高二下学期期末真题精选（十七大压轴题型专练）（期末复习专项训练）高二数学下学期人教B版

高二下学期期末真题精选（十七大压轴题型专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 排列组合的综合 · 题型二 杨辉三角 · 题型三 条件概率与全概率公式 · 题型四 二项分布与超几何分布 · 题型五 正态分布 · 题型六 概率与导数的交汇 · 题型七 非线性回归拟合 · 题型八 独立性检验与概率统计 · 题型九 分组求和（分类讨论） · 题型十 裂项相消法 · 题型十一 数列不等式中的恒（能）成立问题 · 题型十二 数列新定义问题 · 题型十三 构造函数解决不等式问题 · 题型十四 构造函数比较大小 · 题型十五 利用导数研究函数的恒（能）成立问题 · 题型十六 利用导数研究函数的零点 · 题型十七 极值点偏移问题 题型一 排列组合的综合 1．（2023·24高二下·辽宁大连·期末）现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·24高二下·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 3．（2023·24高二下·辽宁·期末）（多选）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则这样的数列共有360个 B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个 C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个 D．若，则这样的数列共有71个 4．（2023·24高二下·辽宁葫芦岛·期末）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束．若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 ． 题型二 杨辉三角 5．（2023·24高二下·河南三门峡·期末）（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（    ） A． B．第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C．记第行的第个数为，则 D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，第行的第3个数字为，则 6．（2023·24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 题型三 条件概率与全概率公式 7．（2023·24高二下·山东聊城·期末）（多选）五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（    ） A．小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 8．（2023·24高二下·内蒙古赤峰·期末）甲、乙、丙三名排球运动员进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第次传球后，球不在甲手中的概率为 ． 9．（2023·24高二下·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 10．（2023·24高二下·江西南昌·期末）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 题型四 二项分布与超几何分布 11．（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 12．（2023·24高二下·甘肃酒泉·期末）甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则 ，若第1轮甲得3分，则 ． 13．（2023·24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 14．（2023·24高二下·福建宁德·期末）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； (2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列； (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 题型五 正态分布 15．（2023·24高二下·贵州黔西·期末）（多选）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若，则） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 16．（2023·24高二下·贵州安顺·期末）（多选）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D．，使得 17．（2023·24高二下·重庆·期末）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 题型六 概率与导数的交汇 18．（2023·24高二下·江苏泰州·期末）在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·24高二下·黑龙江大庆·期末）（多选）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（    ） A．乙赢甲概率是 B． C． D．的最大值是 20．（2023·24高二下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 (3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 21．（2024·山西运城·一模）一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验.    (1)若， ①求次试验中摸出普通硬币个数的分布列； ②求次试验中事件发生的次数的期望； (2)设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？ 题型七 非线性回归拟合 22．（2023·24高二下·山西·期末）随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 (1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； (2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 23．（2023·24高二下·河北石家庄·阶段练习）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 24．（2023·24高二下·甘肃兰州·期末）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 题型八 独立性检验与概率统计 25．（2023·24高二下·江苏扬州·期末）为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为），某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据（单位：人）： 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 40 20 60 女性 16 24 40 合计 56 44 100 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关； (2)现从这100人中任选1人，表示“受邀者接受挑战”，表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取5名受邀选手､若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 26．（2023·湖南益阳·模拟预测）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期末考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期末考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 (1)求图1中的值以及学生期末考试数学成绩的上四分位数； (2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? (3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望. 附： 27．（2023·24高二下·广东广州·期末）某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人． (1)完成如下列联表： 单位：人 性别 满意 合计 是 否 男 女 合计 根据的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？ (2)为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题： ①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？ 先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答． （i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率； （ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为） 附：． 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 题型九 分组求和（分类讨论） 28．（2023·24高二下·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 29．（2023·24高二下·天津·期末）已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值为 . 30．（2023·24高二下·广东深圳·期末）已知数列是等差数列，正项数列是等比数列，为数列的前项和．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意正整数恒成立，求实数的最小值； (3)若，求数列的前项和． 31．（2023·24高二下·山西·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型十 裂项相消法 32．（2023·24高二下·湖北·期末）已知个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设个圆的交点总数为，记，则 . 33．（2023·24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知函数；在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则的取值范围为 34．（2023·24高二下·江苏淮安·期末）拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？ 35．（2023·24高二下·广东茂名·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，证明：． 题型十一 数列不等式中的恒（能）成立问题 36．（2024·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（2023·24高二下·河北石家庄·期末）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 38．（2023·24高二下·福建莆田·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 题型十二 数列新定义问题 39．（2023·24高二下·北京密云·期末）给定数列：，，…，，其中，且各项均为正整数．若数列满足如下两个条件，则称数列具有性质． ①（）； ②在三个数，，（）中至少有一个数是数列中的项． (1)分别判断数列1，2，3，6和数列2，4，5，8是否具有性质；（直接写出结论） (2)若数列具有性质，试判断，，是否能同时为数列中的项，并说明理由． 40．（2023·24高二下·辽宁大连·期末）设，对的一个排列，，如果有，那么称数对是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数，记作. 例如：对的一个排列，只有两个逆序，则排列的逆序数为. (1)证明：； (2)设的逆序数为，将排列中的任意两个数字位置互换，其余数字不变，得到一个新的排列，其逆序数为.证明：与的奇偶性相反； (3)记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数， ①求的值； ②证明：，并求出的表达式. 41．（2023·24高二下·河北保定·期末）北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前项和为，数列满足，. (1)求数列的前10项和； (2)求； (3)数列和数列的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明. 42．（2023·24高二下·江苏扬州·期末）已知有穷数列满足且，集合，记中元素个数为． (1)若数列满足，求和的值； (2)若数列满足，求中所有元素之和； (3)若数列满足，，则数列是等差数列吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举反例． 题型十三 构造函数解决不等式问题 43．（2023·24高二下·浙江杭州·期末）设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（   ） A． B． C． D． 44．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 45．（2023·24高二下·河南南阳·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 . 46．（2023·24高二下·山西晋中·期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为 ． 题型十四 构造函数比较大小 47．（2023·24高二下·河南郑州·期末）设，比较的大小关系（    ） A． B．b C． D． 48．（2023·24高二下·山西吕梁·期末）若，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 49．（2023·24高二下·海南海口·期末）已知函数，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 50．（2023·24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则m，n，p的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十五 利用导数研究函数的恒（能）成立问题 51．（2023·24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 52．（2023·24高二下·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 53．（2023·24高二下·广东深圳·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)当，时，恒成立，求实数的取值范围． 54．（2023·24高二下·天津滨海新·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在时，使成立，求a的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 题型十六 利用导数研究函数的零点 55．（2023·24高二下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 56．（2023·24高二下·安徽宿州·期末）若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．（2023·24高二下·山东济南·期末）已知其中. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)判断方程解的个数，并说明理由. 58．（2023·24高二下·湖南岳阳·期末）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 题型十七 极值点偏移问题 59．（2023·24高二下·广东深圳·期末）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 60．（2023·24高二下·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 61．（2023·24高二下·山东滨州·期末）已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线． (1)求的值； (2)求证：； (3)若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证： 62．（2024高二·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 63．（2023·24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． $$高二下学期期末真题精选（十七大压轴题型专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 排列组合的综合 · 题型二 杨辉三角 · 题型三 条件概率与全概率公式 · 题型四 二项分布与超几何分布 · 题型五 正态分布 · 题型六 概率与导数的交汇 · 题型七 非线性回归拟合 · 题型八 独立性检验与概率统计 · 题型九 分组求和（分类讨论） · 题型十 裂项相消法 · 题型十一 数列不等式中的恒（能）成立问题 · 题型十二 数列新定义问题 · 题型十三 构造函数解决不等式问题 · 题型十四 构造函数比较大小 · 题型十五 利用导数研究函数的恒（能）成立问题 · 题型十六 利用导数研究函数的零点 · 题型十七 极值点偏移问题 题型一 排列组合的综合 1．（2023·24高二下·辽宁大连·期末）现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若老师参加活动时只带一名女生则符合要求的安排方法数为， 若老师参加活动时带两名女生则符合要求的安排方法数为， 所以符合要求的参与活动的方法， 由已知， 所以， 所以. 故选：D. 2．（2023·24高二下·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【答案】B 【详解】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 3．（2023·24高二下·辽宁·期末）（多选）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则这样的数列共有360个 B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个 C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个 D．若，则这样的数列共有71个 【答案】AD 【详解】解：对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确； 对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻， 则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误； 对于C：从1，2，3，4，5，6中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 故满足条件的总个数为：个，故C错误． 对于D：若则这样的数列有个， 若则这样的数列有个， 若则这样的数列有个， 所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确； 故选：AD 4．（2023·24高二下·辽宁葫芦岛·期末）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束．若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 ． 【答案】/0.1 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从8张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为13，乙抽取的两张卡片数字之和不为13； 总的情况相当于从8张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法； 其中三张卡片数字之和为13的组合有；；；；；共6种情况； 当甲抽取的数字为；时， 乙在剩余的5个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为；；；时， 要排除乙抽到或，此时共有种； 所以符合题意的排列总数为种， 可得所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论. 题型二 杨辉三角 5．（2023·24高二下·河南三门峡·期末）（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（    ） A． B．第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C．记第行的第个数为，则 D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，第行的第3个数字为，则 【答案】BD 【详解】对于A，由于， 故164，A错误； 对于B，由于2024为偶数，这一行共有2025项，故这一行中的中间一项最大， 第2024行中从左往右第1013个数是中间项，是该行中所有数字中最大的，B正确； 对于C，第行的第个数为， 故，C错误； 对于D，由题意可知， 故 ，故D正确， 故选：BD 6．（2023·24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 题型三 条件概率与全概率公式 7．（2023·24高二下·山东聊城·期末）（多选）五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（    ） A．小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】AC 【详解】记第次去洗车店为，第次去洗车店为， 由题意可知， ， 对于A：，故A正确； 对于B：， ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键在于理清事件间的关系，运用全概率公式、条件概率公式进行求解. 8．（2023·24高二下·内蒙古赤峰·期末）甲、乙、丙三名排球运动员进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第次传球后，球不在甲手中的概率为 ． 【答案】 【详解】记为事件“次传球后，球在甲手中”，其中，， 则有，显然第次传球在甲中，第次传球仍在甲中的概率为0， 即，则有， 故，即 整理得，又首次传球后球必不在甲手中，故， 则为首项为，公比为的等比数列， 故，故 由题意可得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题求事件“第次传球后，球不在甲手中”的概率较为麻烦，可考虑先求其对立事件 “次传球后，球在甲手中”的概率，由分析可知，则，进而可得递推关系，可得，进而可得. 9．（2023·24高二下·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 10．（2023·24高二下·江西南昌·期末）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，则为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意， 由全概率公式得：. （2）①设为“第天选择米饭套餐”，则， 根据题意， 由全概率公式得：， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列． ②由①可得， 当为大于的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的第①问，利用全概率公式得到，即可求解. 题型四 二项分布与超几何分布 11．（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 【答案】B 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为 有 ， 有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， 又由， 可得，可知D选项正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：由题设得到，利用二项式各项系数和的性质判断可得结论. 12．（2023·24高二下·甘肃酒泉·期末）甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则 ，若第1轮甲得3分，则 ． 【答案】 【详解】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以； 若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为 所以 ． 故答案为： 13．（2023·24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. （3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 14．（2023·24高二下·福建宁德·期末）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； (2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列； (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 【答案】(1)0.8 (2)答案见解析 (3)决策部门应选择方案2，理由见解析 【详解】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为， 则， 解得，故的最小值为0.8． （2）设为正常工作的设备数，由题意可知，， ， ， ， ， 从而的分布列为： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （3）设方案1､方案2的总损失分别为，， 采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8， 可知计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”， 计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2． 题型五 正态分布 15．（2023·24高二下·贵州黔西·期末）（多选）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若，则） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】ACD 【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确； 对于B，由，得， 又， 于是，即， 因此，即，则，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D，， 设，， 解得，，由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法： ①熟记，，的值; ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 16．（2023·24高二下·贵州安顺·期末）（多选）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D．，使得 【答案】ABC 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：当增大时，也增大， 所以在上是增函数，故C正确； 对于D：因为，， 当时，，所以， 又，所以，所以； 当时，，则， 又，所以不成立，故D错误； 故选：ABC. 17．（2023·24高二下·重庆·期末）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 【答案】(1)0.0449；0.0459 (2)必须作改进； (3). 【详解】（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973， 镓含量的概率为0.0027 ， ； （2）由估计得， ，发现最小值， 该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进； （3）设余下的数据的平均数，则， 即. 题型六 概率与导数的交汇 18．（2023·24高二下·江苏泰州·期末）在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为. 设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为， 则根据马尔可夫不等式可得， ， 因为， 所以， 令，则， ，即， 在上单调递增. ，即. 故选：B 19．（2023·24高二下·黑龙江大庆·期末）（多选）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（    ） A．乙赢甲概率是 B． C． D．的最大值是 【答案】ACD 【详解】对于选项A，因为每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响， 所以乙赢甲概率是，故选项A正确， 对于选项B，因为，当乙赢甲时，概率为， 当甲赢乙时，概率为， 所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，所以前局比赛，甲、乙各赢局， 得到，所以选项C正确， 对于选项D，由选项C知，令， 则，又， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，故选项D正确， 故选：ACD. 20．（2023·24高二下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 (3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件， 则； （2）依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为 所以的期望为. （3）依题意，， 则， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以. 21．（2024·山西运城·一模）一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验.    (1)若， ①求次试验中摸出普通硬币个数的分布列； ②求次试验中事件发生的次数的期望； (2)设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？ 【答案】(1)①分布列答案见解析；②. (2) 【详解】（1）解：当时， ①由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ②由题意可知，一次试验中事件发生的概率为， 所以，，则. （2）解：一次试验中，事件发生的概率为， 所以，次试验中事件恰好发生次的概率， 令，其中，则， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 所以，当时，函数取最大值， 因为且时，， 故当时，取最大值. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 题型七 非线性回归拟合 22．（2023·24高二下·山西·期末）随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 (1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； (2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）两边同时取自然对数得. 设，所以， 因为，，， 所以. 把代入，得， 可得，. 所以， 即关于的回归方程为. （2）由题意，得的所有可能取值依次为，，，，，且， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 23．（2023·24高二下·河北石家庄·阶段练习）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【答案】(1)； (2)乙建立的回归模型拟合效果更好. 【详解】（1）将两边取对数得：， 令，则， 因为， 所以根据最小二乘估计可知：， 所以， 所以回归方程为，即. （2）甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 24．（2023·24高二下·甘肃兰州·期末）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】(1)适宜，， (2)（i）0.778；（ii） 【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型. 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 该机场飞往地航班放行准点率关于的线性回归方程为， 因此关于年份数的回归方程为， 所以当时，该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为 ， 所以2023年该机场飞往地航班放行准点率的预报值为. （2）设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （ii）该航班飞往地的概率为 ， 即若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地的概率约为. 题型八 独立性检验与概率统计 25．（2023·24高二下·江苏扬州·期末）为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为），某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据（单位：人）： 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 40 20 60 女性 16 24 40 合计 56 44 100 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关； (2)现从这100人中任选1人，表示“受邀者接受挑战”，表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取5名受邀选手､若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关. (2)3 (3)分布列见解析，. 【详解】（1）假设：是否接受挑战与受邀者的性别无关. 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于，且当成立时，， 所以有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关. （2）， 同理，所以. （3）由分层抽样知，随机抽取的5名受邀选手中，男性有3人，女性有2人. 根据频率估计概率知，男性选手接受挑战的概率为，不接受挑战的概率为. 可能得取值为， 3名被抽取的男性选手中，恰抽到人被访谈记为事件， 则， 被访谈的2名选手中接受挑战的男性人数恰好为人记为事件， 则， ， 所以 ， ， . 故的分布列如下： 0 1 2 . 【点睛】方法点睛：在问题（3）中，分层抽样得到得5个人中，由3男2女，包含事件：①从5人中抽出的2人都不是男生；②从5人中抽出的2人有1个男生，但他拒绝挑战；③从5人中选出的2人都是男生，但他们都拒绝挑战，所以的概率应该用条件概率来求，类似的，，也要考虑的周全一些. 26．（2023·湖南益阳·模拟预测）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期末考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期末考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 (1)求图1中的值以及学生期末考试数学成绩的上四分位数； (2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? (3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望. 附： 【答案】(1)，分 (2)有关 (3)分布列见解析， 【详解】（1）由题意可得， 解得， 学生期末考试数学成绩的上四分位数为：分； （2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于； （3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2， 经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，则 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件 则，，，， ，， ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 P 则可得X的数学期望为 27．（2023·24高二下·广东广州·期末）某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人． (1)完成如下列联表： 单位：人 性别 满意 合计 是 否 男 女 合计 根据的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？ (2)为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题： ①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？ 先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答． （i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率； （ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为） 附：． 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 【答案】(1)完成列联表见解析；性别与对新考勤管理方案满意有关联，理由见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）列联表如下：单位(人) 性别 满意 合计 是 否 男 147 3 150 女 138 12 150 合计 285 15 300 ， 根据的独立性检验，性别与对新考勤管理方案满意有关联； （2）（i）由题意摸到两球同色的概率， 某个被调查者回答第一个问题的概率为； （ii）回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人， 由题意可知公历生日是奇数的概率取为， 所以回答第一个问题，选择是的同学人数为人， 回答第二个问题，选择是的同学人数为人， 对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比. 题型九 分组求和（分类讨论） 28．（2023·24高二下·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即 . 故选：A. 29．（2023·24高二下·天津·期末）已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值为 . 【答案】、 【详解】当为奇数时，，所以，数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列， 当为偶数时，，所以，数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， 所以数列中的每一项均为整数，故数列为递增数列， 当为奇数时，设， 则， 当为偶数时，设， 则， 因为， ， ， ， 因此，满足的正整数的所有取值集合为. 故答案为：、. 【点睛】关键点点睛：本题的解决关键是，分析得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列与等比数列，从而得解. 30．（2023·24高二下·广东深圳·期末）已知数列是等差数列，正项数列是等比数列，为数列的前项和．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意正整数恒成立，求实数的最小值； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ∵，， ∴，解得或， ∵，∴，故． （2）∵对任意正整数恒成立， ∴对任意正整数恒成立. 令，则， ∵， ∴，即数列单调递减， ∴，故，即的最小值为． （3）由，得， ∴， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上得，. 31．（2023·24高二下·山西·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 令，则有. 于是数列是首项为2，公差为1的等差数列， 故，于是. （2）由（1）可知， 则在前项中， ， 作差得 ， ， 从而. 题型十 裂项相消法 32．（2023·24高二下·湖北·期末）已知个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设个圆的交点总数为，记，则 . 【答案】 【详解】由题意，，，，，， ， 当时，上式成立，则，， ，， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题意得到，求出通项. 33．（2023·24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知函数；在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则的取值范围为 【答案】 【详解】在数列中，，，即，， 即有， ， 则 可得，即. 故答案为：. 34．（2023·24高二下·江苏淮安·期末）拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？ 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）根据题意，函数，则， 由，可得， 即， 化简为， 由，所以； （2）由，可得， 即，所以数列为首项为3，公比为3的等比数列； （3）由（2）可得，则， 所以， 则 ， 所以存在实数，满足题意. 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 35．（2023·24高二下·广东茂名·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，． 因为， 所以， 当时，， 所以，所以， 当时，符合上式； 所以； （2）设，有， 可知数列单调递减，可知，有， 可知． 当时，有， 当时，， 当时，有 ， 由上可知． 题型十一 数列不等式中的恒（能）成立问题 36．（2024·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为. 故选：D 37．（2023·24高二下·河北石家庄·期末）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 38．（2023·24高二下·福建莆田·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）∵①， 当时，②， ①②，得． 所以， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为． （2）由（1）知，得， 则③， ④， ③④得， 所以． （3）得， 又因为 当为奇数时，由对任意的恒成立，得 ，即 当为偶数时，由对任意的恒成立，得 ，即， 所以. 题型十二 数列新定义问题 39．（2023·24高二下·北京密云·期末）给定数列：，，…，，其中，且各项均为正整数．若数列满足如下两个条件，则称数列具有性质． ①（）； ②在三个数，，（）中至少有一个数是数列中的项． (1)分别判断数列1，2，3，6和数列2，4，5，8是否具有性质；（直接写出结论） (2)若数列具有性质，试判断，，是否能同时为数列中的项，并说明理由． 【答案】(1)数列具有性质，数列不具有性质 (2)2，4，7不能同时为数列中的项，理由见解析 【详解】（1）数列具有性质，数列不具有性质． 数列1，2， 3，6，因为，满足①； 当时，，满足②， 对于其他组合，同理可以验证在三个数，，中至少有一个数是数列中的项， 所以数列具有性质； 数列2，4，5，8，因为，满足①； 当时，，， 这三个数都不是数列中的项，所以不满足②， 则数列不具有性质． （2）2，4，7不能同时为数列中的项． 理由如下：假设2，4，7同时为数列中的项， 又因为数列具有性质， 所以由②可知，8，14，28中至少有一个是数列中的项． 所以数列的最后一项，且其项数大于或等于，即． 不妨取数列的最后四项，，，， 由①可知，． 对于，，，由②可知，有成立． 对于，，，由②可知，有成立． 所以，即成立，这与①矛盾． 所以2，4，7不可能同时是数列中的项． 40．（2023·24高二下·辽宁大连·期末）设，对的一个排列，，如果有，那么称数对是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数，记作. 例如：对的一个排列，只有两个逆序，则排列的逆序数为. (1)证明：； (2)设的逆序数为，将排列中的任意两个数字位置互换，其余数字不变，得到一个新的排列，其逆序数为.证明：与的奇偶性相反； (3)记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数， ①求的值； ②证明：，并求出的表达式. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①；②证明见解析， 【详解】（1）记集合，对于根据排列的定义有，则必有或因此对于数对有且仅有两种情况 构成一个顺序，构成一个逆序 构成一个逆序，构成一个顺序 不论何种情况都有 由上可知排列和的逆序数之和 相当于是从集合中任取两个数构成一个逆序的取法 即可得 （2）证一：任取排列中的两项，交换，就而言 任取或或的其逆序关系不改变，只需考虑中的全体 设，在中间项中设项小于项小于， 则整理得 与奇偶性相反 证二：首先考虑互换的两个数在排列中相邻的情形，显然变换前是顺序则变换后是逆序 变换前是逆序则变换后为顺序，故 再讨论一般情形：排列中互换 得到 此过程可以视作是一系列相邻两数的互换，即“互换”互换“互换而这就是作了次互换，也就是奇数次相邻两数的互换则的奇偶性一定改变，即与奇偶性相反 （3）①先来计算，对于的所有排列有 所以 对于的排列，利用已有的的排列将数字4添加进去即可 为使逆序数仍为2，则4在新排列的位置只能是后三个 因此 ②对于一般的的情形，的排列仅有一个： 的排列只能是将排列中的任意相邻两个数互换得到的排列，所以 为计算，当的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列 若原排列，则应在新排列中倒数第位 若原排列，则应在新排列中倒数第位 以此类推，在新排列中的位置是后位中的一位时都可使新排列的逆序数为 有，即 对于 当时， 41．（2023·24高二下·河北保定·期末）北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前项和为，数列满足，. (1)求数列的前10项和； (2)求； (3)数列和数列的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）在数列，，，…，中，，，，， 故， 即数列的前10项和为，常数列1的前10项和为10， 故数列前10项和为. （2）数列的通项公式为， 在数列中，，，，， 故. （3）数列满足，则，， ， 数列是以3为首项，3为公比的等比数列，， 由（2）可知，， 设数列中的第项等于数列中的第项，即，则是数列中的项. 不是数列中的项，不是数列中的项，是数列中的项，数列是以为首项，为公比的等比数列. ， 故 【点睛】关键点点睛：对本题的前2问，需理解二阶等差数列的求和公式. . 42．（2023·24高二下·江苏扬州·期末）已知有穷数列满足且，集合，记中元素个数为． (1)若数列满足，求和的值； (2)若数列满足，求中所有元素之和； (3)若数列满足，，则数列是等差数列吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举反例． 【答案】(1)， (2) (3)是等差数列，理由见解析 【详解】（1），， 一方面，由可得， 即，，所以； 另一方面，由可得， 所以. 综上，. （2）先证明：从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同. 若、、、满足，， 使得，即， 不妨设，则（*）， 若，（*）式左边是奇数，右边是偶数，不可能成立， 若，则，此时取出的两项为相同的两项， 所以，从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同. 又不论为何值，均与其他项各相加一次， 所以中所有元素之和为. 又， 所以中所有元素之和为； （3）是等差数列.证明如下： 由可得， 所以， 又因为，就不能再取其他的值. 一方面，有① 另一方面，② 由①，在和之间，有个从小到大不等的项， 由②，在和之间，有个从小到大不等的项， 且①中的项均应在②中，故只能一一对应， 即，即， 又得均成立， 所以是等差数列. 【点睛】关键点点睛：第3问，关键在于通过分析得，结合已知可证结论. 题型十三 构造函数解决不等式问题 43．（2023·24高二下·浙江杭州·期末）设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令且，则，即为偶函数， 在上，即在上单调递减， 所以在上单调递增，且， 所以上，即有， 上，即有， 由，又，则解集为. 故选：B 44．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 45．（2023·24高二下·河南南阳·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为时，， 所以，即， 因此，从而在上单调递增， 又是上的偶函数，且是偶函数， 所以， 即是上的偶函数，故在上单调递减， 由于，因此，又即，即， 所以，故由的单调性和偶函数特点可知， 因此的取值范围为. 故答案为：. 46．（2023·24高二下·山西晋中·期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则在上恒成立， 所以在上单调递减. 又，即， 又，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.利用导数构造函数时，不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征. 题型十四 构造函数比较大小 47．（2023·24高二下·河南郑州·期末）设，比较的大小关系（    ） A． B．b C． D． 【答案】C 【详解】由， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 综上，. 故选：C 48．（2023·24高二下·山西吕梁·期末）若，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 当时，，所以，所以在上单调递增； 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以当时，， 所以，即，所以，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，当时，， 所以，即，所以，所以， 所以. 故选：A. 49．（2023·24高二下·海南海口·期末）已知函数，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的定义域为， 又，所以函数为偶函数， 所以，，， 构建函数，，恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 构建函数，，在恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 综上所述，在时，， 所以， 又因为函数在单调递减， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，解题的关键是通过导数证明在，. 50．（2023·24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则m，n，p的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，，， 当， ， 设，则， ， 在单调递减， ， ， 当，， 设， 则， 在单调递增，，，， 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决此类大小比较问题，关键是根据数的结构特征选择恰当的中间变量，然后构造函数。利用导数解决问题. 题型十五 利用导数研究函数的恒（能）成立问题 51．（2023·24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为对任意恒成立，显然， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意恒成立， 又当时，当时，， 当时，，显然满足对任意恒成立， 当时不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立； 综上可得，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到对任意恒成立，从而得到对任意恒成立. 52．（2023·24高二下·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 【答案】 【详解】由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程有解，设解为，则，从而表示出的最小值，进而求解. 53．（2023·24高二下·广东深圳·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)当，时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）， 当时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 故，则，即，当时取等号， 当时，令，则，则， 则，，，， 所以， 所以当时，． （3）解法1：由题意知时，恒成立， 令，则在恒成立， 故由可得，即当时，由于，显然不满足题意． 当时，， 只要证明即可， 令，， ， 令，则， 由（1）知，当时，，即， 故， 所以在上为增函数，又 当时，，为减函数； 当时，，为增函数． 所以， 即恒成立． 综上所述，． 解法2：由题意知时，恒成立， 令，则在恒成立， 则由可得．即当时，由于，显然不满足题意． 当时，， 只要证明即可． 令， ， 令，则， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数． 则， 即恒成立． 综上所述，． 解法3：由题意知时，恒成立，则． 令，， ， 令， ， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数． 故， 令，得，且当时，，为减函数； 当时，，为增函数． 故，从而有． 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：（2）小问，由（1）可知，当时，可得 ，则当时， ，即可证明；（3）小问，由恒成立构造函数，则在恒成立，可得，令，由二次求导，求出，进而求出实数的取值范围． 54．（2023·24高二下·天津滨海新·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在时，使成立，求a的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为； (2)； (3). 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数的递减区间为，递增区间为. （2）依题意，，则， 于是存在，成立，设， 则，函数在上递增，， 所以. （3）依题意，对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则对任意恒成立， 下面证明对任意恒成立， 设，，求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，则，即， 于是对任意恒成立，只需在上单调递增， 即在上恒成立，则在上恒成立，因此， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，变形给定不等式，利用同构的思想转化为函数单调递增是求解的关键. 题型十六 利用导数研究函数的零点 55．（2023·24高二下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，可知： ①当时，，故为的1个零点． ②当时，由题意，可得， 即与有4个交点， 当时，， 设，，则，令得， 则函数在单调递增，在上单调递减，又， 如图 则必有，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：由，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，根据分段函数的特点，分别考虑和与的交点个数，考虑到两个函数的单调性和最值，进而可得. 56．（2023·24高二下·安徽宿州·期末）若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在函数的图象上取点， 则点关于轴的对称点为，且，其中， 由，可得，则， 所以，直线与函数在上的图象有两个交点， 因为，令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 57．（2023·24高二下·山东济南·期末）已知其中. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)判断方程解的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)当或时，方程只有一个解.当或时，方程有两个解. 【详解】（1）由题的定义域为，即，即恒成立， 令，则， 则当时，，单调递减；当时，单调递增； 故在上有最大值， 所以，即的取值范围是. （2）方程即， 令，，则， 令，则， ①当时，在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得最大值，即，所以只有一个零点，即原方程只有一个解； ②当时，令解得， 当时，在上单调递增， 即在上单调递增； 当时，在上单调递减， 即在上单调递减，所以在处取得最大值， 即， 若，则，故（不恒为零），故在上为减函数， 而，故所以只有一个零点，即原方程只有一个解. 若，令，则， 故在上为减函数，而即， 此时，而，故当时，， 当时，，故在上存在一个零点， 且当时，，当时，， 当时，， 故在为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 而，当时，， 若，则有1个不同的零点； 若，则有2个不同的零点； 当时，在上为增函数，故即， 此时，而，故当时，， 当时，，故在上存在一个零点， 且当时，，当时，， 当时，， 故在为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 而，当时，，故有两个不同的零点； 综上，当或时，方程只有一个解. 当或时，方程有两个解. 【点睛】本题主要考查的是不等式恒成立问题，利用导数研究函数的零点，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，属于较难题. 58．（2023·24高二下·湖南岳阳·期末）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值，无最小值 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，则， 则在区间上单调递减，所以，，无最小值. （2）函数的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减； （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3）分析以下几种情况讨论： （ⅰ）若，函数在上为减函数，则至多有一个零点； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 当时，由于，故只有一个零点； 当时，由于，此时，函数没有零点； 当时，， 又，故在有一个零点. 设正整数满足， 则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 题型十七 极值点偏移问题 59．（2023·24高二下·广东深圳·期末）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 【答案】(1)，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）设直线与曲线相切于点， ， 又，即， 设，则，在上单调递增， 又，有唯一零点， ，解得， ， 则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知， 当时，；当时，， ， 要证，只需证．在上单调递减， 只需证，又， 则只需证对任意恒成立． 设， 则， 设，则， 在上单调递减，． 又当时，， 在上单调递增， ，即在时恒成立， 又．故原不等式得证． 60．（2023·24高二下·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 61．（2023·24高二下·山东滨州·期末）已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线． (1)求的值； (2)求证：； (3)若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），， 所以在处切线方程为， 联立，得， ，得； （2）设，， 设，，单调递减，且， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取得最大值0，所以，当时等号成立，即， ，当时等号成立， 即， 综上可知，，即. （3），对称轴方程为，由对称性可知，， 所以要证明，只需证明， ，，得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 当时，取得最大值， 当时，，当时，，，， 所以与的图象有两个公共点，，设， 则，， 设， ， ， 当时，，则，， 即时，，单调递增，, 所以当时，，即， ，所以，由， 即，在上单调递减， 所以，即， 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：本题第2问的关键是函数，与比较大小，即可证明；第3问的关键判断函数在区间的单调性，即可证明不等式. 62．（2024高二·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 【点睛】关键点睛：第2问的第①小问关键在于将变形，结合的单调性，将问题转化为有两个零点，然后利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理即可求得的取值范围.第②小问关键在于取对数转化目标不等式，再通过换元将二元问题转化为一元问题即可得证. 63．（2023·24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即； （2），令， 由函数有两个极值点， 则有两个变号零点， ， 当时，，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 又当时，，则， 故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 有，则，故， 则有，， 则，即，同理， 则，故， 即， 由的最大值为，令，则有， 即，令，， 则 ， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 则，故在上单调递增， 则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用，，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，从而将多变量问题转化为单变量问题. $$