专题16 奇偶性（3个知识点+9大题型）（讲义+精练）-2025年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题16 奇偶性 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 【例1】下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当时，，而当时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令，无论x取何值都满足． 【变式1-1】（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 【变式1-2】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 【解析】（1）因为函数，所以且不等于2， 所以且不等于0，所以函数的定义域为； （2）函数是偶函数. 函数的定义域为关于原点对称， 又因为, , 所以是偶函数. 【变式1-3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【解析】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 题型二：已知函数的奇偶性求表达式 【例2】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 【变式2-1】定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 可得， 又因为为奇函数，所以，可得， 即时，. 故选：A 【变式2-2】（2025·高一·湖北·期中）已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 又． 故选:C． 【变式2-3】（2025·高一·全国·单元测试）定义在上的奇函数，当时，，那么时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 若，则，又当时，， 所以当时，， 所以. 故选：A. 题型三：已知函数的奇偶性求值 【例3】（2025·高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 【变式3-1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，， 又，即，故，则， 则当时，，当时，， 所以，则所以． 故选：A. 【变式3-2】设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D 【变式3-3】（2025·高一·河北·期中）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【解析】因为的图象关于原点对称，故， 其中， ， 则， 由于恒成立， 故，解得， ，是奇函数，符合题意， 则. 故选：C 题型四：已知函数的奇偶性求参数 【例4】若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【解析】由题意可得， 又, 则， 所以. 故选：B 【变式4-1】（2025·高一·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 【变式4-2】（2025·高一·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【解析】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 【变式4-3】（2025·高一·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 【答案】C 【解析】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有， 即定义域关于原点对称，所以，即，解得. 要使函数在上为奇函数，需满足， 即，， 则，即， 则 所以， 故选：C. 题型五：已知奇函数+M 【例5】已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】设，则， 由，得，所以. 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高一·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【解析】由题意 ，， 令，， 则，即为奇函数， 则， 结合函数（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048 【变式5-2】（2025·高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【解析】， . 故答案为：2. 【变式5-3】（2025·高一·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【解析】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 题型六：抽象函数的奇偶性问题 【例6】（多选题）（2025·高一·广东·期中）设函数的定义域为，，，若，，则可以（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】ABD 【解析】. A.若，，则是奇函数，所以A正确； B.若，，则是偶函数，所以B正确； C.若，，既是奇函数又是偶函数，此时，，，，这与，矛盾，所以C错误； D.设，此时满足，但既不是奇函数又不是偶函数，所以D正确. 故选：ABD. 【变式6-1】（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【解析】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 【变式6-2】已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【解析】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 【变式6-3】（多选题）（2025·高一·湖南娄底·期末）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故B是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故C是偶函数； 令，则，所以是奇函数，故D是奇函数． 故选：ABC. 题型七：奇偶性与单调性的综合运用 【例7】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或． 易错警示 解题中易忽视函数的定义域． 【变式7-1】（2025·高一·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 【变式7-2】若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】令，由条件③可得，，且， 所以函数在上单调递减， 又为偶函数，且， 则，所以为奇函数，且， 所以在上单调递减，， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-3】（2025·高一·新疆昌吉·期末）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是 【答案】 【解析】由题意得，，，函数在上单调递增， 函数的图象大致如下： ∵，∴或， 当时，或，解得， 当时，或，解得， 综上得，满足的x的取值范围是. 故答案为：. 题型八：利用函数奇偶性识别图像 【例8】心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：时，，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误； C选项：记，则，故为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C 【变式8-1】函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 【变式8-2】（2025·高三·上海静安·期中）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】设，则， 故为奇函数，A，D符合，排除B，C. 又，所以当时， 恒成立，故A满足，D排除. 故选：A 【变式8-3】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数的图像大致为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为R，且， 故为偶函数，排除BD， ，故， 显然C选项不满足此要求，舍去，A选项满足 故选：A 题型九：奇偶性与对称性的综合运用 【例9】（2025·高一·江西宜春·期中）我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)求函数的对称中心； (2)求由函数的图象、函数的图象及围成的封闭图形的面积； (3)函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）假设的图象存在对称中心， 则的图象关于原点中心对称， 因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 所以，解得， 所以的图象存在对称中心. （2）时，，如图，函数的图象、函数的图象及围成的封闭图形的面积， 函数关于对称，轴左侧的阴影和轴以及轴右侧，函数的图象围成的面积相等，这样所求面积转化为轴，，和围成的矩形的面积，. （3）函数在区间上单调递减，其在区间上值域为， 由题可知，，即对恒成立. 由得或； 即或对恒成立， 所以或，故的取值范围为. 【变式9-1】（2025·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【解析】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 【变式9-2】函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数． (1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性求的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论（不需要证明）． 【解析】（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数，所以，即，所以，即，整理得（对函数定义域内的任意x都成立），所以解得所以函数的图象的对称中心为． （2）由（1）知函数图象的对称中心为，所以，则．又，所以． （3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是． 【变式9-3】已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性并证明. 【解析】（1）设函数的图象的对称中心为，为奇函数， 则，即， 整理得， 可得，解得，所以的对称中心为． （2）函数在上单调递增； 证明如下：任取，且， 则 因为，且， 可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 1．（2025·高一·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即. 故选：A. 2．（2025·高一·湖北恩施·期中）对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的个位数字为7 【答案】D 【解析】对于任意的，函数满足，， 对于A，令，得，A错误； 对于B，令，得，即， 则，B错误； 对于C，，则， 令，得，令，得，则， 则，，C错误； 对于D，，由，得， ， 当x是正奇数时，的个位数字依次为：，周期为5， ，，因此的个位数字为7 ，D正确. 故选：D 3．（2025·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 因为时，单调递增， 又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示， 由图像可知，若，则或. 故选：C 4．已知函数，的图象如图所示， 则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是偶函数，是奇函数，故是奇函数，且在处没有意义． 5．若函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是偶函数，所以，故． 6．函数的部分图象（虚直线方程为）大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，由可得，故函数的定义域为， ，故函数为奇函数，可排除CD选项， 当时，，可排除B，从而可得A正确. 故选：A. 7．（2025·高一·云南玉溪·期中）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 【答案】C 【解析】对于A，因为当时，，当时，， 即，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，由取整函数的定义可知，，则， 即函数的值域为，故B错误； 对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且， 取，即得，即，则为整数， 又因，， 故函数的最小正周期为1，故C正确； 对于D，由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误. 故选：C. 8．（2025·高一·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，， 此时函数在单调递增， 故时，，则，，此时函数在单调递增， 且，故，在R上单调递增； ，即，即， 即，即， 故对任意，都有，即恒成立， 由此可得，解得， 即实数m的取值范围为， 故选：B 9．（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．在上单调递增 C．的解集为 D．的解集为 【答案】AD 【解析】当时，，易求得当时，的最大值为，A正确；在上单调递减，B错误；的解集为，C错误；当时，的解集为，当时，无解，故D正确． 10．（多选题）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在内单调递减 D． 【答案】AD 【解析】对于A，令，解得，则的定义域为，故A正确， 对于B，因为，所以，得到为偶函数，故B错误， 对于C，因为，，所以，则在内不可能单调递减，故C错误， 对于D，因为，所以，，则，故D正确. 故选：AD 11．（多选题）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．图象的对称中心是 B．图象的对称中心是 C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 【答案】AC 【解析】是奇函数，其图象的对称中心为，将的图象向右平移2个单位长度， 再向上平移1个单位长度得的图象， 因此图象的对称中心是，A正确，B错误； 若函数的图象关于直线成轴对称图形，则将其图象向左平移个单位长度得的图象， 的图象关于直线，即轴对称，则为偶函数，反之也成立，C正确，D错误． 故选：AC 12．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【解析】因为函数的定义域为，所以，得．因为，即，得，所以，所以． 13．已知函数在其定文域内为偶函数，且，则 ． 【答案】 【解析】因为为偶函数，所以，所以，所以且x不恒为0，所以，则．又因为，所以，解得，所以，故，所以． 14．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【解析】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以． 15．已知函数，其中． (1)若是定义在上的奇函数，求a的值； (2)当时，求证：． 【解析】（1）因为为上的奇函数，所以，解得． （2）证明：当时，不等式可整理为．证明成立，即证明成立．因为，当且仅当号成立，所以在上单调递增，则．当时，；当时，，当且仅当时等号成立；当时，．综上，，即，即． 16．（2025·高一·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 17．已知函数，其中． (1)当函数的图像关于点为中心对称时，求a的值； (2)若函数在区间上单调递增时，求a的取值范围． 【解析】（1）“函数的图象关于点成中心对称”的充要条件为：“是奇函数”， 当的图象关于点成中心对称时，是奇函数， 所以，解得； （2）因为函数， 函数在区间上单调递增时，， 解得，所以的取值范围是. 18．（2025·高一·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 19．定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【解析】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 奇偶性 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 【例1】下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【变式1-2】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 【变式1-3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 题型二：已知函数的奇偶性求表达式 【例2】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·湖北·期中）已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·全国·单元测试）定义在上的奇函数，当时，，那么时，（   ） A． B． C． D． 题型三：已知函数的奇偶性求值 【例3】（2025·高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【变式3-1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-2】设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-3】（2025·高一·河北·期中）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 题型四：已知函数的奇偶性求参数 【例4】若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【变式4-1】（2025·高一·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高一·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【变式4-3】（2025·高一·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 题型五：已知奇函数+M 【例5】已知函数，且，则 ． 【变式5-1】（2025·高一·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【变式5-2】（2025·高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【变式5-3】（2025·高一·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 题型六：抽象函数的奇偶性问题 【例6】（多选题）（2025·高一·广东·期中）设函数的定义域为，，，若，，则可以（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【变式6-1】（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【变式6-2】已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【变式6-3】（多选题）（2025·高一·湖南娄底·期末）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型七：奇偶性与单调性的综合运用 【例7】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式7-1】（2025·高一·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【变式7-2】若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为 . 【变式7-3】（2025·高一·新疆昌吉·期末）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是 题型八：利用函数奇偶性识别图像 【例8】心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·高三·上海静安·期中）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式8-3】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数的图像大致为：（    ） A． B． C． D． 题型九：奇偶性与对称性的综合运用 【例9】（2025·高一·江西宜春·期中）我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)求函数的对称中心； (2)求由函数的图象、函数的图象及围成的封闭图形的面积； (3)函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【变式9-1】（2025·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【变式9-2】函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数． (1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性求的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论（不需要证明）． 【变式9-3】已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性并证明. 1．（2025·高一·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·湖北恩施·期中）对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的个位数字为7 3．（2025·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知函数，的图象如图所示， 则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．若函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象（虚直线方程为）大致是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·云南玉溪·期中）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 8．（2025·高一·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．在上单调递增 C．的解集为 D．的解集为 10．（多选题）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在内单调递减 D． 11．（多选题）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．图象的对称中心是 B．图象的对称中心是 C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 12．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 13．已知函数在其定文域内为偶函数，且，则 ． 14．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 15．已知函数，其中． (1)若是定义在上的奇函数，求a的值； (2)当时，求证：． 16．（2025·高一·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 17．已知函数，其中． (1)当函数的图像关于点为中心对称时，求a的值； (2)若函数在区间上单调递增时，求a的取值范围． 18．（2025·高一·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 19．定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$