猜想06 立体几何压轴大题（考题猜想，6大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

猜想06 立体几何压轴大题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 体积问题 · 题型二 存在性问题 · 题型三 取值范围问题 · 题型四 最值问题 · 题型五 翻折问题 · 题型六 新定义问题 题型一 体积问题 1．如图，已知四棱锥中，，，，且， (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积． 2．如图，在三棱锥中，侧面是边长为4的等边三角形，底面为直角三角形，其中为直角顶点，.点为棱的中点，，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.设. (1)设点在平面的射影，当二面角从0增加到的过程中，求线段扫过的区域的周长； (2)若是以为底边的等腰三角形； （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当为何值时，多面体的体积恰好为2. 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为上一点，为的中点，且平面． (1)求证：； (2)若平面，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 4．如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段的长； (2)求四面体的体积； (3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 5．如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 题型二 存在性问题 6．如图，在正方体中，，是的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由. 7．设是的边上一点，沿将 翻折至的位置 (不在平面内)，是线段上的一个动点，且 . (1)如图 1，若平面，求证：直线与平面所成的角以及与平面所成的角之和不可能超过； (2)如图 2，若，是的中点，平面平面.是否存在，使得三棱锥的体积是? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 9．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 10．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． (1)当侧面底面时，求点到平面的距离； (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，四棱锥中，四边形是平行四边形， 是正三角形， 平面 平面 (1)求证: 平面 ； (2)当 时， 若是面的重心，求直线与平面所成角的正弦值； 棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为 如果有，求此时的长度；如果无，请说明理由. 题型三 取值范围问题 12．定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 13．已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. (1)证明： ； (2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； (3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 14．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． (1)证明：四边形是矩形； (2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； (3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 15．在三棱柱中，侧面平面分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求证：与不垂直； (3)若，求与平面所成角的正弦值的取值范围. 16．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点.    (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，，. ①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角的取值范围. 17．如图所示，在半径为1的球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥.设二面角的平面角的大小为. (1)求该内接八面体体积的最大值； (2)求的取值范围. 题型四 最值问题 18．在四棱锥中，，，，，． (1)证明：与不垂直． (2)已知内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等． （ⅰ）求长的最小值． （ⅱ）在（ⅰ）的条件下求三棱锥体积的最大值． 19．在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH． (1)如图1，证明：； (2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较和的大小； (3)如图3，已知，M为平面PBC内一点，且，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值． 20．在三棱锥中，，三棱锥的各顶点均在表面积为的球的球面上，且四点共面． (1)证明：平面平面； (2)当时，求球心到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 21．如图1，在矩形ABCD中，，，M是边BC上的一点，将沿着AM折起，使点B到达点P的位置. (1)如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证：平面PAM； (2)如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上. ①求证：平面PAD； ②求点M的位置，使三棱锥的外接球的体积最大，并求出最大值. 22．如图，在三棱锥中，已知，，底面，E为SB中点，为线段BC上一个动点． (1)证明：平面平面； (2)若为线段BC中点，求二面角的余弦值； (3)设为线段AE上的一个动点，若平面，求线段MF长度的最小值． 题型五 翻折问题 23．在平行四边形中，，，E为的中点．将沿翻折至，其中P为动点，连接与． (1)求证：当时，平面平面； (2)当时，求二面角的正弦值； (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 24．在直角三角形中，，是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.    (1)求三棱锥的体积； (2)是线段上一个动点，且. ①当时，求二面角的余弦值： ②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 . 25．如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 26．如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至. (1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离. 27．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，        (1)求证：平面平面SFD； (2)当是边的中点时，二面角的大小； (3)设面面，求证：. (4)若，将沿翻折到，沿翻折到，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值. 题型六 新定义问题 28．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面，记其面积为．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，；若球面上A，B，C的对径点分别为，，，则球面与球面全等，如图2．已知球O的半径为R，圆弧AB和圆弧AC所在平面组成的锐二面角的大小为α，圆弧BA和圆弧BC所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA和圆弧CB所在平面组成的锐二面角的大小为．记． (1)请写出，，的值，并猜测函数的表达式； (2)求（用α，β，γ，R表示）． 29．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； 30．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离； (3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度． 31．阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，⋯，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） (1)若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：． $$猜想06 立体几何压轴大题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 体积问题 · 题型二 存在性问题 · 题型三 取值范围问题 · 题型四 最值问题 · 题型五 翻折问题 · 题型六 新定义问题 题型一 体积问题 1．如图，已知四棱锥中，，，，且， (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 取中点，连接， 由，则， 因此可得， 又为中点，则在等腰和等腰中，可得，， 又，平面， 平面， 又平面， . （2） 过作垂直的延长线于一点， 由（1）知平面，平面, 则平面平面， 又平面平面，平面，, 平面，故即为直线与平面所成角， 又在等腰直角中，，则，， 又在中，， 则， 在中，， 则在中，， 因此可得， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3） 由（2）知平面平面，又平面平面， 则平面与平面重合，即四点共线， 在中，， ， 在中，, 又, 又四边形的面积 , 又（2）知平面，故为四棱锥的高， 所以四棱锥的体积. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明平面，再利用面面垂直的判定定理证平面平面， 最后根据平面与平面垂直，确定四点共线，考查了线面垂直， 面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题. 2．如图，在三棱锥中，侧面是边长为4的等边三角形，底面为直角三角形，其中为直角顶点，.点为棱的中点，，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.设. (1)设点在平面的射影，当二面角从0增加到的过程中，求线段扫过的区域的周长； (2)若是以为底边的等腰三角形； （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当为何值时，多面体的体积恰好为2. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）延长到，使，由为直角顶点， ，所以，所以为等边三角形， 连结，所以，， 又，平面， 得平面，平面，平面平面， 所以平面平面， 所以点在平面上的投影在线段的中垂线上（如图所示）， 当二面角为时，点三点重合， 当二面角为时，点与重合， 所以射影的轨迹就是线段， 所以在平面上的射影所扫过的平面区域为， 又是边长为4的正三角形，， 则周长为， 故所求平面区域的周长为； （2）（ⅰ）取的中点，连接， 因为是以为底边的等腰三角形， 所以，， 因为，所以，可得， 因为，平面， 所以平面，平面，可得， 又因为，，平面， 所以平面； （ⅱ）， 因为多面体的体积恰好为2， 所以多面体的体积为三棱锥体积的一半， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 因为四边形为平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 则，所以，则, 则， 又， 所以 所以， 设点到平面的距离为， ， 所以， 所以， 所以， 所以，整理得， 解得或，因为，所以. 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是利用体积相等，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为上一点，为的中点，且平面． (1)求证：； (2)若平面，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【详解】（1）如图1，连接交于点，取的中点，连接，， 则为的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，所以为的中点，故. （2）因为平面，所以，， 在正方形中，，又，，所以平面， 又平面，，如图2，过点作，垂足为， 则，所以平面． 所以是二面角的一个平面角，所以， 由（1）知，所以， 所以，设，因为与相似，且相似比为， 则，另一方面，因为为的中点， 所以，所以， 所以，，所以正方形的边长为， 所以. 4．如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段的长； (2)求四面体的体积； (3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为，则，解得. 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图2中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，则为等边三角形， 所以，所以. 又因为点、分别是、的中点， 所以. （2）因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为. （3）连接交于点，连接并延长交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥.           因为点、分别是、的中点， 所以为的中点，且， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为. 5．如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：，O点为的中点，． 取的中点M，连接，则，， 底面是平行四边形，， ，． ，∴， ，， 是等边三角形，． 在与中，，． ，． 又，平面，平面， 平面． （2）延长与交于点E，连接． 平面，平面，平面平面． 由，，得，， ，， 取中点F，连接，则． ，为等腰直角三角形． 连接，则， 是平面与平面所成的二面角的平面角． ，，，平面， 平面，， 在中，，， ． 平面与平面所成的二面角的正切值为． （3）设，点A到平面的距离为h． ，，， 等腰底边上的高为，， ． ，点C到的距离为，． ． ，即，． 记与平面所成角为． ， 当且仅当，即时，最大，最大， ． 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，考查线面角的求解，第（2）问解题的关键是利用二面角的定义结合已知条件作辅助角找出二面角的平面角，从而进行求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 题型二 存在性问题 6．如图，在正方体中，，是的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，为中点 【详解】（1）， ， 三棱锥的体积为； （2）取的中点为，连接， 是的中点.，且 又是正方形，， 是平行四边形，， （或其补角）就是异面直线与的夹角. 在中，， ， 异面直线与的夹角的余弦值为； （3） 假设在棱上存在点，且为的中点， 取的中点，连接， 是正方体， ， 是平行四边形， 同理可证也是平行四边形， ，， 平面，平面， 平面. 又， 是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， 假设成立，在棱上存在中点，使得平面平面. 7．设是的边上一点，沿将 翻折至的位置 (不在平面内)，是线段上的一个动点，且 . (1)如图 1，若平面，求证：直线与平面所成的角以及与平面所成的角之和不可能超过； (2)如图 2，若，是的中点，平面平面.是否存在，使得三棱锥的体积是? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1） 如图，连结， ∵平面，∴为与平面所成的角， ∵平面，∴平面平面. 过作，垂足为， ∵平面平面,平面，∴平面， 故为与平面所成的角. ∵， ∴， ∴， ∴，即直线与平面所成的角以及与平面所成的角之和不超过. （2）存在，使得三棱锥的体积是. 如图，取的中点，连接 ， 由得，，由折叠得. ∵ 平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ，即是三棱锥的高，且 . 方法一: 由得，解得. 假设存在满足题意的，则三棱锥的体积为 ， 解得， ∴ 故存在，使得三棱锥的体积是. 方法二: 为的中点， ∴. 又∵，∴  ， ∴ 假设存在满足条件的，则三棱锥的体积为： ，解得， 故存在，使得三棱锥的体积为. 8．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)周长为，面积为； (2) (3)存在，或 【详解】（1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正方体被平面所截的截面以及截得的两个立体图形的体积.解题的关键是数形结合，通过作图找到特殊点，从而解决（2）的范围；由（2）的思路，同样做出可能得图像，利用三棱柱的体积来求多面体体积，从而解得的值. 9．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)作图见解析； (2)小几何体与大几何体的比值为； (3)存在，理由见解析，长度的取值范围为. 【详解】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面， 且平面平面，平面平面，平面平面， 则为截面与各木块表面的交线. （2）由于点在平面内且为的重心，， 所以，又因为，故， 故几何体为棱柱， 设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. （3）分别取的中点，则当点时有平面， 证明如下：由分别为的中点得， 又由于在正三棱台中，， 所以，四点共面， 又因为，点O为重心，所以， 又由正三棱台性质， 故四边形为平行四边形，故， 因为平面、平面，所以平面， 同理平面， 因为，平面，所以平面平面， 所以当点时，平面，于是平面， 在梯形中，由已知条件和前面的分析知：， 即四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形， 所以该由等腰梯形性质得该等腰梯形的高为， 所以， 所以长度的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：求解长度的取值范围关键点1是通过作出过点O且与平面相交的平面、又与平面平行的平面并证明；关键点2是由已知得出四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形，从而通过等腰梯形性质求出等腰梯形的高和、的长. 10．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． (1)当侧面底面时，求点到平面的距离； (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）在中，，所以， 因为在直角梯形中，，，， 所以，所以四边形为正方形， 所以，， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为，由题意得， 则， 因为，所以， 所以，解得， 所以点到平面的距离为； （2）过作交于点， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 作交于点，连接， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面， 所以，所以为二面角的平面角， 则，所以， 所以， 连接，交于点，因为四边形为正方形，所以， 所以，设， 由，得，得， 因为，所以，解得， 因为底面，底面，所以 所以，所以，即, 所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时. 【点睛】关键点点睛：此题考查点面距离的求解，考查二面角，考查平面图形折叠成空间图形问题，解题的关键是弄清折叠前后边角间的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 11．如图，四棱锥中，四边形是平行四边形， 是正三角形， 平面 平面 (1)求证: 平面 ； (2)当 时， 若是面的重心，求直线与平面所成角的正弦值； 棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为 如果有，求此时的长度；如果无，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解. (2)()；()棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，即两点重合，. 【详解】（1）因为, 且四边形是平行四边形， 所以, 所以. 因为平面平面， 且平面平面， 平面， 由平面与平面垂直的性质得 平面. （2）（i）如图①所示，反向延长至点，过点作， 因为平面平面， 且平面平面， 平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 设平行四边形对角线交点为，连接, 连接,反向延长交于， 因为点为的重心，即为的中点， 过点作平面交平面于， 又因为平面， 所以. 且三点在同一条直线， 所以，且点在上， 连接，则为直线与平面的夹角. 因为点为的重心，点为的中点， 所以,且相似于, 所以. 又因为为等边三角形，， 所以，, 所以，即. 在中，由余弦定理得 则. 因为四边形是平行四边形，, 所以, 即. 在中，由余弦定理得 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，且, 所以， 解得，即， 所以, 故直线与平面的夹角的正弦值为. （ii）棱存在一点，使得二面角的余弦值为， 即点与点重合，. 由（i）可知，, 即, 所以. 如图②所示，过点作交于，连接, 在中，，即. 因为，， 所以相似于， 即， 在中，由余弦定理得, 在中，由余弦定理得, 所以， 解得. 因为, 所以. 所以为平面与平面的夹角， 在中，由余弦定理得， 所以二面角夹角余弦值为. 故当点与点重合时，二面角的余弦值为. 所以棱存在一点，使得二面角的余弦值为， 即点与点重合，. 【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直、线面角及二面角，第（i）问解题关键是过点作平面交平面于，连接，则为直线与平面的夹角，计算的正弦值即可；第（ii）问，棱存在一点， 即点与点重合.解题关键是过点作交于，连接,证明， 为平面与平面的夹角，计算的余弦值即可. 题型三 取值范围问题 12．定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，则． 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得． （2）因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以， 设四棱锥的表面积为， 则 ． 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积． （3）如图，过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角． 易知，当与重合时，； 当与不重合时，设， 在中，由余弦定理得 因为，所以，所以，则， 所以． 当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合）， 由，得，即， 所以的最大值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为． 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 13．已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. (1)证明： ； (2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； (3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连结、， 由四边形为菱形可知，，， 又平面， 平面，又因为平面，； （2）因为菱形的面积为， 得，，， 又因为二面角的平面角为，且大小为， 所以， 故点到平面的距离为； （3）取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接， ，，同理， ∵，平面，所以平面， 故点的轨迹长度即为的周长. 由于，，， 且二面角的大小平面角， ∵，∴，， 则，，所以点的轨迹长度的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定定理和二面角的定义. 14．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． (1)证明：四边形是矩形； (2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； (3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面，平面平面，平面， 所以，同理，则. 由三棱柱可知，平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形. 由，平面，平面， 所以平面， 又平面，， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以. 过作平面，垂足为，在平面内过作，垂足为， 作，垂足为，连接， 所以平面，，同理，，. 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 则，同理. 在与中，为公共边，且， 故与全等，故， 在与中，，又为公共边， 则与全等，则， 所以即为的角平分线， 又为等边三角形，故，又， 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 所以，又，， 所以有，故四边形为矩形. （2）由为等边三角形，且边长为，则， 在中，；在中，； 在中，； 所以， 即，则， 则三棱锥的高， . （3）由（1）知，，则， 所以在中，， 过作平面，垂足为， 则三棱柱的高也即，由（2）知， 故即为直线与平面所成角， 则， 由，则. 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是充分应用线面、面面平行的判定与性质定理推证平行关系；二是三面角余弦关系的应用，如第（2）问中借助求得. 15．在三棱柱中，侧面平面分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求证：与不垂直； (3)若，求与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）    取中点，连接， 在中，分别是的中点，所以， 又是的中点，所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. （2）    假设， 因为侧面平面，侧面平面， 平面，所以侧面， 因为侧面，所以， 所以二面角的平面角为，所以， 又侧面，所以， 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以， 由（1）知，所以. 在平行四边形中，， 所以， 所以，所以， 所以，与矛盾，所以与不垂直. （3）解法一：    作于点，作于点，连接， 由侧面侧面，得， 又平面，所以平面. 所以，又， 所以平面，所以， 在，，中， ， 因为， 所以， 因为，所以， 又]，所以， 所以，所以， 取中点，所以，所以， 所以四点共面， 连接，因为， 所以， 由（2）知侧面，所以平面侧面， 平面侧面侧面，所以平面， 所以与平面所成角为， 在等腰中，， 由，得， 连接，在中，，所以， 所以与平面所成角正弦值的取值范围为. 解法二：      设点到平面的距离为， 因为平面， 所以. 由（1）（2）知侧面， 所以， 因为， 所以， ， 所以，即， 所以. 设与平面所成角为，则. 作A1P⊥AC于点P，作PQ⊥AB于点Q，连接A1Q， 由侧面侧面，得， 又平面，所以平面. 所以，又，所以平面，所以， 在，，中， ， 因为， 所以， 因为，所以， 又]，所以， 所以，所以，即， 所以， 所以与平面所成角正弦值的取值范围为. 【点睛】本题考查空间中点､线､面之间的位置关系，线面角､二面角等基本知识；考查空间想象､推理论证､运算求解等能力，考查化归与转化､数形结合等数学思想. 16．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点.    (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，，. ①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①截面图见解析，面积为；② 【详解】（1）如图所示，连接， 由题意可知面ABC，四边形是菱形， ∵面， ∴， 又∵D是AC中点，是正三角形， ∴， 又面， ∴面， ∵面，∴， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，∴， ∵面， ∴面；    （2）①取的中点，取的中点，连接， 则且， 又且，∴且， ∴四边形是平行四边形，∴且， ∵分别为的中点，∴且， ∴， ∴过三点的截面即为四边形，   平面，平面，， 故截面为直角梯形， 又底面是边长为4的等边三角形且， ， ， ∴截面面积为； ②过作交于，连接，则， 平面，平面，， 故二面角的平面角即为， G为棱上一点，且，， ，， ， ， ， 令， ， 由双勾函数的性质可得在上单调递减， ∴，∴ ， 故二面角的取值范围.    【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 17．如图所示，在半径为1的球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥.设二面角的平面角的大小为. (1)求该内接八面体体积的最大值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 又，所以当最大时，八面体体积最大，当且仅当为大圆的内接正方形时最大， 且，所以的最大值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为， 则二面角的平面角， 设与平面的交点为，取中点为，连接，如图所示. 则，，，所以，， 设球心到平面的距离为，，球的半径为1， 则，，， 所以， 则， 因为，所以，，， 则， 即. 题型四 最值问题 18．在四棱锥中，，，，，． (1)证明：与不垂直． (2)已知内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等． （ⅰ）求长的最小值． （ⅱ）在（ⅰ）的条件下求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【详解】（1）作出四棱锥，如图1， 在中，，所以． 下面用反证法证明与不垂直： 假设，则由，平面，得平面， 又平面，所以． 作出平面四边形，如图2，连接，设与交于点， 易知，且为的中点，则由，， 得． 在中，， 在中，，这不可能，故假设错误. 所以与不垂直． （2）（ⅰ）在平面四边形中，易得，，， 如图1，设平面与平面的交线为， 由，得，得， 所以到平面的距离是到平面的距离的2倍，所以． 由，得，得， 所以到平面的距离是到平面的距离的3倍，所以． 所以的轨迹是线段，其中为的三等分点，为的四等分点，则，． 如图3，当时，最短， 由（1）知为直角三角形，，则由等面积法得，， 所以长的最小值为． （ⅱ）过点作于，过点作平面于， 则． 如图3，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则， 直线的方程为，即， 则点到直线的距离，所以． 在平面四边形中，，所以， 则． 所以三棱锥体积的最大值为． 19．在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH． (1)如图1，证明：； (2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较和的大小； (3)如图3，已知，M为平面PBC内一点，且，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析，； (3). 【详解】（1）取BC的中点为D，连接， 由，D为BC的中点，得，由，D为BC的中点，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面，平面，则， 又平面，于是平面，而平面， 因此，又，为锐角， 过点H向AB作垂线，垂足为点N，连接PN，则， 由点P在平面ABC内的投影为H，得， 由平面ABC，平面ABC，得， 而，平面PHN，则平面PHN， 由平面PHN，则，于是，显然， 因此，当时，重合，，等式成立，所以， 由，得，又函数在上单调递减， 所以. （3）设点A到平面PBC的距离为d，直线AM与直线BC的夹角，直线AM与平面PBC的夹角， 由（1）知，，， ，，且， 由，得，而，则直线与平面PBC所成角， ，即， 由（2）知，直线AM与直线BC的夹角， 所以异面直线AM与直线BC夹角的最小值为. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 20．在三棱锥中，，三棱锥的各顶点均在表面积为的球的球面上，且四点共面． (1)证明：平面平面； (2)当时，求球心到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）设球的半径为，则，解得， 设的外接圆半径为，则， 因为四点共面，可知的外接圆圆心为， 取的中点，连接， 可知为等边三角形，则，， 又因为，则， 且，则，则， 因为，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）若，则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，则， 在中，由余弦定理可得， 可知为钝角，且， 则， 设球心到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以球心到平面的距离为. （3）过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 可知直线与平面所成角为， 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即则， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. 21．如图1，在矩形ABCD中，，，M是边BC上的一点，将沿着AM折起，使点B到达点P的位置. (1)如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证：平面PAM； (2)如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上. ①求证：平面PAD； ②求点M的位置，使三棱锥的外接球的体积最大，并求出最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②M位于点C， 【详解】（1）如图，取PA的中点E，连接ME和EN，则EN是的中位线， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形ENCM是平行四边形，所以， 又平面PAM，平面PAM， 所以平面PAM. （2）①由平面AMCD，平面PFH，得， 又已知，且AD，PH是平面PAD内两条相交直线， 所以平面PAD. ②，由①知平面PAD，又平面PAD， 所以，所以是， 由平面AMCD，平面AMCD， 所以，是. 如图，取PC的中点O，则点O到三棱锥各顶点的距离都相等， 所以O是三棱锥外接球的球心. 如图，过点P作于F，连HF和BF， 因为平面AMCD，平面AMCD， 所以，又PF，PH是平面PHF内两条相交直线， 所以平面PFH，又平面PFH，所以， 由和翻折关系知，所以B，F，H三点共线，且， 设，则，， 又，所以， ，， 由，得， 所以，， 所以， ， 因为在时单调递增， 所以时，有最大值， 此时，点M位于点的C位置， 所以，，. 所以点M位于点的C时，三棱锥外接球的体积的最大值为. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 22．如图，在三棱锥中，已知，，底面，E为SB中点，为线段BC上一个动点． (1)证明：平面平面； (2)若为线段BC中点，求二面角的余弦值； (3)设为线段AE上的一个动点，若平面，求线段MF长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面,平面，所以， 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，E为SB中点，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）平面，平面， 所以，，平面平面， 可知为二面角的平面角， 因，则，,， ， 由（1）知平面，平面，故， 得，故． （3） 过点作AB的垂线，垂足为，过点作， 因为，，且，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面． 设，因，则，，， 则， 故当时，线段MF的最小值为． 【点睛】思路点睛：本题主要考查面面垂直的证明、求解二面角以及距离最值问题，属于较难题.解题思路为：利用一般利用线面垂直证明面面垂直；通过二面角一个面内的点在另一个面的射影得到平面角求解；一般要选设一个量（边或者角）为参数，构建关于参数的函数，求其最值得到. 题型五 翻折问题 23．在平行四边形中，，，E为的中点．将沿翻折至，其中P为动点，连接与． (1)求证：当时，平面平面； (2)当时，求二面角的正弦值； (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）    连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 当时， 由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， （2）因为，由（1）知， 又为二面角的的棱，，分别在两个半平面内， 所以为二面角的的平面角， 由（1）可知， 所以二面角的正弦值为 （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 24．在直角三角形中，，是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.    (1)求三棱锥的体积； (2)是线段上一个动点，且. ①当时，求二面角的余弦值： ②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 . 【答案】(1) (2)①0；② 【详解】（1）由题可得， 取中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以； （2）①三角形中，， 则，可得， 由，则， 则，则， 又因为平面平面，平面， 平面平面，可得平面， 又平面，可得平面平面， 则二面角为直二面角，其余弦值为0； ②，连接， 三角形中，，，， 则 ， 则，又，则， 设到平面的距离为，则， 则，与平面所成角的正弦为， 则，则， 三角形中，， 则， 三角形中，， 则，则， 解得或3，由可得.    【点睛】思路点睛：在第二问②中解题思路是设到平面的距离为，则由得，结合与平面所成角的正弦值、余弦定理求出结果. 25．如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图， 延长相交于点， 因为，所以， 所以是边长为1的等边三角形，， 所以，， 由余弦定理得， 即，即， 所以； （2） 延长相交于点，是边长为1的等边三角形， 由（1），得，， 所以， ， 故四边形的面积为 要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故使平面平面，此时四棱锥的高即为边上的高， 因为的面积为，设边上的高为， 则，解得， 故四棱锥的体积的最大值为； （3）作交于点，由，所以， 可得，所以点为的中点， 取的中点，连接， 则，可得，所以， 设翻折前点为，连接，则，，， 作交于点，连接， 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 由于，，所以， 因为分别为的中点，所以，， ， 由余弦定理得 ，， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是利用线面垂直的判定定理得到平面，得出为直线与平面所成的角. 26．如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至. (1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离. 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）在图①中，取的中点M，连接AM，如图所示， 因为是等边三角形，的中点为M， 所以, 因为， 所以， 在图②中，，平面BDH，平面BDH， 所以平面BDH，且， 在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示， 因为， 所以， 又因为平面BDH，平面BDH， 所以平面BDH， 又因为平面AMF， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面BDH， 所以存在点F满足题意，且； （2）如图所示，连接，取的中点，连接， 由折叠性质可得平面，平面， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点， 所以， 所以即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角， 由（1）可得，， 因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为， 所以，所以， 所以，所以， 设点B到直线CH的距离为， 则， 即，解得， 即点B到直线CH的距离为. 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有： （1）通过面面平行得到线面平行； （2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质. 27．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，        (1)求证：平面平面SFD； (2)当是边的中点时，二面角的大小； (3)设面面，求证：. (4)若，将沿翻折到，沿翻折到，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)90° (3)证明见解析 (4) 【详解】（1）因为是正方形，为的中点， 所以，，又，SD，平面SFD， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）当是边的中点时，由（1）可知，， 又∵，，，， ∴， 又∵，平面， ∴平面，平面平面，二面角的大小为90°； （3）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面， 所以； （4）设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角，    设（），则，， 在中，，，，可得， ， 因为，即， 又，所以，令，，， 令，， ， 当，，且时，，，，则， 可得在上单调递减， 当，即时，最大为. 【点晴】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面处理解决：一是函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． 题型六 新定义问题 28．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面，记其面积为．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，；若球面上A，B，C的对径点分别为，，，则球面与球面全等，如图2．已知球O的半径为R，圆弧AB和圆弧AC所在平面组成的锐二面角的大小为α，圆弧BA和圆弧BC所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA和圆弧CB所在平面组成的锐二面角的大小为．记． (1)请写出，，的值，并猜测函数的表达式； (2)求（用α，β，γ，R表示）． 【答案】(1)，，；猜测 (2) 【详解】（1）， ， ． 猜测． （2） 因为， 所以， 即． 【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题. 解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得. 29．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，因为， 所以为直线与所成的角，即， 设（），则，， 在中，，又， 所以，解得或（舍去）， 所以. （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面， 所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以， 即二面角的余弦值为. 30．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离； (3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）根据离散曲率的定义得， ， ， 又因为 ， 所以． （2）∵平面平面，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴，过点A作于点， 由平面平面，得， 又平面，则平面， 因此点A到平面PBC的距离为线段的长，在中，， ∴点到平面的距离为. （3）过点作交于，连结， ∵平面，∴平面， ∴为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ，， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， ∴，解得：或（舍） 故. 31．阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，⋯，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） (1)若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：． 【答案】(1)2 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若，则菱形为正方形，即． 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱，在顶点处的离散曲率为， 所以四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和为2． （2）∵为菱形，∴． 又直四棱柱， ∴平面，平面，∴． 又平面，，∴平面． 设，则即为与平面所成的角， 在中，，因为与平面的夹角的正弦值为， 所以，所以，则． 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为． （3）证明：在四面体中，，，， 所以，， 所以四面体在点处的离散曲率为， 所以， 所以为等边三角形，所以． 又在中，，所以， 所以直四棱柱为正方体． 因为平面，平面，所以． 又，，平面， 所以平面． 又平面，所以． ∵平面，平面，∴． 又平面，，∴平面． 又平面，所以． 又，平面，所以平面． ∴是三棱锥的高，设正方体的棱长为， ∴，， ∴，∴， ∴，∴， ∴． $$