第5节幂函数（题型精练）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第5节 幂函数 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．-4 B．-3 C． D．3 2．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（   ） A．或 3 B．1 或 C． D．3 4．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建漳州·期末）（多选题）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．的解集为 D． 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选题）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的定义域为 C．函数为偶函数 D．函数的值域为 8．（23-24高一上·广东·期末）（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·上海·假期作业）幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 10．（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知幂函数的图像经过点，则 ． 12．（2016高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1) 与的大小关系是 ； (2) ，，的大小关系是 . 13．（23-24高一上·全国·课后作业）比较下列各题中数值的大小. （1） ； （2） . 14．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 15．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 16．（22-23高一上·河南商丘·期中）已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 17．（23-24高一上·广东广州·期末）（多选题）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 18．（23-24高二下·浙江·期末）（多选题）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 19．（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一上·河南商丘·期中）已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 22．（21-22高一下·河南信阳·阶段练习）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5节 幂函数 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．-4 B．-3 C． D．3 【答案】C 【分析】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可. 【详解】设幂函数，代入点， 得，解得， 所以， 则， 故选：C． 2．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（   ） A．或 3 B．1 或 C． D．3 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】因为是幂函数， 则，则或， 当，，不符合题意， 当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则； 故选：D. 4．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 5．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A选项，根据函数单调性得到A正确；BCD选项，举出反例. 【详解】A选项，因为在R上单调递增，，所以，A正确； B选项，若，满足，但此时，B错误； C选项，若，此时，故C错误； D选项，若，此时，D错误. 故选：A 6．（23-24高一上·福建漳州·期末）（多选题）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．的解集为 D． 【答案】BCD 【分析】根据点的坐标确定，函数为奇函数得到A错误，函数为增函数得到B正确，计算得到CD正确，得到答案. 【详解】设幂函数，函数过点，即，解得，即， 对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误； 对选项B：函数是增函数，正确； 对选项C：，解得，正确； 对选项D：，正确； 故选：BCD. 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选题）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的定义域为 C．函数为偶函数 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】利用幂函数的性质逐个选项分析求解即可. 【详解】将代入函数中，可得，解得，故，即A正确， 易知，故的定义域为，故B错误， 对于，故函数为偶函数，即C正确， 任取， ，使，必有， 故在单调递减，由偶函数性质得在单调递增，故当时，，当时，，故函数的值域为，故D正确， 故选：ACD 8．（23-24高一上·广东·期末）（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断A和C；利用不等式的性质可判断B；根据幂函数的单调性可判断D. 【详解】对于A， ，，故A正确； 对于B，，根据不等式的性质得，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，幂函数在单调递增，，，故D正确. 故选：ABD. 9．（23-24高一上·上海·假期作业）幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 【答案】 【分析】将代入即可求解. 【详解】将代入可得，解得， 故答案为： 10．（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据幂函数的定义求出m的值即可. 【详解】由题意知，，解得或. 故答案为：或. 11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知幂函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【分析】设幂函数的解析式利用待定系数法求出函数解析式，最后求出函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，将点代入函数解析式得， 即，解得，所以幂函数的解析式为， 所以， 故答案为：. 12．（2016高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1) 与的大小关系是 ； (2) ，，的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性和性质判断即可. 【详解】（1）∵在上为减函数，且，∴. (2) ，.∵在上为增函数， 且，∴.又， ∴. 故答案为：；. 13．（23-24高一上·全国·课后作业）比较下列各题中数值的大小. （1） ； （2） . 【答案】 < > 【分析】（1）（2）根据幂函数的单调性比较大小即可 【详解】（1）因为在R上是增函数，且， 所以， （2）因为函数在上是减函数，且， 所以. 故答案为：< ，> 14．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解； （2）由函数的图象与性质，把不等式转化为，结合不等式的解法，即可求解； （3）根据题意，转化为，得到，再由题意，转化为，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由幂函数在上单调递减， 可得，解得， 所以. （2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以x的取值范围是. （3）解：由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数t的取值范围为. 15．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可. （2）将题意转化为对于恒成立，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去； 所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 等价于对于恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故，则. 16．（22-23高一上·河南商丘·期中）已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 【答案】61) (2) 【分析】（1）利用幂函数的概念可求得，进而可求得的解析式； （2）结合（1）中结论，利用换元法得到，，从而将问题转化为是否存在实数使得，利用二次函数轴动区间定分类讨论求得，进而可算出并验证实数是否满足题意. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或（舍去） 所以. （2）假设存在实数使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，则因为，所以，则，即，此时， 所以可化为，此时，即， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故， 所以由得，即，不满足题意，舍去； 当，即时，易知， 由得或（舍去），故； 当，即时，在上单调递减，故， 由得，不满足题意，舍去； 综上：存在使得的最小值为，故. 17．（23-24高一上·广东广州·期末）（多选题）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】利用特殊值可判断A；根据幂函数的单调性可判断B；根据不等式的性质可判断C；利用作差法比较大小可判断D. 【详解】对于A，当，，，时，不满足，故A错误； 对于B，在上单调递增，当时，，即，故B正确； 对于C，，，两边同时乘以，得，故C正确； 对于D，，，， 即，故D错误. 故选：BC. 18．（23-24高二下·浙江·期末）（多选题）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义及性质，即可得到各选项的判断. 【详解】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的； 对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的； 对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的； 对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的； 故选：BC. 19．（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断. 【详解】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意， 所以， ，则，，是奇函数，因此， 所以，即， 故选：B. 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 21．（22-23高一上·河南商丘·期中）已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的概念可求得，进而可求得的解析式； （2）结合（1）中结论，利用换元法得到，，从而将问题转化为是否存在实数使得，利用二次函数轴动区间定分类讨论求得，进而可算出并验证实数是否满足题意. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或（舍去） 所以. （2）假设存在实数使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，则因为，所以，则，即，此时， 所以可化为，此时，即， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故， 所以由得，即，不满足题意，舍去； 当，即时，易知， 由得或（舍去），故； 当，即时，在上单调递减，故， 由得，不满足题意，舍去； 综上：存在使得的最小值为，故. 22．（21-22高一下·河南信阳·阶段练习）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的最小值为0 (3)存在， 【分析】（1）由题意可得，从而可求出，再由可知幂函数为增函数，从而可确定出函数解析式， （2）由（1）可得，令，则，，然后分，和三种情况求函数的最小值， （3），由题意可得，令，，则得，求得， ，从而可求出范围 【详解】（1）∵为幂函数，∴，∴或． 当时，在上单调递减， 故不符合题意． 当时，在上单调递增， 故，符合题意．∴． （2），令．∵，∴， ∴，． 当时，时，函数有最小值，∴，． ②当时，时，函数有最小值．∴，（舍）． ③当时，时，函数有最小值， ∴，（舍）． ∴综上． （3），易知在定义域上单调递减， ∴，即， 令，， 则，， ∴，∴， ∴． ∵，∴， ∴，∴， ∴． ∵，∴，∴， ∴ ． ∴． 【点睛】关键点点睛：此题考查幂函数的解析式的求法，考查二次函数的性质的应用，考查函数值域的求法，考查数学分类思想，第（3）问解题的关键是由题意得，换元令，，进一步转化为求解得，从而可得，再利用二次函数的性质可求得结果，属于较难题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$