力（支持力和静摩擦力的合力） F与水平方向成α角，如图所示 所以工人对砖块做的功为 故选A。 例6.如图所示，工人将重、装满棉花的包裹沿离地高的水平平台由静止开始从A处推至平台边缘B处，A、B间的距离为；工人对包裹施加恒定的推力，推力大小，推力与水平面的夹角；包裹到达B处时，撤去推力，包裹随即在重力作用下落至水平地面上的C处。若包裹与平台间的动摩擦因数，分别求出作用于包裹的各个力所做的功，以及这些力所做的总功。（忽略空气阻力） 【答案】见解析 【详解】以包裹为研究对象，包裹由A运动至B过程中的受力分析如图所示 包裹受到推力F、平台的支持力、摩擦力和重力G的作用，设包裹由A至B的位移为s，G、、与s的夹角分别为和，则，，，，竖直方向据平衡关系可得 则 包裹由A被推至B的过程中，重力做功为 支持力做功为 推力做功为 摩擦力做功为 包裹由B落至C的过程中，只有重力做功，则重力做功为 整个过程中，包裹受到的作用力所做的总功为 考点分析 2.变力做功的五种计算方法 方法 以例说法 应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ) 微元法 质量为m的木块在水平面内做半径为R的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功W＝F·(－) 平均力法 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做的功W＝·(x2－x1) 图像法 一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0 典例分析 例1.如图所示，半径为的四分之一光滑圆弧竖直固定，最低点放置一质量为的物块，可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力作用下由运动到，力大小恒为。对于该运动过程，下列说法正确的是（　　） A．力做功大小为 B．力做功大小为 C．力的功率先增大后减小 D．克服重力做功的功率先增大后减小 【答案】B 【详解】AB．由于力F方向始终沿圆弧切线，且大小恒为mg ，根据变力做功的计算方法，这里可以用微元法。把圆弧分成很多小段，每一小段上力F做的功（是每一小段的弧长） 则力F做功的大小 故A错误，B正确； C．从A到B过程，F始终大于重力沿切线方向的分力，所以物体一直在做加速运动，速度一直在增大，根据（F与v始终夹角为） 可知F的功率一直在增大，故C错误； D．设重力方向与速度方向夹角，题图可知，对于该运动过程，从增大到，则克服重力做功的功率 可知一直在增大，v也在增大，故克服重力做功的功率一直增大，故D错误。 故选B。 例2.图甲为建造桥梁时使用的穿巷式架桥机，支腿架在桥墩上架桥施工，在走行系统的水平方向作用力下，将桥梁水平推进到预设位置后放下与主体相接。已知桥梁的质量为m，在桥梁水平移动过程中，架桥机对桥梁的水平力F与桥梁的位移x之间的关系如图乙所示，桥梁所受阻力方向与运动方向相反，大小恒为f，重力加速度为g。则桥梁受架桥机水平力F作用过程中，下列说法正确的是（　　） A．桥梁向右做匀加速直线运动 B．力F做的功为 C．阻力做的功为 D．桥梁在处速度最大 【答案】C 【详解】B．由功的公式可知，图像与坐标轴所围的面积表示力F做的功，则力F做的功为 故B错误； C．由题可知，桥梁在受架桥机水平力F作用过程中，阻力恒定，桥梁在阻力方向上的位移为，则阻力做功为 故C正确； AD．对桥梁沿水平方向进行受力分析，由牛顿第二定律得 桥梁向前运动时，F越来越小，则桥梁加速度越来越小，当桥梁时，桥梁的加速度等于0，速度达到最大值，故AD错误。 故选C。 例3. 如图甲所示，质量m＝20 kg的物体静止在水平地面上，在水平推力F的作用下开始运动，水平推力（F）随位移（x）变化的图像如图乙所示。已知物体与地面间的动摩擦因数，取重力加速度大小g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列判断正确的是（　　） A．0~10 m内物体先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动 B．物体的位移在0~10 m的过程中，物体运动的时间等于4 s C．物体的位移在0~10 m的过程中，力F对物体所做的功为2000 J D．x＝10 m时，物体的动能为0 【答案】D 【详解】A．物体受到的滑动摩擦力大小为 0～5m过程，推力大于摩擦力，随着推力的减小，物体的加速度逐渐减小；5～10m过程，推力小于摩擦力，随着推力的减小，物体的加速度逐渐增大，故A错误； C．物体的位移在0~10 m的过程中，力F对物体所做的功为 故C错误； D．物体的位移在0~10 m的过程中，对物体由动能定理得 解得 故D正确； B．0~5m过程中，F做的功为 根据前面分析可知x=5m时，物体速度达到最大值vm，根据动能定理有 解得 设物体运动的时间为t1，物体先做加速度逐渐减小到加速运动，再做加速度逐渐增大的减速运动，作出物体运动的v-t图像如图所示。 根据v-t图像与t轴所围面积表示位移可知 解得 故B错误。 故选D。 例4.大力发展地铁，可以大大减少燃油公交车的使用，减少汽车尾气排放。无锡已经开通地铁1号线和2号线，其中1号线起点堪桥站，终点长广溪站，全长29.42km。若一列地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀加速运动20s，达到最高速度72km/h，再匀速运动80s，接着匀减速运动15s到达乙站停住。设列车在匀加速运动阶段牵引力为1×106N，匀速阶段牵引力的功率为6×103kW，忽略匀减速运动阶段牵引力所做的功。如果燃油公交车运行中做的功与地铁列车从甲站到乙站牵引力做的功相同，则燃油公交车排放气体污染物的质量是（燃油公交车每做1焦耳功排放气体污染物3×10-6g）（   ） A．2.00kg B．2.02kg C．2.04kg D．2.06kg 【答案】C 【详解】地铁匀加速运动阶段，牵引力做的功为 地铁匀速运动阶段，牵引力做的功为 地铁从甲站到乙站，牵引力做的总功为 燃油公交车运行中做的功为 燃油公交车牵引力每做1焦耳功，排放气体污染物为 故燃油公交车排放气体污染物的质量是 故选C。 例5.如图所示，质量为m的物块放在水平转台上，物块与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动。当角速度增至时，转台开始做匀速转动，整个过程物块与转台总是保持相对静止，则（    ） A．在角速度增至过程中，物块所受的摩擦力方向总是指向转轴 B．转台匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为 C．在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是 D．在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是0 【答案】C 【详解】A．在角速度增至过程中，即物块加速转动，则物块所受的摩擦力方向与速度夹角为锐角，不是总是指向转轴，选项A错误； B．转台匀速转动时，物块所受的摩擦力充当向心力，则摩擦力大小为选项B错误； CD．根据动能定理，在角速度增至过程中，摩擦力对物块做的功是选项C正确，D错误。故选C。 考点分析 3.功率的理解与计算 1. 平均功率的计算 (1)利用P=。 (2)利用P=Fvcos α,其中v为物体运动的平均速度,α为F与v的夹角。 2 .瞬时功率的计算 (1)利用公式P=Fvcos α,其中v为t时刻的瞬时速度,α为F与v的夹角。 (2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 (3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 典例分析 例1.杭州宇树科技携旗下机器人H1惊艳亮相2025年央视春晚。十几个人形机器人动作精准流畅，机械臂灵活挥舞着手帕，舞步充满科技感。其中有一个经典的动作是竖直上抛手绢，机械臂顶着手绢竖直向上运动一段距离后，手绢以4m/s的速度离开机械臂，然后在牵引绳的作用下，匀减速上升0.4m后落回。已知手绢的质量是0.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力，在手绢匀减速上升的过程中（　　） A．牵引绳拉力大小为4N B．牵引绳拉力大小为0N C．克服牵引绳拉力的平均功率为8W D．克服牵引绳拉力的平均功率为4W 【答案】D 【详解】AB．上升过程，由动能定理，有 解得牵引绳拉力大小为，故AB均错误； CD．上升为匀减速过程，克服牵引绳拉力的平均功率为，故C错误，D正确。 故选D。 例2.如图所示，质量m=10kg的箱子静止在光滑水平地面上，现用F=20N与水平方向成θ=60°斜向右上方的拉力拉箱子，箱子由静止开始向右运动。求： (1)箱子运动过程中的加速度； (2)3s内各力做的功； (3)拉力F在3s内做功的平均功率和3s末的瞬时功率。 【答案】(1)，方向水平向右 (2)见解析 (3)， 【详解】（1）由牛顿第二定律可得 解得箱子运动过程中的加速度大小为 方向水平向右。 （2）对箱子受力分析可知，箱子受重力、支持力和拉力，由做功公式 可知箱子在重力和支持力方向上的位移为0，则重力和支持力做功为0；物体在内的位移为 则拉力做功为 （3）拉力F在3s内做功的平均功率为 箱子在3s末的速度大小为 则拉力F在3s末的瞬时功率为 例3.如图所示，摆球质量为，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小不变，则在此过程中（　　） A．重力的瞬时功率先增大后减小 B．重力的瞬时功率在不断增大 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 【答案】AC 【详解】AB．在最初的位置，因为小球的速度为零，则重力做功的功率为零；在摆动过程中，重力与小球的速度成锐角，功率不为零；在最低点时，小球的速度与重力垂直，则重力做功的功率为零，由此可知，重力做功的功率先增大后减小，故A正确，B错误； CD．空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力做功为 故C正确，D错误。 故选AC。 例4.如图所示，质量为m=3kg的木块在倾角θ=37°的足够长的斜面上静止开始下滑，且木块与斜面的动摩擦因数为0.5。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；g=10m/s2），求： (1)前4s内重力做的功； (2)前4s内重力的平均功率； (3)4s末重力的瞬时功率。 【答案】(1)288J (2)72W (3)144W 【详解】（1）木块下滑过程，根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 则前4s木块的位移为 前4s内重力做的功 （2）前4s内重力的平均功率为 解得 （3）4s末木块的速度为 4s末重力的瞬时功率为 解得 考点分析 4.机动车启动方式 1. 机车以恒定的功率启动，由于牵引力，，v增大，F减小，阻力f不变，加速度a减小，∴机车做加速度减小的加速运动。当F=f时，a=0，开始做匀速直线运动，速度是。 【常考问题】这一过程牵引力做功：W=Pt（变力做功，t为运动时间） 2. 机车以恒定加速度a启动，由知，当加速度a不变时，发动机牵引力恒定；再由P=v知，一定时， P随v增大而增大，但当P增大到额定功率以后不再增大，设此时速度为v0，此后发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F减小，直至F=f时，a=0，车速达到最大值，此后做匀速直线运动。 典例分析 例1.一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示。已知汽车的质量为m=2000kg，汽车受到的阻力大小恒为车重力的0.1倍，g取10m/s2， 则（　　） A．汽车在前5s内受到的阻力大小为200N B．前5s内的牵引力大小为2000N C．汽车的额定功率为60kW D．汽车的最大速度为20m/s 【答案】C 【详解】A．汽车受到的阻力恒为车重的0.1倍，故阻力 故A错误； B．由题图知前5s内的加速度 由牛顿第二定律知前5s内的牵引力 故B错误； C．末达到额定功率 故C正确； D．当牵引力与阻力相等时，汽车达到最大速度，故最大速度为 故D错误； 故选C。 例2.2023年10月，“空中出租车”在上海试飞成功，完成首秀。质量为m的“空中出租车”在竖直方向的牵引力作用下，从静止开始竖直上升，其运动图像如图所示，0﹣t1为匀加速阶段，t1时刻“空中出租车”达到功率P并保持不变，运动过程中阻力大小恒定。下列说法正确的是（　　） A．整个过程牵引力保持不变 B．0﹣t2过程，牵引力做功为Pt2 C．阻力大小为 D．时刻“空中出租车”的功率为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，匀加速过程牵引力保持不变，功率达到P后牵引力逐渐减小，最后保持不变，故A错误； B．0﹣t2过程，匀加速阶段功率小于P，则整个过程中牵引力做功小于Pt2，故B错误； C．当速度达到最大速度v2时，根据平衡条件有f+mg 则阻力大小 故C错误； D．根据图像可知时刻“空中出租车”的速度为，牵引力F牵 则该时刻的功率为P′＝F牵 故D正确。 故选D。 例3.质量为m=1000kg的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的输出功率为额定功率且恒为P=42kW，且行驶过程中受到的阻力大小一定，汽车能够达到的最大速度为v=42m/s。求： (1)行驶过程中汽车受到的阻力大小； (2)当汽车的车速为时，求汽车的瞬时加速度的大小： (3)若汽车从静止开始以1.1m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？ 【答案】(1)103N (2)3m/s2 (3)18.2s 【详解】（1）汽车达到最大速度时，牵引力等于阻力，则 （2）当汽车的车速为时，则牵引力 加速度 （3）汽车匀加速运动的牵引力 加速结束时的速度 加速维持的时间 例4. “玉兔号”月球车成功抵达月背表面后，研究者对月球车模型的性能进行研究。月球车运动全过程的v-t图如图所示。月球车在t1~18s内以1.41×10-1W的额定功率行驶，在18s末关闭月球车的动力系统，运动过程中月球车受到的阻力大小不变，求月球车 (1)受到的阻力大小（保留2位有效数字）？ (2)质量（精确到1kg）？ (3)前15秒内的位移（保留2位有效数字）？ 【答案】(1) (2)135 (3)0.71m 【详解】（1），月球车匀速运动，牵引力等于阻力，月球车受到的阻力大小 （2）由，速度图像可得减速阶段的加速度大 由牛顿第二定律 联立解得月球车质量 （3）时间，月球车做匀加速直线运动，牵引力为 根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有 根据速度-位移公式 解得s，m 设﹣15s内的位移为，由动能定理得 则前15秒内的位移为 代入数据解得x=0.71m 考点分析 在于 5.动能定理的理解 1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 2．表达式：W＝ΔEk＝mv22－mv12。 (1)做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中“＝”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号。 (2)动能定理中的“力”指物体受到的所有力，既包括重力、弹力、摩擦力，也包括电场力、磁场力或其他力，功则为合力所做的总功。 典例分析 例1.一小球由如图所示轨道的O点以初速度v0=8m/s水平向左运动，经一段时间后经过轨道高度h处，该点距离地面的高度为h=2.5m，g取10m/s2，忽略小球与轨道之间的摩擦力，则小球达到h处的速度为（　　） A．7m/s B．8m/s C． D． 【答案】C 【详解】从出发点到最高点，由动能定理得 解得小球达到h处的速度为 故选C。 例2如图所示，运动员将质量为m的足球从水平地面上位置1以速度踢出，足球经过最高点（位置2），落在地面上位置3，位置2距离地面的高度为h，1与2和2与3间的水平距离不等。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．从1到2，足球动能的减少量大于mgh B．从1到2，足球动能的减少量小于mgh C．从1到2，足球的加速度保持不变 D．在位置2，足球的动能等于 【答案】A 【详解】C．由于1与2和2与3间的水平距离不等，结合题图可知，足球在空中受到空气阻力的作用，由于空气阻力是变力，所以从1到2，足球所受合力是变力，足球的加速度发生变化。故C错误； AB．从1到2，设克服空气阻力做功为，根据动能定理可得 可知足球动能的减少量大于mgh，故A正确，B错误； D．从1到2，根据动能定理可得 可知位置2，足球的动能为 故D错误。 故选A。 例3.如图所示，质量为m=0.5kg的小球，用长为l=1m的轻绳悬挂于O点的正下方P点。小球在水平向右拉力的作用下，在竖直平面内从P点缓慢地移动到Q点，Q点轻绳与竖直方向夹角为。不计空气阻力，g取。求： (1)在此过程中水平拉力对小球做的功W； (2)若小球运动到Q点时撤去水平拉力，小球开始下摆，小球回到P点时，对轻绳的拉力大小为多少？ 【答案】(1)2.5J (2)10N 【详解】（1）小球从P到Q的过程中，由动能定理得 解得在此过程中水平拉力对小球做的功 （2）小球从Q到P的过程中，由动能定理得 小球在P点为圆周轨道的最低点，由牛顿第二定律 解得 由牛顿第三定律可知小球回到P点时，对轻绳的拉力大小为 例4.如图所示，质量为M的电梯底板上放置一质量为m的物体。钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则（    ）    A．底板对物体的支持力做的功等于 B．物体所受合力做的功等于 C．钢索的拉力做的功等于 D．电梯所受合力做的功等于 【答案】D 【详解】AB．设地板对物体的支持力做的功为，对物体由动能定理得 解得 故AB错误； C．设钢索的拉力做的功为,对电梯和物体整体由动能定理得 解得 故C错误； D．由动能定理得，合力对电梯做的功等于，故D正确。 故选D。 例5.质量为m的物体，在水平面上以初速度v0开始滑动，经距离d时，速度减为。物体与水平面各处的动摩擦因数相同，则（　　） A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．克服摩擦力做的功为 C．物体再前进便停止 D．要使物体前进总距离为2d，其初速度应为 【答案】CD 【详解】AB．根据动能定理 即克服摩擦力做功为，根据 解得 AB错误； C．根据动能定理 解得 C正确； D．根据动能定理 解得 D正确。 故选CD。考点分析 6.应用动能定理处理多过程问题 1．解题流程 2．注意事项 (1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。 (2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。 (3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。 (4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。典例分析 例1.荡秋千是孩子们喜欢的一项运动。如图所示，秋千由两根长度均为L的细绳悬挂于固定横梁上，质量为m的小孩坐在秋千座椅上，初始时，大人用一水平外力使秋千静止，此时两绳与竖直方向夹角均为。不计秋千的质量，小孩可视为质点。重力加速度为g。 (1)当秋千静止时，求水平外力的大小F。 (2)将秋千从静止释放，秋千自由摆动，若不计空气阻力，求秋千摆到最低点时每根绳子的拉力大小T。 (3)若考虑空气阻力，求秋千从静止释放到停下的过程中空气阻力所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）秋千静止时，受三个力的作用：重力G、细绳拉力T和水平拉力F作用。根据共点力平衡知识得 解得 （2）不计空气阻力，秋千从静止摆到最低点的过程中，由机械能守恒得 秋千运动到最低点，拉力与重力的合力提供向心力，则有 解得 （3）若考虑空气阻力，秋千最终停在最低点。根据动能定理得 又 解得 例2.如图所示，在火星上执行救援任务中，工程师设计了一款应急轨道装置。水平轨道长度，与半径的四分之一竖直光滑圆轨道在底部相切且固定在水平地面上。一质量的物资箱从水平轨道最左端开始，在方向与水平面夹角、大小的恒力作用下，由静止开始沿着水平轨道运动，且整个运动过程中恒力始终存在。已知物资箱与水平轨道表面动摩擦因数，火星表面重力加速度，忽略空气阻力。求： (1)物资箱到达圆轨道底端时对轨道的压力的大小； (2)物资箱从静止开始到第一次落地过程中，距离水平轨道的最大高度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对物资箱进行受力分析，根据牛顿第二定律可得 竖直方向上根据受力平衡得 又 联立解得 在水平轨道的运动过程中，根据运动学公式得 解得 在圆轨道最低点，根据牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律可知，物资箱对轨道的压力大小为 （2）从圆轨道最低点到圆轨道最高点的过程中，外力做得功为 根据动能定理可得 解得 离开圆轨道后，在竖直方向上，物资箱做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律得 解得 根据运动学公式可得 到水平轨道的最大高度为 联立解得 例3.如图，某游乐场雪滑梯是由动摩擦因数均为μ=0.2的倾斜滑道和水平滑道平滑连接组成。已知倾斜滑道AC的高度H=11m，它与水平地面夹角θ=25°，水平滑道CD长度为L。水平滑道末端有一光滑圆弧形冰坑DE、冰坑DE两点高度相等，冰坑圆弧半径R=90m，R远大于弧长DE。游客从雪滑梯顶部A点无初速度下滑，恰好运动到D点。取重力加速度大小g=10m/s²，sin25°=0.4，cos25°=0.9。 (1)求水平滑道的长度L； (2)若游客以很小的初速度（可忽略）从A点下滑到达E点，求该游客从A点到E点所用的时间t（结果用π表示）。 【答案】(1)30.25m (2)19.9s 【详解】（1）由动能定理 解得 （2）因游客以很小速度开始下滑，因此可看成初速度为0，设游客在倾斜滑道的加速度为a1，滑行时间为t1，到达C点时速度为v0；在水平滑道的加速度为a2，滑行时间为t2，由牛顿第二定律 解得 根据位移时间关系可得 解得 根据速度时间关系可得 解得 根据牛顿第二定律可得， 解得 因为冰坑为光滑弧面，且半径远大于弧长，则游客在冰坑中的运动可看成等效单摆，根据单摆周期公式 可得 综上 例4.在极限运动竞技场中，选手通过操控物块完成三个阶段的挑战，分别是极速下滑、障碍滑行和凌空飞跃。现简化运动轨道模型如图所示，在竖直平面内，光滑斜面下端与水平面平滑连接于点，水平面与光滑半圆弧轨道相切于点，点在圆心点正上方，点与圆心等高。一物块（可看作质点）从斜面上A点由静止释放，物块通过半圆弧轨道点且沿水平方向飞出，最后落到水平面上的点处（图中未标出）。已知、两点距离，圆弧轨道半径，斜面上A点距离水平面的高度，、两点距离，重力加速度取。求： (1)物块与水平面间的动摩擦因数； (2)将物块仍从斜面A点上由静止释放，调节半圆弧轨道与点距离，使得物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，则水平面的长度应满足的条件。 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）物块从点飞出到落在点，做平抛运动，则有， 联立，解得物块通过点时的速度大小为 物块从点到点过程，根据动能定理可得 代入数据，解得物块与水平面间的动摩擦因数为 （2）若物块刚好通过点，则有 解得 根据动能定理可得 解得 若物块刚好可以运动到与圆心等高处，根据动能定理可得 解得 若物块刚好可以运动到点，根据动能定理可得 解得 综上分析可知，要物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，水平面的长度应满足或。 巩固练习 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）今年国庆期间深圳龙岗大运城万架无人机表演特别震撼，每架无人机携带着显像屏从地面升空到达表演地点。如图，一架无人机竖直升空过程先从静止做匀加速运动再做匀减速运动至静止，下列说法正确的有（　　） A．显像屏一直处于超重状态 B．无人机对显像屏支持力先做正功后做负功 C．显像屏克服重力做功的功率先增大后减小 D．无人机及显像屏构成系统上升过程机械能守恒 【答案】C 【详解】A．一架无人机竖直升空过程先从静止做匀加速运动再做匀减速运动至静止，可知加速度方向先向上后向下，则显像屏一直先处于超重状态，后处于失重状态，故A错误； B．人机对显像屏支持力方向一直向上，支持力做正功，故B错误； C．根据，由速度先增大后减小，则显像屏克服重力做功的功率先增大后减小，故C正确； D．无人机及显像屏构成系统加速上升过程，动能增加，重力势能增加，机械能增加，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·浙江·期中）巴黎奥运会中国选手郑钦文为中国赢得首枚奥运网球单打金牌。如图为郑钦文将网球水平击出，若不计空气阻力，则网球在空中运动过程中（　　） A．运动时间与击出时速度有关 B．网球拍对网球始终做正功 C．加速度方向跟速度方向始终垂直 D．相等时间内速度变化量相等且方向竖直向下 【答案】D 【详解】A．根据竖直方向运动时间只与竖直高度决定，与击出时速度无关，选项A错误； B．网球被击出后在空中运动时，拍对网球不做功，选项B错误； C．加速度方向总是竖直向下，不一定跟速度方向始终垂直，选项C错误； D．加速度方向总是竖直向下且为g，可知相等时间内速度变化量相等且方向竖直向下，选项D正确。 故选D。 3．（2025·辽宁·二模）打冰出溜是一种极具东北地方特色的冬季娱乐活动，打冰出溜过程可分为助跑阶段和滑行阶段。若助跑阶段鞋与冰面不打滑，可视为匀加速直线运动；滑行阶段人保持姿势不变，可视为匀减速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．助跑阶段，冰面对人的摩擦力向后 B．助跑阶段，人对冰面做负功 C．滑行阶段，人对冰面的摩擦力向前 D．助跑阶段，人加速运动，若鞋与冰面发生相对滑动，则冰面对人的摩擦力大于人对冰面的摩擦力 【答案】C 【详解】A．助跑阶段，冰面对人的摩擦力向前，摩擦力为动力，故A错误； B．助跑阶段，冰面静止不动，人对冰面不做功，故B错误； C．滑行阶段，冰面对人的摩擦力向后，则人对冰面的摩擦力向前，故C正确； D．冰面对人的摩擦力与人对冰面的摩擦力是一对相互作用力，大小总是相等，故D错误。 故选C。 4．（2025·广东汕头·二模）在江南水乡，撑篙行舟是一种传统的水上交通方式。如图所示，船夫使用一根竹篙倾斜撑向河底，就能让船夫和小船一起缓慢向右运动离岸。小船缓慢离岸的过程中，竹篙对河底力的作用点不变，对该过程分析正确的是（    ） A．竹篙对河底做正功 B．小船受到的合力向左 C．小船受到船夫的摩擦力向右 D．船夫受到小船的支持力的冲量为零 【答案】C 【详解】A．竹篙对河底有力的作用，但河底在这个力的方向上没有发生位移，所以竹篙对河底不做功，故A 错误； B．因为小船缓慢向右运动，处于平衡状态，根据平衡条件，物体处于平衡状态时合力为零，所以小船受到的合力为零，故B 错误； C．船夫和小船一起缓慢向右运动，船夫相对小船有向右的运动趋势，所以小船对船夫的摩擦力向左，根据牛顿第三定律可知，小船受到船夫的摩擦力向右，故C正确； D．根据 因船夫受到小船的支持力不零，运动的时间也不为零，故船夫受到小船的支持力的冲量不为零，故D错误。 故选C。 5．（24-25高三下·贵州·阶段练习）春节期间，处处喜气洋洋，热热闹闹，爆竹和鞭炮的声音驱除了所有的烦恼。如图所示，有一种火炮叫“窜天猴”，深受小孩子欢迎，小孩在燃放“窜天猴”的过程中，被点燃的“窜天猴”先加速上升，然后经历一段无动力飞行后爆炸，不计空气阻力，“窜天猴”在无动力飞行过程中，任意相同的时间内，下列说法正确的是（　　） A．动量变化率相同 B．重力做功相同 C．动能变化相同 D．合力做功的平均功率相同 【答案】A 【详解】A．窜天猴在无动力飞行过程中，窜天猴只受重力作用，根据动量定理有 解得 可知，任意相同的时间内，窜天猴动量变化率相同，故A正确； B．窜天猴在无动力飞行过程中，窜天猴只受重力作用，做竖直上抛运动，在任意相同的时间内，位移不相等，则重力做功不相同，故B错误； C．根据动能定理有 结合上述，在任意相同的时间内，位移不相等，则动能变化不相同，故C错误； D．窜天猴只受重力作用，则合力做功的平均功率 由于在任意相同的时间内，位移不相等，则合力做功的平均功率不相同，故D错误。 故选A。 6．（2025·四川乐山·三模）如图1所示是某款小游戏，物体需要从平台A跳跃到前方更高的平台B上。假设不同的操作方式会使物体的运动轨迹出现如图2所示的两种情况，则由图2可推断出（　　）    A．轨迹甲的起跳速度较大 B．轨迹乙的运动时间较长 C．两条轨迹最高点速度相同 D．两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同 【答案】D 【详解】B．轨迹甲乙做斜抛运动，可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。由于两种情况下在竖直方向都做竖直上抛运动，且上升的最大高度相同，都落到同一水平面上，所以它们在空中运动的时间相等，故B错误； AC．由于轨迹甲和乙落地点的距离不同，且它们在空中运动的时间相等，根据水平方向的匀速直线运动规律可知，轨迹乙水平方向的初速度分量较大，即乙轨迹最高点速度大，上升高度相等，竖直初速度也相等，根据速度的合成可知，轨迹乙初速度较大，故AC错误； D．由图可知轨迹甲乙上升的高度相同，竖直分速度相同，根据瞬时功率表达式 可知两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同，故D正确。 故选D。 7．（2025·安徽·三模）奥运会女子艺术体操的球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩起舞的过程中，有时会手持球在竖直平面内做圆周运动，这一过程可近似看做半径为L的匀速圆周运动，运动过程中球所受的空气阻力大小恒为f，且f小于球的重力，方向与运动方向相反，当地重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　） A．转到圆心正上方时的最小速度一定是 B．转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力大小相等 C．转动一周的过程中两次经过圆心等高点时，手对球的作用力大小相等 D．转动一周的过程中人对球做功为2πLf 【答案】D 【详解】A．球在竖直平面内做匀速圆周运动时，速率恒定，因此各点速度大小相同。最高点的最小速度通常由重力提供向心力（即），但题目中球受手的力和空气阻力作用，向心力由手的作用力、空气阻力和重力的合力提供，故最高点速度不一定是，故A错误； B．球在竖直平面内做匀速圆周运动时，向心力大小保持不变，转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力切向分力平衡空气阻力，而法向分力和重力的合力提供向心力，最高点法向分力为，最低点为，根据力的合成可知在最高点和最低点手对球的作用力大小不等，故B错误； C．转动过程中两次经过圆心等高处（圆心左右两侧），手对球的作用力法向分力提供向心力，但切向分力需要平衡重力和空气阻力的合力，假设球做逆时针方向的匀速圆周运动，右侧切向分力为，左侧为，根据力的合成可知在圆心等高点手对球的作用力大小不等，故C错误； D．根据动能定理，转动一周动能不变，合外力做功为，则人对球做功与空气阻力做功之和为 有 而空气阻力做功为 所以人对球做功为 故D正确。 故选D。 8．（24-25高一下·江苏泰州·期中）某同学将一小石块从高h处以初速度，方向与水平成θ角，斜向上抛出后落于地面上，水平射程为x，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．落地时的动能与抛射角θ的取值有关 B．落地时重力的功率与抛射角θ的取值有关 C．保持其他条件不变，仅将抛射角变为斜向下抛出，小石块的水平射程仍为x D．保持其他条件不变，仅调整初速度为时，小石块的水平射程变为2x 【答案】B 【详解】A．根据动能定理可知，落地时的动能 可知落地时的动能与抛射角θ的取值无关，选项A错误； B．落地时重力的功率 其中 可知，落地时重力的功率与抛射角θ的取值有关，选项B正确； C．角度未变时 保持其他条件不变，仅将抛射角变为斜向下抛出，则水平速度不变，根据 可知 即运动时间减小，则根据x=vxt 可知小石块的水平射程小于x，选项C错误； D．根据， 解得 可知x不是与成正比，可知保持其他条件不变，仅调整初速度为时，小石块的水平射程不是变为2x，选项D错误。 故选B。 9．（2025·山东日照·二模）如图甲所示为一小女孩在水泥管内踢球的情境，整个过程可简化为图乙。固定的竖直圆形轨道半径为R，圆心为O，轨道上的C点和圆心O点的连线与水平方向的夹角为37°。某次踢球时，小女孩把球从轨道最低点A水平向左踢出，球在第一次经过C点后恰好能通过最高点B，当球第二次到达C点时，恰好离开轨道并落入书包内，接球时书包与直径AB的水平距离为0.2R。已知球从A点刚被踢出时的速度是经过B点时速度的3倍，球的质量为m，球与轨道间的动摩擦因数处处相等，重力加速度为g，球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．球从A到B和从B到A的过程中，摩擦力做功相等 B．球从A到B的过程中，摩擦力做功为2mgR C．球第二次到达C点的速度大小 D．接球时书包离A点的竖直高度为0.8R 【答案】C 【详解】A．球从A到B的过程比从B到A的过程中到达相同高度时速度大，因此A到B的过程球对轨道的压力更大，摩擦力也更大，摩擦力做功更多，A错误； B．由球在第一次经过C点后恰好能通过最高点B，故在B点 得，则 球从A到B的过程运用动能定理有 解得，B错误； C．当球第二次到达C点时，恰好离开轨道并落入书包内，则有 解得，C正确； D．离开轨道球做斜抛运动，将分解， ， 水平方向有 竖直方向有 则接球时书包离A点的竖直高度 联立解得，D错误。 故选C。 二、多选题 10．（24-25高三下·广东·阶段练习）中国选手郑钦文在2024年法国巴黎奥运会网球女子单打比赛中成功夺冠，为国争光。如图，她将质量为m的网球从离地高度为h处以初速度水平击出，第一次落地后反弹的动能为落地前瞬间动能的，忽略空气阻力，重力加速度为g，则网球（　　）    A．从击出到第一次落地的时间为 B．击出点与第一次落地点的距离为 C．第一次落地时重力的瞬时功率为 D．反弹到达最高点的重力势能为 【答案】AC 【详解】A．网球击出后做平抛运动，竖直方向有 解得 故A正确； B．击出点与落地点的水平距离为 则击出点与第一次落地点的距离为 故B错误； C．网球落地时沿重力方向的速度大小为 故重力的瞬时功率为 故C正确； D．网球从击出到第一次落地机械能守恒，则有 落地反弹的机械能为 由于网球在最高点还有动能，故弹到最高点的重力势能小于，故D错误。 故选AC。 11．（2025·河北·模拟预测）一新款小型电动汽车上市前进行了直线驾驶性能检测，汽车运动的位移（x）与速度的平方（）关系的图像如图所示，当汽车位移为20m时，电动机功率达到额定功率，之后保持额定功率运行。已知汽车质量为1.2t，所受阻力恒定，下列说法正确的是（　　） A．汽车启动后先做匀加速直线运动，加速度大小为 B．汽车运动过程中所受阻力大小为 C．汽车共经12s运动至位移62.5m处 D．汽车运动62.5m的过程中，电动机共做功 【答案】AC 【详解】A．0~20m内，图像的表达式为 结合匀变速直线运动公式可知，汽车做匀加速直线运动，加速度大小为 故A正确； B．由图可知，20m时，汽车速度 根据牛顿第二定律有 可得汽车运动过程中所受阻力 故B错误； C．由得，0~20m所用时间 62.5m时汽车开始匀速运动，速度大小 在20~62.5m间，由动能定理可得 解得20~62.5m运动时间 汽车运动至位移62.5m处共用时 故C正确； D．汽车运动62.5m过程中，电动机共做功 故D错误。 故选AC。 12．（2025·河北秦皇岛·一模）跳水比赛时，运动员离水面一定高度处竖直向上跳起，以跳起时为计时起点，记录该运动员的位移一时间图像如图所示，时刻运动到最高点，时刻运动到水面。不计空气阻力，运动员视为质点，运动员所受重力大小为，下列说法正确的是（　　） A． B．和时刻速度大小之比为 C．时刻，运动员所受重力的功率为0 D．时间内，运动员所受重力的平均功率为 【答案】BC 【详解】A．因为不计空气阻力，所以运动员在时间内做竖直上抛运动，时刻运动到最高点，所以运动员初始位置的高度和运动员在最高点的高度之比为 故A错误； B．结合前面分析可知，则和时刻速度大小之比为 故B正确； C．时刻，运动员到达最高点，速度为零，根据功率公式可知，运动员所受重力的功率为0，故C正确； D．时间内运动员重力所做的功为 重力的平均功率为 故D错误。 故选BC。 三、解答题 13．（2025·北京海淀·一模）如图所示，运动员以一定速度从P点沿水平方向离开平台，恰能从A点与轨道相切进入粗糙圆弧轨道AC，沿圆弧轨道在竖直平面做圆周运动。已知运动员（含装备）质量m=50kg，运动员进入圆弧轨道时的速度大小vA=10m/s，圆弧轨道的半径R=4m，圆弧轨道AB对应的圆心角∠。测得运动员在轨道最低点B时对轨道的压力是其总重力的3.8倍。取重力加速度， ，。将运动员视为质点，忽略空气阻力。求： (1)运动员从P点到A点运动过程所用时间t； (2)运动员在B点时的动能； (3)在圆弧轨道AB段运动过程中，摩擦力对运动员所做的功W。 【答案】(1)0.6s (2)2800J (3)-100J 【详解】（1）由于运动员从P到A的运动过程为平抛运动，且vA=10m/s，故运动员在A点竖直方向速度 解得 （2）在B点由牛顿第二定律得 由牛顿第三定律可知 运动员在B点的动能 解得 （3）运动员从A到B过程，由动能定理得 解得 所以在圆弧轨道AB段运动过程中，摩擦力对运动员所做的功为-100J。 14．（2025·重庆·三模）2025 除夕夜央视春晚重庆分会场 7 分钟的时间里 ，2025 架无人机在夜空中组成了多种图案， 包括“2025 新春快乐”“你好新重庆”等字样，为全市群众送上新春佳节的祝福。无人机在夜空中实现了精确  编队和动态图案变换，打破传统烟花表演形式。 如图所示， 四轴遥控无人机是首要选择 ，极其方便。 质量 m=2kg 的能够垂直起降的小型遥控无人机，在某段时间里无人机在直角坐标系xOy 所在的平面内运动规律分别为，，水平向右为x 轴正方向 ，竖直向上为y 轴正方向 ，g取 10m/s2。求： (1)该无人机上升到最高点的速度； (2)无人机上升到最高点合外力做的总功。 【答案】(1)，方向水平向右 (2) 【详解】（1）根据 结合匀变速直线运动位移时间公式 可知无人机的水平初速度为，水平加速度为 根据 结合匀变速直线运动位移时间公式 可知无人机的竖直初速度为，竖直加速度为 则无人机上升到最高点所用时间为 此时无人机的速度为 方向水平向右。 （2）无人机的初速度为 人机上升到最高点时，根据动能定理可得合外力做的总功为 15．（2025·四川成都·三模）如图所示，水上乐园游戏中游客仅在自身重力及不可伸长的轻绳拉力作用下绕悬点O运动，经最低点B到达绳子与竖直方向成的C点时，游客松手并最终落入水中。已知游客在空中运动到最高点D时的速度大小v=4m/s，游客质量m=50kg，绳长L=5m，游客可视为质点，不计一切阻力，sin37°=0.6，重力加速度大小为g=10m/s2。 (1)游客摆到最低点B时，求绳子对游客拉力T的大小； (2)若D点距水面的竖直高度H=1.25m，求C点到落水点的水平距离x。 【答案】(1)T=950N (2) 【详解】（1）游客从C点抛出时的水平分速度，由运动合成与分解得 从B点到C点，对游客由动能定理得 在B点对游客由牛顿第二定律得 代入数据解得T=950N （2）从C点运动到D点，竖直初速度为，时间为，此过程的水平位移为，由运动合成与分解得 竖直方向有 水平方向有 从D点平抛到水中运动时间为，此过程的水平位移为，得、 游客从C到落水点的水平距离为 轻松学物理 1 学科网（北京）股份有限公司 $$