专题17 幂函数（2个知识点+9大题型）（讲义+精练）-2025年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题17 幂函数 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型一：幂函数的概念 【例1】下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：B. 【变式1-1】（2025·高一·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，易知不是幂函数，错误； 对于B，易知其为偶函数，错误； 对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为， 又，奇函数，正确； 对于D，易知其为偶函数，错误； 故选：C 【变式1-2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：C. 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 题型二：求函数解析式 【例2】（2025·高一·广西柳州·开学考试）下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于幂函数为奇函数，而AB选项的解析式非奇函数，故可排除， 对于C，为奇函数，但是，故可排除， 对于D，为奇函数，且经过两点，满足题意， 故选：D. 【变式2-1】（2025·高一·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设，则，可得，解得，故. 故选：D. 【变式2-2】已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是幂函数， 所以，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故选：D 【变式2-3】已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 题型三：定义域问题 【例3】（2025·高一·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为. 故选：B 【变式3-1】（2025·高一·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 【变式3-2】（2025·高一·湖北·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 【变式3-3】（2025·高一·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 题型四：值域问题 【例4】（2025·高一·江苏南通·期中）已知函数. (1)若，求的值; (2)若，求函数的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 两边平方可得，所以 （2）因为， 所以， 令，则，当且仅当时， 即时，等号成立，即， 所以，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 即时，， 所以函数的最小值为. 【变式4-1】（2025·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【解析】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 【变式4-2】（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 【变式4-3】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 题型五：幂函数的图象 【例5】如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取四个值，则相对应的曲线的n值依次为（   ） A．2， B．，2 C．，2 D．，2 【答案】A 【解析】可在直线的右侧作一条垂直于x轴的直线，如．观察直线与各图象的交点，交点越高，其幂函数的n值越大． 【变式5-1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，的图象如图所示，又知为偶函数，所以图象关于轴对称． 【变式5-2】幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数的图象经过的“卦限”是（   ） A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤ 【答案】D 【解析】取得，故在第⑤卦限；再取得，故在第①卦限． 【变式5-3】（2025·高一·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C 题型六：定点问题 【例6】（2025·高一·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【解析】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【变式6-1】（2025·高一·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【解析】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 【变式6-2】（2025·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 【变式6-3】若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为过定点， 将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：， 所以过定点. 故答案为. 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 【例7】（2025·高一·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 【变式7-1】已知幂函数在上是减函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由函数为幂函数得， 解得或， 又函数在上是减函数，则，即， 所以，； （2）由（1）得，所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以解得，所以实数的取值范围是. 【变式7-2】已知幂函数的图象经过点. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）设，则有，解得， 故，所以. （2）由，知，且在上单调递增， 故有，得，得. 【变式7-3】已知，求实数的取值范围. 【解析】由题意即， 故，即，解得. 题型八：比较大小 【例8】已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 【变式8-1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 【变式8-2】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减， 所以，即． 故选：B. 【变式8-3】（2025·高一·天津·期中）已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 幂函数在上单调递增， 因为, 所以, 即, 所以, 故选：D. 题型九：幂函数性质的综合运用 【例9】（2025·高一·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【解析】（1） 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，满足， 当时，，不满足，所以． （2）由（1）得．由，得． 因为， 所以． 又a，b均为正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为8． 【变式9-1】（2025·高一·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 【变式9-2】（2025·高一·山东威海·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【解析】（1）由，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则. 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由. 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 【变式9-3】（2025·高一·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 1．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以将函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度就可以得到的图象，所以D正确． 2．（2025·高一·四川泸州·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【解析】是幂函数， 则，即，解得或， 所以是为幂函数的充分不必要条件， 故选：D 3．设幂函数的图象经过点．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法1  设幂函数为，将代入得，所以在上为增函数，又，所以，即，故． 解法2（特殊值法）  同解法1知幂函数为，不妨设，，则有，，，，从而可得C正确． 4．若函数是幂函数，则实数的值是（   ） A．1或 B． C．2 D．或2 【答案】D 【解析】由幂函数的定义知，解得或． 5．（2025·高一·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 6．（2025·高一·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【解析】由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去； 当时，在上单调递增，满足题意，故； 故选：B. 7．已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：A 8．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立，所以该函数在是减函数， 所以，故A，B错误； ，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：D. 9．（多选题）幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】AC 【解析】当时，的定义域和值域均为，故A正确；当时，的定义域为，值域为，故B错误；当时，的定义域为，值域为，故C正确；当时，的定义域为，值域为，故D错误． 10．（多选题）下列关于幂函数的性质，描述正确的有（   ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与轴有且只有一个交点 【答案】CD 【解析】幂函数在和上是减函数，但是在定义域上不单调，故A错误；当时，函数是幂函数，故B错误；是偶函数，故C正确；当时，函数为，当时，只有唯一解，故D正确． 11．（多选题）（2025·高一·河北张家口·开学考试）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域是 C．为奇函数 D．为定义域上的减函数 【答案】AB 【解析】设幂函数， 因为幂函数的图象经过点， 则，可得，即， 对于选项A：令，可得， 所以的定义域为，故A正确； 对于选项B：因为，则，可得， 所以的值域是，故B正确； 对于选项CD：因为， 所以不为奇函数，且在定义域内不为减函数，故CD错误； 故选：AB. 12．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，所以为正偶数，所以，则不等式，即．因为函数在上单调递减，所以或或解得或，所以满足的a的取值范围是． 13．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由条件得，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得． 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【解析】由题意知函数在区间上单调递增，所以，解得，由得．又的图象关于轴对称，所以为偶数，所以，所以．不等式等价于，解得或． 15．（2025·高一·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 16．（2025·高一·辽宁·开学考试）已知幂函数为偶函数. (1)求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为是幂函数， 故，解得或； 当时，，定义域为，满足，函数为偶函数， 当时，，定义域为，函数非奇非偶函数，不符题意； 故，，其单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）知为偶函数，单调增区间为，单调减区间为. 由于，故， 即且，解得或， 即的取值范围为， 17．（2025·高三·江西宜春·期末）已知幂函数在上单调递增，二次函数. (1)求实数的值. (2)当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. 【解析】（1）由幂函数在上单调递增， 则且，整理可得且， 解得. （2）由（1）可知，由，则， 由题意可得在上恒成立，即， 当时，不等式为在上显然成立，符合题意； 当时，令， 当时，可得，解得； 当时，二次函数的对称轴为直线，则， 可得，解得，此时. 综上可得. 18．（2025·高一·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 【解析】（1）设（为常数），则，所以， 所以函数的解析式为，定义域为，其图象如图所示. （2）函数在上单调递减.证明如下： 根据题意，得函数，定义域为. ，，且， . 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 19．（2025·高一·陕西·期末）若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”． (1)若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”； (2)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值； (3)设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值． 【解析】（1）易知函数在上单调递增， 当时，， 即函数的定义域与值域均为， 是“闭区间同域函数”． （2）函数的图象开口向上，对称轴为直线， 函数在上单调递增， 当时，， 即， 所以，解得或（舍）． 当时，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，符合题意． 正实数的值为1． （3）由题意得， 所以的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线，且， 当时，在上单调递增， ， 所以是方程的两根， 令，解得或，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，， ①当时，，不符合题意； ②当时，，解得． 经检验，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”， 综上，，． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 幂函数 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型一：幂函数的概念 【例1】下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【变式1-2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 题型二：求函数解析式 【例2】（2025·高一·广西柳州·开学考试）下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A．或 B． C． D． 【变式2-3】已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型三：定义域问题 【例3】（2025·高一·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高一·湖北·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四：值域问题 【例4】（2025·高一·江苏南通·期中）已知函数. (1)若，求的值; (2)若，求函数的最小值. 【变式4-1】（2025·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【变式4-2】（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【变式4-3】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 题型五：幂函数的图象 【例5】如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取四个值，则相对应的曲线的n值依次为（   ） A．2， B．，2 C．，2 D．，2 【变式5-1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数的图象经过的“卦限”是（   ） A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤ 【变式5-3】（2025·高一·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 题型六：定点问题 【例6】（2025·高一·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【变式6-1】（2025·高一·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【变式6-2】（2025·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【变式6-3】若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 【例7】（2025·高一·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-1】已知幂函数在上是减函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-2】已知幂函数的图象经过点. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-3】已知，求实数的取值范围. 题型八：比较大小 【例8】已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·高一·天津·期中）已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型九：幂函数性质的综合运用 【例9】（2025·高一·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【变式9-1】（2025·高一·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【变式9-2】（2025·高一·山东威海·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【变式9-3】（2025·高一·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 1．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·四川泸州·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 3．设幂函数的图象经过点．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若函数是幂函数，则实数的值是（   ） A．1或 B． C．2 D．或2 5．（2025·高一·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 7．已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 9．（多选题）幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（   ） A． B．0 C． D．2 10．（多选题）下列关于幂函数的性质，描述正确的有（   ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与轴有且只有一个交点 11．（多选题）（2025·高一·河北张家口·开学考试）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域是 C．为奇函数 D．为定义域上的减函数 12．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是 ． 13．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 15．（2025·高一·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16．（2025·高一·辽宁·开学考试）已知幂函数为偶函数. (1)求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）； (2)若，求的取值范围. 17．（2025·高三·江西宜春·期末）已知幂函数在上单调递增，二次函数. (1)求实数的值. (2)当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. 18．（2025·高一·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 19．（2025·高一·陕西·期末）若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”． (1)若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”； (2)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值； (3)设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$