第三章 函数的概念与性质单元综合测试-2025年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第三章 函数的概念与性质单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为偶函数，故A错；为奇函数且单调递增，故B正确； 是奇函数，在和单调递减，故C错；是非奇非偶函数，故D错误； 故选：B. 2．当时，函数的最大值和最小值分别是（    ） A．5，1 B． C． D． 【答案】C 【解析】函数， 当时，函数的最大值和最小值分别是. 故选：C. 3．已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 【答案】A 【解析】因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，，为3的倍数，则． 故选：A 4．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 5．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【解析】由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去； 当时，在上单调递增，满足题意，故； 故选：B. 6．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【解析】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 7．已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，得， 又，故． 取，得，即． 对正整数x，， 累加，得，, 故选：D． 8．若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，即时，； 当，即时，， 所以当时，，因为为奇函数，所以其图象关于原点对称， 作出的大致图象，如图所示， 因为为“衰减函数”，所以在上恒成立， 所以将的图象向右平移个单位长度后得到的图象不在图象的上方， 由图象知点向右平移6个单位长度后得点不在点的左边， 所以，解得． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．任给，对应关系f使方程的解v与u对应，则是函数的一个充分条件是 B．函数与函数是同一个函数 C．满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同的函数不存在 D．函数的定义域为，则的定义域为 【答案】ABD 【解析】对于A，根据函数的定义，对任意，由得，由函数的定义知在v的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则v的范围要包含，故A正确；对于B，，两函数的定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故B正确；对于C，如，两函数的值域均为，对应关系相同，但定义域不同，故C错误；对于D，因为函数的定义域为，所以，在中，令，所以，即，得，故的定义域为，故D正确． 10．已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】当时，；当时，，所以即，A错误，C正确；则，B正确，D错误． 11．对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】令，得，解得，故A正确； 令，得，即， 因为，，所以，故B错误； 因，则， 令，则，故C正确； 又，， 则，故D正确． 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．定义在上的函数满足，且，则 ． 【答案】/ 【解析】对于，取，可得， 又，代入可得：，解得. 再取可得，故，解得. 故答案为： 13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由函数的定义域为得，解得． 14．已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，则，故为奇函数，由得，即.当时，，由在上单调递增，在上单调递增，则在上单调递增，又为奇函数，所以在上单调递增.故由得，即，由题意，存在使得有解，当时，，不符合题意；当，即时，，解得或，故；当，即时，，解得或，故.综上可得，实数x的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【解析】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 16．（15分） 已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【解析】（1）因为， 所以，，则. （2） 如图，由图象可知，最大值为4. 17．（15分） 已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 【解析】（1）依题意，函数的定义域关于原点对称， 又， 是定义在上的奇函数. （2）在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， ，， ，且，， ， ，， 在上单调递增. （3）由（2）知，在上单调递增， 由可得，，解得： 故不等式的解集为. 18．（17分） 已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．设．又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 19．（17分） 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值. 【解析】（1）令，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数的图象关于点对称， 则，则， 又，所以. （2）因为， 令，则 易知的定义域为，定义域关于原点对称，又， 所以为奇函数，则函数图象的对称中心为. （3）假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，所以， 整理得到，所以，解得，， 所以函数有对称中心，则， 令， ， 相加得， . 第2页，共11页 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念与性质单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．当时，函数的最大值和最小值分别是（    ） A．5，1 B． C． D． 3．已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 4．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 6．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 7．已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ）． A． B． C． D． 8．若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．任给，对应关系f使方程的解v与u对应，则是函数的一个充分条件是 B．函数与函数是同一个函数 C．满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同的函数不存在 D．函数的定义域为，则的定义域为 10．已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．定义在上的函数满足，且，则 ． 13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 14．已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 16．（15分） 已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 17．（15分） 已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 18．（17分） 已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 19．（17分） 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$