精品解析：浙江省强基联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

浙江强基联盟2025年5月高二联考 数学试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2. 已知为虚数单位，若，则实部为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及实部定义求解. 【详解】因为，所以，所以的实部为. 故选:A. 3. 若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（ ） A 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根两点之间线段最短可得线段和的最小值. 【详解】由题意知为圆的直径，根据两点之间线段最短， 的最小值为4 故选:D. 4. 已知是定义在上的奇函数，若时，函数的值域是，则函数在区间上的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质可求函数在的值域，故可得在该区间上的最大值. 【详解】若，则，所以. 因为是定义在上的奇函数，所以， 则，所以，故在上的最大值为. 故选：A. 5. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律可得，再根据投影向量公式可求投影向量. 【详解】设向量的夹角为，因为，可得， 所以在的投影向量为. 故选：B. 6. 从中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合可求基本事件的总数，利用枚举法可得随机事件中基本事件的个数，故可求概率. 【详解】设取出的3个不同的数分别为，不同的取法共有种， 若这3个数构成等比数列，则有. 故可以的取值有或或或. 从而所求概率为. 故选：B. 7. 若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得点到圆心距离，进而由，即可求解. 【详解】由，则圆心，半径， 所以点与圆心的距离， 所以， 则，. 所以. 故选：C. 8. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定的单调性，构造函数并探讨奇偶性，再利用性质求解不等式. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 令，则函数在上单调递增， ，即函数是奇函数， 不等式 ，则， 依题意，在上恒成立，而当时，，当且仅当时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 故选：D 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是点 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简，再利用余弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数是偶函数，A错误； 对于B，函数的最小正周期为，B正确； 对于C，，所以点是图象的一个对称中心，C正确； 对于D，令，解得， 函数的单调递减区间为，，D正确. 故选：BCD 10. “杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 第6行中，有两个相等的最大数 B. 第3行以后，第一次出现全为奇数的行是第8行 C. 第行所有数之和为 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”的性质写出第第6行的数字即可判断A；写出第7行的数字即可判断B；根据二项式系数和求解判断C；根据“杨辉三角”的性质即可判断D. 【详解】对于A，第6行中共有7个数字，分别为，中间有唯一最大数字20，故A错误； 对于B，第7行中共有8个数字，分别， 故第3行以后，第一次出现全为奇数的行应该是第7行，故B错误； 对于C，由二项式系数的性质，得第行所有数之和为，C正确； 对于D，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和， 则，D正确. 故选：CD 11. 已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接代入计算即可；对B，利用反证法即可证明，对C，通过不断代入得到，再结合其单调性即可判断C，对D，通过代入归纳总结得到时，，再代入合理值即可判断. 【详解】对A，在原式中令，则，故A正确； 对B，若，单调递增，则，则，即矛盾，舍去，故，故B正确； 对C，由得，则，则， ，，原式中令， 令，因为递增数列，C错； 对D，由，令，由单调递增， ，令，令则， 则时，，且， 则时，时，， 当时，时，， 原式中令， 同理由，D正确， 故选：ABD． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆台的上､下底面半径分别为2和4，母线为4，则圆台的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆台的上､下底面半径分别为2和4，母线长为4， 所以圆台的侧面积为. 故答案为：. 13. 定义：.已知分别为的三个内角所对的边，若，且，则面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设有求余弦值，结合三角形内角性质得，在应用三角形面积公式、基本不等式求面积最大值. 【详解】由题，知，化简得， 又为三角形内角，解得，则， 因为，当且仅当时等号成立. 故答案为： 14. 抛物线的焦点为，准线为和为上位于第一象限的两点，若，过分别作的垂线，垂足分别为和，已知，则的外接圆的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】不妨设在的左侧，设，延长交于，利用抛物线的定义可得进行角的关系转化后可得，再利用正弦定理可求外接圆的半径后可得其面积. 【详解】不妨设在的左侧，延长交于， 设，则，故， 而， 所以， . 因为，所以. 因为，所以，所以， 因此的外接圆的面积为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析,0.6 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1求解； （2）根据超几何分布求解概率； （3）利用二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据频率之和等于1可得， ，解得. 【小问2详解】 由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 【小问3详解】 由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望为. 16. 已知函数. （1）若存在极小值，且极小值为0，求； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据的情况分类讨论，求函数的极小值，令讨论单调性即可求解； （2）由恒成立，得，令，利用导数研究单调性求最小值即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，所以函数无极值， 当时，，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 令，所以， 由有，有， 所以在单调递增，在单调递减，且， 所以. 【小问2详解】 因为不等式恒成立，即，得， 即. 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 17. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且. （1）求三棱锥的体积最大值； （2）求直线与平面所成角正弦值的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由底面面积最大时，三棱锥的体积最大.即可求解； （2）建系，求得直线方向向量及平面法向量，代入夹角公式，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由于三棱锥的高，所以当底面面积最大时，三棱锥的体积最大. 又是底面圆的一条直径，所以当时，底面的面积最大. 此时. 【小问2详解】 如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系系，则， 设平面的一个法向量为， 记，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为 ， 当且仅当时等号成立. 故直线与平面所成角正弦值的最大值为. 18. 梅纳库莫斯（前375—前325）首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点.椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为4.任取椭圆上非长轴端点，其切线为在的射影为点. （1）求椭圆的方程； （2）证明为定值； （3）已知切线与直线相交于两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）根据焦点及椭圆定义列式求解得出椭圆的方程； （2）根据图形特征结合定义计算求值； （3）先设切线方程为：，结合圆的方程应用在圆上计算求参即可. 【小问1详解】 根据题意，椭圆的中心在坐标原点，焦点为， 所以椭圆的方程为，其中，且. 又因为由发出的光线经椭圆一次反射后到经过的路程为4， 所以，因此， 则椭圆方程为. 【小问2详解】 延长交于点， 则. 故为定值. 【小问3详解】 设椭圆上点，其切线方程为：. 切线与直线和的交点分别为和. 以为直径的圆的方程为： . 若存在满足条件的定点，则可设在圆上， 代入得：. 化简得： 利用椭圆方程，可得， 因此：，即，所以. 即的坐标为或. 19. 对三元正整数数列，定义变换为：，持续操作直至数列全零时终止. （1）写出数列经过次“变换”后得到的数列； （2）设初始数列，求经过次“变换”后得到的最终数列，并判断最终数列与初始数列是否有结构上的关联； （3）设数列经过次“变换”后得到的数列各项之和最小，求的最小值. 【答案】（1） （2）最终数列与初始数列结构上一致，均为型数列. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中“变换”的定义可得出结果； （2）列出次变换，即可证得结论成立； （3）分析可知，数列经过次“变换”后仍保持该结构，其变化规律为：除数值，其余两项各递减，根据，并列举出之后所实施的变换，数列和最小值已达成，后续变换进入循环周期，各项和不再递减，即可得出的最小值. 【小问1详解】 由题知，次变换后得到的数列依次为. 所以数列经过次“变换”后得到的数列为. 【小问2详解】 对于初始数列，次“变换”过程依次为： ， 所以该数列经过次“变换”后得到的结果为. 最终数列与初始数列结构上一致，均为型数列. 【小问3详解】 数列经过一次“变换”后得到数列， 其结构为型数列， 依据（2）结论可知，数列经过次“变换”后仍保持该结构， 其变化规律为：除数值，其余两项各递减， 因为，故数列经过次“变换”后得. 随后实施变换所得数列依次为：. 此时数列和最小值已达成，后续变换进入循环周期，各项和不再递减. 故经次“变换”后数列各项和取得最小值， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江强基联盟2025年5月高二联考 数学试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则的实部为（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 4. 已知是定义在上的奇函数，若时，函数的值域是，则函数在区间上的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 从中取三个不同数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若过点且与圆相切两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是点 D. 在上单调递减 10. “杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 第6行中，有两个相等的最大数 B. 第3行以后，第一次出现全为奇数行是第8行 C. 第行所有数之和为 D. 11. 已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆台的上､下底面半径分别为2和4，母线为4，则圆台的侧面积为______. 13. 定义：.已知分别为的三个内角所对的边，若，且，则面积的最大值为__________. 14. 抛物线的焦点为，准线为和为上位于第一象限的两点，若，过分别作的垂线，垂足分别为和，已知，则的外接圆的面积为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 16. 已知函数. （1）若存在极小值，且极小值为0，求； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 17. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且. （1）求三棱锥的体积最大值； （2）求直线与平面所成角正弦值的最大值. 18. 梅纳库莫斯（前375—前325）首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点.椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为4.任取椭圆上非长轴端点，其切线为在的射影为点. （1）求椭圆的方程； （2）证明定值； （3）已知切线与直线相交于两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由. 19. 对三元正整数数列，定义变换为：，持续操作直至数列全零时终止. （1）写出数列经过次“变换”后得到的数列； （2）设初始数列，求经过次“变换”后得到的最终数列，并判断最终数列与初始数列是否有结构上的关联； （3）设数列经过次“变换”后得到的数列各项之和最小，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$